函數(shù)與導數(shù)一直是高考中的熱點與難點, 近幾年高考試卷及各地模擬試卷中常出現(xiàn)與函數(shù)極值點偏移有關(guān)的函數(shù)與不等式問題（如2022高考全國卷甲理22）,已知函數(shù)是連續(xù)函數(shù),在區(qū)間內(nèi)有且只有一個極值點,且,若極值點左右的“增減速度”相同,常常有極值點,我們稱這種狀態(tài)為極值點不偏移；若極值點左右的“增減速度”不同,函數(shù)的圖象不具有對稱性,常常有極值點的情況,我們稱這種狀態(tài)為“極值點偏移”.此類問題背景新穎,教材中又沒有涉及,不少同學望而生畏,本專題給出此類問題的常用解法,共同學們參考.
二、解題秘籍
(一) 通過對稱化構(gòu)造新函數(shù)破解極值點偏易問題
【以例及類】已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)已知函數(shù)的圖像與的圖像關(guān)于直線對稱,證明：當時,；
(3)如果,且,證明：．
【分析】(1)由可得在上遞增,在上遞減；
(2),構(gòu)造函數(shù),,由單調(diào)性可得時；
(3)假設(shè),由(2)得,即,由在上遞增,可得.
該題的三問由易到難,層層遞進,完整展現(xiàn)了處理極值點偏移問題的一般方法——對稱化構(gòu)造的全過程,直觀展示如下：
該題是這樣一個極值點偏移問題：對于函數(shù),已知,,證明．
再次審視解題過程,發(fā)現(xiàn)以下三個關(guān)鍵點：
= 1 \* GB3 ①,的范圍；
= 2 \* GB3 ②不等式；
= 3 \* GB3 ③將代入（2）中不等式,結(jié)合的單調(diào)性獲證結(jié)論．
小結(jié)：用對稱化構(gòu)造的方法求解極值點偏移問題大致分為以下三步：
= 1 \* GB3 ①求導,獲得的單調(diào)性,極值情況,作出的圖像,由得,的取值范圍（數(shù)形結(jié)合）；
= 2 \* GB3 ②構(gòu)造輔助函數(shù)（對結(jié)論,構(gòu)造；對結(jié)論,構(gòu)造）,求導,限定范圍（或的范圍）,判定符號,獲得不等式；
= 3 \* GB3 ③代入（或）,利用及的單調(diào)性證明最終結(jié)論．
下面給出第(3)問的不同解法
【解析】法一：,易得在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,時,,,時,, 函數(shù)在處取得極大值,且,如圖所示.
由,不妨設(shè),則必有,
構(gòu)造函數(shù),
則,所以在上單調(diào)遞增,,也即對恒成立.
由,則,
所以,即,又因為,且在上單調(diào)遞減,
所以,即證
法二：欲證,即證,由法一知,故,又因為在上單調(diào)遞減,故只需證,又因為,
故也即證,構(gòu)造函數(shù),則等價于證明對恒成立.
由,則在上單調(diào)遞增,所以,即已證明對恒成立,故原不等式亦成立.
法三：由,得,化簡得…?,
不妨設(shè),由法一知,.令,則,代入?式,得,反解出,則,故要證：,即證：,又因為,等價于證明：…?,
構(gòu)造函數(shù),則,
故在上單調(diào)遞增,,從而也在上單調(diào)遞增,,即證?式成立,也即原不等式成立.
法四：由法三中?式,兩邊同時取以為底的對數(shù),得,也即,從而,
令,則欲證：,等價于證明：…?,
構(gòu)造,則,
又令,則,由于對恒成立,故,在上單調(diào)遞增,所以,從而,故在上單調(diào)遞增,由洛比塔法則知：,即證,即證?式成立,也即原不等式成立.
【例1】（2023屆貴州省威寧彝族回族苗族自治縣高三數(shù)學樣卷）已知函數(shù).
(1)當時，，求的取值范圍.
(2)若函數(shù)有兩個極值點，證明：.
