2025高考數(shù)學壓軸導數(shù)大題訓練(全國通用版)專題13導數(shù)運算法則在抽象函數(shù)中的應用專題特訓(學生版+解析)-試卷下載-教習網(wǎng)

導數(shù)與不等式都是高考中的重點與難點,與抽象函數(shù)有關的導數(shù)問題更是一個難點,求解此類問題的關鍵是根據(jù)導數(shù)的運算法則構造合適的函數(shù),再利用導數(shù)的運算法則確定所構造函數(shù)的性質,最后再利用函數(shù)性質求解.
(一) 抽象函數(shù)的奇偶性及應用
若兩邊求導得，即，即若可導函數(shù)是偶函數(shù)，則是奇函數(shù)，同理可得：若可導函數(shù)是奇函數(shù)，則是偶函數(shù).
【例1】（2024屆上海市奉賢區(qū)高三二模）已知定義域為的函數(shù)，其圖象是連續(xù)的曲線，且存在定義域也為的導函數(shù).
(1)求函數(shù)在點的切線方程；
(2)已知，當與滿足什么條件時，存在非零實數(shù)，對任意的實數(shù)使得恒成立？
(3)若函數(shù)是奇函數(shù)，且滿足.試判斷對任意的實數(shù)是否恒成立，請說明理由.
【解析】（1）由題可知，，
所以切線的斜率為，且，
所以函數(shù)在點的切線方程為，即；
（2）由題可知，
又因為定義域上對任意的實數(shù)滿足，
所以，即，
當且時，，
當時，，當時，；
（3）因為函數(shù)在定義域上是奇函數(shù)，所以，
所以，所以，所以是偶函數(shù)，
因為，所以，
即，即，
因為，所以，即，
所以是周期為的函數(shù)，
所以，所以.
(二)和差型抽象函數(shù)的應用
解答此類問題時一般要根據(jù)題意構造輔助函數(shù)求解,構造時要結合所求的結論進行分析、選擇,然后根據(jù)所構造的函數(shù)的單調性求解．如給出式子,可構造函數(shù)，給出式子,可構造函數(shù) ，一般地，若給出通常構造函數(shù).
【例2】已知的導函數(shù)滿足且，求不等式的解集．
【解析】令，則，∴在上為單調遞增．
又∵，∴，則可轉化為，
根據(jù)單調性可知不等式的解集為．
(三)積型抽象函數(shù)的應用
若給出形如的式子通常構造函數(shù) ，如給出可構造函數(shù)，如給出，可構造函數(shù)，如給出，可構造函數(shù).
【例3】（2024年全國高考名校名師聯(lián)席命制數(shù)學押題卷）若函數(shù)在上滿足且不恒為0，則稱函數(shù)為區(qū)間上的絕對增函數(shù)，稱為函數(shù)的特征函數(shù)，稱任意的實數(shù)為絕對增點（為函數(shù)的導函數(shù)）．
(1)若1為函數(shù)的絕對增點，求的取值范圍；
(2)絕對增函數(shù)的特征函數(shù)的唯一零點為．
（?。┳C明：是的極值點；
（ⅱ）證明：不是絕對增函數(shù)．
【解析】（1）因為函數(shù)，所以，
則．
由得，解得或，
所以為區(qū)間及區(qū)間上的絕對增函數(shù)．
又1為函數(shù)的絕對增點，所以或，解得或，
所以的取值范圍為．
（2）（?。┰O為區(qū)間上的絕對增函數(shù)，由題意知，當時，．
①若，存在，且在區(qū)間上單調遞增，則在區(qū)間上，，則，與矛盾．
若，存在，且在區(qū)間上單調遞減，則在區(qū)間上，，則，與矛盾．
若，存在，且在區(qū)間上不單調，則存在，且，此時與有唯一零點矛盾．所以．
②若，不妨設，則，且存在，使得當時，，且當時，，即，使在上單調遞減，在上單調遞增．
所以為的極值點．同理，當時也成立．
（ⅱ）若為絕對增函數(shù)，則在上恒成立，
又恒成立，所以恒成立．
令，所以，且，
所以在上單調遞增．又，所以當時，，則，與矛盾，所以假設不成立，所以不是絕對增函數(shù)．
【例4】定義在上的函數(shù)，其導函數(shù)是，且恒有成立，比較
與的大小.
【解析】因為，所以，．
由，得．
即．
令，，則．
所以函數(shù)在上為增函數(shù)，
則，即，所以，即．
(四)商型抽象函數(shù)的應用
若給出形如的式子通常構造函數(shù) ，如給出可構造函數(shù)，給出，可構造函數(shù)，給出，可構造函數(shù).
【例5】（2024屆湖北省襄陽市第五中學高三第二次適應性測試）柯西中值定理是數(shù)學的基本定理之一，在高等數(shù)學中有著廣泛的應用.定理內容為：設函數(shù)f(x)，g(x)滿足:
①圖象在上是一條連續(xù)不斷的曲線；
②在內可導;
③對，，則，使得.
特別的，取，則有：，使得，此情形稱之為拉格朗日中值定理.
(1)設函數(shù)滿足，其導函數(shù)在上單調遞增，證明：函數(shù)在上為增函數(shù).
(2)若且，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【解析】（1）由題，
由柯西中值定理知：對，，
使得，，
又在上單調遞增，則，
則，即，
所以，
故在上為增函數(shù)；
（2），
取，，
因為，所以由柯西中值定理，，
使得，
由題則有：，
設，，
當時，，當時，，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
所以，
故，所以實數(shù)的取值范圍是.
