考點一：特殊角的三角函數(shù)值及其運算
銳角三角函數(shù)的定義和運算是中考數(shù)學(xué)中的必考考點，單獨考察時雖然難度不大，但是也需要熟記對應(yīng)考點。其中特殊角的三角函數(shù)值是必須記住的。
題型01 銳角三角函數(shù)的定義
【中考真題練】
1．（2023?攀枝花）△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c．已知a＝6，b＝8，c＝10，則cs∠A的值為（ ）
A．B．C．D．
【分析】先利用勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀，再利用三角形的邊角間關(guān)系得結(jié)論．
【解答】解：在△ABC中，
∵a＝6，b＝8，c＝10，a2+b2＝62+82＝36+64＝100，c2＝100．
∴a2+b2＝c2．
∴△ABC是直角三角形．
∴csA＝＝＝．
故選：C．
2．（2023?衢州）如圖，一款可調(diào)節(jié)的筆記本電腦支架放置在水平桌面上，調(diào)節(jié)桿，AB＝b，AB的最大仰角為α．當(dāng)∠C＝45°時，則點A到桌面的最大高度是（ ）
A．B．C．a(chǎn)+bcsαD．a(chǎn)+bsinα
【分析】過點A作AF⊥BE于F，過點B作BG⊥CD于G，利用解直角三角形可得AF＝bsinα，BG＝a，根據(jù)點A到桌面的最大高度＝BG+AF，即可求得答案
【解答】解：如圖，過點A作AF⊥BE于F，過點B作BG⊥CD于G，
在Rt△ABF中，AF＝AB?sinα＝bsinα，
在Rt△BCG中，BG＝BC?sin45°＝a×＝a，
∴點A到桌面的最大高度＝BG+AF＝a+bsinα，
故選：D．
3．（2023?益陽）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有三點A（0，1），B（4，1），C（5，6），則sin∠BAC＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】過C作CD⊥AB交AB延長線于D，計算出CD、AC的長，根據(jù)正弦計算方法計算即可．
【解答】解：過C作CD⊥AB交AB延長線于D，
∵A（0，1），B（4，1），C（5，6），
∴D（5，1），
∴CD＝6﹣1＝5，AD＝5，
∴AC＝5，
∴sin∠BAC＝＝，
故選：C．
4．（2023?宿遷）如圖，在網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點．點A、B、C三點都在格點上，則sin∠ABC＝ ．
【分析】連接AC，根據(jù)勾股定理的逆定理得到∠ACB＝90°，根據(jù)正弦的定義計算，得到答案．
【解答】解：如圖，連接AC，
由勾股定理得：AB2＝22+42＝20，BC2＝12+32＝10，AC2＝12+32＝10，
則BC2+AC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴sin∠ABC＝＝＝，
故答案為：．
5．（2023?常州）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，點D在邊AB上，連接CD．若BD＝CD，＝，則tanB＝ ．
【分析】設(shè)AD＝t，根據(jù)已知表示出AC＝2t，AB＝AD+BD＝4t，即可得tanB＝＝＝．
【解答】解：設(shè)AD＝t，
∵BD＝CD，＝，
∴BD＝CD＝3t，
∴AC＝＝2t，AB＝AD+BD＝4t，
∴tanB＝＝＝，
故答案為：．
【中考模擬練】
1．（2024?綏化模擬）在△ABC中，∠C＝90°，設(shè)∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c，則（ ）
A．c＝bsinBB．b＝csinBC．a(chǎn)＝btanBD．b＝ctanB
【分析】根據(jù)正弦、正切的定義計算，判斷即可．
【解答】解：A、sinB＝，
則b＝csinB，本選項說法錯誤；
B、b＝csinB，本選項說法正確；
C、tanB＝，
則b＝atanB，本選項說法錯誤；
D、b＝atanB，本選項說法錯誤；
故選：B．
2．（2024?湖州一模）如圖，小明想利用“∠A＝30°，AB＝6cm，BC＝4cm”這些條件作△ABC．他先作出了∠A和AB，在用圓規(guī)作BC時，發(fā)現(xiàn)點C出現(xiàn)C1和C2兩個位置，那么C1C2的長是（ ）
A．3cmB．4cmC．2cmD．2cm
【分析】過點B作BM⊥AC2于點M，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出BM＝3cm，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理求出C1M＝C2M＝cm，根據(jù)線段的和差求解即可．
【解答】解：過點B作BM⊥AC2于點M，
∵∠A＝30°，BM⊥AC2，AB＝6cm，
∴BM＝AB＝3cm，
∵BC1＝BC2＝4cm，BM⊥AC2，
∴C1M＝C2M＝＝cm，
∴C1C2＝2cm，
故選：D．
3．（2024?越秀區(qū)一模）如圖所示的衣架可以近似看成一個等腰△ABC，其中AB＝AC，∠ABC＝27°，BC＝40cm，則高AD為 10.2 cm．
（參考數(shù)據(jù)：sin27°≈0.45，cs27°≈0.89，tan27°≈0.51）
【分析】先利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得BD＝20cm，然后在Rt△ABD中，利用銳角三角函數(shù)的定義進行計算，即可解答．
【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝BC＝20（cm），
在Rt△ABD中，∠ABC＝27°，
∴AD＝BD?tan27°≈20×0.51≈10.2（cm），
∴高AD約為10.2cm，
故答案為：10.2．
4．（2024?溫州模擬）“圭表”是中國古代用來確定節(jié)氣的儀器．某“圭表”示意圖如圖所示，AC⊥BC，AC＝3米，測得某地夏至正午時“表”的影長CD＝1米，冬至?xí)r的正午太陽高度角∠ABC＝α，則夏至到冬至，影長差BD的長為（ ）
A．（3sinα﹣1）米B．米
C．（3tanα﹣1）米D．米
【分析】根據(jù)垂直定義可得∠ACB＝90°，然后在Rt△ABC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BC的長，從而利用線段的和差關(guān)系進行計算，即可解答．
【解答】解：∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，∠ABC＝α，AC＝3米，
∴BC＝＝（米），
∵CD＝1米，
∴BD＝BC﹣CD＝（﹣1）米，
∴影長差BD的長為（﹣1）米，
故選：D．
5．（2024?西湖區(qū)一模）如圖，在4×5的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1．若△ABC的頂點都在格點上，則sinC的值為 ．
【分析】連接格點B、D，利用勾股定理先求出AB、AD、BD、BC的長，再利用勾股定理的逆定理判斷△ABD是直角三角形，最后利用直角三角形的邊角間關(guān)系得結(jié)論．
【解答】解：連接格點B、D．
由題圖知：AB＝＝，BC＝＝，
BD＝＝2，AD＝＝．
∵AD2+BD2＝2+8＝10，AB2＝10，
∴AD2+BD2＝AB2．
∴△ABD是直角三角形．
∴∠ADB＝90°．
∴∠BDC＝90°．
在Rt△BDC中，
sinC＝
＝
＝．
故答案為：．
6．（2024?雨花臺區(qū)模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CD＝3，tanA＝，則AB＝ 6.5 ．
【分析】根據(jù)CD⊥AB，得出tan∠BCD＝，再根據(jù)∠A＝∠BCD，得出tan∠BCD＝，根據(jù)CD＝3，則BD＝2，AD＝4.5，即可得出AB的長．
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴tan∠BCD＝，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∴tan∠BCD＝tanA＝＝，
∴＝＝，
∴BD＝2，AD＝4.5，
∴BC＝AD+BD＝6.5．
故答案為：6.5．
題型02 含三角函數(shù)的實數(shù)的運算
【中考真題練】
1．（2023?云南）計算：|﹣1|+（﹣2）2﹣（π﹣1）0+（）﹣1﹣tan45°．
【分析】利用絕對值的性質(zhì)，有理數(shù)的乘方，零指數(shù)冪，負整數(shù)指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值進行計算即可．
【解答】解：原式＝1+4﹣1+3﹣1
＝4+3﹣1
＝6．
2．（2023?內(nèi)蒙古）計算：|﹣2|+（π﹣2023）0+（﹣）﹣2﹣2cs60°．
【分析】根據(jù)絕對值的性質(zhì)、零指數(shù)冪和負整數(shù)指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值計算即可．