【解析】（1）當時，在恒成立，
令，，
則，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，
，
，
的取值范圍是．
（2）函數(shù)，．
則，
函數(shù)有兩個極值點，，
有兩個正實數(shù)解方程有兩個正實數(shù)解函數(shù)與函數(shù)，的圖象有兩個交點．
，令，解得，
當時，則單調(diào)遞增，當時，則單調(diào)遞減，
函數(shù)的極大值即最大值為．
又時，且當時，，又，
．
不妨設(shè)，
要證明，．
令，，．
所以
，
當且僅當，即時取等號，
函數(shù)在單調(diào)遞增，
，，即，
因此成立．
(二) 含參函數(shù)問題可考慮先消去參數(shù)
含參數(shù)的極值點偏移問題,在原有的兩個變元的基礎(chǔ)上,又多了一個參數(shù),故思路很自然的就會想到：想盡一切辦法消去參數(shù),從而轉(zhuǎn)化成不含參數(shù)的問題去解決；或者以參數(shù)為媒介,構(gòu)造出一個變元的新的函數(shù).由于可導函數(shù)的極值點是的零點,也是方程的實根,所以有些與零點或方程實根有關(guān)的問題可以利用求解極值點偏移問題的方法去解決.
【一題多解】已知函數(shù),為常數(shù),若函數(shù)有兩個零點,
試證明：
【分析】法一：消參轉(zhuǎn)化成無參數(shù)問題：
,是方程的兩根,也是方
程的兩根,則是,設(shè),,則,從而,此問題等價轉(zhuǎn)化成為【例1】,下略.
法二：利用參數(shù)作為媒介,換元后構(gòu)造新函數(shù)：
不妨設(shè),
∵,∴,
∴,欲證明,即證.
∵,∴即證,
∴原命題等價于證明,即證：,令,構(gòu)造,利用單調(diào)性求解,下略.
法三：直接換元構(gòu)造新函數(shù)：
設(shè),
則,
反解出：,
故,轉(zhuǎn)化成法二,略.
【例2】（2024屆浙江省名校協(xié)作體高三上學期聯(lián)考）函數(shù)有兩個極值點．其中，為自然對數(shù)的底數(shù)．
(1)求實數(shù)的取值范圍；
(2)若恒成立，求的取值范圍．
【解析】（1）由于，
由題知有兩個不同實數(shù)根，即有兩個不同實數(shù)根．
令，則，解得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且時，，時，，，故的圖象如圖所示，

當時，有兩個零點且．則或，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，的極大值點為，極小值點為．
故有兩個極值點時，實數(shù)的取值范圍為．
（2）由于
若設(shè)，則上式即為
由（1）可得，兩式相除得，即，
由得
所以，令，
則在恒成立，由于，
令，則，，
顯然在遞增，
又有，所以存在使得，
且易得在遞減，遞增，又有，
所以存在使得，且易得在遞減，遞增，
又，則時，時，，所以易得在上遞減，在上遞增，則，
所以的取值范圍為．
(三) 對數(shù)平均不等式
兩個正數(shù)和的對數(shù)平均定義：
對數(shù)平均與算術(shù)平均、幾何平均的大小關(guān)系：
（此式記為對數(shù)平均不等式）
取等條件：當且僅當時,等號成立.
【例3】設(shè)函數(shù)其圖象與軸交于兩點,且.
（1）求實數(shù)的取值范圍；
（2）證明：為函數(shù)的導函數(shù)）；
【分析】（1）,,當時,在R上恒成立,不合題意
當時,
當,即時,至多有一個零點,不合題意,故舍去；
當,即時,由,且在內(nèi)單調(diào)遞減,故在有且只有一個零點；由
令,則,故
所以,即在有且只有一個零點.
（2）由（1）知,在內(nèi)遞減,在內(nèi)遞增,且
所以,因為,
,即,所以
所以,要證：,只須證,即
故,,
所以,所以
因為,所以,而
所以成立,所以
【評注】根據(jù)對數(shù)平均不等式求解的步驟是：
1.通過等式兩邊同取自然對數(shù)或相減等配湊出,
2.通過等式兩邊同除以構(gòu)建對數(shù)平均數(shù),
3.利用對數(shù)平均不等式將轉(zhuǎn)化為后再證明（或）. 兩種方法各有優(yōu)劣,適用的題型也略有差異.