【例6】已知函數(shù)在恒有，其中為函數(shù)的導數(shù)，若，為銳角三角形兩個內角，比較的大小.
【解析】設，則
所以函數(shù)在上單調遞增.
，為銳角三角形兩個內角,則
所以，由正弦函數(shù)在上單調遞增.
則
所以，即
所以.
(五)根據(jù)構造函數(shù)
若給出形如的式子通常構造偶函數(shù)或奇函數(shù).
【例7】設函數(shù)在上存在導函數(shù),,有,在上有,若,求實數(shù)的取值范圍.
【解析】因為,所以
令
即函數(shù)為偶函數(shù),因為上有,
所以
即函數(shù)在單調遞增；
又因為
所以

即,所以,解得 ,故選B.
(六)信息遷移題中的抽象函數(shù)
求解此類問題關鍵是如何利用題中的信息.
【例8】已知定義在上的函數(shù)的導函數(shù)為，若對任意恒成立，則稱函數(shù)為“線性控制函數(shù)”.
(1)判斷函數(shù)和是否為“線性控制函數(shù)”，并說明理由；
(2)若函數(shù)為“線性控制函數(shù)”，且在上嚴格增，設為函數(shù)圖像上互異的兩點，設直線的斜率為，判斷命題“”的真假，并說明理由；
(3)若函數(shù)為“線性控制函數(shù)”，且是以為周期的周期函數(shù)，證明：對任意都有.
【解析】（1），故是“線性控制函數(shù)”；
，故不是“線性控制函數(shù)”.
（2）命題為真，理由如下：
設，其中
由于在上嚴格增，故，因此
由于為“線性控制函數(shù)”，故，即
令，故，因此在上為減函數(shù)
，
綜上所述，，即命題“”為真命題.
（3）根據(jù)（2）中證明知，對任意都有
由于為“線性控制函數(shù)”，故，即
令，故，因此在上為增函數(shù)
因此對任意都有，即
當時，則恒成立
當時，
若，則，故
若時，則存在使得
故1，因此
綜上所述，對任意都有.
（事實上，對任意都有，此處不再贅述）
【例9】定義：若曲線C1和曲線C2有公共點P，且在P處的切線相同，則稱C1與C2在點P處相切．
(1)設．若曲線與曲線在點P處相切，求m的值；
(2)設，若圓M：與曲線在點Q（Q在第一象限）處相切，求b的最小值；
(3)若函數(shù)是定義在R上的連續(xù)可導函數(shù)，導函數(shù)為，且滿足和都恒成立.是否存在點P，使得曲線和曲線y=1在點P處相切？證明你的結論．
【解析】（1）設點，由，求導得，
于是，解得，由，得，解得，
所以m的值為9.
（2）設切點，由求導得，則切線的斜率為，
又圓M：的圓心，直線的斜率為，
則由，得，令，求導得，
當時，，當時，，即函數(shù)在上遞減，在上遞增，
因此當時，，
所以當時，.
（3）假設存在滿足題意，
則有，對函數(shù)求導得：，
于是，即，
平方得，
即有，因此，
整理得，而恒有成立，則有，
從而，顯然，于是，即與恒成立矛盾，
所以假設不成立，即不存在點滿足條件.
【例1】（2024年全國統(tǒng)一考試數(shù)學押題卷）函數(shù)與函數(shù)之間存在位置關系.已知函數(shù)與的圖象在它們的公共定義域內有且僅有一個交點，對于且，且，若都有，則稱與關于點互穿；若都有，則稱與關于點互回.已知函數(shù)與的定義域均為，導函數(shù)分別為與，與的圖象在上有且僅有一個交點，與的圖象在上有且僅有一個交點.
(1)若，，試判斷函數(shù)與的位置關系.
(2)若與關于點互回，證明：與關于點互穿且在上恒成立.
(3)研究表明：若與關于點互穿，則與關于點互回且在上恒成立.根據(jù)以上信息，證明：（為奇數(shù)）.
【解析】（1）設，
則，當時，，當時，，
在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，即，當且僅當時取等號.
又與的圖象在上有且僅有一個交點，
函數(shù)與關于點互回.
（2）設，，則，（互回的定義的應用）
設，則，故.
①若均大于零，因為，（提示：與的圖象交于點.
所以，所以單調遞增，
又，（提示：與的圖象交于點）
所以，，
所以，，
所以與關于點互穿且在上恒成立.
②若均小于零，因為，
所以，所以單調遞減，
又，
所以，，
所以，，
所以與關于點互穿且在上恒成立.
綜上，與關于點互穿且在上恒成立.
（3）設，（）
則（），（）
（關鍵：尋找與，與，之間的關系）
易知，，
由（1）可知與關于點互回.
因為，
所以，與的圖象交于點.
由（2）得與關于點互穿，（提示：，）
由（3）得與關于點互回，
易得當為奇數(shù)時，與關于點互回，
所以，，有（為奇數(shù)）.（提示：互回的定義的應用）
由題意得對任意正整數(shù)恒成立，（提示：由本問信息可得）
所以
，，
累乘得
所以
易知，（點撥：，當且僅當時等號成立，又，所以.所以.
因為，（為奇數(shù)），
所以（為奇數(shù)），
因為，所以（為奇數(shù)），
即（為奇數(shù)），得證.
