第25講　空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系1．四個(gè)公理公理1：如果一條直線的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)．
公理1的作用：①判定直線是否在平面內(nèi)；②判定點(diǎn)是否在平面內(nèi)；③檢驗(yàn)面是否是平面．
公理2：如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有其他公共點(diǎn)，且所有這些公共點(diǎn)的集合是一條過這個(gè)公共點(diǎn)的直線．
公理2的作用：①判斷兩個(gè)平面是否相交及交線位置；②判斷點(diǎn)是否在線上．今后所說的兩個(gè)平面(或兩條直線)，如無特殊說明，均指不同的平面(直線)．
3．直線與平面的位置關(guān)系有平行、相交、在平面內(nèi)三種情況．4．平面與平面的位置關(guān)系有平行、相交兩種情況．
5．等角定理如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．
1．公理的應(yīng)用 (1)在下列命題中，不是公理的是(　　)A．如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在此平面內(nèi)B．經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面C．垂直于同一條直線的兩個(gè)平面相互平行D．如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有其他公共點(diǎn)，這些公共點(diǎn)的集合是經(jīng)過這個(gè)公共點(diǎn)的一條直線(2)下列敘述中錯(cuò)誤的是(　　)A．若點(diǎn)P∈α，P∈β且α∩β＝l，則P∈lB．三點(diǎn)A，B，C能確定一個(gè)平面C．若直線a∩b＝A，則直線a與b能夠確定一個(gè)平面D．若點(diǎn)A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α，則l?α
解析：(1)對(duì)于答案A、B、D分別是公理1、3、2；答案C不是公理．故選C.(2)在A中，若點(diǎn)P∈α，P∈β且α∩β＝l，則由公理2知P∈l，故A正確；在B中，三點(diǎn)A，B，C不共線時(shí)，能確定一個(gè)平面；三點(diǎn)A，B，C共線時(shí)，不能確定一個(gè)平面，故B錯(cuò)誤；在C中，若直線a∩b＝A，則由公理3知直線a與b能夠確定一個(gè)平面，故C正確；在D中，若點(diǎn)A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α，則由公理1知l?α，故D正確．故選B.答案：(1)C　(2)B
剖析：公理1是判斷一條直線是否在某個(gè)平面內(nèi)的依據(jù)；公理2是判斷或證明點(diǎn)、線共面的依據(jù)；公理3是證明三線共點(diǎn)或三點(diǎn)共線的依據(jù)；公理4是判斷空間兩條直線平行的依據(jù)，也叫平行的傳遞性．
2．判斷空間兩直線的位置關(guān)系 (1)已知平面α∥平面β，直線m?α，直線n?β，則直線m，n(　　)A．平行或相交　　　　B．相交或異面C．平行或異面 D．平行、相交或異面(2)如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1的棱所在的直線中，與直線BC1異面的直線的條數(shù)為__________．
解析：(1)平面α∥平面β，直線m?α，直線n?β，則直線m，n沒有公共點(diǎn)，所以兩條直線平行或異面．故選C.(2)根據(jù)題圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1的9條棱所在直線中，與直線BC1異面的直線的有：A1B1，AA1，AC，共3條．故答案為3.答案：(1)C　(2)3剖析：空間中兩直線位置關(guān)系的判定，主要是異面、平行和垂直的判定．對(duì)于異面直線，可采用直接法或反證法；對(duì)于平行直線，可利用三角形(梯形)中位線的性質(zhì)、基本事實(shí)4及線面平行與面面平行的性質(zhì)定理；對(duì)于垂直關(guān)系，往往利用線面垂直的性質(zhì)來解決．
3．直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系 (1)已知直線m，n，平面α，β，若α∥β，m?α，n?β，則直線m與n的關(guān)系是(　　)A．平行 B．異面C．相交 D．平行或異面(2)給出下列說法：①若直線a在平面α外，則a∥α；②若直線a∥b，b?平面α，則a∥α；③若直線a∥平面α，則直線a平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線；④若直線a平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線，則a∥α.其中說法正確的個(gè)數(shù)為(　　)A．0 B．1C．2 D．3
解析：(1)如圖，長方體的下底面所在平面為α，上底面所在平面為β，則α∥β，AB所在直線為m，當(dāng)CD所在直線為n時(shí)，m∥n，當(dāng)CE所在直線為n時(shí)，m與n異面．由兩平面平行的定義可知，α與β無公共點(diǎn)，而m?α，n?β，則m與n無公共點(diǎn)，m與n不相交．故選D.
