重難點06二次函數(shù)圖象性質(zhì)及其綜合應(yīng)用（2考點8題型）2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)沖刺過關(guān)（全國通用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

考點一：二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)
二次函數(shù)是中考三大函數(shù)中內(nèi)容最多，考察難度最大的一個函數(shù)。而二次函數(shù)的圖象更是其龐大內(nèi)容的核心，初中數(shù)學(xué)中需要我們詳細(xì)的掌握拋物線的畫法、特征、性質(zhì)、與系數(shù)的關(guān)系、幾何變換等幾個方面的知識，進(jìn)而在多變的題型中快速找到解決它們的方法。
題型01 二次函數(shù)圖象與性質(zhì)
【中考真題練】
1．（2023?臺州）拋物線y＝ax2﹣a（a≠0）與直線y＝kx交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，若x1+x2＜0，則直線y＝ax+k一定經(jīng)過（）
A．第一、二象限B．第二、三象限
C．第三、四象限D(zhuǎn)．第一、四象限
【分析】根據(jù)已知條件可得出ax2﹣kx﹣a＝0，再利用根與系數(shù)的關(guān)系，分情況討論即可．
【解答】解：∵拋物線y＝ax2﹣a（a≠0）與直線y＝kx交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，
∴kx＝ax2﹣a，
∴ax2﹣kx﹣a＝0，
∴，
∴，
當(dāng)a＞0，k＜0時，直線y＝ax+k經(jīng)過第一、三、四象限，
當(dāng)a＜0，k＞0時，直線y＝ax+k經(jīng)過第一、二、四象限，
綜上，直線y＝ax+k一定經(jīng)過一、四象限．
故選：D．
2．（2023?邵陽）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是拋物線y＝ax2+4ax+3（a是常數(shù)，a≠0）上的點，現(xiàn)有以下四個結(jié)論：①該拋物線的對稱軸是直線x＝﹣2；②點（0，3）在拋物線上；③若x1＞x2＞﹣2，則y1＞y2；④若y1＝y(tǒng)2，則x1+x2＝﹣2，其中，正確結(jié)論的個數(shù)為（）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【分析】根據(jù)題目中的二次函數(shù)的性質(zhì)，可以判斷各個小題中的結(jié)論是否正確，從而可以解答本題．
【解答】解：∵拋物線y＝ax2+4ax+3的對稱軸為直線x＝﹣＝﹣2，
∴①正確；
當(dāng)x＝0時，y＝3，則點（0，3）在拋物線上，
∴②正確；
當(dāng)a＞0時，x1＞x2＞﹣2，則y1＞y2；
當(dāng)a＜0時，x1＞x2＞﹣2，則y1＜y2；
∴③錯誤；
當(dāng)y1＝y(tǒng)2，則x1+x2＝﹣4，
∴④錯誤；
故正確的有2個，
故選：B．
3．（2023?揚州）已知二次函數(shù)y＝ax2﹣2x+（a為常數(shù)，且a＞0），下列結(jié)論：①函數(shù)圖象一定經(jīng)過第一、二、四象限；②函數(shù)圖象一定不經(jīng)過第三象限；③當(dāng)x＜0時，y隨x的增大而減小；④當(dāng)x＞0時，y隨x的增大而增大．其中所有正確結(jié)論的序號是（）
A．①②B．②③C．②D．③④
【分析】由a的正負(fù)可確定出拋物線的開口方向，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)逐項判斷即可．
【解答】解：∵a＞0時，拋物線開口向上，
∴對稱軸為直線x＝＝＞0，
當(dāng)x＜0時，y隨x的增大而減小，
當(dāng)x＞時，y隨x的增大而增大，
∴函數(shù)圖象一定不經(jīng)過第三象限，函數(shù)圖象可能經(jīng)過第一、二、四象限．
故選：B．
4．（2023?安徽）下列函數(shù)中，y的值隨x值的增大而減小的是（）
A．y＝x2+1B．y＝﹣x2+1C．y＝2x+1D．y＝﹣2x+1
【分析】根據(jù)各函數(shù)解析式可得y隨x的增大而減小時x的取值范圍．
【解答】解：選項A中，函數(shù)y＝x2+1，x＜0時，y隨x的增大而減小；故A不符合題意；
選項B中，函數(shù)y＝﹣x2+1，x＞0時，y隨x的增大而減??；故B不符合題意；
選項C中，函數(shù)y＝2x+1，y隨x的增大而增大；故C不符合題意；
選項D中，函數(shù)y＝﹣2x+1，y隨x的增大而減?。蔇符合題意；
故選：D．
5．（2023?棗莊）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，對稱軸是直線x＝1，下列結(jié)論：①abc＜0；②方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有一個根大于2且小于3；③若（0，y1），（，y2）是拋物線上的兩點，那么y1＜y2；④11a+2c＞0；⑤對于任意實數(shù)m，都有m（am+b）≥a+b，其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）
A．5B．4C．3D．2
【分析】①根據(jù)函數(shù)圖象分別判斷a、b、c的正負(fù)，求出abc的正負(fù)；
②將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)與x軸的交點，利用已知交點和對稱軸找出另一交點的范圍；
③根據(jù)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)：當(dāng)圖象開口向上，離對稱軸越近的點y值越??；
④用a來表示改變函數(shù)解析式，根據(jù)圖象，令x＝﹣1，得到3a+c＞0，即6a+2c＞，因為a＞0，所以得出11a+2c＞0；
⑤化簡不等式，用a表示b，根據(jù)a＞0及不等式的性質(zhì)得到只含有m的不等式，解不等式即可．
【解答】解：①根據(jù)圖象可知：a＞0，c＜0，
∵對稱軸是直線x＝1，
∴﹣＝1，即b＝﹣2a．
∴b＜0，
∴abc＞0．
故①錯誤．
②方程ax2+bx+c＝0，即為二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸的交點，
根據(jù)圖象已知一個交點﹣1＜x1＜0，關(guān)于x＝1對稱，
∴另一個交點2＜x2＜3．
故②正確．
③∵對稱軸是直線x＝1，
∴點（，y2）離對稱軸更近，
∴y1＞y2，
故③錯誤．
④∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴y＝ax2﹣2ax+c，
根據(jù)圖象，令x＝﹣1，
y＝a+2a+c＝3a+c＞0，
∴6a+2c＞0，
∵a＞0，
∴11a+2c＞0，
故④正確．
⑤m（am+b）＝am2+bm＝am2﹣2am≥a﹣2a，
am2﹣2am≥﹣a，
即證：m2﹣2m+1≥0，
m2﹣2m+1＝（m﹣1）2，
∴m為任意實數(shù)，m2﹣2m+1≥0恒成立．
故⑤正確．
綜上②④⑤正確，
故選：C．
6．（2023?呼和浩特）關(guān)于x的二次函數(shù)y＝mx2﹣6mx﹣5（m≠0）的結(jié)論：
①對于任意實數(shù)a，都有x1＝3+a對應(yīng)的函數(shù)值與x2＝3﹣a對應(yīng)的函數(shù)值相等．
②若圖象過點A（x1，y1），點B（x2，y2），點C（2，﹣13），則當(dāng)x1＞x2＞時，＜0．
③若3≤x≤6，對應(yīng)的y的整數(shù)值有4個，則﹣＜m≤﹣或≤m＜．
④當(dāng)m＞0且n≤x≤3時，﹣14≤y≤n2+1，則n＝1．
其中正確的結(jié)論有（）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【分析】①根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸為x＝﹣，可得x＝3，再由＝3即可判斷結(jié)論①；
②將點C（2，﹣13）代入拋物線解析式可求得m＝1，即y＝x2﹣6x﹣5，當(dāng)x＞3時，y隨x的增大而增大．即可判斷結(jié)論②；
③當(dāng)x＝3時，y＝﹣5﹣9m，當(dāng)x＝6時，y＝﹣5，根據(jù)若3≤x≤6，對應(yīng)的y的整數(shù)值有4個，分兩種情況：若m＞0，則﹣9＜﹣5﹣9m≤﹣8，若m＜0，則﹣2≤﹣5﹣9m＜﹣1，解不等式即可判斷結(jié)論③；
④當(dāng)m＞0且n≤x≤3時，y隨著x的增大而減小，由﹣14≤y≤n2+1，可得﹣5﹣9m＝﹣14或n2﹣6n﹣5＝n2+1，解方程即可判斷結(jié)論④．
【解答】解：①二次函數(shù)y＝mx2﹣6mx﹣5的對稱軸為x＝﹣＝3，
∵x1＝3+a和x2＝3﹣a關(guān)于直線x＝3對稱，
∴對于任意實數(shù)a，都有x1＝3+a對應(yīng)的函數(shù)值與x2＝3﹣a對應(yīng)的函數(shù)值相等，
∴①符合題意；
②將點C（2，﹣13）代入y＝mx2﹣6mx﹣5，得﹣13＝4m﹣12m﹣5，解得m＝1．
∴函數(shù)的解析式為y＝x2﹣6x﹣5，
當(dāng)x＞3時，y隨x的增大而增大．