【例2】（2024屆上海市普陀區(qū)桃浦中學高三上學期期末）對于一個在區(qū)間上連續(xù)的可導函數(shù)，在上任取兩點，，如果對于任意的與的算術平均值的函數(shù)值大于等于對于任意的與的函數(shù)值的算術平均值，則稱該函數(shù)在上具有“M性質”.如果對于任意的與的幾何平均值的函數(shù)值大于等于對于任意的與的函數(shù)值的幾何平均值，則稱在上具有“L性質”.
(1)如果函數(shù)在定義域內具有“M性質”，求的取值范圍.
(2)對于函數(shù)，若該函數(shù)的一個駐點是，求，并且證明該函數(shù)在上具有“L性質”.
(3)設存在，使得.
①證明:取，則有
②若，設命題:函數(shù)具有“性質”，命題為嚴格減函數(shù)，試證明是的必要條件.
(可用結論:若函數(shù)在區(qū)間上可導，且在區(qū)間上連續(xù)，若有，且，則在區(qū)間上存在駐點)
【解析】（1）由函數(shù)在上具有“性質”，
可得對任意.
又，所以；
（2）令由，得
則，在上嚴格減:在上嚴格增.
要證在上具有“性質”.
需證，
即證，
而，
則
，
需證，
由，
故只需證，
下面給出證明：設，則，
即在上遞減，
所以，
即.
綜上，成立，
故，得證.
（3）①令，，
由可用結論，令為該函數(shù)的駐點，則，
即取，則有，得證.
②取，設，
記，則，由①中的結論，則有:
（1）
（2）
由(1)(2)，得對在區(qū)間使用①中的結論，則：
，
其中，.
由于是嚴格減函數(shù)，則，
即，
即.
所以是的必要條件.
【例3】已知函數(shù)的定義域為，導函數(shù)為，若恒成立，求證：.
【解析】設函數(shù)，因為，，
所以，則，
所以在上單調遞減，
從而,即，所以.
【例4】已知函數(shù)滿足，且，判斷函數(shù)零點的個數(shù).
【解析】，∴，，∵代入，得，∴.
或，
；，
如圖所示，
函數(shù)與函數(shù)的圖像交點個數(shù)為2個，所以的解得個數(shù)為2個；綜上，零點個數(shù)為3個.
【例5】已知定義在R上的函數(shù)的導數(shù)為,且滿足,當時 ,求不等式的解集.
【解析】設,則,所以
=,所以是偶函數(shù),設,則,所以,即,所以時 , 所以時,在上是增函數(shù),所以
,故選C.
【例6】已知定義域為的函數(shù)，其導函數(shù)為，滿足對任意的都有.
(1)若，求實數(shù)a的取值范圍；
(2)若存在，對任意，成立，試判斷函數(shù)的零點個數(shù)，并說明理由；
(3)若存在a、，使得，證明：對任意的實數(shù)、，都有.
【解析】（1）若，則，
由題意，對任意的都有，
則，即，
所以，
由于的最小值為，的最大值為，
所以，即實數(shù)a的取值范圍為；
（2）依題意，，
所以，在上為減函數(shù)，所以至多一個零點；
，，
當時，，
當時，，
所以存在零點，綜上存在1個零點；
（3）因為，由導數(shù)的定義得，
即，
不妨設
若，則
若，
則
.
1.若定義域為D的函數(shù)使得是定義域為D的嚴格增函數(shù)，則稱是一個“T函數(shù)”．
(1)分別判斷，是否為T函數(shù)，并說明理由；
(2)已知常數(shù)，若定義在上的函數(shù)是T函數(shù)，證明：；
(3)已知T函數(shù)的定義域為，不等式的解集為．證明：在上嚴格增．
2．對于一個函數(shù)和一個點，令，若是取到最小值的點，則稱是在的“最近點”．
(1)對于，求證：對于點，存在點，使得點是在的“最近點”；
(2)對于，請判斷是否存在一個點，它是在的“最近點”，且直線與在點處的切線垂直；
(3)已知在定義域R上存在導函數(shù)，且函數(shù) 在定義域R上恒正，設點，．若對任意的，存在點同時是在的“最近點”，試判斷的單調性．
3．（2024屆江蘇省鹽城市濱?？h高三下學期高考適應性考試）根據(jù)多元微分求條件極值理論，要求二元函數(shù)在約束條件的可能極值點，首先構造出一個拉格朗日輔助函數(shù)，其中為拉格朗日系數(shù)．分別對中的部分求導，并使之為0，得到三個方程組，如下：
，解此方程組，得出解，就是二元函數(shù)在約束條件的可能極值點．的值代入到中即為極值．
補充說明：【例】求函數(shù)關于變量的導數(shù)．即：將變量當做常數(shù)，即：，下標加上，代表對自變量x進行求導．即拉格朗日乘數(shù)法方程組之中的表示分別對進行求導．
(1)求函數(shù)關于變量的導數(shù)并求當處的導數(shù)值．
(2)利用拉格朗日乘數(shù)法求：設實數(shù)滿足，求的最大值．
(3)①若為實數(shù)，且，證明：．
②設，求的最小值．
4．（2024屆浙江省寧波市寧波九校高三上學期期末）我們把底數(shù)和指數(shù)同時含有自變量的函數(shù)稱為冪指函數(shù)，其一般形式為，冪指函數(shù)在求導時可以將函數(shù)“指數(shù)化"再求導.例如，對于冪指函數(shù)，.
