2023高考數(shù)學二輪專題導(dǎo)數(shù)38講 專題05 含參函數(shù)的單調(diào)性討論

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?專題05　含參函數(shù)的單調(diào)性討論
【方法總結(jié)】
分類討論思想研究函數(shù)的單調(diào)性
討論含參函數(shù)的單調(diào)性，其本質(zhì)就是討論導(dǎo)函數(shù)符號的變化情況，所以討論的關(guān)鍵是抓住導(dǎo)函數(shù)解析式中的符號變化部分，即導(dǎo)數(shù)的主要部分，簡稱導(dǎo)主．討論時要考慮參數(shù)所在的位置及參數(shù)取值對導(dǎo)函數(shù)符號的影響，一般來說需要進行四個層次的分類：
(1)最高次冪的系數(shù)是否為0，即“是不是”；
(2)導(dǎo)函數(shù)是否有變號零點，即“有沒有”；
(3)導(dǎo)函數(shù)的變號零點是否在函數(shù)定義域或指定區(qū)間內(nèi)，即“在不在”；
(4)導(dǎo)函數(shù)的變號零點之間的大小關(guān)系，即“大不大”．
牢記：十二字方針“是不是，有沒有，在不在，大不大”．
考點一　導(dǎo)主一次型
【例題選講】
[例1]　已知函數(shù)f(x)＝x－alnx(a∈R)，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性．
解析　f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝1－＝，令f′(x)＝0，得x＝a，
①當a≤0時，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，∴f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，
②當a>0時，x∈(0，a)時，f′(x)0，
綜上，當a≤0時，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，當a>0時，f(x)在(0，a)上單調(diào)遞減，在(a，＋∞)上單調(diào)遞增．
【對點訓(xùn)練】
1．已知函數(shù)f(x)＝alnx－ax－3(a∈R)．討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性．
1．解析　函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，且f′(x)＝，令f′(x)＝0，得x＝1，
當a>0時，f(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減；
當a0)，
①當a≤0時，f′(x)＝－a>0，即函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．
②當a>0時，令f′(x)＝－a＝＝0，可得x＝，
當0時，f′(x)＝0時，f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
考點二　導(dǎo)主二次型
【方法總結(jié)】
此類問題中，導(dǎo)數(shù)的解析式通過化簡變形后，通常可以轉(zhuǎn)化為一個二次函數(shù)的含參問題．對于二次三項式含參問題，有如下處理思路：
(1)首先需要考慮二次項系數(shù)是否含有參數(shù)．如果二次項系數(shù)有參數(shù)，就按二次項系數(shù)為零、為正、為負進行討論；
(2)其次考慮二次三項式能否因式分解，如果二次三項式能因式分解，這表明存在零點，只需討論零點是否在定義域內(nèi)，如果x1，x2都在定義域內(nèi)，則討論個零點x1，x2的大??；如果二次三項式不能因式分解，這表明不一定存在零點，需討論判別式Δ≤0和Δ>0分類討論；
【例題選講】
命題點1　是不是＋有沒有＋在不在
[例2]　(2021·全國乙節(jié)選)已知函數(shù)f(x)＝x3－x2＋ax＋1．討論f(x)的單調(diào)性．
解析　由題意知f(x)的定義域為R，f′(x)＝3x2－2x＋a，對于f′(x)＝0，Δ＝(－2)2－4×3a＝4(1－3a)．
①當a≥時，f′(x)≥0，f(x)在R上單調(diào)遞增；
②當a0，則x1或0