1.了解空間中線線、線面、面面垂直的關(guān)系,認(rèn)識(shí)和理解空間中線面、面面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定.2.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的垂直關(guān)系的簡(jiǎn)單命題.
1.直線與平面垂直(1)定義:一般地,如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直,我們就說(shuō)直線l與平面α互相垂直,記作l⊥α.直線l叫做平面α的　　　　,平面α叫做直線l的　　　　.直線與平面垂直時(shí),它們唯一的公共點(diǎn)P叫做垂足.?
與“所有直線”是同義的,但與“無(wú)數(shù)條直線”不同
(2)判定定理與性質(zhì)定理
微點(diǎn)撥定義的實(shí)質(zhì)是直線與平面內(nèi)的所有直線都垂直.如果一條直線與平面內(nèi)再多(即無(wú)數(shù)條)的直線垂直,但這些直線不相交就不能說(shuō)明這條直線與此平面垂直.
微思考空間中任意一直線m,在平面α內(nèi)是否存在無(wú)數(shù)條直線與m垂直?
2.平面與平面垂直(1)定義:兩個(gè)平面相交,如果它們所成的二面角是　　　　　　　　,就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直.?
一定不能漏掉“垂直于交線”這一條件
微點(diǎn)撥在性質(zhì)定理中要注意兩點(diǎn):一是“在平面內(nèi)”,二是“垂直于交線”,缺一不可.它是作平面垂線的一個(gè)重要依據(jù),我們要作一個(gè)平面的一條垂線,通常是先找這個(gè)平面的一個(gè)垂面,在這個(gè)垂面中,作交線的垂線即可.
3.直線與平面所成的角如圖,一條直線l與一個(gè)平面α相交,但不與這個(gè)平面垂直,這條直線叫做這個(gè)平面的斜線,斜線和平面的交點(diǎn)A叫做斜足.過(guò)斜線上斜足以外的一點(diǎn)P向平面α引垂線PO,過(guò)垂足O和斜足A的直線AO叫做斜線在這個(gè)平面上的射影.平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角,叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角.
一條直線垂直于平面,我們說(shuō)它們所成的角是90°;一條直線和平面平行,或在平面內(nèi),我們說(shuō)它們所成的角是0°.直線與平面所成的角θ的取值范圍是0°≤θ≤90°.
4.二面角及其平面角如圖,從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做二面角的棱,這兩個(gè)半平面叫做二面角的面.棱為AB,面分別為α,β的二面角記作二面角α-AB-β.有時(shí)為了方便,也可在α,β內(nèi)(棱以外的半平面部分)分別取點(diǎn)P,Q,將這個(gè)二面角記作二面角P-AB-Q.如果棱記作l,那么這個(gè)二面角記作二面角α-l-β或二面角P-l-Q.
如圖,在二面角α-l-β的棱l上任取一點(diǎn)O,以點(diǎn)O為垂足,在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB,則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角的平面角.
二面角的大小可以用它的平面角來(lái)度量,二面角的平面角是多少度,就說(shuō)這個(gè)二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.二面角的平面角α的取值范圍是0°≤α≤180°.
常用結(jié)論直線與平面垂直的五個(gè)結(jié)論(1)若一條直線垂直于一個(gè)平面,則這條直線垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任意直線.(2)若兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面,則另一條也垂直于這個(gè)平面.(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行.(4)一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè),則這條直線與另一個(gè)平面也垂直.(5)兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面,它們的交線也垂直于第三個(gè)平面.
