考點(diǎn)一：三角形的全等模型
全等三角形在中考數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)不是簡(jiǎn)單的直接考察，而是作為幾何題的中間變量，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等，來(lái)傳遞等量線段或者等價(jià)角。而當(dāng)題目不直接考察時(shí)，識(shí)別需要的全等模型，并利用對(duì)應(yīng)結(jié)論做題就是最為重要的一個(gè)突破口，學(xué)習(xí)模型，運(yùn)用模型結(jié)論直接做題會(huì)給我們提供一個(gè)非常重要的做題思路。
題型01 三角形常見全等模型及其應(yīng)用
【中考真題練】
1．（2023?長(zhǎng)春）如圖，工人師傅設(shè)計(jì)了一種測(cè)零件內(nèi)徑AB的卡鉗，卡鉗交叉點(diǎn)O為AA'、BB'的中點(diǎn)，只要量出A'B'的長(zhǎng)度，就可以知道該零件內(nèi)徑AB的長(zhǎng)度．依據(jù)的數(shù)學(xué)基本事實(shí)是（ ）
A．兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等
B．兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等
C．兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例
D．兩點(diǎn)之間線段最短
2．（2023?重慶）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D為BC上一點(diǎn)，連接AD．過點(diǎn)B作BE⊥AD于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．若BE＝4，CF＝1，則EF的長(zhǎng)度為 ．
3．（2023?呼和浩特）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，，點(diǎn)P為AC邊上的中點(diǎn)，PM交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，PN交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，且PM⊥PN．若BM＝1，則△PMN的面積為（ ）
A．13B．C．8D．

4．（2023?湖北）如圖，△BAC，△DEB和△AEF都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DEB＝∠AEF＝90°，點(diǎn)E在△ABC內(nèi)，BE＞AE，連接DF交AE于點(diǎn)G，DE交AB于點(diǎn)H，連接CF．給出下面四個(gè)結(jié)論：①∠DBA＝∠EBC；②∠BHE＝∠EGF；③AB＝DF；④AD＝CF．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是 ．

5．（2023?遂寧）如圖，以△ABC的邊AB、AC為腰分別向外作等腰直角△ABE、△ACD，連結(jié)ED、BD、EC，過點(diǎn)A的直線l分別交線段DE、BC于點(diǎn)M、N．以下說(shuō)法：①當(dāng)AB＝AC＝BC時(shí)，∠AED＝30°；②EC＝BD；③若AB＝3，AC＝4，BC＝6，則DE＝2；④當(dāng)直線l⊥BC時(shí)，點(diǎn)M為線段DE的中點(diǎn)．正確的有 ．（填序號(hào)）

6．（2023?鞍山）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)M為CD邊上一點(diǎn)，連接AM，將△ADM繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABN，在AM，AN上分別截取AE，AF，使AE＝AF＝BC，連接EF，交對(duì)角線BD于點(diǎn)G，連接AG并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)H．若AM＝，CH＝2，則AG的長(zhǎng)為 ．

7．（2023?大連）如圖，AC＝AE，BC＝DE，BC的延長(zhǎng)線與DE相交于點(diǎn)F，∠ACF+∠AED＝180°．求證：AB＝AD．

8．（2023?遂寧）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)O為對(duì)角線BD的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線l分別與AD、BC所在的直線相交于點(diǎn)E、F．（點(diǎn)E不與點(diǎn)D重合）
（1）求證：△DOE≌△BOF；
（2）當(dāng)直線l⊥BD時(shí)，連結(jié)BE、DF，試判斷四邊形EBFD的形狀，并說(shuō)明理由．

