一、注意基礎(chǔ)知識(shí)的整合、鞏固。二輪復(fù)習(xí)要注意回歸課本，課本是考試內(nèi)容的載體，是高考命題的依據(jù)。濃縮課本知識(shí)，進(jìn)一步夯實(shí)基礎(chǔ)，提高解題的準(zhǔn)確性和速度
二、查漏補(bǔ)缺，保強(qiáng)攻弱。在二輪復(fù)習(xí)中，對自己的薄弱環(huán)節(jié)要加強(qiáng)學(xué)習(xí)，平衡發(fā)展，加強(qiáng)各章節(jié)知識(shí)之間的橫向聯(lián)系，針對“一模”考試中的問題要很好的解決，根據(jù)自己的實(shí)際情況作出合理的安排。
三、提高運(yùn)算能力，規(guī)范解答過程。在高考中運(yùn)算占很大比例，一定要重視運(yùn)算技巧粗中有細(xì)，提高運(yùn)算準(zhǔn)確性和速度，同時(shí)，要規(guī)范解答過程及書寫。
四、強(qiáng)化數(shù)學(xué)思維，構(gòu)建知識(shí)體系。同學(xué)們在聽課時(shí)注意把重點(diǎn)要放到理解老師對問題思路的分析以及解法的歸納總結(jié)，以便于同學(xué)們在刷題時(shí)做到思路清晰，迅速準(zhǔn)確。
五、解題快慢結(jié)合，改錯(cuò)反思。審題制定解題方案要慢，不要急于解題，要適當(dāng)?shù)剡x擇好的方案，一旦方法選定，解題動(dòng)作要快要自信。
六、重視和加強(qiáng)選擇題的訓(xùn)練和研究。對于選擇題不但要答案正確，還要優(yōu)化解題過程，提高速度。靈活運(yùn)用特值法、排除法、數(shù)形結(jié)合法、估算法等。

專題10 漸近線相關(guān)
知識(shí)點(diǎn)一、雙曲線的漸近線的基本原理
1．雙曲線的漸近線方程亦為，即，就是.
2．雙曲線的漸近線方程亦為，故雙曲線
的漸近線方程為.
知識(shí)點(diǎn)二、定比點(diǎn)差法（直線與雙曲線的兩只漸近線都相交）
已知雙曲線方程為的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且與漸近線垂直的直線分別交兩條漸近線于兩點(diǎn)．
情形1．如下圖．若.
設(shè)，則坐標(biāo)均滿足①，②．
又.
則由，可得：. 給②式乘再相減得：
故．由
情形2．如下圖．若.
設(shè)，則
故得：
由于
由
例1、（2022·吉林·遼源市第五中學(xué)校高二期末）已知雙曲線，則（ ）
A．雙曲線的離心率為
B．雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為
C．雙曲線的漸近線方程
D．雙曲線左支上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的最短距離為
【答案】ABC
【分析】根據(jù)雙曲線的基本幾何量運(yùn)算即可．
【詳解】解：雙曲線中，，所以，則
所以雙曲線的離心率為，故A正確；
雙曲線的焦點(diǎn)為到漸近線的距離為，故B正確，C正確；
雙曲線左支上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為，故最短距離為，故D不正確．
故選：ABC.
例2、（2022·江蘇·海安高級(jí)中學(xué)高二開學(xué)考試）雙曲線的漸近線方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】由題意可知，雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，所以，即，
所以雙曲線的漸近線方程為.
故選：B
例3、（2022·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二階段練習(xí)）若三個(gè)點(diǎn)，，中恰有兩個(gè)點(diǎn)在雙曲線C：上，則雙曲線C的漸近線方程為___________.
【答案】
【詳解】因?yàn)槿齻€(gè)點(diǎn)，，中恰有兩個(gè)點(diǎn)在雙曲線上，
又雙曲線的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,
所以點(diǎn)， 在雙曲線上，
所以，解得，
所以其漸近線方程為：.
故答案為：.
1．（2022·湖北·沙市中學(xué)高二期末）設(shè)雙曲線，其左焦點(diǎn)為，過作雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為點(diǎn)，且與另一條漸近線交于點(diǎn)，若，則雙曲線的漸近線方程為__________.
【答案】
【分析】求雙曲線的漸近線方程轉(zhuǎn)化為求，利用和雙曲線的兩條漸近線關(guān)于對稱，可得，即可求出答案．
【詳解】因?yàn)?，所以是的中點(diǎn)，
因?yàn)?，所以垂直平分，所以?br>因?yàn)殡p曲線的兩條漸近線關(guān)于對稱，所以，
因?yàn)椋裕?br>所以雙曲線的漸近線方程為.
