\l "_Tc16002" 二、典型題型 PAGEREF _Tc16002 \h 2
\l "_Tc30250" 題型一：構(gòu)造或(，且)型 PAGEREF _Tc30250 \h 2
\l "_Tc6988" 題型二：構(gòu)造或(，且)型 PAGEREF _Tc6988 \h 5
\l "_Tc8839" 題型三：構(gòu)造或型 PAGEREF _Tc8839 \h 7
\l "_Tc22560" 題型四：構(gòu)造或型 PAGEREF _Tc22560 \h 10
\l "_Tc2025" 三、專項(xiàng)訓(xùn)練 PAGEREF _Tc2025 \h 11
一、必備秘籍
1、兩個基本還原
① ②
2、類型一：構(gòu)造可導(dǎo)積函數(shù)
① 高頻考點(diǎn)1：
②
高頻考點(diǎn)1： 高頻考點(diǎn)2
③ 高頻考點(diǎn)1：
④
高頻考點(diǎn)1： 高頻考點(diǎn)2
⑤
⑥
3、類型二：構(gòu)造可商函數(shù)
① 高頻考點(diǎn)1：
②
高頻考點(diǎn)1： 高頻考點(diǎn)2：
③
⑥
二、典型題型
題型一：構(gòu)造或(，且)型
1．（2023下·重慶榮昌·高二重慶市榮昌中學(xué)校校考期中）定義在上的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且當(dāng)時(shí)，．則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【詳解】由當(dāng)時(shí)，，
得，
設(shè)，則，
所以在上單調(diào)遞增，
又函數(shù)為偶函數(shù)，
所以為偶函數(shù)，
所以在在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，即，所以，A選項(xiàng)錯誤；
，即，所以，B選項(xiàng)錯誤；
，即，所以，C選項(xiàng)錯誤；
，即，所以，D選項(xiàng)正確；
故選：D.
2．（2023下·四川綿陽·高二鹽亭中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)滿足在上恒成立，且，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【詳解】解：設(shè)，則，
由，可知，所以在上是增函數(shù)，
又，所以，即，
故選：B.
3．（2023下·陜西咸陽·高二統(tǒng)考期中）已知定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，，若，，，則，，的大小關(guān)系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】令，，
則，
∵當(dāng)時(shí)，，
即，在單調(diào)遞減，
∴，
∴，
即，
∴.
故選：D.
4．（2023·甘肅張掖·甘肅省民樂縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，其中為的導(dǎo)數(shù)，則不等式的解集為 ．
【答案】
【詳解】令函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，
由為偶函數(shù)，得，即函數(shù)是奇函數(shù)，于是在R上單調(diào)遞減，
不等式，
因此，解得，所以原不等式的解集是.
故答案為：
5．（2023上·黑龍江·高三黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則使得成立的的取值范圍是 .
【答案】
【詳解】記，則，
故當(dāng)，，所以，因此在上單調(diào)遞增，
又當(dāng)時(shí)，，
因此為奇函數(shù)，故在上單調(diào)遞增，
又，因此當(dāng)和時(shí)，，
當(dāng)和時(shí)，，
因此，即可得和，
故成立的的取值范圍是，
故答案為：
題型二：構(gòu)造或(，且)型
1．（2023上·福建莆田·高三莆田一中?？计谥校┮阎x域?yàn)镽的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】令，則，
因?yàn)樵谏虾愠闪ⅲ?br>所以在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，
，即，故A不正確；
，即，即，故B不正確；
，即，即，故C正確；
，即，即，故D不正確；
故選：C
2．（2023上·四川內(nèi)江·高三期末）已知是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，對任意，恒有，則不等式的解集為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】依題意，令函數(shù)，，求導(dǎo)得，
則函數(shù)在R上單調(diào)遞增，，
而，則，因此有，解得，
所以原不等式的解集為.
故選：C
3．（2023下·河南洛陽·高二統(tǒng)考期末）已知是定義在R上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，對于任意的實(shí)數(shù)x，都有，當(dāng)時(shí)，．若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【詳解】解：因?yàn)?，所以?br>令，則，
所以為偶函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，
所以，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
根據(jù)偶函數(shù)對稱區(qū)間上單調(diào)性相反的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞減，
因?yàn)椋?br>所以，
所以，即，即，
即，則，
解得.故數(shù)a的取值范圍為：
故選：B.
4．（2023上·新疆伊犁·高三奎屯市第一高級中學(xué)校考階段練習(xí)）定義在上的函數(shù)滿足，且有，則的解集為 .
【答案】
【詳解】設(shè)，則，
，
，
在R上單調(diào)遞增.
又，則.
∵等價(jià)于，即，
∴，即所求不等式的解集為.
故答案為：.
5．（2018上·江西贛州·高三統(tǒng)考期中）函數(shù)的定義域和值域均為，的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則的取值范圍是 ．
【答案】
【詳解】設(shè)，則＞0
∴在上單調(diào)遞增，所以，
即＜?＜；
令，則
∴在上單調(diào)遞減，所以，
即＞?＞
綜上，＜ 且 ＞．
故答案為：
題型三：構(gòu)造或型
1．（2023下·四川成都·高二期末）記函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)恒有成立，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【詳解】令，則，
當(dāng)時(shí)恒有，所以，
則在上單調(diào)遞增，
所以，則，即，選項(xiàng)A錯誤；
，則，即，選項(xiàng)B正確；
，則，又為奇函數(shù)，所以，選項(xiàng)C錯誤；
由得，選項(xiàng)D錯誤；
故選：B
2．（2023·青海海東·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【詳解】當(dāng)時(shí)，，則由，得；
當(dāng)時(shí)，，則由，得．