∴當(dāng)x1＞x2＞時，y1＞y2，
∴＞0．
∴②不符合題意；
③∵y＝mx2﹣6mx﹣5＝m（x﹣3）2﹣5﹣9m，
∴拋物線的對稱軸為直線x＝3，
當(dāng)x＝3時，y＝﹣5﹣9m，
當(dāng)x＝6時，y＝﹣5，
∵若3≤x≤6，對應(yīng)的y的整數(shù)值有4個，
∴若m＞0，當(dāng)3≤x≤6時，y隨著x的增大而增大，
則﹣9＜﹣5﹣9m≤﹣8，
∴≤m＜；
若m＜0，當(dāng)3≤x≤6時，y隨著x的增大而減小，
則﹣2≤﹣5﹣9m＜﹣1，
∴﹣＜m≤﹣；
∴﹣＜m≤﹣或≤m＜．
∴③符合題意；
④當(dāng)m＞0且n≤x≤3時，y隨著x的增大而減小，
∵﹣14≤y≤n2+1，
∴﹣5﹣9m＝﹣14，
解得：m＝1，
∴n2﹣6n﹣5＝n2+1，
解得：n＝﹣1，
∴④不符合題意；
綜上所述，正確結(jié)論有①③，共2個．
故選：B．
7．（2023?福建）已知拋物線y＝ax2﹣2ax+b（a＞0）經(jīng)過A（2n+3，y1），B（n﹣1，y2）兩點，若A，B分別位于拋物線對稱軸的兩側(cè)，且y1＜y2，則n的取值范圍是 ﹣1＜n＜0 ．
【分析】由題意可知：拋物線的對稱軸為x＝1，開口向上，再分點A在對稱軸x＝1的左側(cè)，點B在對稱軸x＝1的右側(cè)和點B在對稱軸x＝1的左側(cè)，點A在對稱軸x＝1的右側(cè)兩種情況求解即可．
【解答】解：拋物線的對稱軸為：x＝﹣＝1，
∵a＞0，
∴拋物線開口向上，
∵y1＜y2，
∴若點A在對稱軸x＝1的左側(cè)，點B在對稱軸x＝1的右側(cè)，
由題意可得：，
不等式組無解；
若點B在對稱軸x＝1的左側(cè)，點A在對稱軸x＝1的右側(cè)，
由題意可得：，
解得：﹣1＜n＜0，
∴n的取值范圍為：﹣1＜n＜0．
故答案為：﹣1＜n＜0．
8．（2023?北京）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）是拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意兩點，設(shè)拋物線的對稱軸為x＝t．
（1）若對于x1＝1，x2＝2，有y1＝y(tǒng)2，求t的值；
（2）若對于0＜x1＜1，1＜x2＜2，都有y1＜y2，求t的取值范圍．
【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得對稱軸即可，
（2）根據(jù)題意判斷出離對稱軸更近的點，從而得出（x1，y1）與（x2，y2）的中點在對稱軸的右側(cè)，再根據(jù)對稱性即可解答．
【解答】解：（1）∵對于x1＝1，x2＝2，有y1＝y(tǒng)2，
∴a+b+c＝4a+2b+c，
∴3a+b＝0，
∴＝﹣3．
∵對稱軸為x＝﹣＝，
∴t＝．
（2）∵0＜x1＜1，1＜x2＜2，
∴，x1＜x2，
∵y1＜y2，如果a＞0，則（x1，y1）離對稱軸更近，x1＜x2，則（x1，y1）與（x2，y2）的中點在對稱軸的右側(cè)，
∴＞t，
即t≤．
【中考模擬練】
1．（2024?虹口區(qū)二模）已知二次函數(shù)y＝﹣（x﹣4）2，如果函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小，那么x的取值范圍是（）
A．x≥4B．x≤4C．x≥﹣4D．x≤﹣4
【分析】依據(jù)題意，由二次函數(shù)y＝﹣（x﹣4）2，再結(jié)合a＝﹣1＜0，從而當(dāng)x≤4時，y隨x的增大而增大，當(dāng)x≥4時，y隨x的增大而減小，再由函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小，進(jìn)而可以判斷得解．
【解答】解：由題意，∵二次函數(shù)y＝﹣（x﹣4）2，
又a＝﹣1＜0，
∴當(dāng)x≤4時，y隨x的增大而增大，當(dāng)x≥4時，y隨x的增大而減小．
由函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小，
∴x≥4．
故選：A．
2．（2024?鄭州模擬）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx（a≠0）的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y＝ax+b（a≠0）的圖象大致為（）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象可以得到a＜0，b＞0，然后即可得到一次函數(shù)y＝ax+b（a≠0）的圖象經(jīng)過哪幾個象限．
【解答】解：由二次函數(shù)y＝ax2+bx（a≠0）的圖象，可知：a＜0，b＞0，
則一次函數(shù)y＝ax+b（a≠0）的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，
故選：C．
3．（2024?霍邱縣模擬）函數(shù)y＝kx2﹣4x+3和y＝kx﹣k（k是常數(shù)，且k≠0）在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（）
A． B．
C． D．
【分析】由k＞0和k＜0時兩種情況下兩個函數(shù)在同一平面坐標(biāo)系中的圖象，進(jìn)行綜合判斷即可．
【解答】解：當(dāng)k＞0時，一次函數(shù)y＝kx﹣k的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，故選項A不符合；當(dāng)k＜0時，一次函數(shù)y＝kx﹣k的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，故選項B，D不符合，選項C中，由一次函數(shù)y＝kx﹣k的圖象，得k＜0，此時二次函數(shù) y＝kx2﹣4x+3 的圖象應(yīng)開口向下，對稱軸為直線 x＝﹣＜0，所以應(yīng)該位于y軸左側(cè)．
故選：C．
4．（2024?余姚市一模）已知點A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在二次函數(shù)y＝﹣x2+c（c＞0）的圖象上，點A，C是該函數(shù)圖象與正比例函數(shù)y＝kx（k為常數(shù)且k＞0）的圖象的交點．若x1＜0＜x2＜x3，則y1，y2，y3的大小關(guān)系為（）
A．y3＜y2＜y1B．y1＜y2＜y3C．y2＜y1＜y3D．y1＜y3＜y2
【分析】首先確定A在第三象限，B、C在第一象限，利用正比例函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可．
【解答】解：∵k＞0，
∴正比例函數(shù)y＝kx的圖象經(jīng)過一、三象限，
∵點A，C是該函數(shù)圖象與正比例函數(shù)y＝kx（k為常數(shù)且k＞0）的圖象的交點，且x1＜0＜x2＜x3，
∴A在第三象限，C在第一象限，
由二次函數(shù)y＝﹣x2+c（c＞0）可知拋物線開口向下，對稱軸為y軸，
∴當(dāng)x＞0時，y隨x的增大而減小，
∴B在第一象限，
∴y1＜0，0＜y3＜y2，
∴y1＜y3＜y2．
故選：D．
5．（2024?武威二模）已知二次函數(shù)y＝a（x+1）（x﹣m）（a為非零常數(shù)，1＜m＜2），當(dāng)x＜﹣1時，y隨x的增大而增大，則下列結(jié)論正確的是（）
①若x＞2時，則y隨x的增大而減??；
②若圖象經(jīng)過點（0，1），則﹣1＜a＜0；
③若（﹣2023，y1），（2023，y2）是函數(shù)圖象上的兩點，則y1＜y2；
④若圖象上兩點，對一切正數(shù)n．總有y1＞y2，則．
A．①②B．①③C．①④D．③④
【分析】依據(jù)題意，由題目中的函數(shù)解析式和二次函數(shù)的性質(zhì)，可以判斷各個選項中的說法是否正確，從而可以解答本題．
【解答】解：∵二次函數(shù)y＝a（x+1）（x﹣m）（a為非零常數(shù)，1＜m＜2），
∴當(dāng)y＝0時，x1＝﹣1，x2＝m，x1＜x2．
又∵當(dāng)x＜﹣1時，y隨x的增大而增大，
∴a＜0，開口向下．
∴當(dāng)x＞2＞x2時，y隨x的增大而減小，故①正確；
又∵對稱軸為直線x＝﹣＝，1＜m＜2，
∴0＜＜．
若（﹣2021，y1），（2021，y2）是函數(shù)圖象上的兩點，2021離對稱軸近些，
又拋物線開口向下，
則y1＜y2，故③正確；
若圖象上兩點（，y1），（+n，y2）對一切正數(shù)n，總有y1＞y2，1＜m＜2，
又該函數(shù)與x軸的兩個交點為（﹣1，0），（m，0），
∴0＜≤．
解得1＜m≤，故④錯誤；
∵二次函數(shù)y＝a（x+1）（x﹣m）（a為非零常數(shù)，1＜m＜2），當(dāng)x＜﹣1時，y隨x的增大而增大，
∴a＜0．
若圖象經(jīng)過點（0，1），則1＝a（0+1）（0﹣m），得1＝﹣am．
∵a＜0，1＜m＜2，
∴﹣1＜a＜﹣，故②錯誤；
∴①③正確；②④錯誤，
故選：B．
6．（2024?福田區(qū)模擬）已知函數(shù)y＝|x2﹣4|的大致圖象如圖所示，對于方程|x2﹣4|＝m（m為實數(shù)），若該方程恰有3個不相等的實數(shù)根，則m的值是 4 ．
【分析】利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，將方程的實數(shù)根轉(zhuǎn)化為兩個圖象的交點問題即可解決問題．
【解答】解：令x＝0得，
y＝4，