故答案為：
2．（2022·湖北·沙市中學(xué)高二階段練習(xí)）設(shè)雙曲線，其左焦點(diǎn)為，過作雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為點(diǎn)，且與另一條漸近線交于點(diǎn)，若，則雙曲線的漸近線方程為__________.
【答案】
【詳解】因?yàn)?，所以是的中點(diǎn)，
因?yàn)?，所以垂直平分，所以?br>因?yàn)殡p曲線的兩條漸近線關(guān)于對稱，所以，
因?yàn)?，所以?br>所以雙曲線的漸近線方程為.
故答案為：
3．（2022·北京二中高二階段練習(xí)）已知雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，則它的漸近線方程為______，離心率為______.
【答案】
【詳解】由題知，雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，
所以，解得，
所以雙曲線方程為，
所以雙曲線焦點(diǎn)在軸上，，
所以它的漸近線方程為，離心率為，
故答案為：；.
例4、（2022·福建三明·高二期末）已知雙曲線C：的漸近線方程是，則m＝（ ）
A．3B．6C．9D．
【答案】C
【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線求得的值．
【詳解】依題意可知，
雙曲線的漸近線為，
所以.
故選：C
例5、（2022·江西贛州·高三期末（文））已知雙曲線的一條漸近線方程為，且與橢圓有公共焦點(diǎn)，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由題意設(shè)雙曲線方程為，則，求出的值，從而可得雙曲線方程
【詳解】由題意設(shè)雙曲線方程為，
因?yàn)殡p曲線的一條漸近線方程為，且與橢圓有公共焦點(diǎn)，
所以，解得，
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
故選：C
1．（2023·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）與雙曲線有相同的漸近線，且過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_________.
【答案】
【分析】根據(jù)給定條件，設(shè)出所求雙曲線的方程，利用待定系數(shù)法求解作答．
【詳解】依題意，設(shè)雙曲線方程為：，
于是得，則有，
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故答案為：
2．（2022·全國·高二期末）與雙曲線有共同的漸近線，且經(jīng)過點(diǎn)的雙曲線方程為______．
【答案】
【分析】由題設(shè)得漸近線為，設(shè)所求雙曲線為，，將已知點(diǎn)代入求參數(shù)，即可得雙曲線方程．
【詳解】由題設(shè)，漸近線方程為，令所求雙曲線方程為，，
又在雙曲線上，則.
所求雙曲線方程為
故答案為：
例6、（2022·浙江·高二期末）已知是雙曲線：（，）的右焦點(diǎn)，過作與軸垂直的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，過作一條漸近線的垂線，垂足為，若，則（ ）
A．1B．C．D．3
【答案】B
【分析】設(shè)，分別求出和，即可求出．
【詳解】設(shè).
過作與軸垂直的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，則，解得：，所以.
由雙曲線可得漸近線為.
由對稱性可知，到任一漸近線的距離均相等，不妨求到漸近線的距離，
所以.
因?yàn)椋?，解得?
故選：B
例7、（2022·四川省成都市新都一中高二期末（文））已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，，若雙曲線的左支上存在一點(diǎn)P，使得與雙曲線的一條漸近線垂直于點(diǎn)Q，且，則雙曲線的漸近線方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】不妨設(shè)在第三象限，與漸近線垂直，寫出直線方程，與方程聯(lián)立求得點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)得向量的關(guān)系，從而得點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程變形可得，得漸近線方程．
【詳解】，
不妨設(shè)在第三象限，與漸近線垂直，的斜率為，直線方程為，
由，得，
設(shè)，由知，即，
所以，，在雙曲線上，
所以，化簡得，，
，，
所以漸近線方程是．
故選：D．
例8、已知雙曲線的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，以為圓心的圓與雙曲線的一條漸近線相切于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)．若直線的斜率為，則雙曲線的離心率為______．
【解析】，，
由題意設(shè)，則，解得，即，
所以，，，，
解得或（舍去）．
故答案為：．
1．已知雙曲線(a＞0，b0)的離心率為2，則該雙曲線的漸近線方程為__________．
【解析】因?yàn)殡p曲線的離心率為2，則，解得，
故雙曲線的漸近線方程為.
故答案為：.