(1)已知，求曲線在處的切線方程；
(2)若且，.研究的單調性；
(3)已知均大于0，且，討論和大小關系.
5．（湖北省八市高三下學期3月聯(lián)考）英國數(shù)學家泰勒發(fā)現(xiàn)的泰勒公式有如下特殊形式：當在處的階導數(shù)都存在時，．注：表示的2階導數(shù)，即為的導數(shù)，表示的階導數(shù)，該公式也稱麥克勞林公式.
(1)根據(jù)該公式估算的值，精確到小數(shù)點后兩位；
(2)由該公式可得：．當時，試比較與的大小，并給出證明（不使用泰勒公式）；
(3)設，證明：.
6. 函數(shù)滿足（為自然數(shù)的底數(shù)），且當時，都有（為的導數(shù)），比較的大小 .
7.設函數(shù)在R上可導，其導函數(shù)為，且．求證： .
8.已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為，是偶函數(shù)，記，也是偶函數(shù)，求的值.
9. 定義在上的函數(shù)有不等式恒成立，其中為函數(shù)的導函數(shù)，求證：.
10．已知為定義域上函數(shù)的導函數(shù)，且，，且，求不等式的解集
11.定義在區(qū)間上函數(shù)使不等式恒成立，（為的導數(shù)），求的取值范圍.
12.設是定義在上的奇函數(shù).若是嚴格減函數(shù)，則稱為“函數(shù)”.
(1)分別判斷和是否為函數(shù)，并說明理由；
(2)若是函數(shù)，求正數(shù)的取值范圍；
(3)已知奇函數(shù)及其導函數(shù)定義域均為.判斷“在上嚴格減”是“為函數(shù)”的什么條件，并說明理由.
13.設是定義在上且滿足下列條件的函數(shù)構成的集合：
①方程有實數(shù)解；
②函數(shù)的導數(shù)滿足．
（1）試判斷函數(shù)是否集合的元素，并說明理由；
（2）若集合中的元素具有下面的性質：對于任意的區(qū)間，都存在，使得等式成立，證明：方程有唯一實數(shù)解．
（3）設是方程的實數(shù)解，求證：對于函數(shù)任意的，當，時，有．
14.設定義在上的函數(shù)的導函數(shù)為，若，，求不等式（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集
專題13 導數(shù)運算法則在抽象函數(shù)中的應用
導數(shù)與不等式都是高考中的重點與難點,與抽象函數(shù)有關的導數(shù)問題更是一個難點,求解此類問題的關鍵是根據(jù)導數(shù)的運算法則構造合適的函數(shù),再利用導數(shù)的運算法則確定所構造函數(shù)的性質,最后再利用函數(shù)性質求解.
(一) 抽象函數(shù)的奇偶性及應用
若兩邊求導得，即，即若可導函數(shù)是偶函數(shù)，則是奇函數(shù)，同理可得：若可導函數(shù)是奇函數(shù)，則是偶函數(shù).
【例1】（2024屆上海市奉賢區(qū)高三二模）已知定義域為的函數(shù)，其圖象是連續(xù)的曲線，且存在定義域也為的導函數(shù).
(1)求函數(shù)在點的切線方程；
(2)已知，當與滿足什么條件時，存在非零實數(shù)，對任意的實數(shù)使得恒成立？
(3)若函數(shù)是奇函數(shù)，且滿足.試判斷對任意的實數(shù)是否恒成立，請說明理由.
【解析】（1）由題可知，，
所以切線的斜率為，且，
所以函數(shù)在點的切線方程為，即；
（2）由題可知，
又因為定義域上對任意的實數(shù)滿足，
所以，即，
當且時，，
當時，，當時，；
（3）因為函數(shù)在定義域上是奇函數(shù)，所以，
所以，所以，所以是偶函數(shù)，
因為，所以，
即，即，
因為，所以，即，
所以是周期為的函數(shù)，
所以，所以.
(二)和差型抽象函數(shù)的應用
解答此類問題時一般要根據(jù)題意構造輔助函數(shù)求解,構造時要結合所求的結論進行分析、選擇,然后根據(jù)所構造的函數(shù)的單調性求解．如給出式子,可構造函數(shù)，給出式子,可構造函數(shù) ，一般地，若給出通常構造函數(shù).
【例2】已知的導函數(shù)滿足且，求不等式的解集．
【解析】令，則，∴在上為單調遞增．
又∵，∴，則可轉化為，
根據(jù)單調性可知不等式的解集為．
(三)積型抽象函數(shù)的應用
若給出形如的式子通常構造函數(shù) ，如給出可構造函數(shù)，如給出，可構造函數(shù)，如給出，可構造函數(shù).