(四) 一題多解賞析
【例4】已知,．若有兩個極值點,,且,求證：
【分析】解法一
欲證,需證．
若有兩個極值點,,即函數(shù)有兩個零點．又,所以,,是方程的兩個不同實根．
于是,有,解得．
另一方面,由,得,
從而可得,．
于是,．
又,設(shè),則．因此,,．
要證,即證：,．即：當時,有．構(gòu)造函數(shù),,利用為上的增函數(shù)求解.
解法二
欲證,需證．若有兩個極值點,,即函數(shù)有兩個零點．又,所以,,是方程的兩個不同實根．顯然,否則,函數(shù)為單調(diào)函數(shù),不符合題意．
由,問題轉(zhuǎn)化為證明,構(gòu)造函數(shù)
函數(shù),根據(jù)在上遞增,可得=0,
所以,設(shè),由在上遞增可證.
解法三
由,是方程的兩個不同實根得,令,,由于,因此,在,．
設(shè),需證明,只需證明,只需證明,即,即．來源： 微信公眾號 中學數(shù)學研討部落
即,,故在,故,即．令,則,因為,,在,所以,即．
解法四
設(shè),,則由得,設(shè),則,．欲證,需證,把代入整理得
,構(gòu)造證明.
設(shè),,則由得,設(shè),則,．欲證,需證,即只需證明,即,設(shè),,故在,因此,命題得證．
(五) 2022屆高考全國卷甲理22題解析
極值點偏移問題前幾年高考曾經(jīng)考查過，2022年高考全國卷甲理再次考查極值點偏移問題，該題有一定難度，但用前面介紹的方法可以輕易解決，下面給出兩種解法，共同學們參考：
【例5】已知函數(shù)．
（1）若,求a的取值范圍；
（2）證明：若有兩個零點,則．
【解析】解法一：
（1）因為,
令,得
當單調(diào)遞減；當單調(diào)遞增,
所以,
若,則,即,
所以的取值范圍為.
（2）由（1）知, 單調(diào)遞減；當單調(diào)遞增,
若有兩個零點,則一個零點小于1,一個零點大于1,不妨設(shè)
要證,即證,
因為,即證,因為,即證
即證,
即證,
下面證明時,,
設(shè),
則
,
設(shè),
所以,而,
所以,所以,
所以在單調(diào)遞增
即,所以
令
,
所以在單調(diào)遞減,
即,所以；
綜上, ,所以.
解法二：
（1）因為,
設(shè),則,
所以時,遞減,時,遞增,
,
設(shè),則為增函數(shù),,
若,則,即,
所以的取值范圍為.
（2）由（1）知有兩個零點,則方程有兩個實根,
因為時遞減,時遞增,
不妨設(shè),
由得,
所以要證,即證,即證,
即證,
設(shè),即證,
設(shè),則,
所以為增函數(shù),,
所以成立.
三、典例展示
【例1】（2024屆四川省廣安友誼中學高三上學期9月月考）已知函數(shù)
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若不等式有解，求實數(shù)t的取值范圍；
(3)若函數(shù)有兩個零點x1，x2，證明：．
【解析】（1），
單調(diào)遞增；
單調(diào)遞減；
（2）有解，
所以，，
，
單調(diào)遞增，
單調(diào)遞減；
單調(diào)遞增；
所以，
所以.
（3）有兩個零點x1，x2，
有兩個根x1，x2， 不妨設(shè)，由（1）可知兩根也是與的兩個交點，
且，，于是，由于在單調(diào)遞減，故等價于．
而，故等價于．①
設(shè)，則①式為．
因為．
設(shè)，
當時，，故在單調(diào)遞增，
所以，從而，因此在單調(diào)遞增．
又，故，故，于是．
【例2】（2024屆浙江省名校協(xié)作體高三上學期7月適應性考試）已知函數(shù)有兩個零點.
(1)證明：；
(2)求證：①；②.
【解析】（1）由，當時，時，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，
所以，
當時，，所以，
若，即時，則時，此時在上不存在零點，
要使有兩個零點，故.
（2）①要證，不妨設(shè)，則證，
因為在上單調(diào)遞增，即證，
令，，則，
所以在單調(diào)遞增，所以，即，得證；
②引理1：當時：
證明：當時，得證.
利用引理1：，所以①，
引理2：：
證明：令，
則，當時，時，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，
利用引理2，因為，所以，
所以，所以②，
由①，②知：.
