【二輪復習】高考數學 01 利用基本不等式求最值（重難點練習）（新高考專用）.zip-試卷下載-教習網

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\l "_Tc32730" 【題型1 直接法求最值】 PAGEREF _Tc32730 \h 2
\l "_Tc30383" 【題型2 配湊法求最值】 PAGEREF _Tc30383 \h 2
\l "_Tc3700" 【題型3 常數代換法求最值】 PAGEREF _Tc3700 \h 2
\l "_Tc9158" 【題型4 消元法求最值】 PAGEREF _Tc9158 \h 3
\l "_Tc6562" 【題型5 構造不等式法求最值】 PAGEREF _Tc6562 \h 3
\l "_Tc29573" 【題型6 多次使用基本不等式求最值】 PAGEREF _Tc29573 \h 4
\l "_Tc23715" 【題型7 實際應用中的最值問題】 PAGEREF _Tc23715 \h 4
\l "_Tc359" 【題型8 與其他知識交匯的最值問題】 PAGEREF _Tc359 \h 6
基本不等式是高考熱點問題，是常考常新的內容，是高中數學中一個重要的知識點.題型通常為選擇題或填空題，但它的應用范圍很廣，涉及到函數、三角函數、平面向量、立體幾何、解析幾何、導數等內容，它在高考中常用于大小判斷、求最值、求最值范圍等.在高考中經?？疾爝\用基本不等式求函數或代數式的最值，具有靈活多變、應用廣泛、技巧性強等特點.在復習中切忌生搬硬套，在應用時一定要緊扣“一正二定三相等”這三個條件靈活運用.
【知識點1 利用基本不等式求最值的方法】
1．利用基本不等式求最值的幾種方法
(1)直接法：條件和問題間存在基本不等式的關系，可直接利用基本不等式來求最值．
(2)配湊法：利用配湊法求最值，主要是配湊成“和為常數”或“積為常數”的形式.
(3)常數代換法：主要解決形如“已知x+y=t(t為常數),求的最值”的問題，先將轉化為，再用基本不等式求最值.
(4)消元法：當所求最值的代數式中的變量比較多時，通?？紤]利用已知條件消去部分變量后，湊出“和為常數”或“積為常數”的形式，最后利用基本不等式求最值.
(5)構造不等式法：構建目標式的不等式求最值，在既含有和式又含有積式的等式中，對和式或積式利用基本不等式，構造目標式的不等式求解.
【知識點2 基本不等式的實際應用】
1．基本不等式的實際應用的解題策略
(1)根據實際問題抽象出函數的解析式，再利用基本不等式求得函數的最值.
(2)解應用題時，一定要注意變量的實際意義及其取值范圍.
(3)在應用基本不等式求函數的最值時，若等號取不到，則可利用函數的單調性求解.
【題型1 直接法求最值】
【例1】（2023上·北京·高一?？茧A段練習）已知a>0，則a+1a+1的最小值為（）
A．2B．3C．4D．5
【變式1-1】（2023·北京東城·統(tǒng)考一模）已知x>0，則x-4+4x的最小值為（）
A．－2B．0C．1D．22
【變式1-2】（2023上·山東·高一統(tǒng)考期中）函數y=x2-x+9x（x>0）的最小值為（）
A．1B．3C．5D．9
【變式1-3】（2023下·江西·高三校聯(lián)考階段練習）3+1x21+4x2的最小值為（）
A．93B．7+42C．83D．7+43
【題型2 配湊法求最值】
【例2】（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預測）已知a>1，則a+16a-1的最小值為（）
A．8B．9C．10D．11
【變式2-1】（2023上·吉林·高一?？茧A段練習）已知x>3，則y=2x-3+2x的最小值是（）
A．6B．8C．10D．12
【變式2-2】（2023上·海南省直轄縣級單位·高三校聯(lián)考階段練習）設x>2，則函數y=4x-1+4x-2，的最小值為（）
A．7B．8C．14D．15
【變式2-3】（2023上·遼寧·高一校聯(lián)考期中）若x>0，y>0且滿足x+y=xy，則2xx-1+4yy-1的最小值為（）
A．6+26B．4+62C．2+46D．6+42
【題型3 常數代換法求最值】
【例3】（2023上·內蒙古通遼·高三?？茧A段練習）已知a>0，b>0，若 2a + 3b =1，則 2a+b3 的最小值是（）
A．8B．9C．10D．11
【變式3-1】（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）已知正實數a，b，點M1,4在直線xa+yb=1上，則a+b的最小值為（）
A．4B．6C．9D．12
【變式3-2】（2023上·重慶·高一統(tǒng)考期末）若正實數x，y滿足2x+8y-xy=0，則2x+y的最大值為（）
A．25B．16C．37D．19
【變式3-3】（2023·重慶·統(tǒng)考一模）已知a，b為非負實數，且2a+b=1，則2a2a+1+b2+1b的最小值為（）
A．1B．2C．3D．4
【題型4 消元法求最值】
【例4】（2023上·江蘇·高一校聯(lián)考階段練習）已知正數x，y滿足3x-4=9y，則x+8y的最小值為 .