【解答】解：原式＝2﹣2+1+4﹣2×
＝2﹣2+1+4﹣1
＝2+2．
3．（2023?眉山）計算：（2）0﹣|1﹣|+3tan30°+（﹣）﹣2．
【分析】原式利用零指數(shù)冪、負整數(shù)指數(shù)冪法則，絕對值的代數(shù)意義，以及特殊角的三角函數(shù)值計算即可求出值．
【解答】解：原式＝1﹣（﹣1）+3×+4
＝1﹣+1++4
＝6．
4．（2023?瀘州）計算：3﹣1+（﹣1）0+2sin30°﹣（﹣）．
【分析】原式利用零指數(shù)冪、負整數(shù)指數(shù)冪法則，特殊角的三角函數(shù)值，以及減法法則計算即可求出值．
【解答】解：原式＝+1+2×+
＝+1+1+
＝（+）+（1+1）
＝1+2
＝3．
5．（2023?北京）計算：4sin60°+（）﹣1+|﹣2|﹣．
【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值、負整數(shù)指數(shù)冪的運算法則、絕對值的性質(zhì)、二次根式的性質(zhì)計算．
【解答】解：原式＝4×+3+2﹣2
＝2+3+2﹣2
＝5．
6．（2023?湘西州）計算：（π+2023）0+2sin45°﹣（）﹣1+|﹣2|．
【分析】先計算零次冪，特殊角的正弦值，負指數(shù)冪，求解絕對值，再合并即可．
【解答】解：
＝
＝
＝1．
【中考模擬練】
1．（2024?歷城區(qū)一模）計算：．
【分析】首先計算零指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值、開平方和絕對值，然后計算乘法，最后從左向右依次計算，求出算式的值即可．
【解答】解：
＝1+4×+﹣2
＝1+2+﹣2
＝．
2．（2024?雁塔區(qū)模擬）計算：．
【分析】首先計算乘方、負整數(shù)指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值和絕對值，然后從左向右依次計算，求出算式的值即可．
【解答】解：
＝﹣|2×﹣2|﹣4
＝3﹣|﹣2|﹣4
＝3﹣（2﹣）﹣4
＝3﹣2+﹣4
＝﹣3．
3．（2024?南山區(qū)二模）計算．
【分析】直接利用負整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)冪的性質(zhì)、絕對值的性質(zhì)分別化簡，進而得出答案．
【解答】解：原式＝4﹣（3﹣）﹣2×+1
＝4﹣3+﹣+1
＝2．
4．（2024?南山區(qū)二模）計算：．
【分析】首先計算零指數(shù)冪、負整數(shù)指數(shù)冪、開平方、特殊角的三角函數(shù)值和絕對值，然后計算乘法，最后從左向右依次計算，求出算式的值即可．
【解答】解：
＝2﹣1﹣3+﹣1+
＝﹣．
5．（2024?文山州一模）計算：．
【分析】先化簡各式，然后再進行計算即可解答．
【解答】解：
＝2+1﹣2×+（﹣2）﹣1
＝2+1﹣﹣2﹣1
＝﹣2．
考點二：解直角三角形及其應(yīng)用
解直角三角形的應(yīng)用主要包含解答題中的仰角、俯角問題；坡角問題；方位角問題等。另外還經(jīng)常會和圓、三角形、網(wǎng)格等幾何圖形結(jié)合，計算中需要更加仔細一點。
題型01 解直角三角形的計算
【中考真題練】
1．（2023?廣元）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A（1，0），點B（0，﹣3），點C在x軸上，且點C在點A右方，連接AB，BC，若tan∠ABC＝，則點C的坐標(biāo)為 （，0） ．
【分析】設(shè)C（a，0），結(jié)合A，B兩點的坐標(biāo)利用兩點間的距離可得OA＝1，AC＝a﹣1，OB＝3，BC＝，通過解直角三角形可得∠OBA＝∠ABC，過C點作CD∥y軸交BA的延長線于點D，利用平行線的性質(zhì)可得△OBA∽△CDA，∠ABC＝∠D，列比例式再代入計算可求解a值，進而可求解．
【解答】解：設(shè)C（a，0），
∴OC＝a，
∵點A（1，0），點B（0，﹣3），
∴OA＝1，AC＝a﹣1，OB＝3，BC＝，
在Rt△OAB中，tan∠OBA＝，tan∠ABC＝，
∴∠OBA＝∠ABC，
過C點作CD∥y軸交BA的延長線于點D，
∴∠OBA＝∠D，∠AOB＝∠ACD，
∴△OBA∽△CDA，∠ABC＝∠D，
∴，CD＝BC，
∴，
∴，
解得a＝0（舍去）或a＝，
∴C（，0），
故答案為：（，0）．
2．（2023?牡丹江）如圖，將45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上；頂點O與尺下沿的端點重合，OA與尺下沿重合，OB與尺上沿的交點B在尺上的讀數(shù)恰為2cm，若按相同的方式將22.5°的∠AOC放置在該刻度尺上，則OC與尺上沿的交點C在尺上的讀數(shù)為 （2+2） cm．
【分析】由等腰直角三角形的性質(zhì)得到OB＝BD＝2cm，由平行線的性質(zhì)推出BC＝OB，即可求出CD長，得到OC與尺上沿的交點C在尺上的讀數(shù)．
【解答】解：∵∠AOB＝45°，∠AOC＝22.5°，
∴∠BOC＝∠AOC，
∵BC∥OA，
∴∠BCO＝∠AOC，
∴∠BCO＝∠BOC，
∴BC＝OB，
∵△ODB是等腰直角三角形，
∴OB＝BD＝2cm，
∴CD＝BC+BD＝（2+2）cm．
∴OC與尺上沿的交點C在尺上的讀數(shù)為（2+2）cm．
故答案為：（2+2）．
3．（2023?丹東）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點O是坐標(biāo)原點，已知點A（3，0），B（0，4），點C在x軸負半軸上，連接AB，BC，若tan∠ABC＝2，以BC為邊作等邊三角形BCD，則點C的坐標(biāo)為 （﹣2，0） ；點D的坐標(biāo)為 （﹣1﹣2，2+）或（﹣1+2，2﹣） ．
【分析】過點C作CE⊥AB于E，先求處AB＝5，再設(shè)BE＝t，由tan∠ABC＝2得CE＝2t，進而得BC＝，由三角形的面積公式得S△ABC＝AC?OB＝AB?CE，即5×2t＝4×（3+OC），則OC＝﹣3，然后在Rt△BOC中由勾股定理得，由此解出t1＝2，t2＝10（不合題意，舍去），此時OC＝﹣3＝2，故此可得點C的坐標(biāo)；設(shè)點D的坐標(biāo)為（m，n），由兩點間的距離公式得：BC2＝20，BD2＝（m﹣0）2+（n﹣4）2，CD2＝（m+2）2+（n﹣0）2，由△BCD為等邊三角形得，整理：，②﹣①整理得m＝3﹣2n，將m＝3﹣2n代入①整理得n2﹣4n+1＝0，解得n＝，進而再求出m即可得點D的坐標(biāo)．
【解答】解：過點C作CE⊥AB于E，如圖：
∵點A（3，0），B（0，4），
由兩點間的距離公式得：AB＝＝5，
設(shè)BE＝t，
∵tan∠ABC＝2，
在Rt△BCE中，tan∠ABC＝，
∴＝2，
∴CE＝2t，
由勾股定理得：BC＝＝t，
∵CE⊥AB，OB⊥AC，AC＝OC+OA＝3+OC，
∴S△ABC＝AC?OB＝AB?CE，
即：5×2t＝4×（3+OC），
∴OC＝﹣3，
在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC2﹣OB2＝OC2，
即，
整理得：t2﹣12t+20＝0，
解得：t1＝2，t2＝10（不合題意，舍去），
∴t＝2，此時OC＝﹣3＝2，
∴點C的坐標(biāo)為（﹣2，0），
方法二：設(shè)BE＝2t，CE＝4t，
AE＝3t，AC＝BC＝5t，
∴點C的坐標(biāo)為（﹣2，0），
設(shè)點D的坐標(biāo)為（m，n），
由兩點間的距離公式得：BC2＝（﹣2﹣0）2+（0﹣4）2＝20，BD2＝（m﹣0）2+（n﹣4）2，CD2＝（m+2）2+（n﹣0）2，
∵△BCD為等邊三角形，
∵BD＝CD＝BC，
∴，
整理得：，
②﹣①得：4m+8n＝12，
∴m＝3﹣2n，
將m＝3﹣2n代入①得：（3﹣2n）2+n2﹣8n＝4，
整理得：n2﹣4n+1＝0，
解得：n＝，
當(dāng)n＝時，m＝3﹣2n＝，
當(dāng)n＝時，m＝3﹣2n＝，
∴點D的坐標(biāo)為或．
D在BC左側(cè)時，倍長BD，可得Rt△BCF，作FH⊥x軸于H，則CH＝4√3，F(xiàn)H＝2√3
F（﹣2﹣4√3，2√3），中點公式可求點D，
在BC右側(cè)的點D同理可求D．
故答案為：（﹣2，0）；或．
4．（2023?自貢）如圖，分別經(jīng)過原點O和點A（4，0）的動直線a，b夾角∠OBA＝30°，點M是OB中點，連接AM，則sin∠OAM的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】作△AOB的外接圓⊙T，連接OT，TA，TB，取OT的中點K，連接KM．證明KM＝TB＝2，推出點M在以K為圓心，2為半徑的圓上運動，當(dāng)AM與⊙K相切時，∠OAM的值最大，此時sin∠OAM的值最大．
【解答】解：如圖，作△AOB的外接圓⊙T，連接OT，TA，TB，取OT的中點K，連接KM．
∵∠ATO＝2∠ABO＝60°，TO＝TA，
∴△OAT是等邊三角形，
∵A（4，0），
∴TO＝TA＝TB＝4，
∵OK＝KT，OM＝MB，
∴KM＝TB＝2，
