知識梳理兩個基本計數(shù)原理
微點撥1.分類加法計數(shù)原理中,完成一件事的各種方法是相互獨立的.從集合角度看,如果完成一件事有A,B兩類方案,集合A與B的交集為空集,在A中有m1個元素(m1種方法),在B中有m2個元素(m2種方法),則完成這件事的不同方法的種數(shù)即為集合A∪B的元素個數(shù),即m1+m2.2.分步乘法計數(shù)原理中,必須且只需連續(xù)完成n個步驟后才能完成這件事,各個步驟之間不重復(fù)、不遺漏.
微思考在解題過程中如何判定是用分類加法計數(shù)原理還是分步乘法計數(shù)原理?
提示 如果已知的每類方案中的每一種方法都能完成這件事,應(yīng)該用分類加法計數(shù)原理;如果每類方案中的每一種方法只能完成事件的一部分,就用分步乘法計數(shù)原理.
對點演練1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)在分類加法計數(shù)原理中,兩類不同方案中的方法可以相同.(　　)(2)在分類加法計數(shù)原理中,每類方案中的每種方法都能直接完成這件事.(　　)(3)在分步乘法計數(shù)原理中,每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的.(　　)(4)在分步乘法計數(shù)原理中,事情是分兩步完成的,其中任何一個單獨的步驟都能完成這件事.(　　)
2.3個班分別從5個景點中選擇一處游覽,不同的選法種數(shù)為(　　)A.243B.125C.128D.264
答案 B　解析 因為第1個班有5種選法,第2個班有5種選法,第3個班有5種選法,由分步乘法計數(shù)原理可得,不同的選法有5×5×5=125(種).故選B.
3.5位同學(xué)報名參加兩個課外活動小組,每位同學(xué)限報其中一個小組,則不同的報名方法有　　　　　種.(用具體數(shù)字作答)?
答案 32　解析 由題意,5位同學(xué)報名參加兩個課外活動小組,每位同學(xué)限報其中的一個小組,則每位同學(xué)都有2種報名方法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,則這5位同學(xué)共有2×2×2×2×2=25=32種不同的報名方法.
典例突破例1.已知直線方程Ax+By=0,若從0,1,2,3,5,7這六個數(shù)中每次取兩個不同的數(shù)分別作為A,B的值,則Ax+By=0可以表示　　　　　條不同的直線.?
答案 22　解析 當(dāng)A=0時,可表示1條直線;當(dāng)B=0時,可表示1條直線;當(dāng)AB≠0時,A有5種選法,B有4種選法,可表示5×4=20條不同的直線.由分類加法計數(shù)原理,知共可以表示1+1+20=22條不同的直線.
名師點析使用分類加法計數(shù)原理遵循的原則:有時分類的劃分標準有多個,但不論是以哪一個為標準,都應(yīng)遵循“標準要明確,不重不漏”的原則.
對點訓(xùn)練1(1)某同學(xué)有同樣的畫冊2本,同樣的集郵冊3本,從中取出4本贈送給4位朋友,每位朋友1本,則不同的贈送方法共有(　　)A.4種B.10種C.18種D.20種(2)甲、乙、丙三人踢毽子,互相傳遞,每人每次只能踢一下,由甲開始踢,經(jīng)過4次傳遞后,毽子又被踢回給甲,則不同的傳遞方式共有　　　　　種.?
答案 (1)B　(2)6　
解析 (1)分兩種情況:①4位朋友中有2個人得到畫冊,有 =6(種)贈送方法;②4位朋友中只有1個人得到畫冊,有 =4(種)贈送方法.由分類加法計數(shù)原理,得不同的贈送方法的種數(shù)為6+4=10.故選B.(2)分兩類:甲第一次踢給乙時,有3種滿足條件的傳遞方式(如圖);
同理,甲第一次踢給丙時,滿足條件的也有3種傳遞方式,由分類加法計數(shù)原理,可知不同傳遞方式的種數(shù)為3+3=6.
典例突破例2.(1)現(xiàn)在要給如圖所示的四個區(qū)域染色,有紅、黃、藍、綠四種顏色可供選擇,并要求相鄰區(qū)域顏色不同,則不同的染法種數(shù)有(　　)A.64　　　　　　　D.12
(2)(2023河北保定一模)某校為促進拔尖人才培養(yǎng)開設(shè)了數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物、信息學(xué)5個學(xué)科的競賽課程,現(xiàn)有甲、乙、丙、丁4名同學(xué)要報名競賽課程.由于精力和時間限制,每人只能選擇其中1個學(xué)科的競賽課程,則恰有2名同學(xué)選擇數(shù)學(xué)競賽課程的報名方法數(shù)為　　　　　　.?
答案 (1)B　(2) 96　
解析 (1)若先染④,則④有4種染法,①有3種染法,③有2種染法,②有2種染法.由分步乘法計數(shù)原理,不同的染法種數(shù)有4×3×2×2=48.故選B.
(2)先安排2名同學(xué)選擇數(shù)學(xué)競賽課程,有 =6種情況,剩下2名同學(xué)從除數(shù)學(xué)外的4個學(xué)科中選擇1個學(xué)科,共有42種情況,故所求報名方法數(shù)為6×42=96種情況.
