1.直線與平面平行的判定與性質(zhì)
a ? α,b?α,且a ∥ b
a∥α,a?β,α∩β=b
2.面面平行的判定與性質(zhì)
a?β,b?β,a∩b=P,a∥α,b∥α
α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b
1.平面與平面平行的三個性質(zhì)(1)兩個平面平行,其中一個平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個平面.(2)夾在兩個平行平面間的平行線段長度相等.(3)兩條直線被三個平行平面所截,截得的對應(yīng)線段成比例.2.判斷兩個平面平行的三個結(jié)論(1)垂直于同一條直線的兩個平面平行.(2)平行于同一平面的兩個平面平行.(3)如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條直線,那么這兩個平面平行.
1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)若一條直線平行于一個平面內(nèi)的一條直線,則這條直線平行于這個平面.(　　)(2)若一條直線平行于一個平面,則這條直線平行于這個平面內(nèi)的任一條直線.(　　)(3)若直線a與平面α內(nèi)無數(shù)條直線平行,則a∥α.(　　)(4)如果一個平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個平面,那么這兩個平面平行.(　　)(5)如果兩個平面平行,那么分別在這兩個平面內(nèi)的兩條直線平行或異面.(　　)
2.(2020廣東湛江高三一模)已知直線a,b,平面α,β,a?α,b?α,則a∥β,b∥β是α∥β的(　　)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件
答案 B　解析 因為直線a,b,平面α,β,a?α,b?α,由a∥β,b∥β,得α,β平行或相交;由α∥β,得a∥β,b∥β,所以a∥β,b∥β是α∥β的必要不充分條件.故選B.
3.(2020安徽宣城高三模考)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分別為棱AA1,BB1的中點,過MN作一平面分別交底面三角形ABC的邊BC,AC于點E,F,則下列說法正確的是(　　)A.MF∥NEB.四邊形MNEF為梯形C.四邊形MNEF為平行四邊形D.A1B1∥NE
答案 B　解析 ∵在?AA1B1B中,AM=MA1,BN=NB1,∴AM=BN,又AM∥BN,∴四邊形ABNM是平行四邊形,∴MN∥AB.又MN?平面ABC,AB?平面ABC,∴MN∥平面ABC.又MN?平面MNEF,平面MNEF∩平面ABC=EF,∴MN∥EF,∴EF∥AB.在△ABC中,EF≠AB,∴EF≠MN,∴四邊形MNEF為梯形.故選B.
4.(多選)下列命題中正確的是(　　)A.平面α∥平面β,一條直線a平行于平面α,則a一定平行于平面βB.平面α∥平面β,則α內(nèi)的任意一條直線都平行于平面βC.一個三角形有兩條邊所在的直線分別平行于一個平面,那么該三角形所在的平面與這個平面平行D.分別在兩個平行平面內(nèi)的兩條直線只能是平行直線或異面直線
答案 BCD　解析 平面α∥平面β,一條直線a平行于平面α,則a可能在平面β內(nèi),故A錯誤;平面α∥平面β,則α內(nèi)的任意一條直線都平行于平面β,故B正確;一個三角形有兩條邊所在的直線平行于一個平面,由面面平行的判定定理知,三角形所在的平面與這個平面平行,故C正確;分別在兩個平行平面內(nèi)的兩條直線只能是平行直線或異面直線,故D正確.故選BCD.
5.(2020江蘇如皋中學月考)已知平面α∥平面β,點P是平面α,β外一點(如圖所示),且直線PB,PD分別與α,β相交于點A,B,C,D,若PA=4,PB=5,PC=3,則PD=　　　.?
【例1】 (一題多解)如圖,在四棱錐E-ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,CD=2AB=2CE=4,點F為棱DE的中點.證明:AF∥平面BCE.
考向1　直線與平面平行的判定與證明
證明 (方法1)如圖,取CE的中點M,連接FM,BM.因為點F為棱DE的中點,所以FM∥CD,且FM= CD=2,因為AB∥CD,且AB=2,所以FM∥AB,且FM=AB,所以四邊形ABMF為平行四邊形,所以AF∥BM.因為AF?平面BCE,BM?平面BCE,所以AF∥平面BCE.