9．（2023?巴中）綜合與實(shí)踐．
（1）提出問題．如圖1，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，且AB＝AC，AD＝AE，連接BD，連接CE交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)O．
①∠BOC的度數(shù)是 ．
②BD：CE＝ ．
（2）類比探究．如圖2，在△ABC和△DEC中，∠BAC＝∠EDC＝90°，且AB＝AC，DE＝DC，連接AD、BE并延長(zhǎng)交于點(diǎn)O．
①∠AOB的度數(shù)是 ；
②AD：BE＝ ．
（3）問題解決．如圖3，在等邊△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E在線段AD上（不與A重合），以AE為邊在AD的左側(cè)構(gòu)造等邊△AEF，將△AEF繞著點(diǎn)A在平面內(nèi)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角度．如圖4，M為EF的中點(diǎn)，N為BE的中點(diǎn)．
①說(shuō)明△MND為等腰三角形．
②求∠MND的度數(shù)．

【中考模擬練】
1．（2023?三穗縣校級(jí)一模）如圖，點(diǎn)D，E分別為△ABC的邊AB，AC上的點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)至F，使EF＝DE，連接FC．若FC∥AB，AB＝5，CF＝3，則BD的長(zhǎng)等于（ ）
A．1B．2C．3D．5

2．（2024?昆山市一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，AD＝5，AB＝6，∠D是銳角，CE⊥AD于點(diǎn)E，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，連接BF，EF．若∠EFB＝90°，則CE的長(zhǎng)為 ．

3．（2023?福田區(qū)二模）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)M，N分別在邊BC，CD上，且∠MON＝90°，連接MN交OC于P，若BM＝2，則OP?OC＝ ．

4．（2024?河南一模）如圖，在菱形OABC中，∠BCO＝60°，點(diǎn)C（﹣3，0），點(diǎn)D在對(duì)角線BO上，且OD＝2BD，點(diǎn)E是射線AO上一動(dòng)點(diǎn)，連接DE，F(xiàn)為x軸上一點(diǎn)（F在DE左側(cè)），且∠EDF＝60°，連接EF，當(dāng)△DEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（ ）
A．（1，3）B．C．D．（0，0）

5．（2023?長(zhǎng)春模擬）兩個(gè)大小不同的等邊三角形三角板按圖①所示擺放．將兩個(gè)三角板抽象成如圖②所示的△ABC和△ADE，點(diǎn)B、C、D依次在同一條直線上，連接CE．若CD＝1，CE＝3，則點(diǎn)A到直線BC的距離為 ．

6．（2024?雁塔區(qū)校級(jí)二模）已知：如圖，點(diǎn)E、F在BC上，AF與DE交于點(diǎn)G，AB＝DC，GE＝GF，∠B＝∠C．求證：AG＝DG．

7．（2024?涼州區(qū)一模）某同學(xué)用10塊高度都是5cm的相同長(zhǎng)方體小木塊，壘了兩堵與地面垂直的木墻，木墻之間剛好可以放進(jìn)一個(gè)等腰直角三角板ABD（∠ABD＝90°，BD＝BA），點(diǎn)B在CE上，點(diǎn)A和D分別與木墻的頂端重合．
（1）求證：△ACB≌△BED；
（2）求兩堵木墻之間的距離．

8．（2024?龍馬潭區(qū)一模）如圖，拋物線y＝ax2+bx+6（a≠0）與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若在線段BC上存在一點(diǎn)M，使得∠BMO＝45°，過點(diǎn)O作OH⊥OM交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)P是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是在對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，Q，使得以點(diǎn)P，Q，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

考點(diǎn)二：三角形的相似模型
相似三角形和勾股定理是解決初中數(shù)學(xué)求長(zhǎng)度問題中的兩大重要定理，所有的幾何問題就長(zhǎng)度，最后幾乎都能轉(zhuǎn)化為這兩個(gè)定理的應(yīng)用。而作為應(yīng)用幾率更大的相似三角形，熟悉其常用模型，利用模型的性質(zhì)思考對(duì)應(yīng)問題的走向就是一個(gè)非常重要的解題思想。所以，先熟悉相似的各種模型，再在問題中識(shí)別模型，最后利用模型找捷徑。
題型01 相似三角形常見模型及其應(yīng)用
【中考真題練】
1．（2023?哈爾濱）如圖，AC，BD相交于點(diǎn)O，AB∥DC，M是AB的中點(diǎn)，MN∥AC，交BD于點(diǎn)N，若DO：OB＝1：2，AC＝12，則MN的長(zhǎng)為（ ）
A．2B．4C．6D．8