∴點M在以K為圓心，2為半徑的圓上運動，
當(dāng)AM與⊙K相切時，∠OAM的值最大，此時sin∠OAM的值最大，
∵△OTA是等邊三角形，OK＝KT，
∴AK⊥OT，
∴AK＝＝＝2，
∵AM是切線，KM是半徑，
∴AM⊥KM，
∴AM＝＝＝2，
過點M作ML⊥OA于點L，KR⊥OA于點R，MP⊥RK于點P．
∵∠PML＝∠AMK＝90°，
∴∠PMK＝∠LMA，
∵∠P＝∠MLA＝90°，
∴△MPK∽△MLA，
∴＝＝＝＝，
設(shè)PK＝x，PM＝y(tǒng)，則有ML＝y(tǒng)，AL＝x，
∴y＝+x①，y＝3﹣x，
解得，x＝，y＝，
∴ML＝y(tǒng)＝，
∴sin∠OAM＝＝＝．
故選：A．
【中考模擬練】
1．（2024?高青縣一模）如圖（1），在△ABC中，AB＝AC＝4，射線AN∥BC，D為AN上一點，過點D作DE∥AB，交射線BC于點E．研究發(fā)現(xiàn)線段CE的長y與線段AD的長x之間的關(guān)系可用圖（2）的圖象表示，已知點M（8，2），則∠B的正切值為（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)點M的坐標(biāo)可求出BC的長，再過點A作BC的垂線，構(gòu)造直角三角形即可解決問題．
【解答】解：因為點M的坐標(biāo)為（8，2），如圖所示，
AD′＝8，CE′＝2．
過點C作D′E′的平行線，交AN于點F，
∵CF∥D′E′，AN∥BC，
∴四邊形CE′D′F是平行四邊形，
∴D′F＝CE′＝2，
∴AF＝8﹣2＝6．
同理可得，
四邊形ABCF是平行四邊形，
∴BC＝AF＝6．
過點A作BC的垂線，垂足為M，
∵AB＝AC，AM⊥BC，
∴BM＝．
在Rt△ABM中，
AM＝，
∴tan∠B＝．
故選：A．
2．（2024?雁塔區(qū)校級模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝7，，將△ABC沿BC方向平移得到△A'B'C'，若AB'平分∠BAC，則B'C的長為（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)可得：AB∥A′B′，從而可得∠BAC＝∠B′EC＝90°，∠BAB′＝∠AB′E，∠B＝∠A′B′C，進而可得tan∠EB′C＝tanB＝，然后在Rt△B′EC中，利用銳角三角函數(shù)的定義可設(shè)EC＝4x，則B′E＝3x，從而利用勾股定理可得B′C＝5x，再利用角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可得△AEB′是等腰三角形，從而可得AE＝EB′＝3x，最后在Rt△ABC中，利用銳角三角函數(shù)的定義進行計算，即可解答．
【解答】解：由平移得：AB∥A′B′，
∴∠BAC＝∠B′EC＝90°，∠BAB′＝∠AB′E，∠B＝∠A′B′C，
∵，
∴tan∠EB′C＝tanB＝，
在Rt△B′EC中，tan∠EB′C＝＝，
∴設(shè)EC＝4x，則B′E＝3x，
∴B′C＝＝＝5x，
∵AB′平分∠BAC，
∴∠BAB′＝∠B′AC，
∴∠AB′E＝∠B′AC，
∴AE＝EB′＝3x，
在Rt△ABC中，AB＝7，
∴tanB＝＝＝，
解得：x＝，
∴B′C＝5x＝，
故選：B．
3．（2024?松北區(qū)一模）我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對（sad）．如圖，在△ABC中，AB＝AC，頂角A的正對記作sadA，這時，根據(jù)上述角的正對定義，則sad60°的值為（ ）
A．B．C．D．1
【分析】根據(jù)題意可知三角形是等邊三角形，依據(jù)正對定義進行解答即可．
【解答】解：∵AB＝AC，頂角A的正對記作sadA，這時，且∠A＝60°，
∴AB＝BC＝AC，
∴sad60°＝＝1，
故選：D．
4．（2024?南通模擬）如圖，在4×5的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1，△ABC的頂點都在這些小正方形的格點上，那么sin∠BAC的值為（ ）
A．B．C．D．
【分析】過點C作CM⊥AB于M，利用等面積法求出CM，然后利用正弦是定義求解即可．
【解答】解：如圖，過點C作CM⊥AB于M，
由題意得AB＝，
AC＝，
∵S，
即，
解得CM＝，
∴sin∠BAC＝．
故選：C．
5．（2024?涼州區(qū)一模）如圖，△ABC的三個頂點都在方格紙的格點上，則csA的值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)勾股定理求出AC，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出即可．
【解答】解：如圖，
從圖形可知：AE＝4，CE＝2，
由勾股定理得：AC＝＝2，
csA＝．
故選：D．
6．（2024?金牛區(qū)模擬）如圖，已知點C為線段AB的中點，CD⊥AB且CD＝AB＝8，連接AD，BE⊥AB，且交∠DAB的平分線AE于點E，AE與DC相交于點F，EH⊥DC于點G，交AD于點H，則AH的長為 10﹣2 ．
【分析】由∠ACD＝90°，CD＝AB＝8，AC＝BC＝AB＝4，求得AD＝4，再證明四邊形BCGE是矩形，則EG＝BC＝4，EG∥BC，所以∠HEA＝∠BAE，而∠HAE＝∠BAE，則∠HEA＝∠HAE，所以EH＝AH，由＝＝sinD，得＝，求得AH＝10﹣2，于是得到問題的答案．
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴∠ACD＝90°，
∵點C為線段AB的中點，CD＝AB＝8，
∴AC＝BC＝AB＝4，
∴AD＝＝4，
∵BE⊥AB，EH⊥DC，
∴∠B＝∠BCG＝∠CGE＝90°，
∴四邊形BCGE是矩形，
∴EG＝BC＝4，EG∥BC，
∴∠HEA＝∠BAE，
∵AE平分∠DAB，
∴∠HAE＝∠BAE，
∴∠HEA＝∠HAE，
∴EH＝AH，
∴HG＝EH﹣EG＝AH﹣4，HD＝AD﹣AH＝4﹣AH，
∵∠HGD＝∠ACD＝90°，
∴＝＝sinD，
∴＝，
∴解得AH＝10﹣2，
故答案為：10﹣2．
7．（2024?張店區(qū)一模）如圖，分別經(jīng)過點A（﹣1，0）和點B（1，0）的動直線l1，l2交于點C，在線段AC上取點D，連接BD．若∠ACB＝30°，且，則當(dāng)tan∠ABD的值最大時，點C的坐標(biāo)為 或 ．
【分析】作△ABC的外接圓⊙M，連接AM，BM，CM，在AM上取點N，使，連接ND，BD，BN，過點N做NK⊥AB于K，過D作DG⊥x軸于G，過C作CH⊥x軸于H，證明△ABM是等邊三角形，可得出AM＝AB，∠MAB＝60°，根據(jù)三線合一性質(zhì)可判斷M在y軸上，證明△NAD∽△MAC，可求出，則點D在以N為圓心，ND為半徑的⊙N上運動，當(dāng)BD與⊙N相切時，∠ABD最大，即tan∠ABD的值最大，此時利用勾股定理可求出，設(shè)設(shè)D（m，n），證明△ADG∽△ACH，可求出CH＝3n，AH＝3m+3，OH＝3m+2，則C（3m+2，3n），根據(jù)，CM＝2，結(jié)合兩點距離公式列方程組，然后解方程組即可求解．
【解答】解：作△ABC的外接圓⊙M，連接AM，BM，CM，在AM上取點N，使，連接ND，BD，BN，過點N做NK⊥AB于K，過D作DG⊥x軸于G，過C作CH⊥x軸于H，
∵∠ACB＝30°，
∴∠AMB＝2∠ACB＝60°，
又AM＝BM，
∴△ABM是等邊三角形，
∴AM＝AB，∠MAB＝60°，
∵A（﹣1，0），B（1，0），
∴AO＝BO＝1，AM＝AB＝2，
∴MO⊥AB，，
∴M在y軸上，
在Rt△ANK中，，∠NAK＝60°，∠AKN＝90°，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∠NAD＝∠MAC，
∴△NAD∽△MAC
∴，即
∴，
∴點D在以N為圓心，ND為半徑的⊙N上運動，
當(dāng)BD與⊙N相切時，∠ABD最大，即tan∠ABD的值最大
此時∠BDN＝90°，
∴，
設(shè)D（m，n），
∵DG⊥x軸，CH⊥x軸，
∴DG∥CH，
∴△ADG∽△ACH，
∴，即，
解得CH＝3n，AH＝3m+3，
∴OH＝3m+2，
∴C（3m+2，3n），
∵，CM＝2，
∴，
化簡的，
①﹣②，得，
∴，即3n2＝（5m+3）2
把3n2＝（5m+3）2代入①，得3m2﹣6m+（5m+3）2＝5，
整理，得7m2+6m+1＝0，
解得，，
當(dāng)時，，
∴，，
∴點C坐標(biāo)為；
當(dāng)時，，
∴，，
∴點C坐標(biāo)為；
綜上，點C坐標(biāo)為或．
故答案為：或．
題型02 解直角三角形的應(yīng)用
【中考真題練】
1．如圖，焊接一個鋼架，包括底角為37°的等腰三角形外框和3m高的支柱，則共需鋼材約 21 m（結(jié)果取整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【分析】根據(jù)等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得AD＝BD＝AB，然后在Rt△ACD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AC，AD的長，從而求出AB的長，最后進行計算即可解答．
