第26講　空間直線、平面的平行1．線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行．
1．直線與平面平行的判定和性質(zhì) 如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，O，M分別為BD，PC的中點(diǎn)．設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l.求證：(1)OM∥平面PAD；(2)BC∥l.
證明：(1)因?yàn)榈酌鍭BCD為平行四邊形，所以O(shè)為AC中點(diǎn)，又M為PC中點(diǎn)，所以O(shè)M∥PA，又OM?平面PAD，PA?平面PAD，所以O(shè)M∥平面PAD.(2)因?yàn)榈酌鍭BCD為平行四邊形，所以AD∥BC，因?yàn)锳D?平面PAD，BC?平面PAD，所以BC∥平面PAD，又BC?平面PBC，又平面PAD∩平面PBC＝l，所以BC∥l.
剖析：判斷或證明線面平行的常用方法(1)利用線面平行的定義(無公共點(diǎn))．(2)利用線面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)．(3)利用面面平行的性質(zhì)定理(α∥β，a?α?a∥β)．(4)利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?β，a∥α?a∥β)．
2．平面與平面平行的判定與性質(zhì) 已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，點(diǎn)M、N、Q分別在PA、BD、PD上．若PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，求證：平面MNQ∥平面PBC.
證明：因?yàn)镻M∶MA＝PQ∶QD，所以QM∥AD，因?yàn)锳D∥BC，所以QM∥BC，因?yàn)镼M?平面PBC，BC?平面PBC，所以MQ∥平面PBC；
因?yàn)锽N∶ND＝PQ∶QD，所以QN∥PB，因?yàn)镼N?平面PBC，PB?平面PBC，又QM∩QN＝Q，所以平面MNQ∥平面PBC.剖析：證明面面平行的方法(1)利用面面平行的定義．(2)利用面面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行．(3)利用垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行．(4)利用兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行．(5)利用“線線平行”“線面平行”“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化．
1．平面α∥平面β的一個(gè)充分條件是(　　)A．存在一條直線a，a∥α，a∥βB．存在一條直線a，a?α，a∥βC．存在兩條平行直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥αD．存在兩條異面直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥αD　若α∩β＝l，a∥l，a?α，a?β，則a∥α，a∥β，故排除A.若α∩β＝l，a?α，a∥l，則a∥β，故排除B.若α∩β＝l，a?α，a∥l，b?β，b∥l，則a∥β，b∥α，故排除C.故選D.
2．對于空間中的兩條直線m，n和一個(gè)平面α，下列命題中的真命題是(　　)A．若m∥α，n∥α，則m∥nB．若m∥α，n?α，則m∥nC．若m∥α，n⊥α，則m∥nD．若m⊥α，n⊥α，則m∥nD　對A，直線m，n可能平行、異面或相交，故A錯(cuò)誤；對B，直線m與n可能平行，也可能異面，故B錯(cuò)誤；對C，m與n垂直而非平行，故C錯(cuò)誤；對D，垂直于同一平面的兩直線平行，故D正確．故選D.
3．如圖，四棱錐P-ABCD中，M，N分別為AC，PC上的點(diǎn)，且MN∥平面PAD，則(　　)A．MN∥PD B．MN∥PAC．MN∥AD D．以上均有可能B　四棱錐P-ABCD中，M，N分別為AC，PC上的點(diǎn)，且MN∥平面PAD，MN?平面PAC，平面PAC∩平面PAD＝PA，由直線與平面平行的性質(zhì)定理可得：MN∥PA.故選B.
4．下列命題中正確的是(　　)A．若a，b是兩條直線，且a∥b，那么a平行于經(jīng)過b的任何平面B．若直線a和平面α滿足a∥α，那么a與α內(nèi)的任何直線平行C．平行于同一條直線的兩個(gè)平面平行D．若直線a，b和平面α滿足a∥b，a∥α，b?α，則b∥αD　A中，a可以在過b的平面內(nèi)；B中，a與α內(nèi)的直線也可能異面；C中，兩平面可相交；D中，由直線與平面平行的判定定理知b∥α，正確．故選D.
5．已知m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個(gè)不同的平面，則下列說法正確的是(　　)A．若m∥α，n∥α，則m∥nB．若α⊥γ，β⊥γ，則α∥βC．若m∥α，n∥β，m∥n，則α∥βD．若m⊥α，n⊥α，則m∥nD　若m⊥α，n⊥α，則m∥n，D正確；分析知選項(xiàng)A，B，C中位置不能確定，均不正確．故選D.
6．設(shè)α，β，γ為三個(gè)不同的平面，a，b為直線，給出下列條件：①a?α，b?β，a∥β，b∥α；②α∥γ，β∥γ；③α⊥γ，β⊥γ；④a⊥α，b⊥β，a∥b.其中能推出α∥β的條件是________．(填上所有正確的序號)解析：在條件①或條件③中，α∥β或α與β相交；由α∥γ，β∥γ?α∥β，條件②滿足；在④中，a⊥α，a∥b?b⊥α，又b⊥β，從而α∥β，④滿足．答案：②④
7．(2023·廣東模擬)如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，E、F分別是AB、PC的中點(diǎn)．證明：EF∥平面PAD.
證明：取PD的中點(diǎn)G，連接AG、FG，
8．(2023·廣東模擬)如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，側(cè)面PAD是正三角形，AD＝2，且側(cè)面PAD⊥底面ABCD，E為側(cè)棱PD的中點(diǎn)．(1)求證：PB∥平面EAC；(2)求三棱錐A-PDC的體積．
(1)證明：連接BD交AC于O，連接EO，因?yàn)镺、E分別為BD、PD的中點(diǎn)，所以EO∥PB，因?yàn)镋O?平面EAC，PB?平面EAC，所以PB∥平面EAC.

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