2．（2023?東營(yíng)）如圖，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AB上，∠ADE＝60°．若BD＝4DC，DE＝2.4，則AD的長(zhǎng)為（ ）
A．1.8B．2.4C．3D．3.2

3．（2023?雅安）如圖，在?ABCD中，F(xiàn)是AD上一點(diǎn)，CF交BD于點(diǎn)E，CF的延長(zhǎng)線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，EF＝1，EC＝3，則GF的長(zhǎng)為（ ）
A．4B．6C．8D．10

4．（2023?德州）如圖，A，B，C，D是⊙O上的點(diǎn)，AB＝AD，AC與BD交于點(diǎn)E，AE＝3，EC＝5，BD＝4，⊙O的半徑為（ ）
A．6B．C．5D．2

5．（2023?東營(yíng)）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊DC，BC上，且BF＝CE，AE平分∠CAD，連接DF，分別交AE，AC于點(diǎn)G，M．P是線段AG上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PN⊥AC，垂足為N，連接PM．有下列四個(gè)結(jié)論：
①AE垂直平分DM；
②PM+PN的最小值為3；
③CF2＝GE?AE；
④S△ADM＝6．
其中正確的是（ ）
A．①②B．②③④C．①③④D．①③

6．（2023?大慶）在綜合與實(shí)踐課上，老師組織同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．有一張矩形紙片ABCD如圖所示，點(diǎn)N在邊AD上，現(xiàn)將矩形折疊，折痕為BN，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的點(diǎn)記為點(diǎn)M，若點(diǎn)M恰好落在邊DC上，則圖中與△NDM一定相似的三角形是 ．

7．（2023?呼和浩特）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，BE與AC交于點(diǎn)M，F(xiàn)是AD上一點(diǎn)，連接BF分別交AC，AE于點(diǎn)G，H，且BF⊥AE，連接MH，則AH＝ ，MH＝ ．

8．（2023?常德）如圖1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D是AB上一點(diǎn)，且AD＝2，過點(diǎn)D作DE∥BC交AC于E，將△ADE繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置．則圖2中的值為 ．

9．（2023?鄂州）2002年的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)在中國(guó)北京舉行，這是21世紀(jì)全世界數(shù)學(xué)家的第一次大聚會(huì)．這次大會(huì)的會(huì)徽選定了我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽用來(lái)證明勾股定理的弦圖，世人稱之為“趙爽弦圖”．如圖，用四個(gè)全等的直角三角形（Rt△AHB≌Rt△BEC≌Rt△CFD≌Rt△DGA）拼成“趙爽弦圖”，得到正方形ABCD與正方形EFGH，連接AC和EG，AC與DF、EG、BH分別相交于點(diǎn)P、O、Q，若BE：EQ＝3：2，則的值是 ．

10．（2023?湘潭）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜邊BC上的高．
（1）證明：△ABD∽△CBA；
（2）若AB＝6，BC＝10，求BD的長(zhǎng)．