題組一思考辨析(判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫(huà)“√”,錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)1.直線l與平面α內(nèi)無(wú)數(shù)條直線都垂直,則l⊥α.(　　)2.若兩平面垂直,則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個(gè)平面.(　　)3.已知直線a,b,c,若a⊥b,b⊥c,則a∥c.(　　)4.若α⊥β,a⊥β,則a∥α.(　　)
題組二回源教材5.(人教A版必修第二冊(cè)第159頁(yè)練習(xí)第2題)已知直線a,b與平面α,β,γ,能使α⊥β的充分條件是(　　)A.α⊥γ,β⊥γB.α∩β=a,b⊥a,b?βC.a∥β,a∥αD.a∥α,a⊥β
解析 α⊥γ,β⊥γ?α與β相交或平行,故A不正確;∵α∩β=a,b⊥a,b?β,∴b不一定垂直于α,∴α不一定垂直于β,故B不正確;a∥β,a∥α?α與β相交或平行,故C不正確;∵a⊥β,a∥α,∴α中一定有一條直線垂直于β,∴α⊥β,故D正確.
6.(人教A版必修第二冊(cè)第152頁(yè)練習(xí)第4題)過(guò)△ABC所在平面α外一點(diǎn)P,作PO⊥α,垂足為O,連接PA,PB,PC.(1)若PA=PB=PC,則點(diǎn)O是△ABC的　　　心.?(2)若PA=PB=PC,∠C=90°,則點(diǎn)O是AB邊的　　　　　點(diǎn).?(3)若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,垂足都為P,則點(diǎn)O是△ABC的　　　心.?
解析 (1)∵過(guò)△ABC所在平面α外一點(diǎn)P,作PO⊥α,垂足為O,連接PA,PB,PC,圖略,∵PA=PB=PC,∴OA=OB=OC,∴點(diǎn)O是△ABC的外心.(2)由(1)知,點(diǎn)O是△ABC的外心,又∠ACB=90°,如圖,∴點(diǎn)O是斜邊AB的中點(diǎn).
(3)連接AO并延長(zhǎng)交BC于一點(diǎn)E,∵PA,PB,PC兩兩垂直,即PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,∴PA⊥平面PBC.又BC?平面PBC,∴BC⊥PA.∵PO⊥平面ABC于點(diǎn)O,BC?平面ABC,∴PO⊥BC.又PO∩PA=P,PO,PA?平面PAE,∴BC⊥平面PAE.∵AE?平面APE,∴BC⊥AE.同理可證HC⊥AB,BG⊥AC,∴O是△ABC的垂心.
7.(人教B版必修第四冊(cè)習(xí)題11-4B第2題)如圖,已知AB是圓的直徑,PA垂直于圓所在的平面,C為圓上不同于A,B的任意一點(diǎn).求證:BC⊥平面PAC.
證明 ∵PA⊥平面ABC,BC?平面ABC,∴PA⊥BC.又∵AB是圓的直徑,∴AC⊥BC.∵PA∩AC=A,PA,AC?平面PAC,∴BC⊥平面PAC.
題組三連線高考8.(2011·浙江,理4)下列命題中錯(cuò)誤的是(　　)A.如果平面α⊥平面β,那么平面α內(nèi)一定存在直線平行于平面βB.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面βC.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γD.如果平面α⊥平面β,那么平面α內(nèi)所有直線都垂直于平面β
解析 對(duì)于A,設(shè)平面α∩平面β=a,設(shè)直線b?α,直線b?平面β,且b∥a,根據(jù)線面平行的判定定理可得直線b∥β,故A正確;對(duì)于B,如果α內(nèi)存在直線與β垂直,則由面面垂直的判定定理可知平面α⊥平面β,與已知矛盾,故B正確;對(duì)于C,設(shè)平面α∩平面γ=a,平面β∩平面γ=b,在γ內(nèi)作直線m⊥a,n⊥b,由面面垂直的性質(zhì)定理可得m⊥α,n⊥β,又直線l?α,l?β,∴m⊥l,n⊥l,又α∩β=l,∴m,n為相交直線,又m,n?平面γ,∴l(xiāng)⊥平面γ,故C正確;平面α⊥平面β,設(shè)平面α∩平面β=a,在平面α內(nèi)與a平行的直線都不與平面β垂直,故D錯(cuò)誤.
