1．某籃球興趣小組7名學(xué)生參加投籃比賽，每人投10個(gè)，投中的個(gè)數(shù)分別為8，5，7，5，8，6，8，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別為（ ）．
A 5，7B. 6，7C. 8，5D. 8，7
【答案】D
【解析】數(shù)據(jù)由小到大排列為5，5，6，7，8，8，8，
因此，這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為8，中位數(shù)為7．
故選：D．
2．圓心在軸上，半徑為1，且過點(diǎn)的圓的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因?yàn)閳A心在軸上，所以可設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為，
則圓的方程為，又點(diǎn)在圓上，
所以，解得，
所以所求圓的方程為．
故選：A
3．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（ ）
A. 20B. 16C. 14D. 12
【答案】D
【解析】∵是等差數(shù)列，
∴，，所以，
∴公差，
∴，
∴，
故選：D．
4．如圖，將正四棱臺(tái)切割成九個(gè)部分，其中一個(gè)部分為長(zhǎng)方體，四個(gè)部分為直三棱柱，四個(gè)部分為四棱錐．已知每個(gè)直三棱柱的體積為，每個(gè)四棱錐的體積為，則該正四棱臺(tái)的體積為（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】設(shè)每個(gè)直三棱柱高為，每個(gè)四棱錐的底面都是正方形，設(shè)每個(gè)四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，
設(shè)正四棱臺(tái)的高為，因?yàn)槊總€(gè)直三棱柱的體積為，每個(gè)四棱錐的體積為，
則，可得，可得，
所以，該正四棱臺(tái)的體積為.
故選：C.
5．古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積．如圖，，為橢圓：的左、右焦點(diǎn)，中心為原點(diǎn)，橢圓的面積為，直線上一點(diǎn)滿足是等腰三角形，且，則的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由題可知，，即，是以為頂角的等腰三角形，
則有：，，，
所以，又因?yàn)?，即，?br>可得：，解得，故離心率為．
故選：B．
6．如圖，在邊長(zhǎng)為2的菱形中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊，上，且，若，則（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】C
【解析】設(shè)，可得，
有，，
故，
又由，有，解得，（舍），
故為邊，的中點(diǎn)，所以為等邊三角形，故．
故選：C．
7．如圖，在正方體中，，是正方形內(nèi)部(含邊界)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若，則三棱錐外接球的表面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】若，則為中點(diǎn)，為等腰直角三角形，外接圓半徑為，三棱錐外接球的球心到平面的距離為，則外接球的半徑為，所以三棱錐外接球的表面積為，A選項(xiàng)正確；
故選：A
8．方程所有正根的和為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，
令，則，即，
所以或，
當(dāng)時(shí)，即，
所以，
因?yàn)?，所以?br>當(dāng)時(shí)，即，
則，
因?yàn)槭瞧鏀?shù)，所以也是奇數(shù)，不成立；
所以方程所有正根的和為：,
故選：C
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9．函數(shù)的圖象如圖所示，將其向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象，則下列說法正確的是（ ）
A. B. 函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
C. 函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D. 函數(shù)在上單調(diào)遞減
【答案】ABD
【解析】函數(shù)，當(dāng)，
此時(shí)，，
因?yàn)?，所以，所以，故A正確；
，所以關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故B正確；
函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到，
，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱，故C錯(cuò)誤；
，當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故D正確.
故選：ABD
10．已知復(fù)數(shù)滿足，則（ ）
A. 的實(shí)部為
B. 的虛部為
C. 滿足：的復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在區(qū)域的面積為
D. 對(duì)應(yīng)的向量與軸正方向所在向量夾角的正切值為
【答案】AC
【解析】由，
則，
所以的實(shí)部為，虛部為，故A正確，B錯(cuò)誤；
因?yàn)椋?br>則，設(shè)，
則，即，
所以復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在區(qū)域是以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓內(nèi)的區(qū)域（包括圓），
則所在區(qū)域的面積為，故C正確；
如圖，對(duì)應(yīng)的向量為，
則向量與軸正方向所在向量夾角的正切值為，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
11．在平面直角坐標(biāo)系中，圓，點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，則（ ）
A. 圓上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為
B. 已知點(diǎn)，圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為
C. 過點(diǎn)作圓的一條切線，切點(diǎn)為可以為
D. 過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)為，則直線恒過定點(diǎn)
【答案】ABD
【解析】選項(xiàng)A，由題意知，圓心到直線的距離為，圓的半徑為，
由，
如圖可知與直線平行且與直線距離為的其中一條直線與圓相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)，
另一條直線與圓相離，即圓上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，故A正確；

選項(xiàng)B，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，
則，解得，即，
則，
即的最小值為，故B正確；

選項(xiàng)C，由切點(diǎn)為，則在中，，
當(dāng)最小時(shí)，取最大值，最大，
過點(diǎn)作，垂足為，此時(shí)最小，最小值為，
即最大值為，最大為，不可能為，故C錯(cuò)誤；