(方法2)如圖,在平面ABCD內(nèi),分別延長CB,DA,交于點N,連接EN.因為AB∥CD,CD=2AB,所以A為DN的中點.又F為DE的中點,所以AF∥EN.因為EN?平面BCE,AF?平面BCE,所以AF∥平面BCE.
(方法3)如圖,取棱CD的中點G,連接AG,GF,因為點F為棱DE的中點,所以FG∥CE.因為FG?平面BCE,CE?平面BCE,所以FG∥平面BCE.因為AB∥CD,AB=CG=2,所以四邊形ABCG是平行四邊形,所以AG∥BC,因為AG?平面BCE,BC?平面BCE,所以AG∥平面BCE.又FG∩AG=G,FG?平面AFG,AG?平面AFG,所以平面AFG∥平面BCE.因為AF?平面AFG,所以AF∥平面BCE.
解題心得 1.判斷或證明線面平行的常用方法有:(1)利用線面平行的定義(無公共點);(2)利用線面平行的判定定理(a?α,b?α,a∥b?a∥α);(3)利用面面平行的性質(zhì)(α∥β,a?α?a∥β).2.證明線面平行往往先證明線線平行,證明線線平行的途徑有:利用幾何體的特征,合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì),或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.
考向2　直線與平面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用【例2】 如圖,五面體ABCDE中,四邊形ABDE是矩形,△ABC是正三角形,AB=1,AE=2,F是線段BC上一點,直線BC與平面ABD所成角為30°,CE∥平面ADF.(1)試確定F的位置;(2)求三棱錐A-CDF的體積.?
解 (1)連接BE交AD于點O,連接OF,因為CE∥平面ADF,CE?平面BEC,平面ADF∩平面BEC=OF,所以CE∥OF.因為O是BE的中點,所以F是BC的中點.
解題心得在應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理進行平行轉(zhuǎn)化時,一定注意定理成立的條件,通常應(yīng)嚴格按照定理成立的條件規(guī)范書寫步驟,如:把線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行時,必須說清經(jīng)過已知直線的平面和已知平面相交,這時才有直線與交線平行.
對點訓練1(1)如圖,四棱錐P-ABCD中,AD∥BC,AB=BC= AD,E,F,H分別是線段AD,PC,CD的中點,AC與BE交于O點,G是線段OF上一點.求證:①AP∥平面BEF;②GH∥平面PAD.
(2)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是菱形且∠ABC=120°,點E是棱PC的中點,平面ABE與棱PD交于點F.求證:EF∥CD;
(1)證明 ①連接EC,∵AD∥BC,BC= AD,E是AD的中點,∴BC?AE,∴四邊形ABCE是平行四邊形,∴O為AC的中點.又F是PC的中點,∴FO∥AP.∵FO?平面BEF,AP?平面BEF,∴AP∥平面BEF.
②連接FH,OH,∵F,H分別是PC,CD的中點,∴FH∥PD.∵PD?平面PAD,FH?平面PAD,∴FH∥平面PAD.又O是AC的中點,H是CD的中點,∴OH∥AD.又AD?平面PAD,OH?平面PAD,∴OH∥平面PAD.又FH∩OH=H,∴平面OHF∥平面PAD.又∵GH?平面OHF,∴GH∥平面PAD.
(2)證明 ∵底面ABCD是菱形,∴AB∥CD,又∵AB?平面PCD,CD?平面PCD,∴AB∥平面PCD.又∵A,B,E,F四點共面,且平面ABEF∩平面PCD=EF,∴AB∥EF,即可得EF∥CD.
考向1　面面平行的判定與證明【例3】 已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AD∥BC,AD=2BC,E,F分別為CC1,DD1的中點.求證:平面BEF∥平面AD1C1.
證明 取AD的中點G,連接BG,FG.因為E,F分別為CC1,DD1的中點,所以C1D1 ? CD ? EF,因為C1D1?平面AD1C1,EF?平面AD1C1,所以EF∥平面AD1C1.因為AD∥BC,AD=2BC,所以GD ? BC,即四邊形BCDG是平行四邊形,所以BG ? CD,所以BG ? EF,
即四邊形EFGB是平行四邊形,所以BE∥FG.因為F,G分別是DD1,AD的中點,所以FG∥AD1,即BE∥AD1.因為AD1?平面AD1C1,BE?平面AD1C1,所以BE∥平面AD1C1.又BE?平面BEF,FE?平面BEF,BE∩EF=E,所以平面BEF∥平面AD1C1.