2．（2017·天津市紅橋區(qū)教師發(fā)展中心高三期末（文））已知雙曲線的兩條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線分別交于點(diǎn)、，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若雙曲線的離心率為2，三角形的面積為，則（ ）
A．1B．C．2D．3
【答案】C
【分析】根據(jù)雙曲線及拋物線的基本性質(zhì)，求得的坐標(biāo)，表示出三角形的面積，從而求得參數(shù)．
【詳解】由雙曲線的離心率為2知，，漸近線方程為，
又拋物線的準(zhǔn)線方程為，
則設(shè)漸近線與準(zhǔn)線的交點(diǎn)為，，
三角形的面積為，（）
解得，
故選：C
3．（2022·全國·高二期末）已知，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過作傾斜角為的直線分別交軸與雙曲線右支于點(diǎn)，，下列判斷正確的是（ ）
A．，B．
C．的離心率等于D．的漸近線方程為
【答案】BCD
【分析】根據(jù)題意得，，；由知：，
又，，求解離心率，根據(jù)離心率求解漸近線方程即可判斷．
【詳解】如下圖所示，因?yàn)?，即為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，所以，
因?yàn)?，所以，所以，，A錯(cuò)誤，B正確；
由知：，又，，
所以，即，所以，解得：，C正確；
所以，所以，所以，所以，
所以的漸近線方程為，D正確．
故選：BCD．
4．（2022·陜西渭南·高一期末）中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的離心率為，則它的漸近線方程為_______.
【答案】
【分析】由離心率得出，進(jìn)而寫出漸近線方程．
【詳解】由題意可知，則，解得
則它的漸近線方程為
故答案為：
例9、（2020·廣西·南寧三中高二期末（文））已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為、，A是雙曲線C的左頂點(diǎn)，以、為直徑的圓與雙曲線C的一條漸近線交于P，Q兩點(diǎn)，且，則雙曲線C的離心率為（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意易得圓與漸近線的方程，聯(lián)立即可求得的坐標(biāo)，結(jié)合圖像易得，利用斜率公式即可求得，從而可求得雙曲線C的離心率．
【詳解】依題意，易得以為直徑的圓的方程為，設(shè)，則，
又由雙曲線易得雙曲線C的漸近線為，如圖，
聯(lián)立，解得或，
∴，，又∵，∴軸，
∴由得，∴，
∴，即，∴，∴.
故選：D.
.
例10、（2022·安徽滁州·高二期末）已知雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，過雙曲線右焦點(diǎn)的直線與雙曲線相交于，兩點(diǎn)，弦的中點(diǎn)為，點(diǎn)是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由已知可得，設(shè)，，由點(diǎn)差法可得，可得，可求，圓表示圓心為，半徑為，，計(jì)算可求最小值．
【詳解】由雙曲線知漸近線方程為，
又雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，
，，雙曲線方程為，
設(shè)，，
，，
，
又弦的中點(diǎn)為，
，，設(shè)，
，解得，，解得，
所以雙曲線的方程為，
由圓的方程可得，
圓心為，半徑為，
．
當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)．
故選：D．
1．已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，若線段上存在點(diǎn)，使得線段與的一條漸近線的交點(diǎn)滿足：，則的離心率的取值范圍是___________.
【解析】設(shè)，，，
，則，
，則，，
，則，，點(diǎn)在漸近線上，
所以，，
由得，所以，又，
所以，所以．
故答案為：．
2．（2022·天津市西青區(qū)楊柳青第一中學(xué)高二期末）已知拋物線上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為5，雙曲線的左頂點(diǎn)為，離心率為，若雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則雙曲線的方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由拋物線的定義可求出的值，進(jìn)而確定點(diǎn)的坐標(biāo)，再結(jié)合雙曲母的的幾何性與兩條直線的垂直關(guān)系，可求出的值，從而可求出雙曲線的方程
【詳解】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，則拋物線的定義可得，解得，
所以拋物線的方程為，
因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，
所以，得，
所以，
由題意得，雙曲線的漸近線方程為，
因?yàn)殡x心率為，所以，
所以，得，
因?yàn)殡p曲線的一條漸近線與直線垂直，
所以，得，
所以由，得，
所以雙曲線的方程為，即，
故選：C
例11、（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過的直線交雙曲線于兩點(diǎn)，且．
(1)求雙曲線的漸近線方程；
(2)當(dāng)時(shí)，在軸上求一點(diǎn)，使得為定值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根據(jù)三角形的面積求出，再在中，由余弦定理求得的關(guān)系即可得解；
（2）直線PQ的方程為，，，，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求出，再代入化簡即可得解．
【詳解】（1）由題意，得，
所以，
在中，由余弦定理，得
，
所以，所以，
所以，所以，
所以雙曲線C的漸近線方程為；
（2）當(dāng)時(shí)，雙曲線C的方程為，則，
因?yàn)?，所以直線PQ的斜率不為0，
設(shè)直線PQ的方程為，
聯(lián)立，消得．
則，解得，
設(shè)，，
則，
設(shè)，則
，
要使為定值，則，即，
所以存在定點(diǎn)，使得．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為、；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；
（3）列出韋達(dá)定理；
（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解．
例12、（2023上·貴州貴陽·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，且雙曲線經(jīng)過圓的圓心.
