2025屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第八章立體幾何與空間向量第一節(jié)基本立體圖形及空間幾何體的表面積和體積課件

這是一份2025屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第八章立體幾何與空間向量第一節(jié)基本立體圖形及空間幾何體的表面積和體積課件，共54頁。PPT課件主要包含了強基礎(chǔ)增分策略，平行且相等，平行四邊形，三角形，等腰三角形，等腰梯形，πrl，πr1+r2l，S底h，πR2等內(nèi)容，歡迎下載使用。
知識梳理1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征
圍成多面體的每一個面都是平面圖形,沒有曲面
微思考有兩個面互相平行,其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱嗎?
提示 不一定.如圖.
(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征
　旋轉(zhuǎn)體一定有旋轉(zhuǎn)軸
微點撥1.旋轉(zhuǎn)體要抓住“旋轉(zhuǎn)”這一特點,弄清底面、側(cè)面及展開圖的形狀.2.臺體可以看成是由錐體截得的,但一定要知道截面與底面平行.
2.空間幾何體的直觀圖空間幾何體的直觀圖常用斜二測畫法來畫,其規(guī)則是:
　九十度、畫一半,橫不變,縱減半,平行關(guān)系不改變,畫出圖形更直觀
(1)在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸,兩軸相交于點O.畫直觀圖時,把它們畫成對應(yīng)的x'軸與y'軸,兩軸相交于點O',且使∠x'O'y'=45°(或135°),它們確定的平面表示水平面.
(2)已知圖形中平行于x軸或y軸的線段,在直觀圖中分別畫成平行于x'軸或y'軸的線段.(3)已知圖形中平行于x軸的線段,在直觀圖中保持原長度不變,平行于y軸的線段,在直觀圖中長度為原來的一半.
3.圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式
微點撥一些幾何體表面上的最短距離問題,常常利用幾何體的展開圖解決.
4.柱、錐、臺和球的表面積和體積
微點撥 求幾何體的體積時,要注意利用分割、補形與等積法.
微思考柱體、錐體、臺體體積之間有什么關(guān)系?
常用結(jié)論1.球的截面的性質(zhì)(1)球的截面是圓面,且球心和截面(不過球心)圓心的連線垂直于截面;(2)球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r的關(guān)系為
2.與體積有關(guān)的幾個結(jié)論(1)一個組合體的體積等于它的各部分體積的和或差.(2)底面面積及高都相等的兩個同類幾何體的體積相等.
對點演練1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)有一個面是多邊形,其余各面都是三角形的幾何體是棱錐.(　　)(2)用兩平行平面截圓柱,夾在兩平行平面間的部分仍是圓柱.(　　)(3)菱形的直觀圖仍是菱形.(　　)
2. 如圖,一個正六棱柱的茶葉盒,底面邊長為10 cm,高為20 cm,則這個茶葉盒的表面積約為　　　　cm2.(精確到0.1, ≈1.732)?
答案 1 719.6
解析邊長為10 cm的正六邊形的面積為
3.(2023新高考Ⅱ,14)底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截,截去一個底面邊長為2,高為3的正四棱錐,所得棱臺的體積為　　　　　.?
解析如圖所示,在正四棱錐P-ABCD中,平面A'B'C'D'∥平面ABCD.點O',O分別為正四棱臺ABCD-A'B'C'D'上、下底面的中心,O'H'⊥A'B',OH⊥AB,點H',H為垂足.由題意,得AB=4,A'B'=2,PO'=3.
考向1.結(jié)構(gòu)特征典例突破例1. (1)(多選)下列說法正確的是(　　)A.各個面都是三角形的幾何體是三棱錐B.以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余兩邊繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐C.棱錐的各側(cè)棱相交于一點,但不一定相等D.圓錐的頂點與底面圓周上的任意一點的連線都是圓錐的母線
(2)(2023全國甲,理15)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為AB,C1D1的中點.以EF為直徑的球的球面與該正方體的棱共有　　　　　個公共點.?