9.(2021·浙江,6)如圖,已知正方體ABCD -A1B1C1D1,M,N分別是A1D,D1B的中點(diǎn),則(　　)A.直線A1D與直線D1B垂直,直線MN∥平面ABCDB.直線A1D與直線D1B平行,直線MN⊥平面BDD1B1C.直線A1D與直線D1B相交,直線MN∥平面ABCDD.直線A1D與直線D1B異面,直線MN⊥平面BDD1B1
解析 連接AD1,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是A1D的中點(diǎn),所以M為AD1的中點(diǎn).又N是D1B的中點(diǎn),所以MN∥AB.MN?平面ABCD,AB?平面ABCD,所以MN∥平面ABCD.因?yàn)锳B不垂直BD,所以MN不垂直BD,則MN不垂直平面BDD1B1,所以選項(xiàng)B,D不正確;在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AD1⊥A1D, AB⊥平面AA1D1D,所以AB⊥A1D,AD1∩AB=A,所以A1D⊥平面ABD1,D1B?平面ABD1,所以A1D⊥D1B,且直線A1D,D1B是異面直線,所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤,選項(xiàng)A正確.
考點(diǎn)一 直線與平面垂直的判定與性質(zhì)
例1(2021·全國(guó)甲,文19)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面AA1B1B為正方形,AB=BC=2,E,F分別為AC和CC1的中點(diǎn),BF⊥A1B1.(1)求三棱錐F-EBC的體積;(2)已知D為棱A1B1上的點(diǎn),證明:BF⊥DE.
(1)解 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥A1B1,∵BF⊥A1B1,BB1∩BF=B,BB1,BF?平面BCC1B1,∴A1B1⊥平面BCC1B1.∵AB∥A1B1,∴AB⊥平面BCC1B1,∴AB⊥BC.
(2)證明 如圖,連接A1E,取BC中點(diǎn)M,連接B1M,EM.∵E,M分別為AC,BC中點(diǎn),∴EM∥AB.又AB∥A1B1,∴A1B1∥EM,則點(diǎn)A1,B1,M,E四點(diǎn)共面,故DE?平面A1B1ME.又在側(cè)面BCC1B1中,△FCB≌△MBB1,∴∠FBM=∠MB1B.又∠MB1B+∠B1MB=90°,∴∠FBM+∠B1MB=90°,∴BF⊥MB1.又BF⊥A1B1,MB1∩A1B1=B1,MB1,A1B1?平面A1B1ME,∴BF⊥平面A1B1ME,∴BF⊥DE.
[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1](2024·內(nèi)蒙古赤峰模擬)如圖1,在五邊形ABCDE中,四邊形ABCE為正方形,CD⊥DE,CD=DE,如圖2,將△ABE沿BE折起,使得點(diǎn)A至點(diǎn)A1處,且A1B⊥A1D.(1)證明:DE⊥平面A1BE;(2)若四棱錐A1-BCDE的體積為4,求CD的長(zhǎng).
因?yàn)锳B⊥AE,所以A1B⊥A1E.又A1B⊥A1D,A1E∩A1D=A1,A1E,A1D?平面A1ED,所以A1B⊥平面A1ED.又DE?平面A1ED,則DE⊥A1B.又DE⊥BE,A1B∩BE=B,A1B?平面A1BE,BE?平面A1BE,所以DE⊥平面A1BE.
(2)解 取BE的中點(diǎn)O,連接A1O,由正方形ABCD可得A1O⊥BE.又A1O?平面A1BE,由(1)可得DE⊥A1O.又DE∩BE=E,DE,BE?平面BCDE,則A1O⊥平面BCDE.即A1O為四棱錐A1-BCDE的高.