選項(xiàng)D，設(shè)點(diǎn)，切點(diǎn)，
可得切線方程為，由點(diǎn)在切線上，得，
同理可得，
故點(diǎn)都在直線上，
即直線的方程為，
又由點(diǎn)在直線上，則，
代入直線方程整理得，
由解得，即直線恒過定點(diǎn)，故D正確.
故選：ABD
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12．的展開式中的系數(shù)為__________．（用數(shù)字作答）
【答案】
【解析】的通項(xiàng)公式為，
令得，，此時(shí)，
令得，，此時(shí)，
故的系數(shù)為
故答案為：
13.如圖，圓錐底面半徑為，母線PA＝2，點(diǎn)B為PA的中點(diǎn)，一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，沿圓錐側(cè)面繞行一周，到達(dá)B點(diǎn)，其最短路線長(zhǎng)度為________，其中下坡路段長(zhǎng)為________．

【答案】 ①. ②.
【解析】如圖，將圓錐側(cè)面沿母線PA剪開并展開成扇形，
易知該扇形半徑為2，弧長(zhǎng)為，故圓心角∠APB＝，
最短路線即為扇形中的直線段AB，由余弦定理易知
AB＝＝，
cs∠PBA＝＝；
過P作AB的垂線，垂足為M，
當(dāng)螞蟻從A點(diǎn)爬行到M點(diǎn)的過程中，它與點(diǎn)P的距離越來越小，故AM為上坡路段，
當(dāng)螞蟻從M點(diǎn)爬行到B點(diǎn)的過程中，它與點(diǎn)P的距離越來越大，故MB為下坡路段，
下坡路段長(zhǎng)MB＝PB?cs∠PBA＝．
故答案為：，.
14.設(shè)嚴(yán)格遞增的整數(shù)數(shù)列，，…，滿足，.設(shè)為，，…，這19個(gè)數(shù)中被3整除的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，則的最大值為________，使得取到最大值的數(shù)列的個(gè)數(shù)為________.
【答案】 ①. 18 ②. 25270
【解析】第一個(gè)空，設(shè)某個(gè)數(shù)除以余數(shù)為，則稱該數(shù)模余(，均為整數(shù)，且)，
為了讓盡可能多的相鄰兩數(shù)之和被3整除，則要盡量多地出現(xiàn)相鄰兩數(shù)一個(gè)模3余1，一個(gè)模3余2這樣的組合，這樣它們之和才會(huì)被3整除.
而，均為模3余1，則不可能有19組上述組別，最多出現(xiàn)18組上述組別，
例如嚴(yán)格遞增數(shù)列1,2,4,5,7,8,10,11,13,14,16,17,19,20,22,23,25,26,28,40，滿足題意，
所以的最大值為18.
第二個(gè)空，因?yàn)?-40這40個(gè)數(shù)中，共有27個(gè)數(shù)符合模3余1或模3余2，則要從這27個(gè)數(shù)中選出滿足要求的20個(gè)數(shù).
第一步，在到這20個(gè)數(shù)中刪去一個(gè)數(shù)（后面再加回來），使得剩下的19個(gè)數(shù)滿足任意兩個(gè)相鄰數(shù)一個(gè)模3余1，一個(gè)模3余2，這樣就形成了18組，即使得的最大值為18.
第二步，將這27個(gè)數(shù)從小到大排列，需要?jiǎng)h去8個(gè)數(shù)得到目標(biāo)19個(gè)數(shù)的數(shù)列.它們中任意相鄰兩數(shù)一個(gè)模3余1，一個(gè)模3余2，因此，需要?jiǎng)h去的8個(gè)數(shù)應(yīng)該為4組相鄰的數(shù).
第三步，利用捆綁思想，從27個(gè)數(shù)中刪去4組相鄰的數(shù)等價(jià)于從23個(gè)數(shù)中刪去4個(gè)數(shù).有三種情況：
①兩端均刪去，這種情況不滿足要求.因?yàn)槿魞啥司鶆h去，那么1和40必定被刪去，在下一步加出來時(shí)也最多加回1或40中的一個(gè)，而1和40必定在數(shù)列中，因此不滿足.
②兩端均不刪去，從中間21個(gè)數(shù)中選4個(gè)數(shù)刪去，有種，再從刪去的8個(gè)數(shù)中拿一個(gè)加回原來的19個(gè)數(shù)中，由種，共有種.
③兩端中有一個(gè)被刪去，其余3個(gè)數(shù)從中間21個(gè)數(shù)里選，有種，此時(shí)加回來的數(shù)必定是刪去的兩端之一中的1或40，有1種選法，共種.
第四步，刪去的四組相鄰數(shù)中有一組中有一個(gè)數(shù)被加回來，即未被刪去，被刪去的是這一組中的另一個(gè)數(shù)，而對(duì)于刪去的數(shù)，假設(shè)為，它旁邊兩個(gè)數(shù)分別為，即排列為，在第三步捆綁時(shí)，可能捆綁的組合為，然后刪去，再補(bǔ)回；或者為，然后刪去，再補(bǔ)回，這兩種刪去方式結(jié)果相同.
綜上，共有種.
故答案為：18；25270

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