(1)求的值；
(2)設(shè)圓與雙曲線的漸近線交于兩點(diǎn)，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由題意得，，結(jié)合即可得解．
（2）由題意得雙曲線漸近線方程為或，分類討論結(jié)合圓的弦長公式即可得解．
【詳解】（1）由題意雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，
所以，
而圓即圓的圓心坐標(biāo)為，
所以，
又注意到，
所以解得或（舍去），，
所以.
（2）
由（1）得雙曲線方程為，其漸近線方程為或，
圓的半徑為，
圓心到直線的距離為，
所以直線與圓相交，
圓心到直線的距離為，
所以直線與圓相離，
所以.
例13、（2024上·四川宜賓·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線的漸近線方程為，點(diǎn)在上．
(1)求的方程．
(2)設(shè)是雙曲線的左頂點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與的右支交于兩點(diǎn)，直線分別與直線交于兩點(diǎn)．試探究：是否存在定點(diǎn)，使得以為直徑的圓過點(diǎn)？若存在求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)存在定點(diǎn)，或，使得以為直徑的圓過點(diǎn)，理由見解析
【分析】（1）由漸近線方程與點(diǎn)在雙曲線上待定即可得方程；
（2）假設(shè)存在定點(diǎn)，滿足條件．設(shè)，，分別表示直線，令，得坐標(biāo)，將以為直徑的圓過點(diǎn)轉(zhuǎn)化為條件，利用韋達(dá)定理代入變形為關(guān)系式，不受影響，求值即可．
【詳解】（1）由題意可知：，解得，
故雙曲線C的方程為：
（2）由雙曲線的對稱性，又點(diǎn)及點(diǎn)均在軸上，
若存在定點(diǎn)，滿足以為直徑的圓過點(diǎn)，則點(diǎn)在軸上．
故假設(shè)存在定點(diǎn)，使得以為直徑的圓過點(diǎn).
雙曲線的左頂點(diǎn)，
由題意知直線不垂直于軸，故設(shè)直線的方程為：，
設(shè)，，
∴，
，解得，
∴，
由直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，
則，解得.
又直線的方程為，代入，
同理，直線的方程為，代入.
要使以為直徑的圓過點(diǎn)，則.
∴，
∴
，
解得，或
故存在定點(diǎn)，或，使得以為直徑的圓過點(diǎn).

例14、（2024上·廣東河源·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，且的一條漸近線的方程為.
(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若點(diǎn)是的左頂點(diǎn)，是上與頂點(diǎn)不重合的動(dòng)點(diǎn)，從下面兩個(gè)條件中選一個(gè)，求直線與的斜率之積．
①關(guān)于原點(diǎn)對稱；②關(guān)于軸對稱．
注：若選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
【答案】(1)
(2)選①，答案為1；選②，答案為
【分析】（1）根據(jù)漸近線方程得到，待定系數(shù)法求出，得到雙曲線方程；
（2）選①，得到，，，由斜率公式計(jì)算出答案；
選②，得到，，，由斜率公式計(jì)算出答案．
【詳解】（1）由題意得的一條漸近線的方程為，故，
又，解得，
故的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）若選①，關(guān)于原點(diǎn)對稱，
由題意得，，，
故，
則，

若選②，關(guān)于軸對稱，
由題意得，，，
故，
則，

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【突破壓軸沖刺名校】 壓軸專題10 解析幾何綜合問題小題綜合 2024屆新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)尖子生30題難題突破（新高考專用）
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專題5.3 解析幾何中的范圍問題-2020屆高考數(shù)學(xué)壓軸題講義(選填題)（解析版）

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專題7.1 與數(shù)學(xué)文化相關(guān)的數(shù)學(xué)考題-2020屆高考數(shù)學(xué)壓軸題講義(選填題)（原卷版）

專題7.1 與數(shù)學(xué)文化相關(guān)的數(shù)學(xué)考題-2020屆高考數(shù)學(xué)壓軸題講義(選填題)（原卷版）
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