一、必備秘籍
分離參數(shù)法
用分離參數(shù)法解含參不等式恒成立問題，可以根據(jù)不等式的性質將參數(shù)分離出來，得到一個一端是參數(shù)，另一端是變量表達式的不等式；
步驟：
①分類參數(shù)（注意分類參數(shù)時自變量的取值范圍是否影響不等式的方向）
②轉化：若)對恒成立，則只需；若對恒成立，則只需．
③求最值.
二、典型題型
1．（2023·上海崇明·統(tǒng)考一模）若存在實數(shù)，對任意實數(shù)，使得不等式恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】不等式等價于即，
原命題等價于存在實數(shù)，，對任意實數(shù)不等式恒成立，
等價于存在實數(shù)，，不等式成立，
記，則，
（1）當時，對任意，恒成立，即在上單調遞減
①當，即時，，
②當，即時，，
從而當時，，
則在上單調遞減，在上單調遞增，
所以；
（2）當時，令，解得，
在區(qū)間上單調遞增，在上單調遞減，
，，，
①當時，此時，
當即時，，
當即時，，
從而當時，，
則在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增,
所以；
令，則，，記，
則，
當時，恒成立，
即在區(qū)間上單調遞減，即，
即；
②當時，此時，
當即時，，
當即時，，
從而當時，，
則在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，
所以；
（3）當時，對任意，恒成立，即在上單調遞增，
①當，即時，，
②當，即時，，
從而當時，，
則在上單調遞減，在上單調遞增，
所以；
綜上所述，，
所以.
故選：A
【點睛】結論點睛：本題考查不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉化：
一般地，已知函數(shù)，
（1）若，，總有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，則的值域是值域的子集 ．
2．（2023·海南省直轄縣級單位·校考模擬預測）若恒成立，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【詳解】當時，，則，不符合題意；

當時，，
恒成立，
即恒成立，
設，
令，得，
當時，，單調遞增；
當時，，單調遞減.
故當時，取得最大值，
所以，解得，
故選：C．
3．（2023·江西九江·統(tǒng)考一模）若對，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】由已知得：，由，得
即，可得．
令，，則，
求導得，，解得；，解得，
在上單調遞增，在上單調遞減，
且當時；當時，，函數(shù)圖像如圖所示．

，，，
由及的圖像可知，恒成立，即成立，
而，，實數(shù)的取值范圍是.
故選：C．
4．（2023·全國·模擬預測）已知函數(shù)，若對于任意的，都有，則實數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【詳解】對于任意的，都有，即，
令，
則，且對于任意的，都有.
①當時，，，所以，
所以在上單調遞減，所以，符合題意；
②當時，令，則，令，得.
當時，則，
所以當時，在上單調遞減，
所以當時，，即，
所以在上單調遞增，所以，這與矛盾，不符合題意；
當時，則，
所以當時，，在上單調遞增，所以，即，
所以在上單調遞減，，符合題意.
綜上，實數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
【點睛】恒成立問題方法指導：
方法1：分離參數(shù)法求最值
(1)分離變量．構造函數(shù)，直接把問題轉化為函數(shù)的最值問題．
(2)恒成立?；
恒成立?；
能成立?；
能成立?.
方法2：根據(jù)不等式恒成立構造函數(shù)轉化成求函數(shù)的最值問題，一般需討論參數(shù)范圍，借助函數(shù)單調性求解．
5．（2023·湖南永州·統(tǒng)考一模）若函數(shù)，當時，恒有，則實數(shù)t的取值范圍 ．
【答案】
【詳解】因為時，恒有，所以，
即恒成立.
設，則，且，
令，則，
所以當時，，在單調遞減；當時，，在單調遞增；所以，
所以在恒成立，故在單調遞增，
所以恒成立，即，所以恒成立，
令，則，，
所以當時，，在單調遞增；當時，，在單調遞減；所以.
所以.
故答案為：.
6．（2023·四川雅安·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)在時有極小值.曲線在點處的切線方程為.