【例3】（2024年全國高考名校名師聯(lián)席命制數(shù)學押題卷）若函數(shù)在上滿足且不恒為0，則稱函數(shù)為區(qū)間上的絕對增函數(shù)，稱為函數(shù)的特征函數(shù)，稱任意的實數(shù)為絕對增點（為函數(shù)的導函數(shù)）．
(1)若1為函數(shù)的絕對增點，求的取值范圍；
(2)絕對增函數(shù)的特征函數(shù)的唯一零點為．
（?。┳C明：是的極值點；
（ⅱ）證明：不是絕對增函數(shù)．
【解析】（1）因為函數(shù)，所以，
則．
由得，解得或，
所以為區(qū)間及區(qū)間上的絕對增函數(shù)．
又1為函數(shù)的絕對增點，所以或，解得或，
所以的取值范圍為．
（2）（ⅰ）設為區(qū)間上的絕對增函數(shù)，由題意知，當時，．
①若，存在，且在區(qū)間上單調遞增，則在區(qū)間上，，則，與矛盾．
若，存在，且在區(qū)間上單調遞減，則在區(qū)間上，，則，與矛盾．
若，存在，且在區(qū)間上不單調，則存在，且，此時與有唯一零點矛盾．所以．
②若，不妨設，則，且存在，使得當時，，且當時，，即，使在上單調遞減，在上單調遞增．
所以為的極值點．同理，當時也成立．
（ⅱ）若為絕對增函數(shù)，則在上恒成立，
又恒成立，所以恒成立．
令，所以，且，
所以在上單調遞增．又，所以當時，，則，與矛盾，所以假設不成立，所以不是絕對增函數(shù)．
【例4】定義在上的函數(shù)，其導函數(shù)是，且恒有成立，比較
與的大小.
【解析】因為，所以，．
由，得．
即．
令，，則．
所以函數(shù)在上為增函數(shù)，
則，即，所以，即．
(四)商型抽象函數(shù)的應用
若給出形如的式子通常構造函數(shù) ，如給出可構造函數(shù)，給出，可構造函數(shù)，給出，可構造函數(shù).
【例5】（2024屆湖北省襄陽市第五中學高三第二次適應性測試）柯西中值定理是數(shù)學的基本定理之一，在高等數(shù)學中有著廣泛的應用.定理內容為：設函數(shù)f(x)，g(x)滿足:
①圖象在上是一條連續(xù)不斷的曲線；
②在內可導;
③對，，則，使得.
特別的，取，則有：，使得，此情形稱之為拉格朗日中值定理.
(1)設函數(shù)滿足，其導函數(shù)在上單調遞增，證明：函數(shù)在上為增函數(shù).
(2)若且，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【解析】（1）由題，
由柯西中值定理知：對，，
使得，，
又在上單調遞增，則，
則，即，
所以，
故在上為增函數(shù)；
（2），
取，，
因為，所以由柯西中值定理，，
使得，
由題則有：，
設，，
當時，，當時，，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
所以，
故，所以實數(shù)的取值范圍是.
【例6】已知函數(shù)在恒有，其中為函數(shù)的導數(shù)，若，為銳角三角形兩個內角，比較的大小.
【解析】設，則
所以函數(shù)在上單調遞增.
，為銳角三角形兩個內角,則
所以，由正弦函數(shù)在上單調遞增.
則
所以，即
所以.
(五)根據(jù)構造函數(shù)
若給出形如的式子通常構造偶函數(shù)或奇函數(shù).
【例7】設函數(shù)在上存在導函數(shù),,有,在上有,若,求實數(shù)的取值范圍.
【解析】因為,所以
令
即函數(shù)為偶函數(shù),因為上有,
所以
即函數(shù)在單調遞增；
又因為
所以

即,所以,解得 ,故選B.
(六)信息遷移題中的抽象函數(shù)
求解此類問題關鍵是如何利用題中的信息.
【例8】已知定義在上的函數(shù)的導函數(shù)為，若對任意恒成立，則稱函數(shù)為“線性控制函數(shù)”.
(1)判斷函數(shù)和是否為“線性控制函數(shù)”，并說明理由；
(2)若函數(shù)為“線性控制函數(shù)”，且在上嚴格增，設為函數(shù)圖像上互異的兩點，設直線的斜率為，判斷命題“”的真假，并說明理由；
(3)若函數(shù)為“線性控制函數(shù)”，且是以為周期的周期函數(shù)，證明：對任意都有.
【解析】（1），故是“線性控制函數(shù)”；
，故不是“線性控制函數(shù)”.
（2）命題為真，理由如下：
設，其中
由于在上嚴格增，故，因此
由于為“線性控制函數(shù)”，故，即
令，故，因此在上為減函數(shù)
，
綜上所述，，即命題“”為真命題.
（3）根據(jù)（2）中證明知，對任意都有
由于為“線性控制函數(shù)”，故，即
令，故，因此在上為增函數(shù)
因此對任意都有，即
當時，則恒成立
當時，
若，則，故
若時，則存在使得
故1，因此
綜上所述，對任意都有.
（事實上，對任意都有，此處不再贅述）
【例9】定義：若曲線C1和曲線C2有公共點P，且在P處的切線相同，則稱C1與C2在點P處相切．
(1)設．若曲線與曲線在點P處相切，求m的值；
(2)設，若圓M：與曲線在點Q（Q在第一象限）處相切，求b的最小值；
(3)若函數(shù)是定義在R上的連續(xù)可導函數(shù)，導函數(shù)為，且滿足和都恒成立.是否存在點P，使得曲線和曲線y=1在點P處相切？證明你的結論．
【解析】（1）設點，由，求導得，
于是，解得，由，得，解得，
所以m的值為9.
（2）設切點，由求導得，則切線的斜率為，
又圓M：的圓心，直線的斜率為，
則由，得，令，求導得，
當時，，當時，，即函數(shù)在上遞減，在上遞增，
因此當時，，
所以當時，.
（3）假設存在滿足題意，
則有，對函數(shù)求導得：，
于是，即，
平方得，
即有，因此，
整理得，而恒有成立，則有，
從而，顯然，于是，即與恒成立矛盾，
所以假設不成立，即不存在點滿足條件.