令，則，
故g（x）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
又f（x）是奇函數(shù)，所以是偶函數(shù)，
故，即，，
即．
與和的大小關(guān)系不確定．
故選：A．
3．（2023上·云南昆明·高三昆明一中校考階段練習(xí)）定義在上的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為 ．
【答案】
【詳解】令，因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，
則，
所以為偶函數(shù).
當(dāng)時(shí)，，，
由已知，
所以，
則在上單調(diào)遞增，
由可化為，
即，得；
當(dāng)，，則，
即，
由為偶函數(shù)，則在上單調(diào)遞減，
得，
所以不等式的解集為．
故答案為：.
題型四：構(gòu)造或型
1．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立（為的導(dǎo)函數(shù)），若，，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】由題意得函數(shù)為偶函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，
所以，
易知當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減．
因?yàn)?，則，
由，則，
且，
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，且，
所以，即，
故選：C．
2．（2023下·山東聊城·高二?？茧A段練習(xí)）定義在上的函數(shù)，已知是它的導(dǎo)函數(shù)，且恒有成立，則有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【詳解】解：令，
則，
因?yàn)椋?br>所以，
則在上單調(diào)遞減.
所以，
故，，
故選：C
三、專項(xiàng)訓(xùn)練
一、單選題
1．（2023上·上海徐匯·高三上海市第二中學(xué)校考期中）已知定義在R上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)滿足：對任意都有，則下列各式恒成立的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【詳解】記，則，
因?yàn)?，即?br>所以，所以在R上單調(diào)遞增，
故，，
整理得，.
故選：B
2．（2023·河南開封·統(tǒng)考三模）設(shè)定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且滿足，．則、、的大小關(guān)系為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【詳解】因?yàn)?，所以?br>設(shè)，則，
令，則，
設(shè)，則，
∴當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
∴，
∴，在上單調(diào)遞減，
又，理由如下：
如圖，設(shè)，射線與單位圓相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作⊥軸于點(diǎn)，
過點(diǎn)作⊥軸交射線于點(diǎn)，連接，
設(shè)扇形的面積為，
則，即，
解得，
其中，故，
∴．
故選：C
3．（2023下·云南保山·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)不等式成立，若，，，則，，的大小關(guān)系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則由題意可知當(dāng)時(shí)，
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
又因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以是定義在上的偶函數(shù)，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，
又，，，
因?yàn)?，，所以?br>所以，即，正確.
故選：.
4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)在R上可導(dǎo)，且滿足恒成立，常數(shù)則下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【詳解】令，則恒成立，故在上單調(diào)遞增．
，
，即．
故選：A
5．（2023·全國·高三對口高考）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)不等式成立，若，則的大小關(guān)系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則由題意可知當(dāng)時(shí)，
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
又因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以是定義在上的偶函數(shù)，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，
，，，
因?yàn)?，?br>所以，所以，
即，
故選：B
6．（2023·全國·高三對口高考）已知是定義在上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿足，對任意正數(shù)a、b，若，則必有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【詳解】由.
若不是常函數(shù)，則在上單調(diào)遞減，又，則；
若為常函數(shù)，則.綜上，.
故選：A
7．（2023·云南·校聯(lián)考三模）設(shè)函數(shù)在上的導(dǎo)數(shù)存在，且，則當(dāng)時(shí)，（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【詳解】因?yàn)椋?br>令，則，
所以在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，即，
所以且.
故選：B
8．（2023下·湖北·高二校聯(lián)考期中）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，為的導(dǎo)函數(shù)，且，則不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【詳解】根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)，則，
所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增，又，即，
所以，即，解得.
故選：D.
9．（2023下·湖北武漢·高二武漢市洪山高級中學(xué)校聯(lián)考期中）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，是其?dǎo)函數(shù)，若，，則不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】令，則，