所以函數(shù)y＝|x2﹣4|的圖象與y軸的交點坐標(biāo)為（0，4）．
方程|x2﹣4|＝m的實數(shù)根可以看成函數(shù)y＝|x2﹣4|的圖象與直線y＝m交點的橫坐標(biāo)．
因為該方程恰有3個不相等的實數(shù)根，
所以函數(shù)y＝|x2﹣4|的圖象與直線y＝m有3個不同的交點．
如圖所示，
當(dāng)m＝4時，兩個圖象有3個不同的交點，
所以m的值為4．
故答案為：4．
7．（2024?合肥模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，G（x1，y1）為拋物線y＝x2+4x+2 上一點，H（﹣3x1+1，y1）為平面上一點，且位于點G右側(cè)．
（1）此拋物線的對稱軸為直線 x＝﹣2 ；
（2）若線段GH與拋物線y＝x2+4x+2（﹣6≤x＜1）有兩個交點，則的x1取值范圍是 ﹣5≤x1＜﹣2 ．
【分析】（1）利用對稱軸公式即可求解；
（2）畫出函數(shù)y＝x2+4x+2（﹣6≤x＜1）的圖象，由圖象知當(dāng)﹣2≤x1＜1或﹣6≤x1＜﹣5時，線段GH與拋物線 y＝x2+4x+2（﹣6≤x＜1）只有1個交點；當(dāng)﹣5≤x1＜﹣2 時，求得9＜GH≤21，則GH＞MN，此時線段GH與拋物線 y＝x2+4x+2（﹣6≤x＜1）有2個交點．
【解答】解：（1）∵y＝x2+4x+2，
∴此拋物線的對稱軸為直線x＝﹣＝﹣2，
故答案為：x＝﹣2．
（2）如圖，
當(dāng)x＝1時，y＝x2+4x+2＝7，即M（1，7），
∵對稱軸為直線x＝﹣2，
∴M（1，7）關(guān)于直線x＝﹣2 的對稱點為N（﹣5，7），
∴MN＝1﹣（﹣5）＝6，
由圖象知當(dāng)﹣2≤x1＜1或﹣6≤x1＜﹣5時，線段GH與拋物線 y＝x2+4x+2（﹣6≤x＜1）只有1個交點；
當(dāng)﹣5≤x1＜﹣2 時，GH＝﹣3x1+1﹣x1＝﹣4x1+1，
∴9＜GH≤21，
∴GH＞MN，此時線段GH與拋物線 y＝x2+4x+2（﹣6≤x＜1）有2個交點．
綜上所述，x1 的取值范圍是﹣5≤x1＜﹣2，
故答案為：﹣5≤x1＜﹣2．
8．（2024?碑林區(qū)校級一模）如圖，拋物線的對稱軸l與x軸交于點A，與y軸交于點B．
（1）求點A、B的坐標(biāo)；
（2）C為該拋物線上的一個動點，點D為點C關(guān)于直線l的對稱點（點D在點C的左側(cè)），點M在坐標(biāo)平面內(nèi)，請問是否存在這樣的點C，使得四邊形ACMD是正方形？若存在，請求出點C的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）將二次函數(shù)化為頂點式，然后求出點A的坐標(biāo)；把x＝0代入拋物線的解析式，求出y＝3，得出點B的坐標(biāo)即可；
（2）分兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)M在x軸下方時，當(dāng)M在x軸上方時，分別畫出圖形，求出結(jié)果即可．
【解答】解：（1）∵，
∴A（1，0），
當(dāng)x＝0時，y＝﹣3，
∴B（0，﹣3）．
（2）存在，理由如下：
由題意四邊形ACMD是正方形，則△ACD是以點A為直角頂點的等婹直角三角形．
設(shè)，
①當(dāng)M在x軸下方時，如圖1，過點C作CE⊥x軸于E，此時△ACE是等腰直角三角形，
∴AE＝CE，
∴，
∴（舍去），，
此時．
②當(dāng)M在x軸上方時，如圖2，過點C作CF⊥x軸于F，
同理可得：CF＝AF，
∴，
∴，（舍去），
∴此時．
綜上所述，存在這樣的點C，使得四邊形ACMD是正方形，此時點C的坐標(biāo)為或．
題型02 二次函數(shù)與幾何變換
【中考真題練】
1．（2023?無錫）將二次函數(shù)y＝2（x﹣1）2+2的圖象向右平移2個單位長度，所得函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)為（）
A．（﹣1，2）B．（3，2）C．（1，3）D．（1，﹣1）
【分析】由y＝2（x﹣1）2+2的頂點是（1，2），即可得y＝2（x﹣1）2+2的圖象向右平移2個單位長度，所得函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)為（1+2，2）即（3，2）．
【解答】解：由y＝2（x﹣1）2+2的頂點是（1，2），
得y＝2（x﹣1）2+2的圖象向右平移2個單位長度，所得函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)為（1+2，2）即（3，2），
故選：B．
2．（2023?徐州）在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)y＝（x+1）2+3的圖象向右平移2個單位長度，再向下平移1個單位長度，所得拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為（）
A．y＝（x+3）2+2B．y＝（x﹣1）2+2
C．y＝（x﹣1）2+4D．y＝（x+3）2+4
【分析】直接利用二次函數(shù)的平移規(guī)律，左加右減，上加下減，進(jìn)而得出答案．
【解答】解：將二次函數(shù)y＝（x+1）2+3的圖象向右平移2個單位長度，再向下平移1個單位長度，所得拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝（x+1﹣2）2+3﹣1，即y＝（x﹣1）2+2．
故選：B．
3．（2023?西藏）將拋物線y＝（x﹣1）2+5平移后，得到拋物線的解析式為y＝x2+2x+3，則平移的方向和距離是（）
A．向右平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度
B．向右平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度
C．向左平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度
D．向左平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度
【分析】先確定兩個拋物線的頂點坐標(biāo)，再利用點平移的規(guī)律確定拋物線平移的情況．
【解答】解：拋物線y＝（x﹣1）2+5的頂點坐標(biāo)為（1，5），拋物線y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2的頂點坐標(biāo)為（﹣1，2），
而點（1，5）向左平移2個，再向下平移3個單位可得到（﹣1，2），
所以拋物線y＝（x﹣1）2+5向左平移2個，再向下平移3個單位得到拋物線y＝x2+2x+3．
故選：D．
4．（2023?牡丹江）將拋物線y＝（x+3）2向下平移1個單位長度，再向右平移 2或4 個單位長度后，得到的新拋物線經(jīng)過原點．
【分析】先求出拋物線y＝（x+3）2向下平移1個單位長度的解析式為y＝（x+3）2﹣1，設(shè)拋物線向右平移h個單位長度后，得到的新拋物線經(jīng)過原點，則新拋物線的解析式為y＝（x+3﹣h）2﹣1，由拋物線經(jīng)過原點可知，當(dāng)x＝0時，y＝0，代入拋物線的解析式求出h的值即可．
【解答】解：拋物線y＝（x+3）2向下平移1個單位長度的解析式為y＝（x+3）2﹣1，
設(shè)拋物線向右平移h個單位長度后，得到的新拋物線經(jīng)過原點，則新拋物線的解析式為y＝（x+3﹣h）2﹣1，
∵拋物線經(jīng)過原點，
∴當(dāng)x＝0時，y＝0，
∴（3﹣h）2﹣1＝0，
解得h＝2或4．
故答案為：2或4．
5．（2023?上海）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線y＝x+6與x軸交于點A，y軸交于點B，點C在線段AB上，以點C為頂點的拋物線M：y＝ax2+bx+c經(jīng)過點B，點C不與點B重合．
（1）求點A，B的坐標(biāo)；
（2）求b，c的值；
（3）平移拋物線M至N，點C，B分別平移至點P，D，聯(lián)結(jié)CD，且CD∥x軸，如果點P在x軸上，且新拋物線過點B，求拋物線N的函數(shù)解析式．
【分析】（1）根據(jù)題意，分別將x＝0，y＝0代入直線即可求得；
（2）設(shè) ，得到拋物線的頂點式為，將B（0，6）代入可求得，進(jìn)而可得到拋物線解析式為，即可求得b，c；
（3）根據(jù)題意，設(shè)P（p，0），，根據(jù)平移的性質(zhì)可得點B，點C向下平移的距離相同，列式求得m＝﹣4，，然后得到拋物線N解析式為：，將B（0，6）代入可得，即可得到答案．
【解答】解：（1）在中，令x＝0得：y＝6，
∴B（0，6），
令y＝0得：x＝﹣8，
∴A（﹣8，0）；
（2）設(shè)，設(shè)拋物線的解析式為：，
∵拋物線M經(jīng)過點B，
∴將B（0，6）代入得：，
∵m≠0，
∴，即，
將代入y＝a（x﹣m）2+3m+6，
整理得：，
∴，c＝6；
（3）如圖：
∵CD∥x軸，點P在x軸上，
∴設(shè)P（p，0），，
∵點C，B分別平移至點P，D，
∴點B，點C向下平移的距離相同，
∴，
解得：m＝﹣4，
由（2）知，
∴，
∴拋物線N的函數(shù)解析式為：，
將B（0，6）代入可得：，
∴拋物線N的函數(shù)解析式為：或．
【中考模擬練】
1．（2024?津市市一模）將二次函數(shù)y＝x2﹣6的圖象向右平移1個單位長度，再向下平移3個單位長度，所得圖象的解析式為（）