【例3】（2023屆江蘇省常州市高三上學期期末）已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若存在兩個零點，，求a的取值范圍，并證明：.
【解析】（1）因為函數(shù)的定義域為，，
當時，，在上遞增；
當時，由得，，
時，，遞增；
時，，遞減.
綜上，當時，在上遞增；
當時，在上遞增，在上遞減.
（2）由（1）知，且，解得，
當時，，所以在上存在唯一零點，記為；
因為，所以，因為，
設(shè)，，則，
所以在上遞減，
所以，即，
所以在上存在唯一零點，記為，
因為a的取值范圍是.
因為，令，
則，得，
所以，
要證，只要證，只要證，
設(shè)，，
則，所以在上遞增，
所以，得證．
【例4】（2023屆江西省九江第一中學高三上學期12月月考）已知函數(shù)有兩個極值點，.
(1)求的取值范圍；
(2)證明：.
【解析】（1）,
有兩個極值點，，則在上有兩個實數(shù)根，，
所以在上有兩個實數(shù)根，，
則解得，
故的取值范圍為，
（2）由（1）知，且，
，
令，，
令在上恒成立，
所以在單調(diào)遞減，故，
因此在單調(diào)遞減，故，
故，得證.
【例5】（2023屆廣東省高三上學期第一次聯(lián)考）已知函數(shù)，．
(1)若，判斷函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若函數(shù)的導函數(shù)有兩個零點，證明：．
【解析】 (1)若，則，
所以，
由，得；
由，得．
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
(2)因為函數(shù)，所以，
所以．
若函數(shù)有兩個零點，
則方程的判別式，
，
所以．
又，所以，即，
，
欲證，只需證，
即證．
設(shè)，其中，
由，得．
因為，所以，
由得；由得．
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以的最大值為，
從而成立．
四、跟蹤檢測
1.（2023屆河北省部分高中高三三模）已知函數(shù)．
(1)當時，討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若為函數(shù)的導函數(shù)，有兩個零點．
（?。┣髮崝?shù)的取值范圍；
（ⅱ）證明：．
2．（2023屆云南師大附中高考適應性月考）已知函數(shù)，且，．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若，函數(shù)有三個零點，，，且，試比較與2的大小，并說明理由．
3．（2024屆四川省綿陽市高中高三突擊班診斷性考試）已知函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個不同的極值點.
(1)求的取值范圍；
(2)記兩個極值點為，且. 若，證明：.
4．（2023屆海南省海口市海南華僑中學高三模擬測試）已知函數(shù)（）有兩個零點.
(1)求實數(shù)的取值范圍；
(2)設(shè)函數(shù)的兩個零點分別為，，證明：.
5．（2023屆湖南省常德市第一中學高三下學期5月月考）已知函數(shù)
(1)求的單調(diào)區(qū)間;
(2)若存在實數(shù)，使得方程有兩個不相等的實數(shù)根，求證：
6．（2023屆北京市通州區(qū)高三考前查漏補缺）已知函數(shù)
(1)已知f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為，求實數(shù)a的值；
(2)已知f（x）在定義域上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.
(3)已知有兩個零點，，求實數(shù)a的取值范圍并證明.
7．（2023屆安徽省皖江名校高三最后一卷）已知函數(shù)有兩個極值點，且.
(1)求的取值范圍；
(2)若，證明：
8．（2024屆山東省新高考質(zhì)量檢測聯(lián)盟高三第一次質(zhì)量檢測）已知函數(shù)有三個零點.
(1)求的取值范圍；
(2)設(shè)函數(shù)的三個零點由小到大依次是.證明：.
9．（2023屆海南省?？谑械?地高三上學期12月期末）已知函數(shù)
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若函數(shù)有兩個不同的零點，，證明：．
10．（2023屆江蘇省鎮(zhèn)江中學高三三模）已知函數(shù).
(1)若有兩個極值點.求實數(shù)的取值范圍.
(2)在（1）的條件下，求證：.
11．（2023屆福建省寧德市五校教學聯(lián)合體高三下學期3月質(zhì)量監(jiān)測）已知函數(shù)，其中為實數(shù)，為自然對數(shù)底數(shù)，.
(1)已知函數(shù)，，求實數(shù)取值的集合；
(2)已知函數(shù)有兩個不同極值點、，證明

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