【變式4-1】（2023上·安徽池州·高一統(tǒng)考期中）已知x,y∈R+，若2x+y+xy=7，則x+2y的最小值為
.
【變式4-2】（2023上·山東淄博·高一?？茧A段練習）已知正實數a,b，且2a+b+6=ab，則a+2b的最小值為 .
【變式4-3】（2023·上海崇明·統(tǒng)考一模）已知正實數a, b, c, d滿足a2 -ab+1=0，c2 +d2 =1，則當(a-c)2 +(b-d)2取得最小值時，ab= ．
【題型5 構造不等式法求最值】
【例5】（2023下·河南·高三校聯(lián)考階段練習）已知2a+b=ab(a>0,b>0)，下列說法正確的是（）
A．ab的最大值為8
B．1a-1+2b-2的最小值為2
C．a+b有最小值3+2
D．a2-2a+b2-4b有最大值4
【變式5-1】（2022上·山東青島·高一青島二中?？计谥校┮阎獂>0，y>0，且x+y+xy-3=0；則下列結論正確的是（）
A．xy的最小值是1B．x+y的最小值是2
C．x+4y的最小值是8D．x+2y的最大值是42-3
【變式5-2】（2023上·江蘇·高一專題練習）下列說法正確的是（）
A．若x>2，則函數y=x+1x-1的最小值為3
B．若x>0，y>0，3x+1y=5，則5x+4y的最小值為5
C．若x>0，y>0，x+y+xy=3，則xy的最小值為1
D．若x>1，y>0，x+y=2，則1x-1+2y的最小值為3+22
【變式5-3】（2023上·廣東中山·高三?？茧A段練習）設正實數x,y滿足x+2y=3，則下列說法錯誤的是（）
A．yx+3y的最小值為4B．xy的最大值為98
C．x+2y的最大值為2D．x2+4y2的最小值為92
【題型6 多次使用基本不等式求最值】
【例6】（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）已知正實數a，b，滿足a+b≥92a+2b，則a+b的最小值為（）
A．5B．52C．52D．522
【變式6-1】（2023·山東菏澤·統(tǒng)考一模）設實數x,y滿足x+y=1，y>0，x≠0，則1x+2xy的最小值為（）
A．22-1B．22+1C．2-1D．2+1
【變式6-2】（2023·河北衡水·衡水市第二中學?？寄M預測）已知實數x,y,z>0，滿足xy+zx=2，則當4y+1z取得最小值時，y+z的值為（）
A．1B．32C．2D．52
【變式6-3】（2023上·遼寧大連·高一期末）若a>0,b>0,a+b=1，則a2+3aba+2b+2b+1-1b的最大值為（）
A．2B．2-2C．3-2D．3-22
【題型7 實際應用中的最值問題】
【例7】（2023上·四川眉山·高一校聯(lián)考期中）如圖，高新區(qū)某居民小區(qū)要建一座八邊形的休閑場所，它的主體造型平面圖是由兩個相同的矩形ABCD和EFGH構成的面積為400m2的十字形地域.計劃在正方形MNPQ上建一座花壇，造價為8400元/m2；在四個相同的矩形（圖中陰影部分）上鋪花崗巖地坪，造價為420元/m2；再在四個空角（圖中四個三角形）上鋪草坪，造價為160元/m2.設總造價為y（單位：元），AD長為x（單位：m）.
(1)用x表示AM的長度，并求x的取值范圍；
(2)當x為何值時，y最??？并求出這個最小值.
【變式7-1】（2023上·山東·高一校聯(lián)考期中）某校地勢較低，一遇到雨水天氣校園內會有大量積水，不但不方便師生出行，還存在嚴重安全問題.為此學校決定利用原水池改建一個深3米，底面面積16平方米的長方體蓄水池.不但能解決積水問題，同時還可以利用蓄水灌溉學校植被.改建及蓄水池蓋兒固定費用800元，由招標公司承擔.現對水池內部地面及四周墻面鋪設公開招標.甲工程隊給出的報價如下：四周墻面每平方米150元，地面每平方米400元.設泳池寬為x米.2≤x≤6
(1)當寬為多少時，甲工程隊報價最低，并求出最低報價.