【解答】解：∵CA＝CB，CD⊥AB，
∴AD＝BD＝AB，
在Rt△ACD中，∠CAD＝37°，CD＝3m，
∴AC＝≈＝5（m），AD＝≈＝4（m），
∴CA＝CB＝5m，AB＝2AD＝8（m），
∴共需鋼材約＝AC+CB+AB+CD＝5+5+8+3＝21（m），
故答案為：21．
2．（2023?鹽城）如圖1，位于市區(qū)的“鐵軍”雕塑“大銅馬”是鹽城市標(biāo)志性文化名片，如圖2，線段AB表示“鐵軍”雕塑的高，點B，C，D在同一條直線上，且∠ACB＝60°，∠ADB＝30°，CD＝17.5m，則線段AB的長約為 15 m．（計算結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：≈1.7）
【分析】由外角的性質(zhì)可求∠ADB＝∠CAD＝30°，可得AC＝CD＝17.5m，由銳角三角函數(shù)可求解．
【解答】解：∵∠ACB＝60°，∠ADB＝30°，∠ACB＝∠ADB+∠CAD，
∴∠ADB＝∠CAD＝30°，
∴AC＝CD＝17.5m，
∵∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，
∴AB＝AC?sin∠ACB＝AC≈15m，
故答案為：15．
3．（2023?棗莊）如圖所示，桔槔是一種原始的汲水工具，它是在一根豎立的架子上加上一根細長的杠桿，末端懸掛一重物，前端懸掛水桶．當(dāng)人把水桶放入水中打滿水以后，由于杠桿末端的重力作用，便能輕易把水提升至所需處，若已知：杠桿AB＝6米，AO：OB＝2：1，支架OM⊥EF，OM＝3米，AB可以繞著點O自由旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點A旋轉(zhuǎn)到如圖所示位置時∠AOM＝45°，此時點B到水平地面EF的距離為 （3+） 米．（結(jié)果保留根號）
【分析】過點O作OC⊥BT，垂足為C，根據(jù)題意可得：BC∥OM，從而可得∠AOM＝∠OBC＝45°，再根據(jù)已知易得AO＝4米，OB＝2米，然后在Rt△OBC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BC的長，從而利用線段的和差關(guān)系進行計算，即可解答．
【解答】解：過點O作OC⊥BT，垂足為C，
由題意得：BC∥OM，
∴∠AOM＝∠OBC＝45°，
∵AB＝6米，AO：OB＝2：1，
∴AO＝4米，OB＝2米，
在Rt△OBC中，BC＝OB?cs45°＝2×＝（米），
∵OM＝3米，
∴此時點B到水平地面EF的距離＝BC+OM＝（3+）米，
故答案為：（3+）．
4．（2023?湘潭）問題情境：筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，既經(jīng)濟又環(huán)保．明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（如圖①）．假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都按逆時針做勻速圓周運動，每旋轉(zhuǎn)一周用時120秒．
問題設(shè)置：把筒車抽象為一個半徑為r的⊙O．如圖②，OM始終垂直于水平面，設(shè)筒車半徑為2米．當(dāng)t＝0時，某盛水筒恰好位于水面A處，此時∠AOM＝30°，經(jīng)過95秒后該盛水筒運動到點B處．
問題解決：
（1）求該盛水筒從A處逆時針旋轉(zhuǎn)到B處時，∠BOM的度數(shù)；
（2）求該盛水筒旋轉(zhuǎn)至B處時，它到水面的距離．（結(jié)果精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)≈1.414，≈1.732）
【分析】（1）求出筒車每秒轉(zhuǎn)過的度數(shù)，再根據(jù)周角的定義進行計算即可；
（2）根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系分別求出OD、OC即可．
【解答】解：（1）由于筒車每旋轉(zhuǎn)一周用時120秒．所以每秒轉(zhuǎn)過360°÷120＝3°，
∴∠BOM＝360°﹣3°×95﹣30°＝45°；
（2）如圖，過點B、點A分別作OM的垂線，垂足分別為點C、D，
在Rt△AOD中，∠AOD＝30°，OA＝2米，
∴OD＝OA＝（米）．
在Rt△BOC中，∠BOC＝45°，OB＝2米，
∴OC＝OB＝（米），
∴CD＝OD﹣OC＝﹣≈0.3（米），
即該盛水筒旋轉(zhuǎn)至B處時到水面的距離約為0.3米．
5．（2023?貴州）貴州旅游資源豐富．某景區(qū)為給游客提供更好的游覽體驗，擬在如圖①景區(qū)內(nèi)修建觀光索道．設(shè)計示意圖如圖②所示，以山腳A為起點，沿途修建AB、CD兩段長度相等的觀光索道，最終到達山頂D處，中途設(shè)計了一段與AF平行的觀光平臺BC為50m．索道AB與AF的夾角為15°，CD與水平線夾角為45°，A、B兩處的水平距離AE為576m，DF⊥AF，垂足為點F．（圖中所有點都在同一平面內(nèi)，點A、E、F在同一水平線上）
（1）求索道AB的長（結(jié)果精確到1m）；
（2）求水平距離AF的長（結(jié)果精確到1m）．
（參考數(shù)據(jù)：sin15°≈0.25，cs15°≈0.96，tan15°≈0.26，）
【分析】（1）通過解Rt△ABE可求得AB的長；
（2）延長BC交DF于G，證明四邊形BEFG是矩形，可得EF＝BG，∠CGD＝∠BGF＝90°，再解Rt△CDG可求解CG的長，進而可求解．
【解答】解：（1）在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，∠A＝15°，AE＝576m，
∴AB＝（m），
即AB的長約為600m；
（2）延長BC交DF于G，
∵BC∥AE，
∴∠CBE＝90°，
∵DF⊥AF，
∴∠AFD＝90°，
∴四邊形BEFG為矩形，
∴EF＝BG，∠CGD＝∠BGF＝90°，
∵CD＝AB＝600m，∠DCG＝45°，
∴CG＝CD?cs∠DCG＝600×cs45°＝600×＝（m），
∴AF＝AE+EF＝AE+BG＝AE+BC+CG＝576+50+≈1049（m），
即AF的長為1049m．
6．（2023?金昌）如圖1，某人的一器官后面A處長了一個新生物，現(xiàn)需檢測其到皮膚的距離（圖1）．為避免傷害器官，可利用一種新型檢測技術(shù)，檢測射線可避開器官從側(cè)面測量．某醫(yī)療小組制定方案，通過醫(yī)療儀器的測量獲得相關(guān)數(shù)據(jù)，并利用數(shù)據(jù)計算出新生物到皮膚的距離方案如下：
請你根據(jù)上表中的測量數(shù)據(jù)，計算新生物A處到皮膚的距離．（結(jié)果精確到0.1cm）
（參考數(shù)據(jù)：sin35°≈0.57，cs35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin22°≈0.37，cs22°≈0.93，tan22°≈0.40）
【分析】過點A作AF⊥MN，垂足為F，設(shè)BF＝x cm，則CF＝（x+9）cm，然后在Rt△ABF中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AF的長，再在Rt△ACF中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AF的長，從而列出關(guān)于x的方程，進行計算即可解答．
【解答】解：過點A作AF⊥MN，垂足為F，
設(shè)BF＝x cm，
∵BC＝9cm，
∴CF＝BC+BF＝（x+9）cm，
在Rt△ABF中，∠ABF＝∠DBN＝35°，
∴AF＝BF?tan35°≈0.7x（cm），
在Rt△ACF中，∠ACF＝∠ECN＝22°，
∴AF＝CF?tan22°≈0.4（x+9）cm，
∴0.7x＝0.4（x+9），
解得：x＝12，
∴AF＝0.7x＝8.4（cm），
∴新生物A處到皮膚的距離約為8.4cm．
7．（2023?山西）2023年3月，水利部印發(fā)《母親河復(fù)蘇行動河湖名單（2022﹣2025年）》，我省境內(nèi)有汾河、桑干河、洋河、清漳河、濁漳河、沁河六條河流入選，在推進實施母親河復(fù)蘇行動中，需要砌筑各種駁岸（也叫護坡）．某校“綜合與實踐”小組的同學(xué)把“母親河駁岸的調(diào)研與計算”作為一項課題活動，利用課余時間完成了實踐調(diào)查，并形成了如下活動報告．請根據(jù)活動報告計算BC和AB的長度（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：≈1.73，≈1.41 ）．
【分析】過E作EF⊥CD于F，延長AB，CD交于H，得到∠EFD＝90°，解直角三角形即可得到結(jié)論．
【解答】解：過E作EF⊥CD于F，延長AB，CD交于H，
∴∠EFD＝90°，
由題意得，在Rt△EFD中，，cs，
∴（m），
∴FD＝ED?cs∠EDF＝6×cs60°＝6×＝3（m），
由題意得，∠H＝90°，四邊形AEFH是矩形，
∴，HF＝AE＝1.5m，