A．y＝x2﹣2x﹣5B．y＝x2+2x﹣9C．y＝x2﹣2x﹣8D．y＝x2+2x﹣5
【分析】根據(jù)平移原則：上→加，下→減，左→加，右→減寫出解析式．
【解答】解：根據(jù)題意可得解析式為：y＝（x﹣1）2﹣3﹣6＝x2﹣2x﹣8．
故選：C．
2．（2024?秦都區(qū)一模）已知拋物線，拋物線C2與C1關(guān)于直線y＝l軸對稱，兩拋物線的頂點相距5，則m的值為（）
A．B．C．或D．或
【分析】根據(jù)拋物線可以求得拋物線C1的頂點（，﹣+m），根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到拋物線C2的頂點為（，﹣m+2）．由題意知|﹣m+2+﹣m|＝5，解方程即可求得．
【解答】解：∵拋物線y＝x2﹣3x+m＝（x﹣）2﹣+m，
∴拋物線C1的頂點（，﹣+m），
∵拋物線C2與C1關(guān)于直線y＝1軸對稱，
∴拋物線C2的頂點為（，﹣m+2）．
∵兩拋物線的頂點相距5，
∴|﹣m+2+﹣m|＝5，
解得m＝或，
故選：D．
3．（2024?濟(jì)南模擬）將拋物線y＝（x+1）2的圖象位于直線y＝9以上的部分向下翻折，得到如圖圖象，若直線y＝x+m與此圖象有四個交點，則m的取值范圍是（）
A．＜m＜7B．＜m＜5C．＜m＜9D．＜m＜7
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象，可發(fā)現(xiàn)，若直線與新函數(shù)有3個交點，可以有兩種情況：①直線經(jīng)過對折點A（即右邊的對折點），可將A點坐標(biāo)代入直線的解析式中，即可求出m的值；②若直線與新函數(shù)圖象有三個交點，那么當(dāng)直線與該二次函數(shù)只有一個交點時，恰好滿足這一條件，那么聯(lián)立直線與該二次函數(shù)的解析式，可化為一個關(guān)于x的一元二次方程，那么該方程的判別式Δ＝0，根據(jù)這一條件可確定m的取值．
【解答】解：令y＝9，則9＝（x+1）2，
解得x＝﹣4或2，
∴A（2，9），
平移直線y＝x+m知：直線位于l1和l2時，它與新圖象有三個不同的公共點．
①當(dāng)直線位于l1時，此時l1過點A（2，9），如圖，
∴9＝2+m，即m＝7．
②當(dāng)直線位于l2時，如圖，此時l2與函數(shù)y＝（x+1）2的圖象有一個公共點，
∴方程x+m＝x2+2x+1，
即x2+x+1﹣m＝0有兩個相等實根，
∴Δ＝1﹣4（1﹣m）＝0，
即．
由①②知若直線y＝x+m與新圖象只有四個交點，m的取值范圍為；
故選：D．
4．（2024?松江區(qū)二模）平移拋物線 y＝x2+2x+1，使得平移后的拋物線經(jīng)過原點，且頂點在第四象限，那么平移后的拋物線的表達(dá)式可以是 y＝（x﹣1）2﹣1（答案不唯一） .（只需寫出一個符合條件的表達(dá)式）
【分析】由平移拋物線 y＝x2+2x+1，使得平移后的拋物線經(jīng)過原點，且頂點在第四象限，設(shè)平移后拋物線為 y＝（x﹣1）2+k，由平移后的拋物線經(jīng)過原點，得0＝（0﹣1）2+k，即k＝﹣1，符合頂點在第四象限，故所求為 y＝（x﹣1）2﹣1（答案不唯一）．
【解答】解：由平移拋物線 y＝x2+2x+1，使得平移后的拋物線經(jīng)過原點，且頂點在第四象限，
設(shè)平移后拋物線為 y＝（x﹣1）2+k，
由平移后的拋物線經(jīng)過原點，
得0＝（0﹣1）2+k，即k＝﹣1，
符合頂點在第四象限，
故所求為 y＝（x﹣1）2﹣1（答案不唯一）．
故答案為：y＝（x﹣1）2﹣1（答案不唯一）．
5．（2024?新北區(qū)校級模擬）如圖，將拋物線y＝2（x+1）2+1繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)45°得到新曲線，新曲線與直線y＝x交于點M，則點M的坐標(biāo)為（，）．
【分析】直線y＝x繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)45°得到x＝0，求得拋物線與y軸的交點M′，M′繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)45°得到M，由OM＝OM′，即可求解．
【解答】解：直線y＝x繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)45°得到x＝0，
設(shè)拋物線y＝2（x+1）2+1與y軸的交點為M′，
∵拋物線y＝2（x+1）2+1，
∴x＝0時，y＝3，
∴M′（0，3），
設(shè)點M（m，m），
由題意得：OM＝OM′＝3，
∴m2+m2＝32，
∴m＝，
∴點M的坐標(biāo)為（，）．
故答案為：（，）．
6．（2024?廉江市一模）已知拋物線．
（1）寫出拋物線C1的對稱軸： x＝﹣1 ．
（2）將拋物線C1平移，使其頂點是坐標(biāo)原點O，得到拋物線C2，且拋物線C2經(jīng)過點A（﹣2，﹣2）和點B（點B在點A的左側(cè)），若△ABO的面積為4，求點B的坐標(biāo)．
（3）在（2）的條件下，直線l1：y＝kx﹣2與拋物線C2交于點M，N，分別過點M，N的兩條直線l2，l3交于點P，且l2，l3與y軸不平行，當(dāng)直線l2，l3與拋物線C2均只有一個公共點時，請說明點P在一條定直線上．
【分析】（1）根據(jù)拋物線的對稱軸公式直接可得出答案．
（2）根據(jù)拋物線C2的頂點坐標(biāo)在原點上可設(shè)其解析式為y＝ax2，然后將點A的坐標(biāo)代入求得C2的解析式，于是可設(shè)B的坐標(biāo)為且（t＜﹣2），過點A、B分別作x軸的垂線，利用S△ABO＝S△OBN﹣S△OAM﹣S梯形ABNM＝4可求得t的值，于是可求得點B的坐標(biāo)．
（3）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），聯(lián)立拋物線與直線l1的方程可得出x1+x2＝﹣k，x1x2＝﹣4．
再利用直線l2、直線l3分別與拋物線相切可求得直線l2、直線l3的解析式，再聯(lián)立組成方程組可求得交點P的縱坐標(biāo)為一定值，于是可說明點P在一條定直線上．
【解答】解：（1）拋物線C1的對稱軸為：．
故答案為：x＝﹣1．
故答案為：x＝﹣1．
（2）∵拋物線C1平移到頂點是坐標(biāo)原點O，得到拋物線C2，
∴可設(shè)拋物線C2的解析式為：y＝ax2
∵點A（﹣2，﹣2）有拋物線C2上，
∴﹣2＝a?（﹣2）2，
解得：．
∴拋物線C2的解析式為：．
∵點B在拋物線C2上，且在點A的左側(cè)，
∴設(shè)點B的坐標(biāo)為且（t＜﹣2），
如圖，過點A、B分別作x軸的垂線，垂足為點M、N．
∵S△ABO＝S△OBN﹣S△OAM﹣S梯形ABNM
＝
＝
＝，
又S△ABO＝4，
∴，
解得：t+1＝±3，
∴t＝﹣4（t＝2不合題意，舍去），則，
∴B（﹣4，﹣8）．
（3）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），聯(lián)立方程組：
，
整理得：x2+2kx﹣4＝0，
∴x1+x2＝﹣2k，x1x2＝﹣4．
設(shè)過點M的直線解析式為y＝mx+n，聯(lián)立得方程組，
整理得x2+2mx+2n＝0．①
∵過點M的直線與拋物線只有一個公共點，
∴Δ＝4m2﹣8n＝0，
∴．
∴由①式可得：，
解得：m＝﹣x1．
∴．
∴過M點的直線l2的解析式為．
用以上同樣的方法可以求得：過N點的直線l3的解析式為，
聯(lián)立上兩式可得方程組，
解得，
∵x1+x2＝﹣k，x1x2＝﹣4．
∴
∴點P在定直線y＝2上．（如圖）
題型03 二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系
【中考真題練】
1．（2023?營口）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點A（﹣3，0）和點B（1，0），與y軸交于點C．下列說法：①abc＜0；②拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1；③當(dāng)﹣3＜x＜0時，ax2+bx+c＞0；④當(dāng)x＞1時，y隨x的增大而增大；⑤am2+bm≤a﹣b（m為任意實數(shù)），其中正確的個數(shù)是（）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【分析】根據(jù)拋物線的對稱性即可求得對稱軸，即可判斷②；根據(jù)拋物線開口方向、對稱軸，與y軸的交點即可判斷出①；根據(jù)圖象即可判斷③④；根據(jù)函數(shù)的最值即可判斷出⑤．
【解答】解：∵拋物線開口向下，
∴a＜0，
∵拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點A（﹣3，0）和點B（1，0），
∴對稱軸為直線x＝＝﹣1，故②正確；
∴﹣＝﹣1，
∴b＝2a＜0，
∵與y軸的交點在正半軸上，
∴c＞0，
∴abc＞0，故①錯誤；
由圖象可知，當(dāng)﹣3＜x＜0時，y＞0，
∴當(dāng)﹣3＜x＜0時，ax2+bx+c＞0，故③正確；
由圖象可知，當(dāng)x＞1時，y隨x的增大而減小，故④錯誤；
∵拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1，
∴當(dāng)x＝﹣1時，函數(shù)有最大值a﹣b+c，
