典例突破例1.如圖,在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD是矩形,SA⊥平面ABCD,AD=SA=2,AB=1,點E是棱SD的中點.(1)證明:SC⊥AE;(2)求異面直線CE與BS所成角的余弦值.
方法總結(jié)用向量法求異面直線所成角的步驟
對點訓(xùn)練1如圖,在多面體ABCDEF中,底面ABCD是正方形,AF∥DE, AF=AD=2DE,AF⊥底面ABCD.(1)證明:BD∥平面CEF;(2)求異面直線BD與CE所成角的余弦值.
(1)證明如圖①,連接AC,交BD于點M,取CF的中點N,連接MN,NE.
又由AF∥DE,AF=2DE,所以MN∥DE,MN=DE,故四邊形MNED是平行四邊形,所以BD∥NE.又因為BD?平面CEF,NE?平面CEF,所以BD∥平面CEF.
(2)解以A點為坐標(biāo)原點,建立空間直角坐標(biāo)系如圖②所示,
例2. 如圖,已知ABCD和CDEF都是直角梯形,AB∥DC,DC∥EF, AB=5,DC=3,EF=1,∠BAD=∠CDE=60°,二面角F-DC-B的平面角為60°.設(shè)M,N分別為AE,BC的中點.(1)證明:FN⊥AD;(2)求直線BM與平面ADE所成角的正弦值.
又CD⊥CF且CD⊥BC,∴∠BCF為二面角F-DC-B的平面角,∠BCF=60°,∴△BCF為等邊三角形.又N為BC的中點,∴FN⊥BC.又CF?平面BCF,CB?平面BCF且CB∩CF=C,∴DC⊥平面BCF.又FN?平面BCF,∴FN⊥DC.
又DC?平面ABCD,BC?平面ABCD且DC∩BC=C,∴FN⊥平面ABCD.又AD?平面ABCD,∴FN⊥AD.
方法總結(jié)求直線與平面所成角的兩種方法
對點訓(xùn)練2(2023全國甲,理18)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C⊥平面ABC,∠ACB=90°,AA1=2,A1到平面BCC1B1的距離為1.(1)證明:A1C=AC;(2)已知AA1與BB1距離為2,求AB1與平面BCC1B1所成角的正弦值.
(1)證明 ∵A1C⊥底面ABC,BC?平面ABC,∴A1C⊥BC.∵∠ACB=90°,∴BC⊥AC.又A1C,AC?平面ACC1A1,∴BC⊥平面ACC1A1.∵BC?平面BCC1B1,∴平面ACC1A1⊥平面BCC1B1.如圖,過點A1作A1O⊥CC1交CC1于點O,又平面ACC1A1∩平面BCC1B1=CC1,∴A1O⊥平面BCC1B1.∵A1到平面BCC1B1的距離為1,∴A1O=1.∵A1C⊥平面ABC,AC?平面ABC,∴A1C⊥AC.又A1C1∥AC,∴A1C⊥A1C1.
(方法2　空間向量法)∵A1C⊥平面ABC,∠ACB=90°,∴A1C,AC,BC兩兩垂直.如圖,以C為坐標(biāo)原點,建立空間直角坐標(biāo)系.
例3.(2023新高考Ⅱ,20)如圖,三棱錐A-BCD中,DA=DB=DC, BD⊥CD,∠ADB=∠ADC=60°,E為BC的中點.(1)證明:BC⊥DA;
(1)證明 如圖1,連接AE,DE.∵DB=DC,E為BC的中點,∴BC⊥DE.∵DA=DB=DC,∠ADB=∠ADC=60°,∴△ABD,△ACD均為等邊三角形,且△ABD≌△ACD,∴AB=AC.又E為BC中點,∴BC⊥AE.∵AE,DE?平面ADE,AE∩DE=E,∴BC⊥平面ADE.又DA?平面ADE,∴BC⊥DA.
(2)解設(shè)BC=2,由已知可得DA=DB=DC= .DE為等腰直角三角形BCD斜邊BC上的中線,∴DE=1.∵△ABD,△ACD為等邊三角形,∴AB=AC= .∵AB2+AC2=BC2,∴△ABC為等腰直角三角形,∴AE=1.易知DE=1.∵AE2+DE2=AD2,∴AE⊥DE.由(1)知,BC⊥DE,BC⊥AE,∴AE,BC,DE兩兩垂直.以E為坐標(biāo)原點,ED,EB,EA所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,1),B(0,1,0),C(0,-1,0),D(1,0,0),E(0,0,0),
v=1,u=0,即平面ABF的一個法向量n=(0,1,1).
方法總結(jié)利用空間向量求二面角的兩種常用方法
對點訓(xùn)練3如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1的體積為4,△A1BC的面積為2 .(1)求A到平面A1BC的距離;(2)設(shè)D為A1C的中點,AA1=AB,平面A1BC⊥平面ABB1A1,求二面角A-BD-C的正弦值.
(2)連接AB1交A1B于點E,如圖.∵AA1=AB,∴AB1⊥A1B.又平面A1BC⊥平面ABB1A1,平面A1BC∩平面ABB1A1=A1B,∴AB1⊥平面A1BC.
又BC?平面A1BC,∴BC⊥AB1,又BC⊥BB1,AB1,BB1?平面ABB1A1,且AB1∩BB1=B1,∴BC⊥平面ABB1A1,∴BC⊥AB,BC⊥A1B.
∴點A(0,2,0),B(0,0,0),D(1,1,1),E(0,1,1).

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