答案 (1)CD　(2)12　
解析 (1)A錯誤,如圖1是由兩個相同的三棱錐疊放在一起構(gòu)成的幾何體,它的各個面都是三角形,但它不是三棱錐;B錯誤,如圖2,若△ABC不是直角三角形,或△ABC是直角三角形但旋轉(zhuǎn)軸不是直角邊所在的直線,所得的幾何體都不是圓錐;C正確,因為棱錐是一個底面為多邊形,其余各面都是有一個公共頂點的三角形,所以棱錐的各側(cè)棱相交于一點,但各側(cè)棱不一定相等;由母線的概念知,選項D正確.故選CD.
(2) 設(shè)EF的中點為O,則球O的直徑為EF.因為O點也是正方體ABCD-A1B1C1D1的中心,所以O(shè)點到各棱的距離均等于OE,故以EF為直徑的球的球面與該正方體的棱共有12個公共點.
方法總結(jié)辨別空間幾何體的兩種方法
對點訓(xùn)練1(1)(多選)下列說法中正確的是(　　)A.棱柱的側(cè)棱都相等,側(cè)面都是全等的平行四邊形B.在四棱柱中,若兩個過相對側(cè)棱的截面都垂直于底面,則該四棱柱為直四棱柱C.存在每個面都是直角三角形的四面體D.棱臺的上、下底面可以不相似,但側(cè)棱長一定相等(2)(多選)(2023安徽滁州二中期中)一個正方體的頂點都在球面上,過球心作一截面,如圖所示,則截面的圖形可能是(　　)
答案 (1)BC　(2)ACD　
解析 (1)根據(jù)棱柱的定義,棱柱的各個側(cè)面都是平行四邊形,但不一定全等,故A錯誤;因為兩個過相對側(cè)棱的截面的交線平行于側(cè)棱,又垂直于底面,故B正確;如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中的三棱錐C1-ABC,四個面都是直角三角形,故C正確;棱臺的上、下底面相似且是對應(yīng)邊平行的多邊形,各側(cè)棱的延長線交于一點,但是側(cè)棱長不一定相等,故D錯誤.
(2)當(dāng)截面平行于正方體的一個側(cè)面時得C;當(dāng)截面過正方體的體對角線時可得D;當(dāng)截面既不過體對角線又不與任一側(cè)面平行時,可得A;但無論如何都不能截得B.故選ACD.
考向2.直觀圖典例突破
例2.(2023廣西南寧三中模擬)如圖所示,一個水平放置的四邊形OABC的斜二測畫法的直觀圖是邊長為2的正方形O'A'B'C',則原四邊形OABC的面積是(　　)
突破技巧按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖,其面積與原圖形的面積的關(guān)系:S直觀圖= S原圖形.
對點訓(xùn)練2已知一個直三棱柱的高為2,如圖,其底面△ABC水平放置的直觀圖(斜二測畫法)為△A'B'C',其中O'A'=O'B'=O'C'=1,則此三棱柱的表面積為(　　)
考向3.展開圖典例突破
解析 由題意,將平面DCC1D1展開到矩形ACC1A1所在平面,結(jié)合展開圖可知當(dāng)A,M,D1三點共線時,MD1+MA取得最小值,最小值為展開圖中D1A的長度.
名師點析多面體表面展開圖可以有不同的形狀,應(yīng)多實踐,觀察并大膽想象立體圖形與表面展開圖的關(guān)系,一定先觀察立體圖形的每一個面的形狀,借助展開圖,培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng).