(2)現有乙工程隊也要參與競標，其給出的整體報價為900ax+2x元(a>0)（整體報價中含固定費用）.若無論寬為多少米，乙工程隊都能競標成功，試求a的取值范圍.
【變式7-2】（2023上·江蘇蘇州·高一?？茧A段練習）因新冠疫情零星散發(fā)，某實驗中學為了保障師生安全，同時考慮到節(jié)省費用，擬借助校門口一側原有墻體建造一間高為4米、底面積為24平方米、背面靠墻體的長方體形狀的隔離室．隔離室的正面需開一扇安全門，此門高為2米，且此門高為此門底的13．因此室的后背面靠墻，故無需建墻費用，但需粉飾．現學校面向社會公開招標，甲工程隊給出的報價：正面為每平方米360元，左右兩側面為每平方米300元，已有墻體粉飾為每平方米100元，屋頂和地面以及安全門報價共計12000元．設隔離室的左右兩側面的底邊長度均為x米(1≤x≤5)．
(1)記y為甲工程隊整體報價，求y關于x的關系式；
(2)現有乙工程隊也要參與此隔離室建造的競標，其給出的整體報價為4800t(x+1)x元，問是否存在實數t，使得無論左右兩側底邊長為多少，乙工程隊都能競標成功（注：整體報價小者競標成功），若存在，求出t滿足的條件；若不存在，請說明理由．
【變式7-3】（2023上·重慶·高一?？茧A段練習）為宜傳2023年杭州亞運會，某公益廣告公司擬在一張面積為36000cm2的矩形海報紙（記為矩形ABCD，如圖）上設計四個等高的宣傳欄（欄面分別為兩個等腰三角形和兩個全等的直角三角形），為了美觀，要求海報上所有水平方向和豎直方向的留空寬度均為10cm，設DC=xcm．
(1)將四個宣傳欄的總面積y表示為x的表達式，并寫出x的范圍；
(2)為充分利用海報紙空間，應如何選擇海報紙的尺寸（AD和CD分別為多少時），可使用宣傳欄總面積最大？并求出此時宣傳欄的最大面積．
【題型8 與其他知識交匯的最值問題】
【例8】（2023上·安徽·高三校聯(lián)考階段練習）記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足c+bcs2A=2acsAcsBA≤B.
(1)求A；
(2)若角A的平分線交BC于D點，且AD=1，求△ABC面積的最小值.
【變式8-1】（2023上·安徽銅陵·高二校聯(lián)考期中）已知圓C的圓心在坐標原點，面積為9π．
(1)求圓C的方程；
(2)若直線l，l'都經過點(0,2)，且l⊥l'，直線l交圓C于M，N兩點，直線l'交圓C于P，Q兩點，求四邊形PMQN面積的最大值．
【變式8-2】（2023上·江蘇鹽城·高一?？茧A段練習）已知在定義域內單調的函數fx滿足ffx+12x+1-lnx=23恒成立．
(1)設fx+12x+1-lnx=k，求實數k的值；
(2)解不等式f7+2x>-2x2x+1+ln-ex；
(3)設gx=fx-lnx，若gx≥mg2x對于任意的x∈1,2恒成立，求實數m的取值范圍．
【變式8-3】（2023下·湖南長沙·高三長沙一中?？茧A段練習）如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，點P是長方形A1B1C1D1內一點，∠APC是二面角A-PD1-C的平面角.
(1)證明：點P在A1C1上；
(2)若AB=BC，求直線PA與平面PCD所成角的正弦的最大值.
1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）若x，y滿足x2+y2-xy=1，則（）
A．x+y≤1B．x+y≥-2
C．x2+y2≤2D．x2+y2≥1
2．（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）已知a>0，b>0，且a+b=1，則（）
A．a2+b2≥12B．2a-b>12
C．lg2a+lg2b≥-2D．a+b≤2
3．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）設O為坐標原點，直線x=a與雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的兩條漸近線分別交于D,E兩點，若△ODE的面積為8，則C的焦距的最小值為（）
A．4B．8C．16D．32
4．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）若a>0,b>0，則1a+ab2+b的最小值為．
5．（2020·天津·統(tǒng)考高考真題）已知a>0, b>0，且ab=1，則12a+12b+8a+b的最小值為．
6．（2020·江蘇·統(tǒng)考高考真題）已知5x2y2+y4=1(x,y∈R)，則x2+y2的最小值是．
7．（2019·天津·高考真題）設x>0, y>0, x+2y=5，則(x+1)(2y+1)xy的最小值為 .
8．（2017·江蘇·高考真題）某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買x噸，運費為6萬元/次，一年的總存儲費用為4x萬元．要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則x的值是．

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