【例1】（2024年全國統(tǒng)一考試數(shù)學押題卷）函數(shù)與函數(shù)之間存在位置關系.已知函數(shù)與的圖象在它們的公共定義域內有且僅有一個交點，對于且，且，若都有，則稱與關于點互穿；若都有，則稱與關于點互回.已知函數(shù)與的定義域均為，導函數(shù)分別為與，與的圖象在上有且僅有一個交點，與的圖象在上有且僅有一個交點.
(1)若，，試判斷函數(shù)與的位置關系.
(2)若與關于點互回，證明：與關于點互穿且在上恒成立.
(3)研究表明：若與關于點互穿，則與關于點互回且在上恒成立.根據(jù)以上信息，證明：（為奇數(shù)）.
【解析】（1）設，
則，當時，，當時，，
在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，即，當且僅當時取等號.
又與的圖象在上有且僅有一個交點，
函數(shù)與關于點互回.
（2）設，，則，（互回的定義的應用）
設，則，故.
①若均大于零，因為，（提示：與的圖象交于點.
所以，所以單調遞增，
又，（提示：與的圖象交于點）
所以，，
所以，，
所以與關于點互穿且在上恒成立.
②若均小于零，因為，
所以，所以單調遞減，
又，
所以，，
所以，，
所以與關于點互穿且在上恒成立.
綜上，與關于點互穿且在上恒成立.
（3）設，（）
則（），（）
（關鍵：尋找與，與，之間的關系）
易知，，
由（1）可知與關于點互回.
因為，
所以，與的圖象交于點.
由（2）得與關于點互穿，（提示：，）
由（3）得與關于點互回，
易得當為奇數(shù)時，與關于點互回，
所以，，有（為奇數(shù)）.（提示：互回的定義的應用）
由題意得對任意正整數(shù)恒成立，（提示：由本問信息可得）
所以
，，
累乘得
所以
易知，（點撥：，當且僅當時等號成立，又，所以.所以.
因為，（為奇數(shù)），
所以（為奇數(shù)），
因為，所以（為奇數(shù)），
即（為奇數(shù)），得證.
【例2】（2024屆上海市普陀區(qū)桃浦中學高三上學期期末）對于一個在區(qū)間上連續(xù)的可導函數(shù)，在上任取兩點，，如果對于任意的與的算術平均值的函數(shù)值大于等于對于任意的與的函數(shù)值的算術平均值，則稱該函數(shù)在上具有“M性質”.如果對于任意的與的幾何平均值的函數(shù)值大于等于對于任意的與的函數(shù)值的幾何平均值，則稱在上具有“L性質”.
(1)如果函數(shù)在定義域內具有“M性質”，求的取值范圍.
(2)對于函數(shù)，若該函數(shù)的一個駐點是，求，并且證明該函數(shù)在上具有“L性質”.
(3)設存在，使得.
①證明:取，則有
②若，設命題:函數(shù)具有“性質”，命題為嚴格減函數(shù)，試證明是的必要條件.
(可用結論:若函數(shù)在區(qū)間上可導，且在區(qū)間上連續(xù)，若有，且，則在區(qū)間上存在駐點)
【解析】（1）由函數(shù)在上具有“性質”，
可得對任意.
又，所以；
（2）令由，得
則，在上嚴格減:在上嚴格增.
要證在上具有“性質”.
需證，
即證，
而，
則
，
需證，
由，
故只需證，
下面給出證明：設，則，
即在上遞減，
所以，
即.
綜上，成立，
故，得證.
（3）①令，，
由可用結論，令為該函數(shù)的駐點，則，
即取，則有，得證.
②取，設，
記，則，由①中的結論，則有:
（1）
（2）
由(1)(2)，得對在區(qū)間使用①中的結論，則：
，
其中，.
由于是嚴格減函數(shù)，則，
即，
即.
所以是的必要條件.
【例3】已知函數(shù)的定義域為，導函數(shù)為，若恒成立，求證：.
【解析】設函數(shù)，因為，，
所以，則，
所以在上單調遞減，
從而,即，所以.
【例4】已知函數(shù)滿足，且，判斷函數(shù)零點的個數(shù).
【解析】，∴，，∵代入，得，∴.
或，
；，
如圖所示，
函數(shù)與函數(shù)的圖像交點個數(shù)為2個，所以的解得個數(shù)為2個；綜上，零點個數(shù)為3個.
【例5】已知定義在R上的函數(shù)的導數(shù)為,且滿足,當時 ,求不等式的解集.
【解析】設,則,所以
=,所以是偶函數(shù),設,則,所以,即,所以時 , 所以時,在上是增函數(shù),所以
,故選C.
【例6】已知定義域為的函數(shù)，其導函數(shù)為，滿足對任意的都有.
(1)若，求實數(shù)a的取值范圍；
(2)若存在，對任意，成立，試判斷函數(shù)的零點個數(shù)，并說明理由；
(3)若存在a、，使得，證明：對任意的實數(shù)、，都有.
【解析】（1）若，則，
由題意，對任意的都有，
則，即，
所以，
由于的最小值為，的最大值為，
所以，即實數(shù)a的取值范圍為；
（2）依題意，，
所以，在上為減函數(shù)，所以至多一個零點；
，，
當時，，
當時，，
所以存在零點，綜上存在1個零點；
（3）因為，由導數(shù)的定義得，
即，
不妨設
若，則
若，
則
.