11．（2023?南京）在平面內(nèi)，將一個(gè)多邊形先繞自身的頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度θ（0°＜θ＜180°），再將旋轉(zhuǎn)后的多邊形以點(diǎn)A為位似中心放大或縮小，使所得多邊形與原多邊形對(duì)應(yīng)線段的比為k，稱這種變換為自旋轉(zhuǎn)位似變換．若順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，記作T（A，順θ，k）；若逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，記作T（A，逆θ，k）．
例如：如圖①，先將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)50°，得到△A1BC1，再將△A1BC1以點(diǎn)B為位似中心縮小到原來(lái)的，得到△A2BC2，這個(gè)變換記作T（B，逆50°，）．
（1）如圖②，△ABC經(jīng)過T（C，順60°，2）得到△A′B′C，用尺規(guī)作出△A′B′C．（保留作圖痕跡）
（2）如圖③，△ABC經(jīng)過T（B，逆α，k1）得到△EBD，△ABC經(jīng)過T（C，順β，k2）得到△FDC，連接AE，AF．求證：四邊形AFDE是平行四邊形．
（3）如圖④，在△ABC中，∠A＝150°，AB＝2，AC＝1．若△ABC經(jīng)過（2）中的變換得到的四邊形AFDE是正方形．
Ⅰ．用尺規(guī)作出點(diǎn)D（保留作圖痕跡，寫出必要的文字說(shuō)明）；
Ⅱ．直接寫出AE的長(zhǎng)．

【中考模擬練】
1．（2024?沙坪壩區(qū)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△OAB和△OCD是以原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形．若OB＝2OD，△OCD的周長(zhǎng)為3，則△OAB的周長(zhǎng)為（ ）
A．6B．9C．12D．30

2．（2024?平遙縣一模）如圖，D，E分別是△ABC的邊AB，AC的點(diǎn)，且，CD與BE交于點(diǎn)O，則S△COE：S△BOC的值為（ ）
A．B．C．D．

3．（2024?鎮(zhèn)海區(qū)校級(jí)模擬）如圖，△ABC和△CDE都是等邊三角形，點(diǎn)G在CA的延長(zhǎng)線上，GB＝GE，若BE+CG＝10，＝，則AF的長(zhǎng)為（ ）
A．1B．C．D．2

4．（2024?龍湖區(qū)校級(jí)一模）邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，E在BD上，作EF⊥CE交AB于點(diǎn)F，連接CF交BD于H，則下列結(jié)論：①EF＝EC；②CF2＝CG?CA；③BE?DH＝16；④若BF＝1，則，正確的是（ ）
A．①②④B．②③④C．①②③D．①②③④

5．（2024?河北模擬）如圖，△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝2，以AB為直徑的⊙O分別交AC，BC于點(diǎn)D，E，連接ED，則CD的長(zhǎng)為（ ）
A．1B．C．2D．

6．（2024?寧波模擬）如圖，在正方形ABCD中，G為BC上一點(diǎn)，矩形DEFG的邊EF經(jīng)過點(diǎn)A．若∠CDG＝α，則∠AHF＝ ；若AH＝3，GC＝2，則△EFH的面積為 ．

7．（2024?沈陽(yáng)模擬）如圖，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，E是AB邊上一點(diǎn)，且AE＝1，F(xiàn)是AD邊上一動(dòng)點(diǎn)，作∠EFG＝90°，交CD邊于點(diǎn)G，將△FDG沿著FG所在直線折疊，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D′恰好落在BC邊上，則DF的長(zhǎng)為 ．

8．（2024?伊寧市校級(jí)一模）如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在AC上，EF⊥BE交CD于點(diǎn)F，且F為CD的中點(diǎn)，交BD于點(diǎn)G，連接BF交AC于點(diǎn)H，連接GH．下列結(jié)論：①∠EFB＝45°；②；③EH＝2GH；④GO?BG＝GH?GD．其中正確結(jié)論的序號(hào)為 ．

9．（2023?新?lián)釁^(qū)模擬）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝4，AE＝3，連接BE，以BE為斜邊在BE的右側(cè)作等腰直角△BDE，P是AE邊上的一點(diǎn)，連接PC和CD，當(dāng)∠PCD＝45°，則PE長(zhǎng)為 ．

10．（2024?汝南縣一模）某“綜合與實(shí)踐”小組開展測(cè)量本校旗桿高度的實(shí)踐活動(dòng)．他們制訂了測(cè)量方案，并利用課余時(shí)間完成了實(shí)地測(cè)量，測(cè)量報(bào)告如下．
請(qǐng)根據(jù)以上測(cè)量結(jié)果及該小組的思路．求學(xué)校旗桿AB的高度．