因?yàn)椋?，所以?br>所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
而可化為，又
即，解得，
所以不等式的解集是．
故選：B
10．（2023下·湖北武漢·高二華中師大一附中?？计谥校┦嵌x在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有恒成立，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【詳解】解：令，
則，
因?yàn)椋?br>所以，
則在上遞增，
又是偶函數(shù)，且是定義在R上的奇函數(shù)，
所以是定義在R上的奇函數(shù)，
則在上單調(diào)遞增，
所以，即，故A錯誤；
，即，故B錯誤；
，即，故C正確；
，即，故錯誤，
故選：C
11．（2023下·河北張家口·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)在上連續(xù)且可導(dǎo)，同時(shí)滿足，則下列不等式一定成立的為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，即，所以.
故選：C
二、填空題
12．（2023上·河南焦作·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知定義在R上的函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)滿足，若，則滿足不等式的x的取值范圍是 ．
【答案】
【詳解】由題意，對任意，都有成立，
即．
構(gòu)造函數(shù)，
則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．
不等式即，即．
因?yàn)椋裕?br>故由，得.
所以不等式的解集為，
故答案為：.
13．（2023下·湖北咸寧·高二鄂南高中?？茧A段練習(xí)）已知偶函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，且，則的解集為 .
【答案】
【詳解】令，可得
因?yàn)闀r(shí)，，
所以，
即函數(shù)在為單調(diào)遞增函數(shù)，
又因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，可得，
所以函數(shù)為偶函數(shù)，所以在為單調(diào)遞減函數(shù)，
因?yàn)椋?br>即，可得，即，
解得，即不等式的解集為.
故答案為：.
14．（2021下·江蘇鎮(zhèn)江·高一江蘇省丹陽高級中學(xué)?？计谥校┖瘮?shù)定義域?yàn)椋鋵?dǎo)函數(shù)是，當(dāng)時(shí)，有，則關(guān)于的不等式的解集為 ．
【答案】
【詳解】令，則，
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)椋?br>所以，
所以在上為減函數(shù)，
由，得，
所以，
因?yàn)樵谏蠟闇p函數(shù)，
所以，
所以不等式的解集為，
故答案為：
15．（2022下·江蘇·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)的定義域是，其導(dǎo)函數(shù)是，若，則關(guān)于的不等式的解集為 ．
【答案】
【詳解】變形為，
變形為，
故可令g(x)＝f(x)sinx，，
則，
∴g(x)在單調(diào)遞減，
不等式即為g(x)＜g()，
則，
故答案為：.
16．（2021下·重慶江津·高二?？计谥校┮阎x在上的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，有，且，則使得成立的的取值范圍是 .
【答案】
【詳解】∵當(dāng)時(shí)，有，令，
∴，
∴在上遞增，
又∵在上的偶函數(shù)
∴，
∴在上是奇函數(shù)
∴在上遞增，
又∵，
∴
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，0＜x＜1，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，
∴成立的的取值范圍是．
故答案為：﹒
17．（2021下·山東濟(jì)南·高二山東師范大學(xué)附中?？计谥校┰O(shè)的定義域?yàn)?，的?dǎo)函數(shù)為，且對任意正數(shù)均有，設(shè)，，，，則的大小關(guān)系是
【答案】
【詳解】由，得，
令，則恒成立，
故函數(shù)在上單調(diào)遞增.
因，，則，
故，即，
變形得：①，
同理②，
①+②得：，
即，故.
故答案為：.
18．（2020下·四川成都·高二四川師范大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校┖瘮?shù)定義在上，，其導(dǎo)函數(shù)是，且恒成立，則不等式的解集為 .
【答案】
【詳解】解：
，
構(gòu)造函數(shù)，
則，
當(dāng)時(shí)，，
在單調(diào)遞增，
不等式，
即
即，
故不等式的解集為.
故答案為：.
19．（2020·陜西·統(tǒng)考二模）已知定義在上的函數(shù)滿足，其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
【答案】
【詳解】令，則，
因?yàn)?，所以，所以函?shù)在為單調(diào)遞減函數(shù)，
又由，
所以，即，所以，
即，所以，解得，
綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故答案為：.
20．（2019下·江蘇揚(yáng)州·高二統(tǒng)考期末）已知可導(dǎo)函數(shù)的定義域?yàn)?，其?dǎo)函數(shù)滿足，則不等式的解集為 ．
【答案】
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?br>構(gòu)造函數(shù)：
已知：
所以，遞減.

即
故答案為
21．（2017·河南·統(tǒng)考一模）設(shè)函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且有，則不等式的解集 ．
【答案】
【詳解】令，因?yàn)?，且，所以，即函?shù)在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋?，所以，即，即不等式的解集?
序號
條件
構(gòu)造函數(shù)
1
2
3
4
5
6
7
8

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新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)培優(yōu)專題06 構(gòu)造函數(shù)法解決導(dǎo)數(shù)不等式問題(一)（含解析）

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2023高考數(shù)學(xué)二輪專題導(dǎo)數(shù)38講 專題07 構(gòu)造函數(shù)法解決導(dǎo)數(shù)不等式問題(二)

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(新高考)高考數(shù)學(xué)二輪專項(xiàng)復(fù)習(xí)(三)《構(gòu)造法解決抽象函數(shù)問題》(含詳解)

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