1.若定義域為D的函數(shù)使得是定義域為D的嚴格增函數(shù)，則稱是一個“T函數(shù)”．
(1)分別判斷，是否為T函數(shù)，并說明理由；
(2)已知常數(shù)，若定義在上的函數(shù)是T函數(shù)，證明：；
(3)已知T函數(shù)的定義域為，不等式的解集為．證明：在上嚴格增．
【解析】（1），定義域為，則是在上嚴格單調遞增函數(shù)，則是“T函數(shù)”；
，定義域為，則不是在上嚴格單調遞增函數(shù)，則不是“T函數(shù)”；
（2）定義在上的函數(shù)是T函數(shù)，則在上嚴格單調遞增，
設，則，
故在上單調遞增，故，
即，
（3）T函數(shù)的定義域為，故在上嚴格單調遞增，
，設，則，
當時，，函數(shù)單調遞減；
當時，，函數(shù)單調遞增，故，
即，
當時，恒成立，則恒成立，
故，
若存在，使，則當時，，
這與，矛盾，故不存在使，故恒成立，
故在上嚴格增.
2．對于一個函數(shù)和一個點，令，若是取到最小值的點，則稱是在的“最近點”．
(1)對于，求證：對于點，存在點，使得點是在的“最近點”；
(2)對于，請判斷是否存在一個點，它是在的“最近點”，且直線與在點處的切線垂直；
(3)已知在定義域R上存在導函數(shù)，且函數(shù) 在定義域R上恒正，設點，．若對任意的，存在點同時是在的“最近點”，試判斷的單調性．
【解析】（1）當時，，
當且僅當即時取等號，
故對于點，存在點，使得該點是在的“最近點”．
（2）由題設可得，
則，因為均為上單調遞增函數(shù)，
則在上為嚴格增函數(shù)，
而，故當時，，當時，，
故，此時，
而，故在點處的切線方程為.
而，故，故直線與在點處的切線垂直．
（3）設，
，
而，
，
若對任意的，存在點同時是在的“最近點”，
設，則既是的最小值點，也是的最小值點，
因為兩函數(shù)的定義域均為，則也是兩函數(shù)的極小值點，
則存在,使得，
即①
②
由①②相等得，即，
即，又因為函數(shù)在定義域R上恒正，
則恒成立，
接下來證明，
因為既是的最小值點，也是的最小值點，
則，
即，③
，④
③④得
即，因為
則，解得，
則恒成立，因為的任意性，則嚴格單調遞減.
3．（2024屆江蘇省鹽城市濱?？h高三下學期高考適應性考試）根據(jù)多元微分求條件極值理論，要求二元函數(shù)在約束條件的可能極值點，首先構造出一個拉格朗日輔助函數(shù)，其中為拉格朗日系數(shù)．分別對中的部分求導，并使之為0，得到三個方程組，如下：
，解此方程組，得出解，就是二元函數(shù)在約束條件的可能極值點．的值代入到中即為極值．
補充說明：【例】求函數(shù)關于變量的導數(shù)．即：將變量當做常數(shù)，即：，下標加上，代表對自變量x進行求導．即拉格朗日乘數(shù)法方程組之中的表示分別對進行求導．
(1)求函數(shù)關于變量的導數(shù)并求當處的導數(shù)值．
(2)利用拉格朗日乘數(shù)法求：設實數(shù)滿足，求的最大值．
(3)①若為實數(shù)，且，證明：．
②設，求的最小值．
【解析】（1）函數(shù)，對變量求導得：，
當時，.
（2）令，
則，解得或，
于是函數(shù)在約束條件的可能極值點是，，
當時，函數(shù)的一個極值為函數(shù)，
當時，函數(shù)的一個極值為函數(shù)，
方程視為關于x的方程：，則，解得，
視為關于y的方程：，則，解得，
因此函數(shù)對應的圖形是封閉的，而，
所以的最大值為.
（3）①由，，設，
則，
當且僅當時取等號，
所以.
②當時，
，當且僅當時取等號，
所以時，取得最小值4.
4．（2024屆浙江省寧波市寧波九校高三上學期期末）我們把底數(shù)和指數(shù)同時含有自變量的函數(shù)稱為冪指函數(shù)，其一般形式為，冪指函數(shù)在求導時可以將函數(shù)“指數(shù)化"再求導.例如，對于冪指函數(shù)，.
(1)已知，求曲線在處的切線方程；
(2)若且，.研究的單調性；
(3)已知均大于0，且，討論和大小關系.
【解析】（1），
則，
所以，又因為，所以切線方程為.
（2），，
，
令，令，
，
令，解得，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，所以，
所以在上單調遞增.
（3）由（2）知，令，得，
由（2）知在上單調遞增.
所以在上單調遞增，
當時，，即.
當時，
5．（湖北省八市高三下學期3月聯(lián)考）英國數(shù)學家泰勒發(fā)現(xiàn)的泰勒公式有如下特殊形式：當在處的階導數(shù)都存在時，．注：表示的2階導數(shù)，即為的導數(shù)，表示的階導數(shù)，該公式也稱麥克勞林公式.
(1)根據(jù)該公式估算的值，精確到小數(shù)點后兩位；
(2)由該公式可得：．當時，試比較與的大小，并給出證明（不使用泰勒公式）；
(3)設，證明：.