(1)求的值；
(2)若對任意實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由題意，，
在中，，
在時有極小值.曲線在點處的切線方程為.
∴即 ，
，，
當時，在上單調遞增.
當時，在上單調遞減.
當時，在時有極小值.
故符合題意，即為所求.
（2）由題意及（1）得，，
在中，，即對任意實數(shù)恒成立，
設，則.
當時，，則，故在上單調遞增；
當時，，則，故在上單調遞減；
當時，，則，
故時有極小值，也就是的最小值，
故即為所求.
【點睛】關鍵點點睛：本題考查函數(shù)的求導，導數(shù)法判斷函數(shù)單調性，導數(shù)法解決函數(shù)恒成立問題，構造函數(shù)法，考查學生的計算能力和邏輯思維能力，具有很強的綜合性.
7．（2023·四川內江·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)．
(1)當時，求的極值；
(2)若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)極小值為，無極大值
(2)
【詳解】（1）當時，，則，
由，得到，又，當時，，時，，
所以在處取到極小值，極小值為，無極大值.
（2）由恒成立，得到恒成立，即恒成立，
又，所以恒成立，
令，則，
令，則恒成立，
即在區(qū)間上單調遞減，
又，所以當時，，時，，
即時，，時，，
所以在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，
故，所以，即，
所以，實數(shù)的取值范圍為.
【點睛】方法點晴，第（2）問中的恒成立問題，常用的方法，一是直接構造函數(shù)，求出函數(shù)的最值；二是通過參變分離，再構造函數(shù)，通過求函數(shù)最值來解決問題.
三、專項訓練
一、單選題
1．（2023·四川眉山·仁壽一中?？寄M預測）已知，且恒成立，則k的值不可以是（ ）
A．－2B．0C．2D．4
【答案】D
【詳解】由，知，，則，即，
令，則，令，則，
函數(shù)在上單調遞增，于是，即，
從而，令，則，
則當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，
因此在時取得最小值2，即，
所以，即可取，不能取4.
故選：D
2．（2023·江西南昌·江西師大附中校考三模）若不等式在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【詳解】不等式在上恒成立，
兩邊同除得在上恒成立，
令，則，
所以當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，
所以，
令，，
即在上恒成立，
所以只需即可，
令，則，
令，則在上恒成立，單調遞增，
又因為，
所以當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，
所以，即，
故選：B
3．（2023·黑龍江大慶·大慶實驗中學校考模擬預測）已知，為實數(shù)，不等式在上恒成立，則的最小值為（ ）
A．－4B．－3C．－2D．－1
【答案】C
【詳解】設，，
當時，，函數(shù)在上單調遞增，
此時，在不恒成立，不合題意
當時，
時，，函數(shù)在上單調遞增，
時，，函數(shù)在上單調遞減，
所以在時取得最大值，
由題意不等式在恒成立，只需
即，
所以，
，
設，
當時，，在區(qū)間上單調遞減，
當時，，在區(qū)間上單調遞增，
所以在取得最小值為，
所以最小值為，
故選：C
二、多選題
4．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預測）已知，則的可能取值有（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【詳解】已知，
當時，成立；
當時，恒成立或恒成立；
即恒成立或恒成立；
設
單調遞減；
單調遞增；
無最大值.
設
單調遞減；
單調遞增；
無最大值.
當時，成立或成立；
當時，成立或無解；
當時，恒成立或恒成立；
即恒成立或恒成立；
設
單調遞減；
單調遞增；
無最小值.
設
單調遞減；
無最小值.
當時， 恒成立或成立；
當時，成立；或無解；
所以.
故選：BD .