∵CF＝CD﹣FD＝3.5﹣3＝0.5（m），
∴CH＝HF﹣CF＝1.5﹣0.5＝1（m），
在Rt△BCH中，∠H＝90°，∠BCH＝180°﹣∠BCD＝180°﹣135°＝45°，
∵，
∴1.4（m），
∴BH＝CH?tan∠BCH＝1×tan45°＝1（m），
∴AB＝AH﹣BH＝3．
答：BC的長度約為1.4m，AB的長度約為4.2m．
8．（2023?河南）綜合實踐活動中，某小組用木板自制了一個測高儀測量樹高，測高儀ABCD為正方形，AB＝30cm，頂點A處掛了一個鉛錘M．如圖是測量樹高的示意圖，測高儀上的點D，A與樹頂E在一條直線上，鉛垂線AM交BC于點H．經(jīng)測量，點A距地面1.8m，到樹EG的距離AF＝11m，BH＝20cm．求樹EG的高度（結(jié)果精確到0.1m）．
【分析】由題意可知，∠BAE＝∠MAF＝∠BAD＝90°，F(xiàn)G＝1.8m，易知∠EAF＝∠BAH，可得tan∠EAF＝＝tan∠BAH＝，進而求得，利用EG＝EF+FG即可求解．
【解答】解：由題意可知，∠BAE＝∠MAF＝∠BAD＝90°，F(xiàn)G＝1.8m，
則∠EAF+∠BAF＝∠BAF+∠BAH＝90°，
∴∠EAF＝∠BAH，
∵AB＝30cm，BH＝20cm，
則tan∠EAF＝＝，
∴tan∠EAF＝＝tan∠BAH＝，
∵AF＝11m，
則，
∴EF＝，
∴EG＝EF+FG＝1.8≈9.1m．
答：樹EG的高度約為9.1m．
9．（2023?濟南）圖1是某越野車的側(cè)面示意圖，折線段ABC表示車后蓋，已知AB＝1m，BC＝0.6m，∠ABC＝123°，該車的高度AO＝1.7m．如圖2，打開后備廂，車后蓋ABC落在AB'C'處，AB'與水平面的夾角∠B'AD＝27°．
（1）求打開后備廂后，車后蓋最高點B'到地面l的距離；
（2）若小琳爸爸的身高為1.8m，他從打開的車后蓋C'處經(jīng)過，有沒有碰頭的危險？請說明理由．（結(jié)果精確到0.01m，參考數(shù)據(jù)：sin27°≈0.454，cs27°≈0.891，tan27°≈0.510，≈1.732）
【分析】（1）作B′E⊥AD，垂足為點E，先求出B′E的長，再求出B′E+AO的長即可；
（2）過C′作C′F⊥B′E，垂足為點F，先求得∠AB′E＝63°，再得到∠C′B′F＝∠AB′C′﹣∠AB′E＝60°，再求得B′F＝B′C′?cs60°＝0.3m，從而得出C′到地面的距離為2.15﹣0.3＝1.85（m），最后比較即可．
【解答】解：（1）如圖，作B′E⊥AD，垂足為點E，
在Rt△AB′E中，
∵∠B′AD＝27°，AB′＝AB＝1m，
∴sin27°＝，
∴B′E＝AB′sin27°≈1×0.454＝0.454m，
∵平行線間的距離處處相等，
∴B′E+AO＝0.454+1.7＝2.154≈2.15m，
答：車后蓋最高點B′到地面的距離為2.15m．
（2）沒有危險，理由如下：
如圖，過C′作C′F⊥B′E，垂足為點F，
∵∠B′AD＝27°，∠B′EA＝90°，
∴∠AB′E＝63°，
∵∠AB′C′＝∠ABC＝123°，
∴∠C′B′F＝∠AB′C′﹣∠AB′E＝60°，
在Rt△B′FC′中，B′C′＝BC＝0.6m，
∴B′F＝B′C′?cs60°＝0.3m．
∵平行線間的距離處處相等，
∴C′到地面的距離為2.15﹣0.3＝1.85m．
∵1.85＞1.8，
∴沒有危險．
【中考模擬練】
1．（2024?洛龍區(qū)一模）如圖，某汽車車門的底邊長為0.95m，車門側(cè)開后的最大角度為72°，若將一扇車門側(cè)開，則這扇車門底邊上所有點中到車身的最大距離是（ ）m．
A．0.95B．0.95sin72°
C．0.95cs72°D．0.95tan72°
【分析】過點N作NH⊥OM于點H，則NH為最大距離，根據(jù)三角函數(shù)作答即可．
【解答】解：過點N作NH⊥OM于點H，則NH為最大距離，
在Rt△OMN中，
ON＝0.95m，∠NOH＝72°，
∴NH＝ON?sin∠NOH＝0.95sin72°，
故選：B．
2．（2024?福田區(qū)二模）我校數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)要測量建筑物CD的高度，如圖，建筑物CD前有一段坡度為i＝1：2的斜坡BE，小明同學(xué)站在山坡上的B點處，用測角儀測得建筑物屋頂C的仰角為37°，接著小明又向下走了米，剛好到達坡底E處，這是測到建筑物屋頂C的仰角為45°，A、B、C、D、E、F在同一平面內(nèi)，若測角儀的高度AB＝EF＝1.5米，則建筑物CD的高度約為（ ）米．（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
A．38.5米B．39.0米C．40.0米D．41.5米
【分析】設(shè)CD＝x米．延長AB交DE于H，作AM⊥CD于M，F(xiàn)N⊥CD于N，求出BH＝4（米），EH＝8（米），由矩形的性質(zhì)得出AM＝DH，AH＝DM，F(xiàn)N＝DE，F(xiàn)E＝DN＝1.5（米），在Rt△CFN中，求出CN＝FN＝DE＝（x﹣1.5）（米），AM＝DH＝（8+x﹣1.5）（米），CM＝（x﹣5.5）（米），在Rt△ACM中，由AM＝≈，得出方程，解方程即可．
【解答】解：設(shè)CD＝x米．延長AB交DE于H，作AM⊥CD于M，F(xiàn)N⊥CD于N，如圖所示：
在Rt△BHE中，∵BE＝4米，BH：EH＝1：2，
∴BH＝4（米），EH＝8（米），
∵四邊形AHDM是矩形，四邊形FEDN是矩形，
∴AM＝DH，AH＝DM，F(xiàn)N＝DE，F(xiàn)E＝DN＝1.5（米），
在Rt△CFN中，∵∠CFN＝45°，
∴CN＝FN＝DE＝（x﹣1.5）（米），
∵AM＝DH＝（8+x﹣1.5）（米），CM＝（x﹣5.5）（米），
在Rt△ACM中，∵∠CAM＝37°，
∴AM＝≈，
∴8+x﹣1.5≈，
∴x≈41.5（米），
∴CD≈41.5米，
故選：D．
3．（2024?光明區(qū)二模）如圖，在坡比為的斜坡上有一電線桿AB．某時刻身高1.7米的小明在水平地面上的影長恰好與其身高相等，此時電線桿在斜坡上的影長BC為30米，則電線桿AB的高為（ ）米．
A．B．C．D．
【分析】過點C作CD⊥AB，交AB的延長線于點D，根據(jù)坡度的概念、勾股定理分別求出BD、CD，根據(jù)平行投影求出AD，進而求出AB．
【解答】解：過點C作CD⊥AB，交AB的延長線于點D，
設(shè)BD＝x米，
∵斜坡AB的坡度為1：，
∴CD＝x米，
由勾股定理得：BC2＝CD2+BD2，即302＝（x）2+x2，
解得：x＝15（負值舍去），
則BD＝15米，CD＝15米，
由題意可知：AD＝CD＝15米，
∴AB＝AD﹣BD＝（15﹣15）米，
故選：C．
4．（2024?安丘市一模）如圖，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，點M，A，B在同一條直線上，經(jīng)測量得到如下數(shù)據(jù)：AM＝5米，AB＝10米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，則警示牌的高CD為 3.7 米．（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：≈1.73）
【分析】根據(jù)題意可得：CM⊥MB，然后分別在Rt△ADM和Rt△CMB中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出DM和CM的長，從而利用線段的和差關(guān)系進行計算即可解答．
【解答】解：由題意得：CM⊥MB，
在Rt△ADM中，AM＝5米，∠MAD＝45°，
∴DM＝AM?tan45°＝5（米），
∵AB＝10米，
∴MB＝AM+AB＝15（米），
在Rt△CMB中，∠CBM＝30°，
∴CM＝BM?tan30°＝15×＝5（米），
∴CD＝CM﹣DM＝5﹣5≈3.7（米），
∴警示牌的高CD約為3.7米，
故答案為：3.7．
5．（2024?洪山區(qū)模擬）黃鶴樓位于湖北省武漢市，地處蛇山之巔，瀕臨萬里長江，為武漢市地標(biāo)建筑．身高1.4m的小偉今天在司門口黃鶴樓地鐵站C出口（圖中點A處）觀察黃鶴樓的仰角α＝12.8°，前行120m來到民主路上（圖中點B處）后，觀察黃鶴樓的仰角β＝26.6°．那么據(jù)此可以估算出黃鶴樓的高度為 51.4 m．（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：，）
【分析】在Rt△BEF中，根據(jù)三角函數(shù)求出BF，AF＝BF+AB，在Rt△AEF中，根據(jù)三角函數(shù)求出EF，EF＝（+120）×tan12.8°，EG＝EF+FG，進而作答即可．
【解答】解：如圖，標(biāo)記相關(guān)字母，
在Rt△BEF中，
BF＝，
∴AF＝BF+AB＝+120，
在Rt△AEF中，
EF＝AF?tan12.8°，
即EF＝（+120）×tan12.8°，
∴EF＝120÷（）≈50（m），
EG＝EF+FG＝50+1.4＝51.4（m），
故答案為：51.4．