∴當(dāng)m為任意實數(shù)時，am2+bm+c≤a﹣b+c，
∴am2+bm≤a﹣b，故⑤正確；
綜上所述，結(jié)論正確的是②③⑤共3個．
故選：C．
2．（2023?河北）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+m2x和y＝x2﹣m2（m是常數(shù)）的圖象與x軸都有兩個交點，且這四個交點中每相鄰兩點間的距離都相等，則這兩個函數(shù)圖象對稱軸之間的距離為（）
A．2B．m2C．4D．2m2
【分析】求出三個交點的坐標(biāo)，再構(gòu)建方程求解．
【解答】解：令y＝0，則﹣x2+m2x＝0和x2﹣m2＝0，
∴x＝0或x＝m2或x＝﹣m或x＝m，
∵這四個交點中每相鄰兩點間的距離都相等，
若m＞0，則m2＝2m，
∴m＝2，
若m＜0時，則m2＝﹣2m，
∴m＝﹣2．
∵拋物線y＝x2﹣m2的對稱軸為直線x＝0，拋物線y＝﹣x2+m2x的對稱軸為直線x＝，
∴這兩個函數(shù)圖象對稱軸之間的距離＝＝2．
故選：A．
3．（2023?阜新）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸的一個交點為（3，0），對稱軸是直線x＝1，下列結(jié)論正確的是（）
A．a(chǎn)bc＜0
B．2a+b＝0
C．4ac＞b2
D．點（﹣2，0）在函數(shù)圖象上
【分析】利用二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系可得出，a、b、c的正負(fù)，進(jìn)而得出abc的正負(fù)；利用對稱軸為直線x＝1，可得出2a+b與0的關(guān)系；由拋物線與x軸的交點情況，可得出b2與4ac的大小關(guān)系；由拋物線與x軸的一個交點坐標(biāo)為（3，0），再結(jié)合對稱軸為直線x＝1，可得出另一個交點坐標(biāo)．
【解答】解：A：由二次函數(shù)的圖形可知：a＞0，b＜0，c＜0，所以abc＞0．故A錯誤．
B：因為二次函數(shù)的對稱軸是直線x＝1，則＝1，即2a+b＝0．故B正確．
C：因為拋物線與x軸有兩個交點，所以b2﹣4ac＞0，即4ac＜b2．故C錯誤．
D：因為拋物線與x軸的一個交點坐標(biāo)為（3，0），且對稱軸為直線x＝1，所以它與x軸的另一個交點的坐標(biāo)為（﹣1，0）．故D錯誤．
故選：B．
4．（2023?東營）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，對稱軸為直線x＝﹣1．若點A的坐標(biāo)為（﹣4，0），則下列結(jié)論正確的是（）
A．2a+b＝0
B．4a﹣2b+c＞0
C．x＝2是關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一個根
D．點（x1，y1），（x2，y2）在拋物線上，當(dāng)x1＞x2＞﹣1時，y1＜y2＜0
【分析】根據(jù)對稱軸判斷①，根據(jù)圖象特征判斷②，根據(jù)對稱軸及拋物線與x軸的交點判斷③，根據(jù)拋物線的性質(zhì)判斷④．
【解答】解：∵對稱軸為直線x＝﹣1，
∴x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∴2a﹣b＝0，故①錯誤，
∵對稱軸為直線x＝﹣1，且點A的坐標(biāo)為（﹣4，0），
∴當(dāng)x＝﹣2時，y＝4a﹣2b+c＜0，
∴4a﹣2b+c＜0，故②錯誤，
∵拋物線與x軸交于（﹣4，0），對稱軸為直線x＝﹣1，
∴拋物線與x軸的另一個交點為（2，0），
∴x＝2是關(guān)于x的一元一次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一個根，故③正確，
∵拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝﹣1，
∴當(dāng)x＞﹣1時，y隨x的增大而增大，
∴當(dāng)x1＞x2＞﹣1時，y1＞y2，故④錯誤，
故選：C．
5．（2023?恩施州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為坐標(biāo)原點，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為x＝1，與x軸的一個交點位于（2，0），（3，0）兩點之間．下列結(jié)論：
①2a+b＞0；
②bc＜0；
③a＜﹣c；
④若x1，x2為方程ax2+bx+c＝0的兩個根，則﹣3＜x1?x2＜0；
其中正確的有（）個．
A．1B．2C．3D．4
【分析】根據(jù)拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x＝1，可得b＝﹣2a，2a+b＝0，判斷①錯誤；由圖象可得a＜0，b＝﹣2a＞0，c＞0，知bc＞0，判斷②錯誤；而x＝3時y＜0，知x＝﹣1時，y＜0，即a﹣b+c＜0，可得a﹣（﹣2a）+c＜0，a＜﹣c，判斷③正確；由﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3，可得﹣3＜x1?x2＜0，判斷④正確．
【解答】解：∵拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，故①錯誤；
∵拋物線開口向下，與y軸交于正半軸，
∴a＜0，b＝﹣2a＞0，c＞0，
∴bc＞0，故②錯誤；
∵拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x＝1，x＝3時y＜0，
∴x＝﹣1時，y＜0，即a﹣b+c＜0，
∴a﹣（﹣2a）+c＜0，
∴a＜﹣c，故③正確；
若x1，x2為方程ax2+bx+c＝0的兩個根，由函數(shù)圖象與x軸交點可知﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3，
∴﹣3＜x1?x2＜0，故④正確，
∴正確的有：③④，共2個，
故選：B．
6．（2023?菏澤）若一個點的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的3倍，則稱這個點為“三倍點”，如：A（1，3），B（﹣2，﹣6），C（0，0）等都是“三倍點”．在﹣3＜x＜1的范圍內(nèi)，若二次函數(shù)y＝﹣x2﹣x+c的圖象上至少存在一個“三倍點”，則c的取值范圍是（）
A．﹣≤c＜1B．﹣4≤c＜﹣3C．﹣≤c＜6D．﹣4≤c＜5
【分析】由題意得，三倍點所在的直線為y＝3x，根據(jù)二次函數(shù)y＝﹣x2﹣x+c的圖象上至少存在一個“三倍點”轉(zhuǎn)化為y＝﹣x2﹣x+c和y＝3x至少有一個交點，求Δ≥0，再根據(jù)x＝﹣3和x＝1時兩個函數(shù)值大小即可求出．
【解答】解：由題意得，三倍點所在的直線為y＝3x，
在﹣3＜x＜1的范圍內(nèi)，二次函數(shù)y＝﹣x2﹣x+c的圖象上至少存在一個“三倍點”，
即在﹣3＜x＜1的范圍內(nèi)，二次函數(shù)y＝﹣x2﹣x+c和y＝3x至少有一個交點，
令3x＝﹣x2﹣x+c，整理得，x2+4x﹣c＝0，
則Δ＝b2﹣4ac＝16+4c≥0，解得c≥﹣4，
把x＝﹣3代入y＝﹣x2﹣x+c得y＝﹣6+c，代入y＝3x得y＝﹣9，
∴﹣9＞﹣6+c，解得c＜﹣3；
把x＝1代入y＝﹣x2﹣x+c得y＝﹣2+c，代入y＝3x得y＝3，
∴3＞﹣2+c，解得c＜5，
綜上，c的取值范圍為：﹣4≤c＜5．
故選：D．
7．（2023?廣安）如圖所示，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的圖象與x軸交于點A（﹣3，0），B（1，0）．有下列結(jié)論：①abc＞0；②若點（﹣2，y1）和（﹣0.5，y2）均在拋物線上，則y1＜y2；③5a﹣b+c＝0；④4a+c＞0．其中正確的有（）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象開口向下可知a＜0，根據(jù)左同右異可知b＜0，再根據(jù)圖象與y軸交于正半軸可知c＞0，然后即可判斷①；根據(jù)二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的圖象與x軸交于點A（﹣3，0），B（1，0），可以得到該函數(shù)的對稱軸，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷②；根據(jù)對稱軸可以得到a和b的關(guān)系，再根據(jù)x＝1時，y＝0，可以得到a+b+c＝0，進(jìn)行變形即可判斷③；根據(jù)x＝1時，y＝0和a、b的關(guān)系，可以判斷④．
【解答】解：由圖象可得，
a＜0，b＜0，c＞0，則abc＞0，故①正確，符合題意；
∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的圖象與x軸交于點A（﹣3，0），B（1，0），
∴該函數(shù)的對稱軸為直線x＝＝﹣1，
∴x＝﹣0.5和x＝﹣1.5對應(yīng)的函數(shù)值相等，當(dāng)x＜﹣1時，y隨x的增大而增大，
∴若點（﹣2，y1）和（﹣0.5，y2）均在拋物線上，則y1＜y2，故②正確，符合題意；
∵對稱軸是直線x＝＝﹣1，
∴﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∵點（1，0）在該函數(shù)圖象上，
∴a+b+c＝0，
∴a+2a+c＝0，