(2)對(duì)于①，若直線a在平面α外，則a∥α或a與α相交，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，若直線a∥b，b?平面α，則a∥α或a?α，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，若直線a∥平面α，則由線面平行的性質(zhì)得直線a平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線，故③正確；對(duì)于④，若直線a平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線，則a∥α或a?α，故④錯(cuò)誤．故選B.答案：(1)D　(2)B
剖析：用定義法判斷直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系，要注意充分考慮定義，例如直線與平面相交——直線與平面只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線與平面平行——直線與平面沒有公共點(diǎn)，平面與平面平行——兩平面沒有公共點(diǎn)，這樣也就得到了相應(yīng)的一些性質(zhì)．
1．已知不重合的直線l，m，n和不重合的平面α，β，下列說法中正確的是(　　)A．若m?α，n?β，m⊥n，則α⊥βB．若m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α∥βC．若α⊥β，l⊥β，則l∥αD．若α∩β＝l，m?α，n?β，m∥n，則m∥l
D　對(duì)于A：當(dāng)α∩β＝m，m?α，n?β，m⊥n，但α與β相交但不垂直，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：當(dāng)m∥n∥l，α∩β＝l，m?α，n?α?xí)r，都滿足m∥β，n∥β，
由圖形得此時(shí)α與β相交，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)棣痢挺?，l⊥β，所以l?α或l∥α，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)閙?β，n?β，m∥n，所以m∥β，又m?α，α∩β＝l，所以m∥l，故D正確，故選D.
2．(2023·廣東模擬)已知空間三條直線l，m，n，若l與m垂直，l與n垂直，則(　　)A．m與n異面B．m與n相交C．m與n平行D．m與n平行、相交、異面均有可能D　因?yàn)閙⊥l，n⊥l，所以m與n既可以相交，也可以異面，還可以平行．故選D.
3．如圖，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C?l，直線AB∩l＝M，過A，B，C三點(diǎn)的平面記作γ，則γ與β的交線必通過(　　)A．點(diǎn)A B．點(diǎn)BC．點(diǎn)C但不過點(diǎn)M D．點(diǎn)C和點(diǎn)MD　因?yàn)锳B?γ，M∈AB，所以M∈γ.又α∩β＝l，M∈l，所以M∈β.根據(jù)公理3可知，M在γ與β的交線上．同理可知，點(diǎn)C也在γ與β的交線上．故選D.
4．(2023·廣東模擬)已知直線l⊥平面α，有以下幾個(gè)判斷：①若m⊥l，則m∥α；②若m⊥α，則m∥l；③若m∥α，則m⊥l；④若m∥l，則m⊥α；上述判斷中正確的是(　　)A．①②③ B．②③④C．①③④ D．①②④B　對(duì)于①，當(dāng)m?平面α也可以有m⊥l但m不平行于平面α，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知，②正確；對(duì)于③，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可得存在n?α且m∥n而直線l⊥平面α，故可得出l⊥n，故l⊥m正確；
對(duì)于④，根據(jù)直線l⊥平面α可在平面α內(nèi)找到兩條相交直線p，n且l⊥p，l⊥n又m∥l，所以m⊥p，m⊥n，故根據(jù)線面垂直的判定定理可知，m⊥α正確．即②③④正確，故選B.
5．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在A1D，AC上，且A1E＝2ED，CF＝2FA，則EF與BD1的位置關(guān)系是(　　)A．相交但不垂直 B．相交且垂直C．異面 D．平行
6．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點(diǎn)，有以下四個(gè)結(jié)論：①直線AM與CC1是相交直線；②直線AM與BN是平行直線；③直線BN與MB1是異面直線；④直線AM與DD1是異面直線．其中正確的結(jié)論為________(填序號(hào))．
解析：直線AM與CC1是異面直線，直線AM與BN也是異面直線，故①②錯(cuò)誤．答案：③④
7．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為DB的中點(diǎn)，直線A1C交平面C1BD于點(diǎn)M，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的序號(hào)是____．①C1，M，O三點(diǎn)共線；②C1，M，O，C四點(diǎn)共面；③C1，M，O，A四點(diǎn)共面；④D1，D，O，M四點(diǎn)共面．
解析：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為DB的中點(diǎn)，直線A1C交平面C1BD于點(diǎn)M，在①中，因?yàn)橹本€A1C交平面C1BD于點(diǎn)M，所以M∈平面C1BD，M∈直線A1C，又A1C?平面ACC1A1，所以M∈平面ACC1A1，因?yàn)镺為DB的中點(diǎn)，BD?平面C1BD，且BD?平面ACC1A1，所以O(shè)∈平面C1BD，且O∈平面ACC1A1，又C1∈平面C1BD，且C1∈平面ACC1A1，所以C1，M，O三點(diǎn)共線，故①正確；在②中，因?yàn)镃1，M，O三點(diǎn)共線，所以C1，M，O，C四點(diǎn)共面，故②正確；
在③中，因?yàn)镃1，M，O三點(diǎn)共線，所以C1，M，O，A四點(diǎn)共面，故③正確；在④中，因?yàn)橹本€OM∩CC1＝C1，DD1∥CC1，所以D1，D，O，M四點(diǎn)不共面，故④錯(cuò)誤．故答案為④.答案：④

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