6．（2024?興慶區(qū)校級一模）如圖，圖1是一輛電動車，圖2為其示意圖，點A為座墊，AB⊥BC，AB高度可調(diào)節(jié)，其初始高度為35cm，CD為車前柱，CD＝122cm，∠C＝70°，根據(jù)該款車提供信息表明，當(dāng)騎行者手臂DE與車前柱DC夾角為80°時，騎行者最舒適，若某人手臂長60cm，肩膀到座墊的高度AE＝42cm．若要想騎行最舒適，則座墊應(yīng)調(diào)高的厘米數(shù)為 8cm ．（結(jié)果按四舍五入法精確到1cm，參考數(shù)據(jù)sin70°≈0.94，cs70°≈0.34，tan70°≈2.75）
【分析】過點D作DF⊥CB，垂足為F，過點E作EG⊥DF，垂足為G，過點A作AH⊥DF，垂足為H，利用垂直定義可得∠DFC＝90°，再根據(jù)題意可得：EB＝GF，然后利用直角三角形的兩個銳角互余可得∠CDF＝20°，從而可得∠EDF＝60°，再在Rt△DCF中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出DF的長，最后在Rt△DEG中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出DG的長，從而求出GF的長，進而求出AB的長，即可解答．
【解答】解：過點D作DF⊥CB，垂足為F，過點E作EG⊥DF，垂足為G，過點A作AH⊥DF，垂足為H，
∴∠DFC＝90°，
由題意得：EB＝GF，
∵∠C＝70°，
∴∠CDF＝90°﹣∠C＝20°，
∵∠CDE＝80°，
∴∠EDF＝∠CDE﹣∠CDF＝60°，
在Rt△DCF中，CD＝122cm，
∴DF＝CD?sin70°≈122×0.94＝114.68（cm），
在Rt△DEG中，DE＝60cm，
∴DG＝DE?cs60°＝60×＝30（cm），
∴GF＝EB＝DF﹣DG＝114.68﹣30＝84.68（cm），
∵AE＝42cm，
∴AB＝EB﹣AE＝84.68﹣42＝42.68（cm），
∵初始高度為35cm，
∴42.68﹣35＝7.68≈8（cm），
∴座墊應(yīng)調(diào)高的厘米數(shù)約為8cm，
故答案為：8cm．
7．（2024?廣安二模）如圖1，某款臺燈由底座、支撐臂AB、連桿BC、懸臂CD和安裝在D處的光源組成．如圖2是該款臺燈放置在水平桌面上的示意圖，已知支撐臂AB⊥l，AB＝22cm，BC＝35cm，CD＝40cm，固定∠ABC＝143°，可通過調(diào)試懸臂CD與連桿BC的夾角提高照明效果．
（1）求懸臂端點C到桌面l的距離約為多少？
（2）已知光源D到桌面l的距離為30cm時照明效果較好，那么此時懸臂CD與連桿BC的夾角∠BCD的度數(shù)約為多少？（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.8，cs53°≈0.6，tan53°≈1.33）
【分析】（1）過點C作l的垂線，垂足為點E，過點B作BF⊥CE于點F，則EF＝AB＝22cm，∠ABF＝90°，得出∠CBF＝∠ABC﹣∠ABF＝53°，根據(jù)CF＝BC?sin53°，求出CF，最后根據(jù)CE＝CF+EF，即可求解；
（2）過點D作DH⊥CE于點G，DG⊥l于點G，推出CH＝CE﹣HE＝20cm，則，求出∠DCH＝60°，得出∠BCF＝37°，最后∠BCD＝∠DCH﹣∠BCF，即可求解．
【解答】解：（1）過點C作l的垂線，垂足為點E，過點B作BF⊥CE于點F，
∵AB⊥l，CE⊥l，BF⊥CE，
∴四邊形ABFE為矩形，
∴EF＝AB＝22cm，∠ABF＝90°，
∵∠ABC＝143°，
∴∠CBF＝∠ABC﹣∠ABF＝53°，
∴CF＝BC?sin53°＝35×0.8＝28（cm），
∴CE＝CF+EF＝50（cm），
即懸臂端點C到桌面l的距離約為50cm；
（2）過點D作DH⊥CE于點G，DG⊥l于點G，
∵DH⊥CE，DG⊥l，CE⊥l，
∴四邊形DHEG為矩形，
∴DG＝HE＝30cm，
∴CH＝CE﹣HE＝20cm，
∵CD＝40cm，
∴，
∴∠DCH＝60°，
∵∠CBF＝53°，BF⊥CE，
∴∠BCF＝90°﹣53°＝37°，
∴∠BCD＝∠DCH﹣∠BCF＝23°．
8．（2024?湖州一模）用某型號拖把去拖沙發(fā)底部地面的截面示意圖如圖所示，拖把頭為矩形ABCD，AB＝16cm，DA＝2cm．該沙發(fā)與地面的空隙為矩形EFGH，EF＝55cm，HE＝12cm．拖把桿為線段OM，長為45cm，O為DC的中點，OM與DC所成角α的可變范圍是14°≤α≤90°，當(dāng)α大小固定時，若OM經(jīng)過點G，或點A與點E重合，則此時AF的長即為沙發(fā)底部可拖最大深度．
（1）如圖1，當(dāng)α＝30°時，求沙發(fā)底部可拖最大深度AF的長．（結(jié)果保留根號）
（2）如圖2，為了能將沙發(fā)底部地面拖干凈，將α減小到14°，請通過計算，判斷此時沙發(fā)底部可拖最大深度AF的長能否達到55cm？（sin14°≈0.24，cs14°≈0.97，tan14°≈0.25）
【分析】（1）設(shè)DC的延長線交GF于點N．易得GN的長度，根據(jù)30°的正切值可得ON的長度，再加上OD的長度即為DN的長度，也就是AF的長度；
（2）根據(jù)14°的正切值可得ON的長度，再加上OD的長度即為DN的長度，也就是AF的長度，即可判斷沙發(fā)底部可拖最大深度AF的長能否達到55cm．
【解答】解：（1）設(shè)DC的延長線交GF于點N．
∵四邊形ABCD和四邊形EFGH是矩形，HE＝12cm，AB＝16cm，
∴∠A＝∠D＝∠F＝90°，CD＝AB＝16（cm），GF＝HE＝12（cm）．
∴四邊形ADNF是矩形．
∴NF＝AD＝2（cm），∠DNF＝90°，AF＝DN．
∴∠ONG＝90°，GN＝GF﹣NF＝10（cm）．
∵∠GON＝∠α＝30°，
∴ON＝10（cm）．
∵點O是CD的中點，
∴OD＝8（cm）．
∴DN＝OD+ON＝（8+10）cm．
∴AF＝（8+10）cm．
答：沙發(fā)底部可拖最大深度AF的長為（8+10）cm；
（2）由（1）得：∠ONG＝90°，GN＝10cm，OD＝8cm．
∵∠GON＝∠α＝14°，
∴ON＝＝≈10÷0.25＝40（cm）．
∴DN＝OD+ON＝8+40＝48（cm）．
∵48＜55，
∴此時沙發(fā)底部可拖最大深度AF的長不能達到55cm．
9．（2024??？谝荒＃┠緳陬^燈塔是矗立在海南島文昌市的一座航標(biāo)燈塔（如圖1），被稱為”亞洲第一燈塔”，如圖2，虎威島A位于木欄頭燈塔O的南偏西50°方向上．一艘輪船在B處測得燈塔O位于它的北偏西45°方向上，輪船沿著正北方向航行3km后，到達位于燈塔O正東方向上的C處，該船繼續(xù)向北航行至直線AO上的點D處．
（1）填空：∠BOC＝ 45 度，∠D＝ 50 度．
（2）求點D到燈塔O的距離．
（3）若輪船的航行速度為20km/h，求輪船在BD段航行了多少小時．
（參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.77，cs50°≈0.64，tan50°≈1.19，≈1.73．結(jié)果精確到小數(shù)點后一位）
【分析】（1）根據(jù)方位角的，利用角的和差關(guān)系以及三角形內(nèi)角和定理即可求出∠BOC和∠D的度數(shù)；
（2）先在Rt△BOC中，求出OC，再在Rt△DOC中，利用直角三角形的邊角關(guān)系求出OD即可；
（3）在Rt△DOC中，利用直角三角形的邊角關(guān)系求出CD，進而求出BD，再除以速度即可得到答案．
【解答】解：（1）由題意可知，OC⊥BD，
∵∠CBO＝45°，
∴∠BOC＝90°﹣∠CBO＝45°，
∴∠COD＝180°﹣50°﹣90°＝40°，
∴∠D＝90°﹣∠COD＝50°，
故答案為：45，50；
（2）由題意可知：BC＝3km，
在Rt△BOC中，
∠CBO＝45°，
∴OC＝BC＝3km，
在Rt△DOC中，
∠D＝50°，
∴OD＝＝≈3.9（km），
答：點D到燈塔O的距離約為3.8km；
（3）在Rt△DOC中，
CD＝＝≈2.5（km），
∴BD＝BC+CD＝3+2.5＝5.5（km），
∵輪船的航行速度為20km/h，
∴輪船在BD段航行了≈0.3（小時）．
答：輪船在BD段航行了約0.3小時．
10．（2024?遼寧模擬）如圖1，在水平桌面上擺放著一個主體部分為圓柱體的透明容器．容器的截面示意圖如圖2所示，其中CE＝21cm，∠CEF＝90°．
（1）如圖3，點C固定不動，將容器傾斜至A1B1CD1位置，液面剛好位于M1E1處，點E1到直線l的距離E1K，記為h cm，測得∠E1CK＝60°，求h的值；
（2）如圖4，在（1）的條件下，再將容器緩慢傾斜倒出適量的液體，此時容器位于A2B2CD2位置，液面剛好位于M2E2處，E1F1，E2F2的延長線分別與直線l相交于點H，G，點C，G，H都在直線l上，測得∠E2CG＝37°，求GH的長．
（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，，結(jié)果精確到0.1cm）
【分析】（1）根據(jù)題意可得：E1K⊥l，CE1＝CE＝21cm，然后在Rt△CKE1中，利用銳角三角函數(shù)的定義進行計算，即可解答；
（2）先在Rt△CE1H中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出CH的長，再在Rt△CE2G中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出CG的長，然后利用線段的和差關(guān)系進行計算，即可解答．