解題心得證明面面平行的常用方法1.利用面面平行的定義或判定定理.2.利用垂直于同一條直線的兩個平面平行(l⊥α,l⊥β?α∥β).3.利用平面平行的傳遞性,即兩個平面同時平行于第三個平面,則這兩個平面平行(α∥β,β∥γ?α∥γ).
對點訓練2(2020河北邯鄲二模)如圖,在四棱錐P-ABCD中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面ABCD,PA=2,AB=1.設(shè)M,N分別為PD,AD的中點.(1)求證:平面CMN∥平面PAB;(2)求三棱錐P-ABM的體積.
(1)證明 ∵M,N分別為PD,AD的中點,∴MN∥PA.又MN?平面PAB,PA?平面PAB,∴MN∥平面PAB.在Rt△ACD中,∠CAD=60°,CN=AN,∴∠ACN=60°.又∠BAC=60°,∴CN∥AB.∵CN?平面PAB,AB?平面PAB,∴CN∥平面PAB.又CN∩MN=N,∴平面CMN∥平面PAB.
(2)解 由(1)知,平面CMN∥平面PAB,∴點M到平面PAB的距離等于點C到平面PAB的距離.由已知,B=1,∠ABC=90°,∠BAC=60°,
考向2　面面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用【例4】 在正方體ABCD-A1B1C1D1中,試畫出平面A1BC1與底面ABCD的交線l,并說明理由.
解 在平面ABCD內(nèi),過點B作直線與AC平行,該直線即為所求的直線l(如圖).理由:因為平面ABCD∥平面A1B1C1D1,平面A1BC1∩平面A1B1C1D1=A1C1,平面A1BC1∩平面ABCD=l,所以A1C1∥l.又AC∥A1C1,故l∥AC.
解題心得證明線線平行的方法(1)定義法:在同一個平面內(nèi)沒有公共點的兩條直線平行.(2)平行公理:平行于同一條直線的兩條直線平行.(5)反證法:假設(shè)兩條直線不平行,然后推出矛盾,進而證明兩條直線應(yīng)當是平行的.
對點訓練3如圖,在以A,B,C,D,E,F為頂點的多面體中,AF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,AD∥BC,BC=2AD.請在圖中作出平面α,使得DE?α,且BF∥α,并說明理由.
解 如圖,取BC的中點P,連接PD,PE,則平面PDE即為所求的平面α.下面證明BF∥α.因為BC=2AD,AD∥BC,所以AD∥BP,且AD=BP,所以四邊形ABPD為平行四邊形,所以AB∥DP.又AB?平面PDE,PD?平面PDE,所以AB∥平面PDE.因為AF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,所以AF∥DE.又AF?平面PDE,DE?平面PDE,所以AF∥平面PDE.又AF?平面ABF,AB?平面ABF,AB∩AF=A,所以平面ABF∥平面PDE.又BF?平面ABF,所以BF∥平面PDE,即BF∥α.
【例5】 如圖,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中,點D,D1分別為AC,A1C1上的點.
答案 (1)1　(2)1　解析 (1)如圖,連接A1B交AB1于點O,連接OD1,因為BC1∥平面AB1D1,平面AB1D1∩平面A1BC1=OD1,所以BC1∥OD1,由棱柱的性質(zhì),知四邊形A1ABB1為平行四邊形,所以點O為A1B的中點,所以D1為A1C1的中點.
(2)由已知,平面BC1D∥平面AB1D1,且平面A1BC1∩平面BDC1=BC1,平面A1BC1∩平面AB1D1=D1O.所以BC1∥D1O,同理AD1∥DC1.
解題心得利用線面平行或面面平行的性質(zhì),可以實現(xiàn)與線線平行的轉(zhuǎn)化,尤其在截面圖的畫法中,常用來確定交線的位置.對于線段長或線段比例問題,常用平行線對應(yīng)線段成比例或相似三角形來解決.
