1.直線與直線垂直(1)兩條直線所成的角:平面內(nèi)兩條直線相交形成4個角,其中　　 　90°的角稱為兩條直線所成的角(或夾角).?(2)異面直線所成的角:已知兩條異面直線a,b,經(jīng)過空間任一點(diǎn)O分別作直線a'∥a,b'∥b,把直線a'與b'所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).
角的大小與點(diǎn)O的位置無關(guān)
(3)空間兩條直線所成角的取值范圍是　　　　　　.?(4)兩條異面直線互相垂直:如果兩條異面直線所成的角是　　　　　,稱這兩條異面直線互相垂直.?
微思考能給空間兩條直線的互相垂直下個定義嗎?
提示 如果空間兩條直線所成的角是直角,稱這兩條空間直線互相垂直.
2.直線與平面垂直(1)定義:一般地,如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直,我們就說直線l與平面α互相垂直,記作l⊥α.直線l叫做平面α的　　　　,平面α叫做直線l的　　　　.直線與平面垂直時,它們唯一的公共點(diǎn)P叫做垂足.?
與“所有直線”是同義的,但與“無數(shù)條”不同
(2)判定定理與性質(zhì)定理
(3)直線和平面所成的角①定義:平面的一條斜線和它在平面上的　　　　所成的角,叫做這條直線和這個平面所成的角.?②范圍:[0°,90°],一條直線垂直于平面,它們所成的角是90°;一條直線和平面平行,或在平面內(nèi),它們所成的角是0°.
微思考空間中任意一直線m,在平面α內(nèi)是否存在無數(shù)條直線與m垂直?
提示 存在,如圖.
3.平面與平面垂直(1)二面角:從一條直線出發(fā)的兩個　　　　　　所組成的圖形叫做二面角.?(2)二面角的平面角:如圖,在二面角α-l-β的棱l上任取一點(diǎn)O,以該點(diǎn)為垂足,在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB,這兩條射線所構(gòu)成的∠AOB叫做二面角的平面角.二面角的平面角α的取值范圍是[0°,180°].
(3)平面與平面垂直的定義兩個平面相交,如果它們所成的二面角是　　　　　　　,就說這兩個平面互相垂直.?
(4)判定定理與性質(zhì)定理
微點(diǎn)撥面面垂直的性質(zhì)定理是作輔助線的一個重要依據(jù).我們要作一個平面的一條垂線,通常是先找這個平面的一個垂面,在這個垂面中,作交線的垂線即可.
微思考若平面α⊥β,且α∩β=l,若直線m⊥l,則m與平面β一定垂直嗎?
提示 不一定.當(dāng)m?α?xí)r,m⊥β.
常用結(jié)論直線與平面垂直的五個結(jié)論(1)若一條直線垂直于一個平面,則這條直線垂直于這個平面內(nèi)的任意直線.(2)若兩條平行線中的一條垂直于一個平面,則另一條也垂直于這個平面.(3)垂直于同一條直線的兩個平面平行.(4)一條直線垂直于兩平行平面中的一個,則這條直線與另一個平面也垂直.(5)兩個相交平面同時垂直于第三個平面,它們的交線也垂直于第三個平面.
對點(diǎn)演練1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)已知直線a,b,c,若a⊥b,b⊥c,則a∥c.(　　)(2)設(shè)m,n是兩條不同的直線,α是一個平面,若m∥n,m⊥α,則n⊥α.(　　)(3)若兩平面垂直,則其中一個平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個平面.(　　)(4)若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的無數(shù)條直線,則α⊥β.(　　)
2.(2023山東泰安一模)已知m,n是兩條不重合的直線,α是一個平面,n?α,則“m⊥α”是“m⊥n”的(　　)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件
解析由線面垂直的性質(zhì)定理知,若m⊥α,n?α,則m⊥n成立,即充分性成立;由線面垂直的判定定理,當(dāng)m垂直平面α內(nèi)的兩條相交直線,才有m⊥α,即必要性不成立.故選A.
3.已知直線a和平面α,β,若α⊥β,a⊥β,則a與α的位置關(guān)系為　　　　　.?
答案 a∥α或a?α　解析 當(dāng)a?α且a垂直于α,β的交線時,滿足已知條件;當(dāng)a∥α?xí)r也滿足已知條件
典例突破例1.(1)(多選)已知a,b表示兩條不同的直線,α,β表示兩個不同的平面,下列說法正確的是(　　)A.若a⊥α,b⊥β,α∥β,則a∥bB.若a⊥α,b⊥β,a⊥b,則α⊥βC.若a⊥α,a⊥b,α∥β,則b∥βD.若α∩β=a,a∥b,則b∥α或b∥β
(2)(多選)如圖所示,已知四邊形ABCD是由一個等腰直角三角形ABC和一個有一內(nèi)角為30°的直角三角形ACD拼接而成,將△ACD繞AC邊旋轉(zhuǎn)的過程中,下列結(jié)論可能成立的是(　　)A.CD⊥ABB.BC⊥ADC.BD⊥ABD.BC⊥CD
答案 (1)ABD　(2)ACD　
解析 (1)對于A,若a⊥α,α∥β,則a⊥β.又b⊥β,所以a∥b,故A正確;對于B,若a⊥α,a⊥b,則b?α或b∥α,所以存在直線m?α,使得m∥b.又b⊥β,所以m⊥β,所以α⊥β.故B正確;對于C,若a⊥α,a⊥b,則b?α或b∥α.又α∥β,所以b?β或b∥β,故C錯誤;對于D,若α∩β=a,a∥b,則b∥α或b∥β,故D正確.故選ABD.
(2)當(dāng)將△ACD繞AC邊旋轉(zhuǎn)到CD⊥BC時,因為CD⊥AC,AC∩BC=C,此時CD⊥平面ABC,而AB,BC?平面ABC,則CD⊥AB,CD⊥BC,A,D正確;此時AB⊥平面BCD,DB?平面BCD,所以AB⊥DB,C正確;若BC⊥AD,而AB⊥BC,AB∩AD=A,故必有BC⊥平面ABD,由圖形可知,D點(diǎn)在B點(diǎn)正上方,而CD

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