名師點析使用分步乘法計數(shù)原理的原則(1)明確題目中的“完成這件事”是什么,確定完成這件事需要幾個步驟.
(2)將完成這件事劃分幾個步驟完成,各步驟之間有一定的連續(xù)性,只有當(dāng)所有步驟都完成了,整個事件才算完成,這是分步的基礎(chǔ),也是關(guān)鍵.從計數(shù)上來看,各步的方法數(shù)的積就是完成事件的方法總數(shù).
對點訓(xùn)練2(1)在端午小長假期間,某辦公室要從4名職員中選出若干人在3天假期堅守崗位,每天只需1人值班,則不同的排班方法有(　　)A.12種B.24種C.64種D.81種
(2)(2023安徽銅陵三模)若有4名女生和2名男生去兩家企業(yè)參加實習(xí)活動,兩家企業(yè)均要求既有女生又有男生,則不同的分配方案有(　　)種B.28C.32D.64
答案 (1)C　(2)B　解析 (1)根據(jù)題意,第一天值班可以安排4名職員中的任意1人,有4種排班方法,同理第二天和第三天也有4種排班方法,根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知,不同排班方法的種數(shù)為4×4×4=64.故選C.
(2)先安排2名男生,保證每個小組都有男生,共有2種分配方案;再安排4名女生,若將每個女生隨機安排,共有24=16種分配方案;若女生都在同一小組,共有2種分配方案,故保證每個小組都有女生,共有24-2=14種分配方案.所以共有2×14=28種分配方案.故選B.
例3.(1)(2023山東濰坊一模)過去的一年,我國載人航天事業(yè)突飛猛進,其中航天員選拔是載人航天事業(yè)發(fā)展中的重要一環(huán).已知航天員選拔時要接受特殊環(huán)境的耐受性測試,主要包括前庭功能、超重耐力、失重飛行、飛行跳傘、著陸沖擊五項.若這五項測試每天進行一項,連續(xù)5天完成,且前庭功能和失重飛行須安排在相鄰兩天測試,超重耐力和失重飛行不能安排在相鄰兩天測試,則選拔測試的安排方案有(　　)A.24種B.36種C.48種D.60種
(2)如圖,一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域,現(xiàn)給該地區(qū)的5個區(qū)域著色,要求相鄰區(qū)域不得使用同一種顏色,現(xiàn)有4種顏色可供選擇,則不同的著色方法共有　　　　　種.?
答案 (1)B　(2)72　
(2)(方法1)由題圖可知,2區(qū)與4區(qū)不相鄰,3區(qū)與5區(qū)不相鄰,且不相鄰的區(qū)域可用同1種顏色涂色,所以最少可用3種顏色,故可根據(jù)選用顏色的種數(shù)進行分類.第1類,使用3種顏色,則2區(qū)與4區(qū)同色,3區(qū)與5區(qū)同色,可分三步進行涂色:第1步,涂2區(qū)與4區(qū),有4種顏色可選;第2步,涂3區(qū)與5區(qū),有3種顏色可選(除涂2區(qū)、4區(qū)的顏色);第3步,涂1區(qū),有2種顏色可選(除前2步所選的顏色).由分步乘法計數(shù)原理知,該類涂色方法共有4×3×2=24(種).
第2類,使用4種顏色,2區(qū)與4區(qū)同色,3區(qū)與5區(qū)不同色,可分4步進行涂色:第1步,涂2區(qū)與4區(qū),有4種顏色可選;第2步,涂1區(qū),有3種顏色可選;第3步,涂3區(qū),有2種顏色可選;第4步,涂5區(qū),有1種顏色可選.由分步乘法計數(shù)原理可知,該類涂色方法共有4×3×2×1=24(種).
第3類,使用4種顏色,3區(qū)與5區(qū)同色,2區(qū)與4區(qū)不同色,同理可得該類涂色方法共有24種.綜上,由分類加法計數(shù)原理可知,不同的涂色方法共有24+24+24=72(種).(方法2)因為1區(qū)與其他4個區(qū)都相鄰,首先考慮1區(qū),有4種涂法.若2區(qū)與4區(qū)同色,有3種涂法,此時3區(qū)與5區(qū)均有2種涂法,涂法種數(shù)為4×3×2×2=48;若2區(qū)與4區(qū)不同色,先涂2區(qū),有3種涂法,再涂4區(qū),有2種涂法,此時3區(qū)與5區(qū)都只有1種涂法,涂法種數(shù)為4×3×2×1×1=24.因此,滿足條件的涂色方法共有48+24=72(種).
方法總結(jié)1.涂色問題常用的兩種方法
2.利用兩個計數(shù)原理解決問題的一般步驟
對點訓(xùn)練3某旅行社共有5名專業(yè)導(dǎo)游,其中3人會英語,3人會日語,1人既會英語又會日語,若在同一天要接待3個不同的外國旅游團,其中有2個旅游團要安排會英語的導(dǎo)游,1個旅游團要安排會日語的導(dǎo)游,則不同的安排方法種數(shù)有(　　)A.12B.13C.14D.15
解析 記甲為既會英語又會日語的導(dǎo)游,按照甲是否被安排到需要會英語的旅游團可分為兩類:第一類,甲被安排到需要會英語的旅游團,則可分兩步進行:第一步,從會英語的另外2人中選出1人,有2種選法,將選出的人和甲安排到2個需要會英語的旅游團,有2種安排方法,所以有2×2=4種安排方法;第二步,從會日語的另外2人中選出1人安排到需要會日語的旅游團,共2種選法.由分步乘法計數(shù)原理,不同的安排方法種數(shù)有4×2=8.

