§7.4　空間直線、平面的平行
1.理解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關系，并加以證明.2.掌握直線與平面、平面與平面平行的判定與性質，并會簡單應用.
LUOSHIZHUGANZHISHI
1.線面平行的判定定理和性質定理
_____________
__________________
a∥αa?βα∩β＝b
2.面面平行的判定定理和性質定理
____________________________
a?βb?βa∩b＝Pa∥αb∥α
_____________________
α∥βα∩γ＝aβ∩γ＝b
(1)垂直于同一條直線的兩個平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α∥β.(2)平行于同一個平面的兩個平面平行，即若α∥β，β∥γ，則α∥γ.(3)垂直于同一個平面的兩條直線平行，即a⊥α，b⊥α，則a∥b.(4)若α∥β，a?α，則a∥β.
判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)若一條直線平行于一個平面內的一條直線，則這條直線平行于這個平面.(　　)(2)若直線a∥平面α，P∈α，則過點P且平行于直線a的直線有無數(shù)條.(　　)(3)若直線a?平面α，直線b?平面β，a∥b，則α∥β.(　　)(4)如果兩個平面平行，那么分別在這兩個平面內的兩條直線平行或異面.(　　)
1.下列說法中，與“直線a∥平面α”等價的是A.直線a上有無數(shù)個點不在平面α內B.直線a與平面α內的所有直線平行C.直線a與平面α內無數(shù)條直線不相交D.直線a與平面α內的任意一條直線都不相交
因為a∥平面α，所以直線a與平面α無交點，因此a和平面α內的任意一條直線都不相交.
2.已知不重合的直線a，b和平面α，則下列選項正確的是A.若a∥α，b?α，則a∥bB.若a∥α，b∥α，則a∥bC.若a∥b，b?α，則a∥αD.若a∥b，a?α，則b∥α或b?α
若a∥α，b?α，則a∥b或異面，A錯；若a∥α，b∥α，則a∥b或異面或相交，B錯；若a∥b，b?α，則a∥α或a?α，C錯；若a∥b，a?α，則b∥α或b?α，D對.
3.如圖是長方體被一平面所截得的幾何體，四邊形EFGH為截面，則四邊形EFGH的形狀為___________.
∵平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，∴EF∥HG.同理EH∥FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形.
TANJIUHEXINTIXING
例1　如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，E，F(xiàn)分別是BC，PD的中點，求證：(1)PB∥平面ACF；
直線與平面平行的判定與性質
命題點1　直線與平面平行的判定
如圖，連接BD交AC于O，連接OF，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴O是BD的中點，又∵F是PD的中點，∴OF∥PB，又∵OF?平面ACF，PB?平面ACF，∴PB∥平面ACF.
(2)EF∥平面PAB.
取PA的中點G，連接GF，BG.∵F是PD的中點，∴GF是△PAD的中位線，
∵底面ABCD是平行四邊形，E是BC的中點，
∴四邊形BEFG是平行四邊形，∴EF∥BG，
又∵EF?平面PAB，BG?平面PAB，∴EF∥平面PAB.
例2　如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD是平行四邊形，M是PC的中點，在DM上取一點G，過G和PA作平面交BD于點H.求證：PA∥GH.
命題點2　直線與平面平行的性質
如圖所示，連接AC交BD于點O，連接OM，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴O是AC的中點，又M是PC的中點，∴PA∥OM，又OM?平面BMD，PA?平面BMD，∴PA∥平面BMD，又平面PAHG∩平面BMD＝GH，∴PA∥GH.
如圖，四邊形ABCD是矩形，P?平面ABCD，過BC作平面BCFE交AP于點E，交DP于點F，求證：四邊形BCFE是梯形.
∵四邊形ABCD為矩形，∴BC∥AD.∵AD?平面PAD，BC?平面PAD，∴BC∥平面PAD.∵平面BCFE∩平面PAD＝EF，BC?平面BCFE，∴BC∥EF.∵AD＝BC，AD≠EF，∴BC≠EF，∴四邊形BCFE是梯形.
(1)判斷或證明線面平行的常用方法①利用線面平行的定義(無公共點).②利用線面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α).③利用面面平行的性質(α∥β，a?α?a∥β).④利用面面平行的性質(α∥β，a?β，a∥α?a∥β).(2)應用線面平行的性質定理的關鍵是確定交線的位置，有時需要經(jīng)過已知直線作輔助平面確定交線.
跟蹤訓練1　如圖所示，已知四邊形ABCD是正方形，四邊形ACEF是矩形，M是線段EF的中點.?(1)求證：AM∥平面BDE；
如圖，記AC與BD的交點為O，連接OE.因為O，M分別為AC，EF的中點，四邊形ACEF是矩形，所以四邊形AOEM是平行四邊形，所以AM∥OE.又因為OE?平面BDE，AM?平面BDE，所以AM∥平面BDE.
(2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，試分析l與m的位置關系，并證明你的結論.
l∥m，證明如下：由(1)知AM∥平面BDE，又AM?平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l，所以l∥AM，同理，AM∥平面BDE，又AM?平面ABM，平面ABM∩平面BDE＝m，所以m∥AM，所以l∥m.
例3　如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，過BC的平面與上底面A1B1C1交于GH(GH與B1C1不重合).(1)求證：BC∥GH；
平面與平面平行的判定與性質
∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，∴平面ABC∥平面A1B1C1，又∵平面BCHG∩平面ABC＝BC，且平面BCHG∩平面A1B1C1＝HG，∴由面面平行的性質定理得BC∥GH.