11．（2024?中山市一模）【感知】如圖①，在正方形ABCD中，E為AB邊上一點(diǎn)，連結(jié)DE，過點(diǎn)E作EF⊥DE交BC于點(diǎn)F．易證：△AED∽△BFE．（不需要證明）
【探究】如圖②，在矩形ABCD中，E為AB邊上一點(diǎn)，連結(jié)DE，過點(diǎn)E作EF⊥DE交BC于點(diǎn)F．
（1）求證：△AED∽△BFE．
（2）若AB＝10，AD＝6，E為AB的中點(diǎn)，求BF的長(zhǎng)．
【應(yīng)用】如圖③，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4．E為AB邊上一點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、B重合），連結(jié)CE，過點(diǎn)E作∠CEF＝45°交BC于點(diǎn)F．當(dāng)△CEF為等腰三角形時(shí)，BE的長(zhǎng)為 ．

考點(diǎn)三：三角形的組合模型
三角形除了全等模型，還有一些可以得到特殊性質(zhì)或者結(jié)論的組合模型，即當(dāng)兩個(gè)或者三個(gè)條件同時(shí)出現(xiàn)，就會(huì)有一些固定用法，這類模型我們叫它組合模型。
題型01 三角形組合模型及其應(yīng)用
【中考真題練】
1．（2023?衢州）如圖，在△ABC中，以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交AB，AC于點(diǎn)D，E．分別以點(diǎn)D，E為圓心，大于長(zhǎng)為半徑畫弧，交于∠BAC內(nèi)一點(diǎn)F．連結(jié)AF并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)G．連結(jié)DG，EG．添加下列條件，不能使BG＝CG成立的是（ ）
A．AB＝ACB．AG⊥BCC．∠DGB＝∠EGCD．AG＝AC

2．（2023?揚(yáng)州）我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽證明勾股定理時(shí)創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”，它是由4個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成．如圖，直角三角形的直角邊長(zhǎng)為a、b，斜邊長(zhǎng)為c，若b﹣a＝4，c＝20，則每個(gè)直角三角形的面積為 ．

3．（2023?濰坊）如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD，垂足為點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF∥BC，交AC于點(diǎn)F，G為BC的中點(diǎn)，連接FG．求證：FG＝AB．

4．（2023?黃石）如圖，AB為⊙O的直徑，DA和⊙O相交于點(diǎn)F，AC平分∠DAB，點(diǎn)C在⊙O上，且CD⊥DA，AC交BF于點(diǎn)P．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）求證：AC?PC＝BC2；
（3）已知BC2＝3FP?DC，求的值．

5．（2023?懷化）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn)，PA與⊙O相切于點(diǎn)A，點(diǎn)C為⊙O上的一點(diǎn)．連接PC、AC、OC，且PC＝PA．
（1）求證：PC為⊙O的切線；
（2）延長(zhǎng)PC與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，求證：PD?OC＝PA?OD；
（3）若∠CAB＝30°，OD＝8，求陰影部分的面積．

【中考模擬練】
1．（2023?武安市三模）有一題目：“如圖，∠ABC＝40°，BD平分∠ABC，過點(diǎn)D作DE∥AB交BC于點(diǎn)E，若點(diǎn)F在AB上，且滿足DF＝DE，求∠DFB的度數(shù)．”小賢的解答：以D為圓心，DE長(zhǎng)為半徑畫圓交AB于點(diǎn)F，連接DF，則DE＝DF，由圖形的對(duì)稱性可得∠DFB＝∠DEB．結(jié)合平行線的性質(zhì)可求得∠DFB＝140°．而小軍說(shuō)：“小賢考慮的不周全，∠DFB還應(yīng)有另一個(gè)不同的值”．下列判斷正確的是（ ）
A．小軍說(shuō)的對(duì)，且∠DFB的另一個(gè)值是40°
B．小軍說(shuō)的不對(duì)，∠DFB只有140°一個(gè)值
C．小賢求的結(jié)果不對(duì)，∠DFB應(yīng)該是20°
D．兩人都不對(duì)，∠DFB應(yīng)有3個(gè)不同值