對點訓(xùn)練3下圖是一個圓臺的側(cè)面展開圖,若兩個半圓的半徑分別是1和2,則該圓臺的體積是(　　)
解析 如圖,設(shè)上底面的半徑為r,下底面的半徑為R,高為h,母線長為l,則
例4.(1)(多選)(2023新高考Ⅱ,9)已知圓錐的頂點為P,底面圓心為O,AB為底面直徑,∠APB=120°,PA=2,點C在底面圓周上,且二面角P-AC-O為45°,則(　　)A.該圓錐的體積為π
(2)南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題,其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔148.5 m時,相應(yīng)水面的面積為140.0 km2;水位為海拔157.5 m時,相應(yīng)水面的面積為180.0 km2.將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺,則該水庫水位從海拔148.5 m上升到157.5 m時,增加的水量約為( ≈2.65)(　　)A.1.0×109 m3B.1.2×109 m3C.1.4×109 m3D.1.6×109 m3
(3)(2023新高考Ⅰ,14)在正四棱臺ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,A1B1=1, AA1= ,則該棱臺的體積為　　　　　.?
PD,OD,則PD⊥AC,OD⊥AC,所以∠PDO即為二面角P-AC-O的平面角,所以∠PDO=45°.因為OD?平面AOC,PO⊥平面AOC,所以PO⊥OD,所以△PDO為等腰直角
故選AC.(2)由題意可得,此棱臺的高h(yuǎn)=157.5-148.5=9(m).設(shè)水庫水位為海拔148.5 m時,相應(yīng)水面的面積為S1,水庫水位為海拔157.5 m時,相應(yīng)水面的面積為S2,則S1=140.0 km2=1.4×108 m2,S2=180.0 km2 =1.8×108 m2,故該棱臺的體積V棱臺
(3) 如圖所示,正四棱臺中四邊形AA1C1C為等腰梯形.連接AC,A1C1,過點A1作A1G⊥AC,交AC于點G,則A1G為棱臺的高.
方法總結(jié)求空間幾何體的體積的三種方法
答案 (1) B　(2) B　
解析(1)如圖,將三棱錐P-AMN看作三棱錐A-PMN,即以A為頂點,△PMN為底面的三棱錐,將三棱錐P-ABC看作三棱錐A-PBC,即以A為頂點,△PBC為底面的三棱錐.
(2) 在△AOB中,過點O作OC⊥AB于點C,連接PC.
考向1.簡單幾何體的外接球典例突破
A.100πB.128πC.144πD.192π
解析 設(shè)外接球的半徑為R,由題意得,上底面所在平面截球所得圓的半徑是3,下底面所在平面截球所得圓的半徑是4,
因此球的表面積是S=4πR2=4π·25=100π.故選A.
方法總結(jié)處理“相接”問題,要抓住空間幾何體“外接”的特點,即球心到多面體的頂點的距離等于球的半徑.
對點訓(xùn)練5 四個面都為直角三角形的三棱錐稱為鱉臑.若三棱錐P-ABC為鱉臑,PA⊥平面ABC,PA=AB=2,AC=4,三棱錐P-ABC的四個頂點都在球O的球面上,則球O的表面積為(　　)A.12πB.20πC.24πD.32π
解析 將三棱錐P-ABC放在一個長方體中,如圖.則三棱錐P-ABC的外接球就是這個長方體的外接球.因為PA=AB=2,AC=4,△PAC為直角三角形,設(shè)長方體的外接球的半徑為R,則PC2=(2R)2=4+16=20,故R2=5.所以外接球的表面積為S=4πR2=20π.故選B.
考向2.簡單幾何體的內(nèi)切球典例突破例6.如圖,在圓柱O1O2內(nèi)有一個球O,該球與圓柱的上、下底面及母線均相切.記圓柱O1O2的體積為V1,球O的體積為V2,則 的值是　　　　.?
方法總結(jié)處理“相切”問題,要找準(zhǔn)切點,通過作截面來解決,截面過球心.
對點訓(xùn)練6 某學(xué)校開展手工藝品展示活動,小明同學(xué)用塑料制作的手工藝品如圖所示,其外部為一個底面邊長為6的正三棱柱,內(nèi)部為一個球,球的表面與三棱柱的各面均相切,則該內(nèi)切球的表面積為　　　　　,三棱柱的頂點到球的表面的最短距離為　　　　　.?
解析 如圖,過側(cè)棱的中點作正三棱柱的截面,則球心為△MNG的中心,