【解答】解：（1）由題意得：E1K⊥l，CE1＝CE＝21cm，
在Rt△CKE1中，∠E1CK＝60°，
∴E1K＝CE1?sin60°＝21×≈18.2（cm），
∴h的值約為18.2cm；
（2）在Rt△CE1H中，∠E1CH＝60°，CE1＝21cm，
∴CH＝＝＝42（cm），
在Rt△CE2G中，∠E2CG＝37°，CE2＝CE＝21cm，
∴CG＝≈＝26.25（cm），
∴GH＝CH﹣CG＝42﹣26.25≈15.8（cm），
∴GH的長約為15.8cm．
題型03 解直角三角形與幾何的綜合
【中考真題練】
1．（2023?淄博）勾股定理的證明方法豐富多樣，其中我國古代數(shù)學(xué)家趙爽利用“弦圖”的證明簡明、直觀，是世界公認最巧妙的方法．“趙爽弦圖”已成為我國古代數(shù)學(xué)成就的一個重要標(biāo)志，千百年來倍受人們的喜愛．小亮在如圖所示的“趙爽弦圖”中，連接EG，DG．若正方形ABCD與EFGH的邊長之比為：1，則sin∠DGE等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】由題意得：，解得：，進而求解．
【解答】解：過點D作ND⊥GE交GE的延長線于點N，
由題意知，兩個正方形之間是4個相等的三角形，
設(shè)△ABG的長直角邊為a，短直角邊為b，大正方形的邊長為x，小正方形的邊長為x，
即ED＝BG＝HC＝AF＝b，AG＝BH＝CE＝DF＝a，EG＝b，
由題意得：，解得：，
在△GDE中，EG＝GH＝b，則NE＝ND＝ED＝b＝x，EG＝GH＝（a﹣b）＝x，
則tan∠DGE＝＝，
則sin∠DGE＝，
故選：A．
2．（2023?內(nèi)蒙古）如圖源于我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖，它是由四個全等直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形．若小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為α，則csα的值為（ ）
A．B．C．D．
【分析】首先根據(jù)兩個正方形的面積分別求出兩個正方形的邊長，然后結(jié)合題意進一步設(shè)直角三角形較短的直角邊為a，則較長的直角邊為a+1，再利用勾股定理得到關(guān)于a的方程，解方程可求出直角三角形的兩個個直角邊的邊長，最后根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義可求出csα的值．
【解答】解：∵小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，
∴小正方形的邊長為 1，大正方形的邊長為5，
設(shè)直角三角形中較短的直角邊為a，則較長的直角邊是a+1，其中a＞0，
由勾股定理得：a2+（a+1）2＝52，
整理得：a2+a﹣12＝0
解得：a1＝3，a2＝﹣4（不合題意，舍去）．
∴a+1＝4，
∴．
故選：D．
3．（2023?杭州）第二十四屆國際數(shù)學(xué)家大會會徽的設(shè)計基礎(chǔ)是1700多年前中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”．如圖，在由四個全等的直角三角形（△DAE，△ABF，△BCG，△CDH）和中間一個小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，∠ABF＞∠BAF，連接BE．設(shè)∠BAF＝α，∠BEF＝β，若正方形EFGH與正方形ABCD的面積之比為1：n，tanα＝tan2β，則n＝（ ）
A．5B．4C．3D．2
【分析】設(shè)AE＝a，DE＝b，則BF＝a，AF＝b，解直角三角形可得，化簡可得（b﹣a）2＝ab，a2+b2＝3ab，結(jié)合勾股定理及正方形的面積公式可求得S正方形EFGH；S正方形ABCD＝1：3，進而可求解n的值．
【解答】解：設(shè)AE＝a，DE＝b，則BF＝a，AF＝b，
∵tanα＝，tanβ＝，tanα＝tan2β，
∴，
∴（b﹣a）2＝ab，
∴a2+b2＝3ab，
∵a2+b2＝AD2＝S正方形ABCD，（b﹣a）2＝S正方形EFGH，
∴S正方形EFGH：S正方形ABCD＝ab：3ab＝1：3，
∵S正方形EFGH：S正方形ABCD＝1：n，
∴n＝3．
故選：C．
4．（2023?黃石）“神舟”十四號載人飛行任務(wù)是中國空間站建造階段的首次載人飛行任務(wù)，也是空間站在軌建造以來情況最復(fù)雜、技術(shù)難度最高、航天員乘組工作量最大的一次載人飛行任務(wù)．如圖，當(dāng)“神舟”十四號運行到地球表面P點的正上方的F點處時，從點F能直接看到的地球表面最遠的點記為Q點，已知PF＝km，∠FOQ＝20°，cs20°≈0.9，則圓心角∠POQ所對的弧長約為 π km（結(jié)果保留π）．
【分析】設(shè)OP＝OQ＝r km．由FQ是⊙O的切線，可得cs∠FOQ＝，由此構(gòu)建方程求出r，再利用弧長公式求解．
【解答】解：設(shè)OP＝OQ＝r km．
由題意，F(xiàn)Q是⊙O的切線，
∴FQ⊥OQ，
∵cs∠FOQ＝，
∴0.9＝，
∴r＝6400，
∴的長＝＝π（km）．
故答案為：π．
5．（2023?綏化）如圖，直線MN和EF為河的兩岸，且MN∥EF，為了測量河兩岸之間的距離，某同學(xué)在河岸FE的B點測得∠CBE＝30°，從B點沿河岸FE的方向走40米到達D點，測得∠CDE＝45°．
（1）求河兩岸之間的距離是多少米？（結(jié)果保留根號）
（2）若從D點繼續(xù)沿DE的方向走（12+12）米到達P點．求tan∠CPE的值．
【分析】（1）根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系得出CH﹣CH＝40，進而求出答案；
（2）求出HP，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義進行計算即可．
【解答】解：如圖，過點C作CH⊥EF于點H，
在Rt△CHB中，
∵tan∠CBH＝＝，
∴HB＝CH，
在Rt△CHD中，∠CDH＝45°，
∴CH＝DH，
又∵BH﹣DH＝BD＝40，
∴CH﹣CH＝40，
解得CH＝20+20，
即河兩岸之間的距離是（20+20）米；
（2）在Rt△CHP中，HP＝HD＝PD＝20+20﹣（12+12）＝8+8，
∴tan∠CPE＝
＝
＝
＝．
6．（2023?樂至縣）如圖，在某機場的地面雷達觀測站O，觀測到空中點A處的一架飛機的仰角為45°，飛機沿水平線MN方向飛行到達點B處，此時觀測到飛機的仰角為60°，飛機繼續(xù)沿與水平線MN成15°角的方向爬升到點C處，此時觀測到飛機的仰角為60°．已知OA＝9千米．（A、B、C、O、M、N在同一豎直平面內(nèi)）
（1）求O、B兩點之間的距離；
（2）若飛機的飛行速度保持12千米/分鐘，求飛機從點B飛行到點C所用的時間是多少分鐘？（≈1.414，結(jié)果精確到0.01）
【分析】（1）過點O作OD⊥AB，垂足為D，根據(jù)題意可得：∠AOM＝45°，∠BOM＝60°，AD∥MN，從而可得∠A＝∠AOM＝45°，∠DBO＝∠BOM＝60°，然后在Rt△ADO中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出OD的長，再在Rt△BDO中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出OB的長，即可解答；
（2）過點B作BE⊥OC，垂足為E，根據(jù)題意可得：∠CBD＝15°，∠BOM＝60°，∠CON＝60°，從而利用平角定義可得∠BOC＝60°，∠CBO＝75°，然后利用三角形內(nèi)角和定理可得∠C＝45°，從而在Rt△BOE中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BE的長，再在Rt△BCE中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BC的長，最后進行計算即可解答．
【解答】解：（1）過點O作OD⊥AB，垂足為D，
由題意得：∠AOM＝45°，∠BOM＝60°，AD∥MN，
∴∠A＝∠AOM＝45°，∠DBO＝∠BOM＝60°，
在Rt△ADO中，OA＝9千米，
∴OD＝OA?sin45°＝9×＝9（千米），
在Rt△BDO中，OB＝＝＝6（千米），
∴O、B兩點之間的距離為6千米；
（2）過點B作BE⊥OC，垂足為E，
由題意得：∠CBD＝15°，∠BOM＝60°，∠CON＝60°，
∴∠BOC＝180°﹣∠BOM﹣∠CON＝60°，
∵∠DBO＝60°，
∴∠CBO＝∠CBD+∠DBO＝75°，
∴∠C＝180°﹣∠CBO﹣∠BOC＝45°，
在Rt△BOE中，OB＝6千米，
∴BE＝OB?sin60°＝6×＝9（千米），
在Rt△BCE中，BC＝＝＝9（千米），
∴飛機從點B飛行到點C所用的時間＝≈1.06（分鐘），
∴飛機從點B飛行到點C所用的時間約為1.06分鐘．
【中考模擬練】