(2)若E，F(xiàn)，G分別是AB，AC，A1B1的中點，求證：平面EFA1∥平面BCHG.
∵E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，∴EF∥BC，∵EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.又G，E分別為A1B1，AB的中點，A1B1綉AB，∴A1G綉EB，∴四邊形A1EBG是平行四邊形，∴A1E∥GB.∵A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF＝E，A1E，EF?平面EFA1，∴平面EFA1∥平面BCHG.
延伸探究　在本例中，若將條件“E，F(xiàn)，G分別是AB，AC，A1B1的中點”變?yōu)椤包cD，D1分別是AC，A1C1上的點，且平面BC1D∥平面AB1D1”，試求 的值.
如圖，連接A1B交AB1于O，連接OD1.由平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，
如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G分別為B1C1，A1B1，AB的中點.?(1)求證：平面A1C1G∥平面BEF；
∵E，F(xiàn)分別為B1C1，A1B1的中點，∴EF∥A1C1，∵A1C1?平面A1C1G，EF?平面A1C1G，∴EF∥平面A1C1G，又F，G分別為A1B1，AB的中點，∴A1F＝BG，又A1F∥BG，∴四邊形A1GBF為平行四邊形，
則BF∥A1G，∵A1G?平面A1C1G，BF?平面A1C1G，∴BF∥平面A1C1G，又EF∩BF＝F，EF，BF?平面BEF，∴平面A1C1G∥平面BEF.
(2)若平面A1C1G∩BC＝H，求證：H為BC的中點.
∵平面ABC∥平面A1B1C1，平面A1C1G∩平面A1B1C1＝A1C1，平面A1C1G與平面ABC有公共點G，則有經(jīng)過G的直線，設交BC于點H，如圖，則A1C1∥GH，得GH∥AC，∵G為AB的中點，∴H為BC的中點.
證明面面平行的常用方法(1)利用面面平行的判定定理.(2)利用垂直于同一條直線的兩個平面平行(l⊥α，l⊥β?α∥β).(3)利用面面平行的傳遞性，即兩個平面同時平行于第三個平面，則這兩個平面平行(α∥β，β∥γ?α∥γ).
跟蹤訓練2　如圖，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形.?(1)證明：平面A1BD∥平面CD1B1；
由題設知BB1綉DD1，所以四邊形BB1D1D是平行四邊形，所以BD∥B1D1.又BD?平面CD1B1，B1D1?平面CD1B1，所以BD∥平面CD1B1.因為A1D1綉B(tài)1C1綉B(tài)C，所以四邊形A1BCD1是平行四邊形，所以A1B∥D1C.又A1B?平面CD1B1，D1C?平面CD1B1，所以A1B∥平面CD1B1.
又因為BD∩A1B＝B，BD，A1B?平面A1BD，所以平面A1BD∥平面CD1B1.
(2)若平面ABCD∩平面CD1B1＝直線l，證明：B1D1∥l.
由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1，又平面ABCD∩平面CD1B1＝直線l，平面ABCD∩平面A1BD＝直線BD，所以直線l∥直線BD，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，四邊形BDD1B1為平行四邊形，所以B1D1∥BD，所以B1D1∥l.
例4　如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分別為對角線BD，CD1上的點，且(1)求證：PQ∥平面A1D1DA；
連接CP并延長，與DA的延長線交于M點，如圖，連接MD1，因為四邊形ABCD為正方形，所以BC∥AD，故△PBC∽△PDM，
又MD1?平面A1D1DA，PQ?平面A1D1DA，故PQ∥平面A1D1DA.
又DA?平面A1D1DA，PR?平面A1D1DA，所以PR∥平面A1D1DA，又PQ∥平面A1D1DA，PQ∩PR＝P，PQ，PR?平面PQR，所以平面PQR∥平面A1D1DA.
如圖，四邊形ABCD與ADEF均為平行四邊形，M，N，G分別是AB，AD，EF的中點.求證：(1)BE∥平面DMF；
如圖，連接AE，則AE必過DF與GN的交點O，連接MO，則MO為△ABE的中位線，所以BE∥MO.又BE?平面DMF，MO?平面DMF，所以BE∥平面DMF.
(2)平面BDE∥平面MNG.
因為N，G分別為平行四邊形ADEF的邊AD，EF的中點，所以DE∥GN，又DE?平面MNG，GN?平面MNG，所以DE∥平面MNG.又M為AB的中點，所以MN為△ABD的中位線，所以BD∥MN，又MN?平面MNG，BD?平面MNG，所以BD∥平面MNG，又DE，BD?平面BDE，DE∩BD＝D，所以平面BDE∥平面MNG.
證明平行關系的常用方法熟練掌握線線、線面、面面平行關系間的相互轉化是解決線線、線面、面面平行的綜合問題的關鍵.面面平行判定定理的推論也是證明面面平行的一種常用方法.
跟蹤訓練3　如圖所示，四邊形EFGH為空間四邊形ABCD的一個截面，若截面為平行四邊形.(1)求證：AB∥平面EFGH；
∵四邊形EFGH為平行四邊形，∴EF∥HG.∵HG?平面ABD，EF?平面ABD，∴EF∥平面ABD.又∵EF?平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，∴EF∥AB，又∵AB?平面EFGH，EF?平面EFGH，∴AB∥平面EFGH.
(2)若AB＝4，CD＝6，求四邊形EFGH周長的取值范圍.
設EF＝x(0

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