5．（2023·安徽馬鞍山·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，若恒成立，則實數(shù)的可能的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【詳解】，
故恒成立，轉化成恒成立，
記，則在單調遞增，故由得，故恒成立，
記，故當時，單調遞減，當時，單調遞增，故當時，取最大值，
故由恒成立，即,故，
故選：AD
6．（2023·海南·模擬預測）若時，關于的不等式恒成立，則實數(shù)的值可以為（ ）
（附：）
A．B．C．D．
【答案】BD
【詳解】由題意知：當時，恒成立；
令，則，
令，則，
當時，恒成立，即恒成立，
在上單調遞增，，
，即實數(shù)的取值范圍為.
，，，.
故選：BD.
三、填空題
7．（2023上·河北保定·高三定州市第二中學?？茧A段練習）已知函數(shù)，若對恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是 ．
【答案】
【詳解】易知，由可得，
即，則有，
設，易知在上單調遞增，
故，所以，即，
設，令，，
故在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，則有，解之得．
故答案為：.
8．（2023·河南洛陽·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)，，若時，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【詳解】，則，
則時，，單調遞增.
時，恒成立，即恒成立，
則在上恒成立，
則即在上恒成立，
令，，則
則當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增.
則當時取得最小值，則
則實數(shù)的取值范圍是
故答案為：
四、問答題
9．（2023·全國·模擬預測）已知函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．
(1)當時，討論函數(shù)在上的單調性；
(2)若對一切，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增
(2)
【詳解】（1）當時，則．
記，則．
令，得．
當時，；當時，．
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
即在上單調遞減，在上單調遞增．
又，，，
所以當時，；當時，．
所以函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增．
（2）當時，恒成立，即恒成立．
①當時，，此時．
②當時，，即
記，，則．
當時，；當時，．
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
故，所以，
綜上可知，實數(shù)m的取值范圍為．
10．（2023·全國·模擬預測）已知函數(shù)．
(1)若曲線在處的切線方程為，求實數(shù)a，b的值；
(2)若，對任意的，且，不等式恒成立，求m的取值范圍．
【答案】(1)，；
(2).
【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，求導得，
由曲線在處的切線方程為，得，解得，，
所以，.
（2）當時，函數(shù)，求導得，
當時，，即函數(shù)在上單調遞減，
不妨設，則，，
不等式恒成立，即恒成立，
則恒成立，設，
于是，恒成立
則在上單調遞增，于是在上恒成立，
即在上恒成立，，當且僅當時取等號，因此，
所以m的取值范圍為．
11．（2023下·安徽合肥·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．
(1)當時，討論在區(qū)間上的單調性；
(2)若當時，，求的取值范圍．
【答案】(1)在上單調遞增，在上單調遞減
(2)
【詳解】（1）當時，，，
當時，；當時，．
所以在上單調遞增，在上單調遞減.
（2）設，由題意知當時，．
求導得．
設，則，
令，則，當當故函數(shù)在單調遞增，在單調遞減，所以；
令，可得，故在單調遞增時，．
所以當時，．
故在上單調遞增，
當時，，且當時，．
若，則，函數(shù)在上單調遞增，
因此，，符合條件．
若，則存在，使得，即，
當時，，則在上單調遞減，此時，不符合條件．
綜上，實數(shù)的取值范圍是．
12．（2023·北京西城·北師大實驗中學?？既＃┮阎瘮?shù)．
(1)當時，求的零點；
(2)討論在上的最大值；
(3)是否存在實數(shù)，使得對任意，都有？若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由．
【答案】(1)
(2)答案見解析
(3)存在，的取值范圍是
【詳解】（1）的定義域為，
當時，，，
所以當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，
又因為當時，，，
所以僅有一個零點，.
（2），令，解得，
在區(qū)間內，
當（即）時，在上單調遞減，，
當（即）時，在上單調遞增，，
當（即）時，在上單調遞增，在上單調遞減，．
綜上所述，當時，的最大值為，當時，的最大值為，當時，的最大值為.
（3）由（2）知在上，，
構造函數(shù)，由題意應使，
，令，解得．
所以，
所以使的實數(shù)只有，即的取值范圍是．
單調遞增
極大值
單調遞減
1
單調遞減
極小值
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