2．（2024?碑林區(qū)校級(jí)自主招生）圖1是我國(guó)古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的．若AC＝6，BC＝5，將四個(gè)直角三角形中邊長(zhǎng)為6的直角邊分別向外延長(zhǎng)一倍，得到圖2所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，則這個(gè)風(fēng)車的外圍周長(zhǎng)是多少？

3．（2022?長(zhǎng)春二模）圖1中的直角三角形有一條直角邊長(zhǎng)為3，將四個(gè)圖1中的直角三角形分別拼成如圖2，圖3所示的正方形，其中陰影部分的面積分別記為S1，S2，則S1﹣S2的值為 ．

4．（2023?長(zhǎng)春模擬）兩個(gè)大小不同的等邊三角形三角板按圖①所示擺放．將兩個(gè)三角板抽象成如圖②所示的△ABC和△ADE，點(diǎn)B、C、D依次在同一條直線上，連接CE．若CD＝1，CE＝3，則點(diǎn)A到直線BC的距離為 ．

5．（2024?朝陽(yáng)區(qū)一模）【教材呈現(xiàn)】下面是華師版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第96頁(yè)的部分內(nèi)容．
我們已經(jīng)知道角是軸對(duì)稱圖形，角平分線所在的直線是角的對(duì)稱軸．如圖，OC是∠AOB的平分線，P是OC上任一點(diǎn)，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為點(diǎn)D和點(diǎn)E．將∠AOB沿OC對(duì)折，我們發(fā)現(xiàn)PD與PE完全重合．由此即有：
角平分線的性質(zhì)定理角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．
已知：如圖，OC是∠AOB的平分線，點(diǎn)P是OC上的任意一點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為點(diǎn)D和點(diǎn)E．
請(qǐng)寫出完求證：PD＝PE．
分析圖中有兩個(gè)直角三角形PDO和PEO，只要證明這兩個(gè)三角形全等，便可證得PD＝PE．
（1）請(qǐng)根據(jù)教材中的分析，結(jié)合圖①，寫出“角平分線的性質(zhì)定理”完整的證明過程．
【定理應(yīng)用】
（2）如圖②，已知OC是∠AOB的平分線，點(diǎn)P是OC上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)D、E分別在邊OA、OB上，連結(jié)PD、PE，∠AOB+∠DPE＝180°．若∠AOB＝60°，OD+OE＝5，則OP的長(zhǎng)為 ．
（3）如圖③，在平行四邊形ABCD中，∠ABC＝60°，BE平分∠ABC交AD于點(diǎn)E，連結(jié)CE，將CE繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F落在邊AB上時(shí)，若BF+BC＝12，則四邊形BCEF的面積為 ．

解題大招：全等常見模型：
①K型圖：
圖形
條件與結(jié)論
輔助線
注意事項(xiàng)
條件：AC=BC,AC⊥BC
結(jié)論：
△ADC≌△CEB(AAS)
分別過點(diǎn)A、B作AD⊥l,
BE⊥l
K型圖可以和等腰直角三角板結(jié)合，也可以和正方形結(jié)合
K型全等模型變形——三垂定理：
如圖，亦有△ADC≌△CEB(AAS)
總結(jié)：當(dāng)一個(gè)直角放在一條直線上時(shí)，常通過構(gòu)造K型全等來(lái)證明邊相等，或者邊之間的數(shù)量關(guān)系