即3a+c＝0，
∴5a﹣b+c＝5a﹣2a+c＝3a+c＝0，故③正確，符合題意；
∵a+b+c＝0，a＜0，
∴2a+b+c＜0，
∴2a+2a+c＜0，
即4a+c＜0，故④錯誤，不符合題意；
故選：C．
8．（2023?南充）拋物線y＝﹣x2+kx+k﹣與x軸的一個交點為A（m，0），若﹣2≤m≤1，則實數(shù)k的取值范圍是（）
A．≤k≤1B．k≤﹣或k≥1
C．﹣5≤k≤D．k≤﹣5或k≥
【分析】由拋物線y＝﹣x2+kx+k﹣與x軸有交點，可得k2+4（k﹣）≥0，故k≤﹣5或k≥1；分兩種情況：①當(dāng)k≤﹣5時，可得﹣（﹣2）2﹣2k+k﹣≥0，②當(dāng)k≥1時，﹣（﹣2）2﹣2k+k﹣≤0，分別解不等式可得答案．
【解答】解：∵拋物線y＝﹣x2+kx+k﹣與x軸有交點，
∴Δ≥0，即k2+4（k﹣）≥0，
∴k2+4k﹣5≥0，
解得：k≤﹣5或k≥1；
拋物線y＝﹣x2+kx+k﹣對稱軸為直線x＝，
①當(dāng)k≤﹣5時，拋物線對稱軸在直線x＝﹣2左側(cè)，此時拋物線y＝﹣x2+kx+k﹣與x軸的一個交點為A（m，0），﹣2≤m≤1，如圖：
∴﹣（﹣2）2﹣2k+k﹣≥0，
解得：k≤﹣，
∴k≤﹣；
②當(dāng)k≥1時，拋物線對稱軸在直線x＝右側(cè)，此時拋物線y＝﹣x2+kx+k﹣與x軸的一個交點為A（m，0），﹣2≤m≤1，如圖：
∴﹣（﹣2）2﹣2k+k﹣≤0，
解得：k≥﹣，
∴k≥1；
綜上所述，k≤﹣或k≥1；
故選：B．
9．（2023?聊城）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖所示，圖象經(jīng)過點（0，2），其對稱軸為直線x＝﹣1．下列結(jié)論：①3a+c＞0；②若點（﹣4，y1），（3，y2）均在二次函數(shù)圖象上，則y1＞y2；③關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1有兩個相等的實數(shù)根；④滿足ax2+bx+c＞2的x的取值范圍為﹣2＜x＜0．其中正確結(jié)論的個數(shù)為（）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【分析】由對稱軸為直線x＝﹣1可得b＝2a，再將x＝1代入可判斷①，找出（﹣4，y1）關(guān)于直線x＝﹣1對稱的點，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷②，方程ax2+bx+c＝﹣1的解可看做拋物線y＝ax2+bx+c與直線y＝﹣1的交點，找出交點個數(shù)可判斷③，不等式ax2+bx+c＞2的解集可看做拋物線y＝ax2+bx+c的圖象在直線y＝2上方的部分，可判斷④．
【解答】解：∵對稱軸為直線x＝﹣1．
∴b＝2a，
∵當(dāng)x＝1時，y＝a+b+c＜0，
∴3a+c＜0，故①錯誤，
∵拋物線開口向下，
∴在對稱軸的右側(cè)y隨x的增大而減小，
∵（﹣4，y1）關(guān)于直線x＝﹣1對稱的點為（2，y1），
又∵2＜3，
∴y1＞y2，故②正確，
方程ax2+bx+c＝﹣1的解可看做拋物線y＝ax2+bx+c與直線y＝﹣1的交點，
由圖象可知拋物線y＝ax2+bx+c與直線y＝﹣1有兩個交點，
∴關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1有兩個不相等的實數(shù)根，故③錯誤，
不等式ax2+bx+c＞2的解集可看做拋物線y＝ax2+bx+c的圖象在直線y＝2上方的部分，
∵（0，2）關(guān)于直線x＝﹣1對稱的點為（﹣2，2），
∴x的取值范圍為﹣2＜x＜0，故④正確．
故選：B．
10．（2023?日照）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx（a≠0），滿足，已知點（﹣3，m），（2，n），（4，t）在該拋物線上，則m，n，t的大小關(guān)系為（）
A．t＜n＜mB．m＜t＜nC．n＜t＜mD．n＜m＜t
【分析】根據(jù)已知可得a＞0，所以拋物線開口向上，再根據(jù)﹣3a＜b＜﹣a，得＜﹣＜，再由點（﹣3，m），（2，n），（4，t）在該拋物線上，即可得m，n，t的大小關(guān)系．
【解答】解：∵3a+b＞0，
∴2a+a+b＞0，
∵a+b＜0，
∴2a＞0，
∴a＞0，
∴拋物線開口向上，
∵﹣3a＜b＜﹣a，
∴＜﹣＜，
∵點（﹣3，m），（2，n），（4，t）在該拋物線上，
∴m，n，t的大小關(guān)系為：n＜t＜m．
故選：C．
11．（2023?遂寧）拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，對稱軸為直線x＝﹣2．下列說法：①abc＜0；②c﹣3a＞0；③4a2﹣2ab≥at（at+b）（t為全體實數(shù)）；④若圖象上存在點A（x1，y1）和點B（x2，y2），當(dāng)m＜x1＜x2＜m+3時，滿足y1＝y(tǒng)2，則m的取值范圍為﹣5＜m＜﹣2，其中正確的個數(shù)有（）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【分析】①分別判斷a、b、c的符號，再判斷abc的符號；
②由對稱軸為直線x＝﹣2，可知a與b的數(shù)量關(guān)系，消去b可得僅含a、c的解析式，找特定點可判斷c﹣3a的符號．
③用a與b的數(shù)量關(guān)系，可將原式化簡得到關(guān)于t的不等式，再用函數(shù)的性質(zhì)（t為全體實數(shù)）判斷．
④利用二次函數(shù)的性質(zhì)及二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系即可判斷．
【解答】解：①因圖象開口向下，可知：a＜0；
又∵對稱軸為直線x＝﹣2，
∴﹣＝﹣2，整理得：b＝4a，即a、b同號．
由圖象可知，當(dāng)x＝4時，y＜0，
又∵對稱軸為直線x＝﹣2，可知：當(dāng)x＝0時，y＜0；
即c＜0；
∴abc＜0，故①正確．
②由①得：b＝4a．
代入原解析式得：y＝ax2+4ax+c；
由圖象可知，當(dāng)x＝﹣1時，y＞0．
即：a?（﹣1）2+4a?（﹣1）+c＞0，
整理得：c﹣3a＞0，故②正確．
③設(shè)4a2﹣2ab≥at（at+b）
則4a﹣2b≤at?t﹣bt，
兩邊+c得到4a﹣2b+c≤at?t﹣bt+c，
左側(cè)為x＝﹣2時的函數(shù)值，右側(cè)為x＝t時的函數(shù)值，
顯然不成立，
故③錯誤．
④由題意得，x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c﹣y1＝0的兩個根，
從圖象上看，因二次函數(shù)有對稱性，x1、x2關(guān)于x＝﹣2對稱，
∴當(dāng)且僅當(dāng)m＜﹣2＜m+3時，存在點A（x1，y1）和點B（x2，y2），當(dāng)m＜x1＜x2＜m+3時，滿足y1＝y(tǒng)2，
即當(dāng)﹣5＜m＜﹣2時，滿足題設(shè)，故④正確．
故本題選：C．
12．（2023?青島）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與正比例函數(shù)y＝kx的圖象相交于A，B兩點，已知點A的橫坐標(biāo)為﹣3，點B的橫坐標(biāo)為2，二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線x＝﹣1．下列結(jié)論：①abc＜0；②3b+2c＞0；③關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝kx的兩根為x1＝﹣3，x2＝2；④k＝a．其中正確的是 ①③ .（只填寫序號）
【分析】依據(jù)題意，根據(jù)所給圖象可以得出a＞0，c＜0，再結(jié)合對稱軸x＝﹣1，同時令ax2+bx+c＝kx，從而由根與系數(shù)的關(guān)系，逐個判斷可以得解．
【解答】解：由圖象可得，a＞0，c＜0，又﹣＝﹣1，
∴b＞0．
∴abc＜0．
∴①正確．
由題意，令ax2+bx+c＝kx，
∴ax2+（b﹣k）x+c＝0．
又二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與正比例函數(shù)y＝kx的圖象相交于A，B兩點，已知點A的橫坐標(biāo)為﹣3，點B的橫坐標(biāo)為2，
∴ax2+（b﹣k）x+c＝0的兩根之和為﹣3+2＝﹣1，兩根之積為﹣3×2＝﹣6．
∴﹣＝﹣1，＝﹣6．
∴6a+c＝0．
又b＝2a，
∴3b+c＝0．
∴3b+2c＝c＜0．
∴②錯誤，③正確．
∵﹣＝﹣1，b＝2a，
∴k＝a．
∴④錯誤．
故答案為：①③．
13．（2023?南京）已知二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+3（a為常數(shù)，a≠0）．
（1）若a＜0，求證：該函數(shù)的圖象與x軸有兩個公共點．
（2）若a＝﹣1，求證：當(dāng)﹣1＜x＜0時，y＞0．
（3）若該函數(shù)的圖象與x軸有兩個公共點（x1，0），（x2，0），且﹣1＜x1＜x2＜4，則a的取值范圍是 a＞3或a＜﹣1 ．
【分析】（1）證明b2﹣4ac＞0即可解決問題．
（2）將a＝﹣1代入函數(shù)解析式，進(jìn)行證明即可．
（3）對a＞0和a＜0進(jìn)行分類討論即可．
【解答】證明：（1）因為（﹣2a）2﹣4×a×3＝4a2﹣12a，
又因為a＜0，
所以4a＜0，a﹣3＜0，
