第27講　空間直線、平面的垂直1．直線與直線垂直(1)已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O分別作直線a′∥a，b′∥b，我們把直線a′與b′所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．(2)如果兩條異面直線所成的角是直角，那么我們就說(shuō)這兩條異面直線互相垂直．記作a⊥b.(3)當(dāng)兩條直線a，b相互平行時(shí)，我們規(guī)定它們所成的角為0°.所以空間兩條直線所成角α的取值范圍是0°≤α≤90°.
2．直線與平面垂直(1)直線與平面的定義和所成的角．①平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角．②當(dāng)直線與平面垂直和平行(或直線在平面內(nèi))時(shí)，規(guī)定直線和平面所成的角分別為90°和0°.(2)判定與性質(zhì)．
3.平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的定義．兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直．(2)判定定理和性質(zhì)定理．
1．直線與平面垂直的判定和性質(zhì) 如圖，四棱錐P-ABCD，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥AB.AB∥CD，∠DAB＝90°，PA＝AD，DC＝2AB，E為PC中點(diǎn)．求證：(1)PA⊥BC；(2)BE⊥平面PDC.
證明：(1)因?yàn)槠矫鍼AB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，PA⊥AB.所以PA⊥平面ABCD，因?yàn)锽C?平面ABCD，所以PA⊥BC.(2)取PD中點(diǎn)F，連接EF、AF，在△PCD中，E，F(xiàn)分別為PC，PD的中點(diǎn)，
所以四邊形ABEF是平行四邊形，所以BE∥AF，因?yàn)锳P＝AD，F(xiàn)為PD的中點(diǎn)，所以AF⊥PD，所以BE⊥PD，因?yàn)镻A⊥平面ABCD，DC?平面ABCD，所以PA⊥DC，因?yàn)锳B∥CD，∠DAB＝90°，所以AD⊥DC，因?yàn)镈C⊥AD，DC⊥PA，AD∩PA＝A，所以DC⊥平面PAD，
因?yàn)锳F?平面PAD，所以DC⊥AF，因?yàn)锽E∥AF，所以DC⊥BE，因?yàn)锽E⊥DC，BE⊥PD，DC∩PD＝D，所以BE⊥平面PDC.
剖析：(1)證明直線和平面垂直的常用方法：①利用判定定理；②利用垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；③利用面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β)；④利用面面垂直的性質(zhì)．(2)證明線面垂直的核心是證明線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì)．因此，判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思想．(3)線面垂直的性質(zhì)，常用來(lái)證明線線垂直．
2．平面與平面垂直的判定與性質(zhì) 如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，點(diǎn)E、F分別是棱PC和PD的中點(diǎn)．(1)求證：EF∥平面PAB；(2)若AP＝AD，平面PAD⊥平面ABCD，求證：平面PAD⊥平面PCD.
證明：(1)因?yàn)榈酌鍭BCD是矩形，所以AB∥CD，因?yàn)辄c(diǎn)E、F分別是棱PC和PD的中點(diǎn)，所以EF∥CD，所以AB∥EF，又AB?平面PAB，EF?平面PAB，所以EF∥平面PAB.(2)因?yàn)锳P＝AD，且F為PD的中點(diǎn)，所以AF⊥PD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥AF，
因?yàn)镻D∩CD＝D，PD、CD?平面PCD，所以AF⊥平面PCD，因?yàn)锳F?平面PAD，所以平面PAD⊥平面PCD.
剖析：(1)證明平面和平面垂直的方法：①利用面面垂直的定義；②利用面面垂直的判定定理．(2)已知兩平面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直．
1．(2023·廣東模擬)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，下列判斷正確的是(　　)A．A1D⊥CC1　　　　B．BD1⊥ADC．A1D⊥AC D．AC⊥BD1D　對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)镃C1∥DD1，而∠A1DD1＝45°，則CC1與A1D所成的角為45°，故A1D與CC1不垂直，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B選項(xiàng)，連接A1B，因?yàn)锳1D1⊥平面AA1B1B，A1B?平面AA1B1B，所以A1D1⊥A1B，所以，∠A1D1B為銳角，因?yàn)锳D∥A1D1，故AD與BD1所成角不是直角，B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，連接A1C1、C1D，因?yàn)锳A1∥CC1且AA1＝CC1，故四邊形AA1C1C為平行四邊形，故A1D、AC所成角為∠C1A1D或其補(bǔ)角，
因?yàn)锽D?DD1＝D，BD、DD1?平面BDD1，所以AC⊥平面BDD1，因?yàn)锽D1?平面BDD1，所以AC⊥BD1，D正確．故選D.
2．若l，m為兩條不同的直線，α為平面，且l⊥α，則“m∥α”是“m⊥l”的(　　)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件A　由l⊥α且m∥α能推出m⊥l，充分性成立；若l⊥α且m⊥l，則m∥α或者m?α，必要性不成立，因此“m∥α”是“m⊥l”的充分不必要條件．故選A.
3．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)O，M，N分別是線段BD，DD1，D1C1的中點(diǎn)，則直線OM與AC，MN的位置關(guān)系是(　　)A．與AC，MN均垂直B．與AC垂直，與MN不垂直C．與AC不垂直，與MN垂直D．與AC，MN均不垂直
4．(2023·廣東模擬)如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，下列直線與B1D1垂直的是(　　)A．BC1 B．A1DC．AC D．BC
C　由平行關(guān)系可確定B1D1的垂線即為BD的垂線，由此可確定結(jié)果．因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以AC⊥BD，因?yàn)锽1D1∥BD，所以AC⊥B1D1.故選C.
5．(2023·廣東模擬)已知互相垂直的平面α，β交于直線l.若直線m，n滿足m∥α，n⊥β，則(　　)A．m∥l B．m∥nC．n⊥l D．m⊥nC　由題意知α∩β＝l，所以l?β，因?yàn)閚⊥β，所以n⊥l.故選C.
6．如圖，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)為________．?解析：因?yàn)镻A⊥平面ABC，AB，AC，BC?平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，則△PAB，△PAC為直角三角形．由BC⊥AC，且AC∩PA＝A，得BC⊥平面PAC，從而BC⊥PC，因此△ABC，△PBC也是直角三角形．答案：4
7．(2023·廣東模擬)如圖，在底面是矩形的四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，E，F(xiàn)分別是PC，PD的中點(diǎn)．(1)若PA＝AB＝1，BC＝2，求四棱錐P-ABCD的體積；(2)求證：EF⊥平面PAD.
(2)證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，所以CD⊥AD，因?yàn)镻A⊥底面ABCD，CD?面ABCD，所以PA⊥CD，又AD∩PA＝A，所以CD⊥面PAD，又E，F(xiàn)分別是PC，PD的中點(diǎn)，所以EF∥CD，所以EF⊥平面PAD.
8．(2023·廣東模擬)如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為平行四邊形，AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E為PC的中點(diǎn)，OP＝OC，PA⊥PD.求證：(1)直線PA∥平面BDE；(2)平面BDE⊥平面PCD.證明：(1)如圖，連接OE，因?yàn)镺為平行四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，所以O(shè)為AC的中點(diǎn)．

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