相關(guān)課件

高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)課件第9章計數(shù)原理概率隨機變量及其分布第1講分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理（含解析）：

這是一份高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)課件第9章計數(shù)原理概率隨機變量及其分布第1講分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理（含解析），共37頁。PPT課件主要包含了題組一，走出誤區(qū)，以相同，接完成這件事，答案1×，2√3√，題組二，走進教材，答案24，題組三等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2024屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第九章計數(shù)原理概率隨機變量及其分布第一講分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理課件：

這是一份2024屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第九章計數(shù)原理概率隨機變量及其分布第一講分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理課件，共34頁。PPT課件主要包含了答案B，答案A，答案12，答案C，答案AC，答案336，答案7200，答案D，種不同的選擇，兩類計算等內(nèi)容，歡迎下載使用。

人教A版 (2019)選擇性必修 第三冊6.1 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理圖片ppt課件：

這是一份人教A版 (2019)選擇性必修 第三冊6.1 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理圖片ppt課件，共50頁。

英語朗讀寶

相關(guān)課件 更多

人教A版 (2019)選擇性必修 第三冊6.1 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理優(yōu)秀ppt課件

人教A版 (2019)選擇性必修 第三冊6.1 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理優(yōu)秀ppt課件
人教A版 (2019)選擇性必修 第三冊6.1 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理精品課件ppt

人教A版 (2019)選擇性必修 第三冊6.1 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理精品課件ppt
高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第十篇計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布第1節(jié)分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理課件理

高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第十篇計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布第1節(jié)分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理課件理
高考數(shù)學(xué)（理）一輪課件：10.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理

高考數(shù)學(xué)（理）一輪課件：10.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部