考點(diǎn)二 平面與平面垂直的判定與性質(zhì)
例2(2023·全國(guó)甲,文18)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C⊥平面ABC, ∠ACB=90°.(1)證明:平面ACC1A1⊥平面BB1C1C;(2)設(shè)AB=A1B,AA1=2,求四棱錐A1-BB1C1C的高.
(1)證明 ∵A1C⊥平面ABC,BC?平面ABC,∴A1C⊥BC.∵∠ACB=90°,∴BC⊥CA.∵A1C∩CA=C,A1C,CA?平面ACC1A1,∴BC⊥平面ACC1A1.∵BC?平面BB1C1C,∴平面ACC1A1⊥平面BB1C1C.
(2)解 平面ACC1A1⊥平面BB1C1C,且這兩個(gè)平面的交線為CC1,過(guò)A1作A1D⊥CC1,垂足為點(diǎn)D,則A1D⊥平面BB1C1C.∴四棱錐A1-BB1C1C的高為A1D.∵BC⊥CA,BC⊥CA1,BA=BA1,BC=BC,∴Rt△BCA≌Rt△BCA1.∴CA=CA1.在三棱柱ABC-A1B1C1中,四邊形ACC1A1為平行四邊形,有AC=A1C1,∠ACA1=∠C1A1C=90°,CC1=AA1=2,則△CA1C1為等腰直角三角形,且底邊CC1=2,∴A1D= CC1=1.即四棱錐A1-BB1C1C的高為1.
[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2] (2024·河南鄭州模擬)如圖,在四棱錐P-ABCD中, AD∥BC,AB⊥AD,平面APD⊥平面ABCD,E,F分別為棱PD,AD的中點(diǎn),
(1)證明:平面CEF⊥平面PAD;(2)若AB=2,求幾何體PABCEF的體積.
因?yàn)锳D∥BC,所以四邊形ABCF為平行四邊形,所以AB∥CF.因?yàn)锳B⊥AD,所以CF⊥AD.因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,CF?平面ABCD,所以CF⊥平面PAD.又CF?平面CEF,所以平面CEF⊥平面PAD.
(2)解 連接PF.因?yàn)镻A=PD,F為AD的中點(diǎn),所以PF⊥AD.因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PF?平面PAD,所以PF⊥平面ABCD.因?yàn)锳B=2,所以AD=4,
考點(diǎn)三 平行與垂直的綜合問(wèn)題
解 (1)取AD的中點(diǎn)G,連接PG,GB,如圖所示.在△PAD中,PA=PD,G是AD的中點(diǎn),所以PG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PG?平面PAD,所以PG⊥平面ABCD,即PG為四棱錐P-ABCD的高.又GB?平面ABCD,所以PG⊥GB.
因?yàn)镃N∥AD,AD?平面PAD,CN?平面PAD,所以CN∥平面PAD.因?yàn)镸N∥PA,PA?平面PAD,MN?平面PAD,所以MN∥平面PAD.又CN∩MN=N,CN,MN?平面CMN,所以平面PAD∥平面CMN.又CM?平面CMN,所以CM∥平面PAD.
[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3](2024·四川南充模擬)如圖所示,已知AC,BD是圓錐SO底面的兩條直徑,M為劣弧BC的中點(diǎn).(1)證明:SM⊥AD;(2)若∠BOC= ,E為線段SM上的一點(diǎn),且SE=2EM,求證:平面BCE∥平面SAD.
證明 (1)連接MO并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)N,如圖所示.
∵M(jìn)為劣弧 的中點(diǎn),∴MO是∠BOC的平分線,∴MN平分∠AOD.∵OA=OD,∴MN⊥AD.又在圓錐SO中,SO⊥平面ABCD,AD?平面ABCD,∴SO⊥AD.∵M(jìn)N,SO?平面SMN,且MN∩SO=O,∴AD⊥平面SMN.又SM?平面SMN,∴AD⊥SM.
(2)設(shè)MO交BC于點(diǎn)F,顯然OF平分∠BOC,且OF⊥BC.

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