【解析】（1）令，則，，
，，
故，，，，，
由麥克勞林公式可得，
故．
（2）結論：，證明如下：
令，，則
令，則，
故在上單調遞增，，則
故在上單調遞增，，
即證得，故．
（3）由（2）可得當時，，
且由得，當且僅當時取等號，
故當時，，，
，
而
，
即有
故
而，
即證得．
6. 函數(shù)滿足（為自然數(shù)的底數(shù)），且當時，都有（為的導數(shù)），比較的大小 .
【解析】由可得，
故設，則，
故函數(shù)關于直線對稱，
由于當時，，遞增，
故當時，遞減，
由于，故.
7.設函數(shù)在R上可導，其導函數(shù)為，且．求證： .
【解析】依題意，令函數(shù)，則，
因，于是得時，時，
從而有在上單調遞減，在上單調遞增，
因此得：，而，即f(x)不恒為0，
所以恒成立.
8.已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為，是偶函數(shù)，記，也是偶函數(shù)，求的值.
【解析】因為是偶函數(shù)，所以是奇函數(shù)，即，
所以，所以，令可得，即，
因為為偶函數(shù)，所以，即，
所以，即，得，
所以4是函數(shù)的一個周期，所以．
9. 定義在上的函數(shù)有不等式恒成立，其中為函數(shù)的導函數(shù)，求證：.
【解析】，即，因為定義在上，
，令則，，
則函數(shù)在上單調遞增.
由得，即，；
同理令，，
則函數(shù)在上單調遞減.
由得，，即.
綜上，.
10．已知為定義域上函數(shù)的導函數(shù)，且，，且，求不等式的解集
【解析】由，整理可得，則函數(shù)關于成中心對稱，
所以關于直線成軸對稱，
當時，，由，則，
由函數(shù)的導數(shù)為，
則函數(shù)在上單調遞增，易知在上單調遞減，
當時，；當時，，
所以不等式的解集為，
11.定義在區(qū)間上函數(shù)使不等式恒成立，（為的導數(shù)），求的取值范圍.
【答案】
【解析】令，
則，
因為，即，
所以在恒成立，
即在上單調遞減，
可得，即，
由，可得，則；
令，，
因為，即，
所以在上單調遞增，可得，
即，則，
即有.
12.設是定義在上的奇函數(shù).若是嚴格減函數(shù)，則稱為“函數(shù)”.
(1)分別判斷和是否為函數(shù)，并說明理由；
(2)若是函數(shù)，求正數(shù)的取值范圍；
(3)已知奇函數(shù)及其導函數(shù)定義域均為.判斷“在上嚴格減”是“為函數(shù)”的什么條件，并說明理由.
【解析】（1）設，
所以，
所以和均為定義在上的奇函數(shù).
當時，函數(shù)嚴格減，故是函數(shù).
而當和時，，故不是函數(shù).
（2），
設，定義域為，
，
所以是定義在上的奇函數(shù).
當時，不是函數(shù)，下設.
當時，令，
則.
再設，則.
設，
所以當時，，函數(shù)單調遞減，
當時，，函數(shù)單調遞增，
所以，即恒成立，
所以當時，，
所以當時，；當時，.
因為，所以當時，
當時，，即恒成立，則函數(shù)嚴格單調遞增，
當時，，即恒成立，則函數(shù)嚴格單調遞減，
所以正數(shù)的取值范圍是.
（3）證：函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，
且在上嚴格減，故為函數(shù).
但當或時取值相等，
從而不是上嚴格減的函數(shù).
故“在上嚴格減”不是“為函數(shù)”的必要條件.
下證“在上嚴格減”是“為函數(shù)”的充分條件.
對任意，定義.
則由得，且由嚴格減得,
當時，，
故當時，，即.
現(xiàn)任取，考慮.
則，且當時，.
由關于函數(shù)的討論知，此時.
故當時，，
即：對任意，.
移項得，故在上嚴格減，
即為函數(shù).
綜上，“在上嚴格減”是“為函數(shù)”的充分非必要條件.
13.設是定義在上且滿足下列條件的函數(shù)構成的集合：
①方程有實數(shù)解；
②函數(shù)的導數(shù)滿足．
（1）試判斷函數(shù)是否集合的元素，并說明理由；
（2）若集合中的元素具有下面的性質：對于任意的區(qū)間，都存在，使得等式成立，證明：方程有唯一實數(shù)解．
（3）設是方程的實數(shù)解，求證：對于函數(shù)任意的，當，時，有．
【解析】（1）函數(shù)是集合中的元素．理由如下：
①方程，即．
顯然是方程的實數(shù)解，因此，方程有實數(shù)解.
②由于，又，即，所以.
綜上，函數(shù)是集合中的元素.
（2）（反證法）由條件①知方程有實數(shù)解.
假設方程有兩個不相等的實數(shù)解，，不妨設，則，.
由函數(shù)的性質知，存在，使得，
即．
又由條件②知，所以，即，這與矛盾．
因此，方程有唯一實數(shù)解.
（3）對任意的，當且時，
不妨設，則．
因為，所以在上是增函數(shù)，所以.
令，則，所以是上的減函數(shù)，
所以，即，
所以.
因此，對任意的，當，且時，有．
14.設定義在上的函數(shù)的導函數(shù)為，若，，求不等式（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集
【解析】設，則,
∵，∴,
而,故,
∴在R上單調遞增，
又，故，
∴的解集為，
即不等式的解集為.

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