②手拉手：
模型名稱
幾何模型
圖形特點(diǎn)
具有性質(zhì)
全
等
型
手
拉
手
AD=AE
AB=AC
∠BAC=∠DAE
連結(jié)BD、CE
①△ABD≌△ACE
②△AOB∽△HOC
③旋轉(zhuǎn)角相等
（即∠1=∠2=∠3）
④A、B、C、D四點(diǎn)共圓
⑤AH平分∠BHE
③倍長(zhǎng)中線：
基本圖形
輔助線
條件與結(jié)論
應(yīng)用環(huán)境
延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，
使DE=AD，連接CE
條件：△ABC，AD=BD
結(jié)論：
△ABD≌△CED(SAS)
①倍長(zhǎng)中線常和△三邊關(guān)系結(jié)合，考察中線長(zhǎng)的取值范圍
②倍長(zhǎng)中線也可以和其他幾何圖形結(jié)合，考察幾何圖形的面積問題
解題大招：相似常見模型：
①A字圖：
當(dāng)DE∥BC時(shí)
△ADE∽△ABC
性質(zhì)：
當(dāng)∠ADE=∠ACB時(shí)
△ADE∽△ACB
性質(zhì)：
變型

②8字圖：當(dāng)∠A=∠C時(shí)
△AJB∽△CJD
性質(zhì)：
當(dāng)AB∥CD時(shí)
△AOB∽△DOC
性質(zhì)：
變型
③一線三等角：

一般地：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到底邊的中點(diǎn)時(shí)，CF有最大值
在Rt△ACB與Rt△ADC中，當(dāng)∠ABC=∠ACD時(shí)，有
Rt△ACB∽R(shí)t△ADC∽R(shí)t△CDB
射影定理：
特殊母子型——射影定理
☆：有關(guān)射影定理圖形常見的三個(gè)應(yīng)用方向：
等積法（求斜邊上的高）
同角的余角相等（得∠A=∠BCD）
射影定理
在圓中因?yàn)橹睆剿鶎?duì)圓周角=90°，轉(zhuǎn)化得此圖形，進(jìn)而利用以上3個(gè)結(jié)論！
☆：“母子△”與“阿氏圓”
阿氏圓的基本原理就是構(gòu)造母子三角形，之后再結(jié)合兩點(diǎn)之間線段最短求解最后結(jié)果。具體步驟等見最值小專題“阿氏圓”！
課題
測(cè)量旗桿的高度
成員
組長(zhǎng)：×××
組員：×××，×××，×××
測(cè)量工具
皮尺，標(biāo)桿
測(cè)量示意圖

說(shuō)明：在水平地面上直立一根標(biāo)桿EF，觀測(cè)者沿著直線BF后退到點(diǎn)D，使眼睛C、標(biāo)桿的頂端E、旗桿的頂端A在同一直線上．
測(cè)量數(shù)據(jù)
觀測(cè)者與標(biāo)桿的距離DF
觀測(cè)者與旗桿的距離DB
標(biāo)桿EF的長(zhǎng)
觀測(cè)者的眼睛離地面的距離CD
1m
18m
2.4m
1.6m
問題解決
如圖，過點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，交EF于點(diǎn)G．…
解題大招：常見組合模型
①知2得1：
①AD為角平分線；②DE∥AB；③AE=ED
若以上3個(gè)條件中有2個(gè)成立，則剩余的那個(gè)就會(huì)成立。即：三條件滿足“知2得1”


②勾股定理面積應(yīng)用：
圖形
結(jié)論
總結(jié)
當(dāng)分別以直角三角形的三邊為邊（或底邊、半徑）做規(guī)則的正方形、等邊三角形、等腰直角三角形、半圓時(shí)，均滿足兩直角邊所做圖形的面積和等于斜邊所做圖形的面積
A
C
D
B
E
E
D
B
C
A
F
③等腰直角三角形中“半角模型”
☆1：若∠DAE旋轉(zhuǎn)到△ABC外部時(shí)，結(jié)論BD2＋CE2=DE2仍然成立
E
D
B
C
A
E
D
B
C
A
F
☆2：若∠DAE=135°時(shí)，則有結(jié)論CD2＋BE2=DE2。

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