所以4a2﹣12a＝4a（a﹣3）＞0，
所以該函數(shù)的圖象與x軸有兩個公共點．
（2）將a＝﹣1代入函數(shù)解析式得，
y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
所以拋物線的對稱軸為直線x＝1，開口向下．
則當(dāng)﹣1＜x＜0時，
y隨x的增大而增大，
又因為當(dāng)x＝﹣1時，y＝0，
所以y＞0．
（3）因為拋物線的對稱軸為直線x＝，且過定點（0，3），
又因為該函數(shù)的圖象與x軸有兩個公共點（x1，0），（x2，0），且﹣1＜x1＜x2＜4，
所以當(dāng)a＞0時，
a﹣2a+3＜0，
解得a＞3，
故a＞3．
當(dāng)a＜0時，
a+2a+3＜0，
解得a＜﹣1，
故a＜﹣1．
綜上所述，a＞3或a＜﹣1．
故答案為：a＞3或a＜﹣1．
14．（2023?杭州）設(shè)二次函數(shù)y＝ax2+bx+1（a≠0，b是實數(shù)）．已知函數(shù)值y和自變量x的部分對應(yīng)取值如下表所示：
（1）若m＝4，
①求二次函數(shù)的表達(dá)式；
②寫出一個符合條件的x的取值范圍，使得y隨x的增大而減?。?br>（2）若在m，n，p這三個實數(shù)中，只有一個是正數(shù)，求a的取值范圍．
【分析】（1）①利用待定系數(shù)法即可求得；
②利用二次函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)論；
（2）根據(jù)題意m≤0，由﹣＝1，得出b＝﹣2a，則二次函數(shù)為y＝ax2﹣2ax+1，得出m＝a+2a+1≤0，解得a≤﹣．
【解答】解：（1）①由題意得，
解得，
∴二次函數(shù)的表達(dá)式是y＝x2﹣2x+1；
②∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
∴拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝1，
∴當(dāng)x＜1時，y隨x的增大而減?。?br>（2）∵x＝0和x＝2時的函數(shù)值都是1，
∴拋物線的對稱軸為直線x＝﹣＝1，
∴（1，n）是頂點，（﹣1，m）和（3，p）關(guān)于對稱軸對稱，
若在m，n，p這三個實數(shù)中，只有一個是正數(shù)，則拋物線必須開口向下，且m≤0，
∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴二次函數(shù)為y＝ax2﹣2ax+1，
∴m＝a+2a+1≤0，
∴a≤﹣．
【中考模擬練】
1．（2024?杭州一模）拋物線y＝ax2+bx+c的頂點為A（2，m），且經(jīng)過點B（5，0），其部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）
A．若拋物線經(jīng)過點（t，n），則必過點（t+4，n）
B．若點和（4，y2）都在拋物線上，則y1＞y2
C．a(chǎn)﹣b+c＞0
D．b+c＝m
【分析】由拋物線開口和拋物線與y軸交點判斷①，由拋物線的對稱性及經(jīng)過點（5，0）可判斷②，由拋物線對稱軸為直線x＝2可得b＝﹣4a，由a﹣b+c＝0可得c＝﹣5a，從而判斷③，點C對稱點橫坐標(biāo)為4﹣t可判斷④．
【解答】解：A．∵拋物線經(jīng)過點C（t，n），
∴點C關(guān)于對稱軸對稱點（4﹣t，n）在拋物線上，
∴4﹣t為ax2+bx+c＝n的一個根，A錯誤．
B．∵2﹣（﹣）＝，4﹣2＝2，
∴，
∵拋物線開口向下，
∴a＜0，
∵y1＜y2，
∴B錯誤；
∵拋物線頂點為A（2，m），
∴拋物線對稱軸為直線x＝2，
∵拋物線過點（5，0），
∴由對稱性可得拋物線經(jīng)過點（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，C錯誤，
∵﹣＝2，
∴b＝﹣4a，
∴5a+c＝0，
∴c＝﹣5a，
∵（2，m）為拋物線頂點，
∴4a+2b+c＝m，
∴4a﹣8a﹣5a＝m，即9a+m＝0，m＝﹣9a
∴b+c＝﹣9a＝m，D正確，
故答案為：D．
2．（2024?雁塔區(qū)校級模擬）若拋物線y＝x2﹣2x+m﹣1（m是常數(shù)）的圖象只經(jīng)過第一、二、四象限，則m的取值范圍是（）
A．m＞1B．m≥1C．1≤m＜2D．m≤2
【分析】由y＝x2﹣2x+m﹣1＝（x﹣1）2+m﹣2可知拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝1，頂點為（1，m﹣2），根據(jù)題意得到，然后求出不等式組的解集即可．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x+m﹣1＝（x﹣1）2+m﹣2，
∴拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝1，頂點為（1，m﹣2），
∵拋物線y＝x2﹣2x+m﹣1（m是常數(shù)）的圖象只經(jīng)過第一、二、四象限，
∴，
解得1≤m＜2，
故選：C．
3．（2024?嶗山區(qū)一模）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＜0）的圖象與x軸的一個交點坐標(biāo)為（﹣2，0），對稱軸為直線x＝1，下列結(jié)論中：①a﹣b+c＞0；②若點（﹣3，y1），（2，y2），（6，y3）均在該二次函數(shù)圖象上，則y1＜y3＜y2；③方程ax2+bx+c+1＝0的兩個實數(shù)根為x1，x2，且x1＜x2，則x1＜﹣2，x2＞4；④若m為任意實數(shù)，則am2+bm+c≤﹣9a．正確結(jié)論的序號為（）
A．①②④B．①③④C．②③④D．①③
【分析】依據(jù)題意，由拋物線經(jīng)過（﹣2，0），再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷①，由各點到拋物線對稱軸的距離大小可判斷從而判斷②，由拋物線的對稱性可得拋物線與x軸交點坐標(biāo)，從而判斷③，由x＝1時y取最大值可判斷④．
【解答】解：由題意，∵對稱軸是直線x＝1，a＜0，
∴當(dāng)x＜1時，y隨x的增大而增大．
∵﹣2＜﹣1，拋物線過點（﹣2，0），
∴當(dāng)x＝﹣1時y＝a﹣b+c＞0，故①正確．
∵a＜0，
∴拋物線開口向下．
又點（﹣3，y1），（2，y2），（6，y3）均在該二次函數(shù)圖象上，且點（6，y3）到對稱軸的距離最大，點（2，y2）到對稱軸的距離最小，
∴y3＜y1＜y2，②錯誤．
∵方程ax2+bx+c+1＝0的兩實數(shù)根為x1，x2，
∴拋物線與直線y＝﹣1的交點的橫坐標(biāo)為x1，x2．
由拋物線對稱性可得拋物線與x軸另一交點坐標(biāo)為（4，0），
∴拋物線與x軸交點坐標(biāo)為（﹣2，0），（4，0），
∵拋物線開口向下，x1＜x2，
∴x1＜﹣2，x2＞4，故③正確．
∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a．
∵4a﹣2b+c＝0，
∴c＝2b﹣4a＝﹣8a，
∵拋物線的最大值為a+b+c，
∴若m為任意實數(shù)，則am2+bm+c?a+b+c＝a﹣2a﹣8a＝﹣9a，
∴am2+bm+c?﹣9a，故④正確．
故選：B．
4．（2024?霍邱縣一模）已知拋物線y＝mx2+nx﹣m，其中m為實數(shù)．
（1）若拋物線經(jīng)過點（1，5），則n＝ 5 ；
（2）該拋物線經(jīng)過點A（2，﹣m），已知點B（1，﹣m），C（2，2），若拋物線與線段BC有交點，則m的取值范圍為 ﹣2≤m＜0 ．
【分析】（1）將（1，5）代入解析式求解．
（2）分類討論m＞0，m＜0兩種情況，將二次函數(shù)解析式化為頂點式，討論點B與頂點位置，點C與拋物線的位置關(guān)系，進(jìn)而求解．
【解答】解：（1）將（1，5）代入y＝mx2+nx﹣m得，
5＝m+n﹣m，
解得n＝5，
故答案為：5．
（2）將點A（2，﹣m），代入y＝mx2+nx﹣m得，
﹣m＝4m+2n﹣m，
解得n＝﹣2m，
∴y＝mx2﹣2mx﹣m
＝m（x﹣1）2﹣2m，
∴拋物線對稱軸為直線x＝1，頂點坐標(biāo)為（1，﹣2m），
當(dāng)m＞0時，拋物線開口向上，頂點在點B下方，
∵拋物線經(jīng)過（2，﹣m），
∴點C在拋物線上方，
∴拋物線與線段BC無交點，
當(dāng)m＜0時，拋物線開口向下，
∵﹣2m＞﹣m，
∴拋物線頂點在點B上方，
當(dāng)點C在拋物線上或拋物線上方時滿足題意，
即2≥﹣m，
解得m≥﹣2，
故答案為：﹣2≤m＜0．
5．（2024?青島一模）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于點（3，0），對稱軸為直線x＝1，下列結(jié)論：①abc＜0；②4a﹣2b+c＞0；③3a+c＝0；④拋物線上有兩點M（x1，y1）和N（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，則y1＞y2．其中正確的是 ①③④ .（只填寫序號）