對點訓練4(1)(2020江西吉安一模)如圖,在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是A1D1,A1B1的中點,過直線BD的平面α∥平面AMN,則平面α截該正方體所得截面的面積為(　　)
(2)如圖所示,側(cè)棱與底面垂直,且底面為正方形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2,AB=1,M,N分別在線段AD1,BC上移動,始終保持MN∥平面DCC1D1,設(shè)BN=x,MN=y,則函數(shù)y=f(x)的圖象大致是(　　)
答案 (1)B　(2)C　解析 (1)如圖,取B1C1的中點E,C1D1的中點F,連接EF,BE,DF,B1D1,則EF∥B1D1,B1D1∥BD,所以EF∥BD,故EF,BD在同一平面內(nèi),連接ME,因為M,E分別為A1D1,B1C1的中點,所以ME∥AB,且ME=AB,所以四邊形ABEM是平行四邊形,所以AM∥BE.又因為BE?平面BDFE,AM?平面BDFE,所以AM∥平面BDFE,同理AN∥平面BDFE,因為AM∩AN=A,所以平面AMN∥平面BDFE.因為正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長是1,
(2)過M作MQ∥DD1,交AD于點Q,連接QN.∵MN∥平面DCC1D1,MQ∥平面DCC1D1,MN∩MQ=M,∴平面MNQ∥平面DCC1D1.又平面ABCD與平面MNQ和平面DCC1D1分別交于QN和DC,∴NQ∥DC,可得QN=CD=AB=1,AQ=BN=x.在Rt△MQN中,MN2=MQ2+QN2,即y2=4x2+1,∴y2-4x2=1(0≤x0,∴函數(shù)y=f(x)的圖象為焦點在y軸上的雙曲線上支的一部分.故選C.
【例6】 (2020河南南陽高三二模)在直角梯形ABCD中(如圖1),AB∥DC,∠BAD=90°,AB=5,AD=2,CD=3,點E在CD上,且DE=2,將△ADE沿AE折起,使得平面ADE⊥平面ABCE(如圖2),G為AE的中點.
(1)求四棱錐D-ABCE的體積;(2)在線段BD上是否存在點P,使得CP∥平面ADE?若存在,求 的值;若不存在,請說明理由.
解 (1)因為G為AE的中點,AD=DE=2,所以DG⊥AE.因為平面ADE⊥平面ABCE,平面ADE∩平面ABCE=AE,DG?平面ADE,所以DG⊥平面ABCE.
(2)在BD上存在點P,使得CP∥平面ADE.過點C作CF∥AE交AB于點F,過點F作FP∥AD交DB于點P,連接PC,如圖所示,因為CF∥AE,AE?平面ADE,CF?平面ADE,所以CF∥平面ADE,同理FP∥平面ADE,又因為CF∩PF=F,所以平面CFP∥平面ADE.因為CP?平面CFP,所以CP∥平面ADE. 所以在BD上存在點P,使得CP∥平面ADE.因為四邊形AECF為平行四邊形.所以AF=CE=1,即BF=4,
解題心得解決存在問題除了從正面探索所研究的對象是否存在,還可以先假設(shè)求解的結(jié)論存在,從這個結(jié)論出發(fā),尋找使這個結(jié)論成立的充分條件,若找到了使結(jié)論成立的充分條件,則存在;若找不到使結(jié)論成立的充分條件(出現(xiàn)矛盾),則不存在.而對于探求點的問題,一般是先探求點的位置,多為線段的中點或某個三等分點,然后給出符合要求的證明.
對點訓練5如圖,在空間幾何體ABCDE中,△BCD與△CDE均為邊長為2的等邊三角形,△ABC為腰長為 的等腰三角形,平面CDE⊥平面BCD,平面ABC⊥平面BCD.試在平面BCD內(nèi)作一條直線,使直線上任意一點F與A的連線AF均與平面CDE平行,并給出詳細證明.
解 如圖所示,取BC和BD的中點H,G,連接HG,則直線HG為所求直線.證明如下.因為H,G分別為BC和BD的中點,所以HG∥CD,所以HG∥平面CDE.取CD的中點O,連接EO,AH,AG,如圖,易知EO⊥CD,AH⊥BC.因為平面CDE⊥平面BCD,且EO⊥CD,所以EO⊥平面BCD,又由平面ABC⊥平面BCD,AH⊥BC,得AH⊥平面BCD,所以EO∥AH,所以AH∥平面CDE,又AH∩HG于點H,所以平面AHG∥平面CDE,所以直線HG上任意一點F與A的連線AF均與平面CDE平行.

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