1．（2024?高青縣一模）如圖（1），在△ABC中，AB＝AC＝4，射線AN∥BC，D為AN上一點，過點D作DE∥AB，交射線BC于點E．研究發(fā)現(xiàn)線段CE的長y與線段AD的長x之間的關(guān)系可用圖（2）的圖象表示，已知點M（8，2），則∠B的正切值為（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)點M的坐標(biāo)可求出BC的長，再過點A作BC的垂線，構(gòu)造直角三角形即可解決問題．
【解答】解：因為點M的坐標(biāo)為（8，2），如圖所示，
AD′＝8，CE′＝2．
過點C作D′E′的平行線，交AN于點F，
∵CF∥D′E′，AN∥BC，
∴四邊形CE′D′F是平行四邊形，
∴D′F＝CE′＝2，
∴AF＝8﹣2＝6．
同理可得，
四邊形ABCF是平行四邊形，
∴BC＝AF＝6．
過點A作BC的垂線，垂足為M，
∵AB＝AC，AM⊥BC，
∴BM＝．
在Rt△ABM中，
AM＝，
∴tan∠B＝．
故選：A．
2．（2024?金牛區(qū)模擬）如圖，已知點C為線段AB的中點，CD⊥AB且CD＝AB＝8，連接AD，BE⊥AB，且交∠DAB的平分線AE于點E，AE與DC相交于點F，EH⊥DC于點G，交AD于點H，則AH的長為 10﹣2 ．
【分析】由∠ACD＝90°，CD＝AB＝8，AC＝BC＝AB＝4，求得AD＝4，再證明四邊形BCGE是矩形，則EG＝BC＝4，EG∥BC，所以∠HEA＝∠BAE，而∠HAE＝∠BAE，則∠HEA＝∠HAE，所以EH＝AH，由＝＝sinD，得＝，求得AH＝10﹣2，于是得到問題的答案．
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴∠ACD＝90°，
∵點C為線段AB的中點，CD＝AB＝8，
∴AC＝BC＝AB＝4，
∴AD＝＝4，
∵BE⊥AB，EH⊥DC，
∴∠B＝∠BCG＝∠CGE＝90°，
∴四邊形BCGE是矩形，
∴EG＝BC＝4，EG∥BC，
∴∠HEA＝∠BAE，
∵AE平分∠DAB，
∴∠HAE＝∠BAE，
∴∠HEA＝∠HAE，
∴EH＝AH，
∴HG＝EH﹣EG＝AH﹣4，HD＝AD﹣AH＝4﹣AH，
∵∠HGD＝∠ACD＝90°，
∴＝＝sinD，
∴＝，
∴解得AH＝10﹣2，
故答案為：10﹣2．
3．（2024?天河區(qū)校級一模）如圖，在 Rt△ABC中，斜邊AB＝10，，點P為邊AB上一動點（不與A，B重合），PQ平分∠CPB交邊BC于點Q，QM⊥AB 于M，QN⊥CP 于N．
（1）當(dāng)AP＝CP時，線段CQ的長是 4 ；
（2）當(dāng)CP⊥AB時，線段CQ的長是 ．
【分析】（1）證明點P為AB的中點，由角分線證明PQ∥AC，根據(jù)平行線分線段成比例，得出CQ即可．
（2）利用三角函數(shù)求出PC，求出sin∠PCQ的值，證明出∠QPN＝45°，設(shè)QN為4x，表示出PN為4x、CN為3x，根據(jù)PC求出x即可．
【解答】解：（1）如圖，
在 Rt△ABC中，AB＝10，，
∴BC＝AB?sinA＝8，
∵AP＝CP，
∴∠PAC＝∠PCA，
∵∠A+∠B＝90°，∠PCA+∠PCB＝90°，
∴∠B＝∠PCB，
∴PB＝PC，
∴PA＝PB，
∵PQ平分∠CPB，
∴∠BPQ＝∠CPQ，
∴∠CPQ＝∠PCA，
∴PQ∥AC，
∴CQ＝BQ＝4，
故答案為：4．
（2）如圖，∵CP⊥AB，
∴PC＝AC?sinA＝，
∵∠A+∠PCA＝90°，∠PCA+∠PCQ＝90°，
∴∠PCQ＝∠A，即sin∠PCQ＝，
設(shè)PN＝4x，
∵QM⊥AB，
∴CQ＝5x，
∴NC＝3x，
∵PQ平分∠CPB，
∴∠QPN＝45°，
∴PN＝4x，
∴PC＝7x＝，
∴x＝，
∴CQ＝5x＝，
故答案為：．
4．（2024?道里區(qū)一模）如圖，在△ABC中，∠ABC＝2∠BAC，BD是△ABC的角平分線，過點D作BD的垂線交BC的延長線于點E，過點E作AB的平行線交AC的延長線于點F，若BE+EF＝8，tan∠BAC＝，則線段DE的長 ．
【分析】根據(jù)tan∠BAC＝tan∠DBE＝＝，設(shè)DE＝x，BD＝2x，則BE＝＝x，過點D作DN⊥AB于點N，延長ED交AB于點M，結(jié)合EF∥AB，證明△ADM≌△FDE，得到AB＝BM+AM＝BE+EF，結(jié)合BE+EF＝8，計算即可．
【解答】解：如圖，延長ED交AB于點M，
∵，
∴△BDM≌△BDE（ASA）
∴BM＝BE，DM＝DE，
∵EF∥AB，
∴∠A＝∠F，∠AMD＝∠FED，
∵
∴△ADM≌△FDE（AAS），
∴AM＝FE，
∴AB＝BM+AM＝BE+EF，
∵BD是△ABC的角平分線，
∴∠ABC＝2∠ABD＝2∠CBD，
∵∠ABC＝2∠BAC，
∴∠BAC＝∠ABD＝∠CBD，
∴AD＝BD，
∵tan∠BAC＝，BD⊥DE，
∴tan∠BAC＝tan∠DBE＝＝，
設(shè)DE＝x，BD＝2x，
則BE＝＝x，
∴cs∠ABD＝cs∠DBE＝＝x，
過點D作DN⊥AB于點N，
∵AD＝BD，
∴AN＝BN＝AB，
∵cs∠ABD＝＝x，
∴BN＝x，
∴AB＝2BN＝x，
∵BE+EF＝8，
∴x＝8，
解得x＝，
故DE＝，
故答案為：．
5．（2024?海淀區(qū)校級模擬）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD為BC邊上的中線，點E為AD中點，過點A作AF∥BC，交BE的延長線于點F，連接CF．
（1）求證：四邊形ADCF為矩形；
（2）若BC＝6，sin，求EF的長．
【分析】（1）先證△AFE≌△DBE（AAS），得出AF＝BD，則AF＝DC，得出四邊形ADCF為平行四邊形，再證∠ADC＝90°，即可得出結(jié)論；
（2）BC＝6，AD為BC邊上的中線，則，在Rt△ABD 中，，求出，則，又根據(jù)點E為AD中點，求出，則EF可根據(jù)勾股定理可求．
【解答】（1）證明：∵AD是BC邊上的中線，
∴BD＝CD，
∵點E是AD的中點，
∴AE＝ED，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，∠FAE＝∠BDE，
在△AFE和△DBE中，
，
∴△AFE≌△DBE（AAS），
∴AF＝BD，
∴AF＝DC，
又∵AF∥BC，
∴四邊形ADCF為平行四邊形，
∵AB＝AC，AD為BC邊上的中線，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴四邊形ADCF為矩形；
（2）解：∵BC＝6，AD為BC邊上的中線，
∴，
∵在Rt△ABD 中，，
∴，
∴，
又∵點E為AD中點，
∴，
∴在 Rt△EBD中，，
∴．
易錯點：解直角三角形相關(guān)：
在Rt△ABC中，∠C=90°AB=c，BC=a，AC=b
三邊關(guān)系：
兩銳角關(guān)系：
邊與角關(guān)系：，，，
銳角α是a、b的夾角
面積：
易錯點：特殊角的三角函數(shù)值表
α
sinα
csα
tanα
30°
45°
60°
特殊角的三角函數(shù)值，可以直接記數(shù)值，也可以記定義，然后現(xiàn)退對應(yīng)函數(shù)值，但顯然，直接熟記對應(yīng)數(shù)值會便捷很多。
解題大招01：解直角三角形口訣“直乘斜除，對正臨余”——求直角三角形的直角邊，多用乘法；求斜邊，多用除法。求已知角的對邊，多用正弦或正切值；求已知角的臨邊，多用余弦值。
常見輔助線：做垂線
解題大招02：此類計算更多的是注意審題，因為題目中可能會要求精確位數(shù)，或者保留幾位有效數(shù)字，這時候要注意，一般計算到最后一步才帶入?yún)⒖紨?shù)據(jù)計算，然后四舍五入。
解題大招01：解直角三角形應(yīng)用常見輔助線
在實際測量高度、寬度、距離等問題中，常結(jié)合平面幾何知識構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)或相似三角形來解決問題，常見的構(gòu)造的基本圖形有如下幾種：
（1）不同地點看同一點，如圖①
（2）同一地點看不同點，如圖②
（3）利用反射構(gòu)造相似，如圖③
（4）常用結(jié)論：
課題
檢測新生物到皮膚的距離
工具
醫(yī)療儀器等
示意圖


說明
如圖2，新生物在A處，先在皮膚上選擇最大限度地避開器官的B處照射新生物，檢測射線與皮膚MN的夾角為∠DBN；再在皮膚上選擇距離B處9cm的C處照射新生物，檢測射線與皮膚MN的夾角為∠ECN．
測量數(shù)據(jù)
∠DBN＝35°，∠ECN＝22°，BC＝9cm
課題
母親河駁岸的調(diào)研與計算
調(diào)查方式
資料查閱、水利部門走訪、實地查看了解
調(diào)查內(nèi)容
功能
駁岸是用來保護河岸，阻止河岸崩塌或沖刷的構(gòu)筑物
材料
所需材料為石料、混凝土等
駁岸時剖面圖

相關(guān)數(shù)據(jù)及說明：圖中，點A，B，C，D，E在同一豎直平面內(nèi)，AE和CD均與地面平行，岸墻AB⊥AE于點A，∠BCD＝135°，∠EDC＝60°，ED＝6m，AE＝1.5m，CD＝3.5m．
計算結(jié)果
…
交通展示
…

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