【分析】依據(jù)題意，拋物線開口向下，從而a＜0，又對稱軸是直線x＝1，故﹣＝1，則b＝﹣2a＞0，再結(jié)合拋物線交y軸正半軸，故可判斷①；由對稱軸是直線x＝1，則當(dāng)x＝﹣2時的函數(shù)值與x＝4時函數(shù)值相等，又由圖象可得，當(dāng)x＝4時，y＜0，故當(dāng)x＝﹣2時，y＝4a﹣2b+c＜0，故可以判斷②；由對稱性當(dāng)x＝﹣1時的函數(shù)值與當(dāng)x＝3的函數(shù)值相等，所以當(dāng)x＝﹣1時，y＝a﹣b+c＝0，再結(jié)合b＝﹣2a，則可判斷③正；由x1+x2＞2，故＞1，進(jìn)而可得M，N的中間位置在對稱軸的右側(cè)，M離對稱軸近，N離對稱軸遠(yuǎn)，又拋物線開口向下，進(jìn)而可以判斷④．
【解答】解：由題意，拋物線開口向下，
∴a＜0．
又對稱軸是直線x＝1，
∴﹣＝1．
∴b＝﹣2a＞0．
又拋物線交y軸正半軸，
∴c＞0．
∴abc＜0，故①正確．
由對稱軸是直線x＝1，
∴當(dāng)x＝﹣2時的函數(shù)值與x＝4時函數(shù)值相等．
又由圖象可得，當(dāng)x＝4時，y＜0．
∴當(dāng)x＝﹣2時，y＝4a﹣2b+c＜0，故②錯誤．
由對稱性當(dāng)x＝﹣1時的函數(shù)值與當(dāng)x＝3的函數(shù)值相等，
∴當(dāng)x＝﹣1時，y＝a﹣b+c＝0．
又b＝﹣2a，
∴3a+c＝0，故③正確．
由題意，∵x1+x2＞2，
∴＞1．
∴M，N的中間位置在對稱軸的右側(cè)．
∴M離對稱軸近，N離對稱軸遠(yuǎn)．
又拋物線開口向下，
∴y1＞y2，故④正確．
故答案為：①③④．
6．（2024?余姚市一模）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣4a（a，b是常數(shù)，a≠0）．
（1）判斷該函數(shù)圖象與x軸的交點個數(shù)，并說明理由；
（2）若該函數(shù)圖象的對稱軸為直線x＝2，A（x1，m），B（x2，m）為該函數(shù)圖象上的任意兩點，其中x1＜x2，求當(dāng)x1，x2為何值時，m＝8a；
（3）若該函數(shù)圖象的頂點在第二象限，且過點（1，2），當(dāng)a＜b時求3a+b的取值范圍．
【分析】（1）依據(jù)題意，求出Δ＝b2﹣4a（﹣4a）＝b2+16a2，進(jìn)而結(jié)合a≠0可以判斷Δ＞0，即可求解；
（2）依據(jù)題意，也有對稱軸為直線x＝2，可得b＝﹣4a，從而y＝ax2+bx﹣4a＝ax2﹣4ax﹣4a，當(dāng)y1＝y(tǒng)2＝8a時，即y＝ax2﹣4ax﹣4a＝8a，然后計算即可求解；
（3）依據(jù)題意，由（1）知，函數(shù)圖象與x軸的交點個數(shù)為2且圖象的頂點在第二象限，則拋物線開口向下，即a＜0，進(jìn)而求解．
【解答】解：（1）由題意得，Δ＝b2﹣4a（﹣4a）＝b2+16a2，
又a≠0，
∴a2＞0．
∴16a2＞0．
又對于任意的b都有b2≥0，
∴Δ＝b2+16a2＞0．
∴函數(shù)圖象與x軸的交點個數(shù)為2．
（2）∵x＝2＝﹣，
∴b＝﹣4a．
∴拋物線表達(dá)式為y＝ax2+bx﹣4a＝ax2﹣4ax﹣4a，
當(dāng)y1＝y(tǒng)2＝8a時，即y＝ax2﹣4ax﹣4a＝8a，
解得x＝6或﹣2，
則x1＝﹣2，x2＝6．
（3）將（1，2）代入拋物線表達(dá)式得：2＝a+b﹣4a，則b＝3a+2，
∵a＜b，故a＜3a+2，
∴解得a＞﹣1．
∴拋物線的表達(dá)式為y＝ax2+（3a+2）x﹣4a，
由（1）知，函數(shù)圖象與x軸的交點個數(shù)為2且圖象的頂點在第二象限，
∴拋物線開口向下，即a＜0．
∴函數(shù)的對稱軸x＝﹣＝﹣﹣＜0，
解得a＜﹣，
∴﹣1＜a＜﹣．
∴﹣3＜3a＜﹣2．
故﹣1＜3a+2＜0，即﹣1＜b＜0．
∴﹣4＜3a+b＜﹣2．
∴3a+b的取值范圍：﹣4＜3a+b＜﹣2．
題型04 二次函數(shù)解析式的求法
【中考真題練】
1．（2023?上海）一個二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的頂點在y軸正半軸上，且其對稱軸左側(cè)的部分是上升的，那么這個二次函數(shù)的解析式可以是 y＝﹣x2+1（答案不唯一）．
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系求解（答案不唯一）．
【解答】解：由題意得：b＝0，a＜0，c＞0，
∴這個二次函數(shù)的解析式可以是：y＝﹣x2+1，
故答案為：y＝﹣x2+1（答案不唯一）．
2．（2023?寧波）如圖，已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c圖象經(jīng)過點A（1，﹣2）和B（0，﹣5）．
（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式及圖象的頂點坐標(biāo)．
（2）當(dāng)y≤﹣2時，請根據(jù)圖象直接寫出x的取值范圍．
【分析】（1）用待定系數(shù)法求出函數(shù)表達(dá)式，配成頂點式即可得頂點坐標(biāo)；
（2）求出A關(guān)于對稱軸的對稱點坐標(biāo)，由圖象直接可得答案．
【解答】解：（1）把A（1，﹣2）和B（0，﹣5）代入y＝x2+bx+c得：
，
解得，
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝x2+2x﹣5，
∵y＝x2+2x﹣5＝（x+1）2﹣6，
∴頂點坐標(biāo)為（﹣1，﹣6）；
（2）如圖：
∵點A（1，﹣2）關(guān)于對稱軸直線x＝﹣1的對稱點C（﹣3，﹣2），
∴當(dāng)y≤﹣2時，x的范圍是﹣3≤x≤1．
3．（2023?紹興）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c．
（1）當(dāng)b＝4，c＝3時，
①求該函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)；
②當(dāng)﹣1≤x≤3時，求y的取值范圍；
（2）當(dāng)x≤0時，y的最大值為2；當(dāng)x＞0時，y的最大值為3，求二次函數(shù)的表達(dá)式．
【分析】（1）先把解析式進(jìn)行配方，再求頂點；
（2）根據(jù)函數(shù)的增減性求解；
（3）根據(jù)函數(shù)的圖象和系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合圖象求解．
【解答】解：（1）①∵b＝4，c＝3 時，
∴y＝﹣x2+4x+3＝﹣（x﹣2）2+7，
∴頂點坐標(biāo)為（2，7）．
②∵﹣1≤x≤3中含有頂點（2，7），
∴當(dāng) x＝2 時，y有最大值7，
∵2﹣（﹣1）＞3﹣2，
∴當(dāng)x＝﹣1 時，y有最小值為：﹣2，
∴當(dāng)﹣1≤x≤3時，﹣2≤y≤7．
（2）∵x≤0時，y的最大值為2；x＞0時，y的最大值為3，
∴拋物線的對稱軸在y軸的右側(cè)，
∴b＞0，
∵拋物線開口向下，x≤0時，y的最大值為2，
∴c＝2，
又∵，
∴b＝±2，
∵b＞0，
∴b＝2．
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為 y＝﹣x2+2x+2．
【中考模擬練】
1．（2023?思明區(qū)模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線的頂點是（1，3），當(dāng)x＞1時，y隨x的增大而增大，則拋物線解析式可以是（）
A．y＝﹣2（x+1）2+3B．y＝2（x+1）2+3
C．y＝﹣2（x﹣1）2+3D．y＝2（x﹣1）2+3
【分析】根據(jù)題意可知拋物線開口向上，又知頂點為（1，3），根據(jù)拋物線的頂點式求解．
【解答】解：由題意得：拋物線的頂點是（1，3），開口向上，
故選：D．
2．（2023?海淀區(qū)校級一模）將二次函數(shù)y＝x2﹣8x﹣1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，結(jié)果為 y＝（x﹣4）2﹣17 ．
【分析】利用配方法把二次函數(shù)的一般式化為頂點式即可得解．
【解答】解：y＝x2﹣8x﹣1＝x2﹣8x+16﹣16﹣1＝（x﹣4）2﹣17，
故答案為：y＝（x﹣4）2﹣17．
3．（2024?梅縣區(qū)一模）已知一條拋物線的形狀、開口方向均與拋物線y＝﹣2x2+9x相同，且它的頂點坐標(biāo)為（﹣1，6），則這條拋物線的解析式為 y＝﹣2（x+1）2+6 ．
【分析】先設(shè)頂點式y(tǒng)＝a（x+1）2+6，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)確定a的值即可．
【解答】解：∵拋物線的頂點坐標(biāo)為（﹣1，6），
∴拋物線解析式可設(shè)為y＝a（x+1）2+6，
∵拋物線y＝a（x+1）2+6的形狀、開口方向均與拋物線y＝﹣2x2+9x相同，
∴a＝﹣2，
∴所求拋物線的解析式為y＝﹣2（x+1）2+6．
故答案為：y＝﹣2（x+1）2+6．
4．（2024?霍邱縣模擬）已知拋物線y＝x2+bx+c（b，c為常數(shù)）．
（1）若拋物線經(jīng)過點（0，3），（4，3），則拋物線的表達(dá)式為 y＝x2﹣4x+3 ；
（2）在（1）的條件下，拋物線經(jīng)過點（m，k），（n，k），當(dāng)1≤n﹣m＜8時，k的取值范圍為 ﹣≤k＜15 ．
【分析】（1）由拋物線 y＝x2+bx+c （b，c為常數(shù)）經(jīng)過點（0，3），（4，3），可得，解出b，c的值可得拋物線的表達(dá)式為 y＝x2﹣4x+3；
（2）根據(jù)拋物線 y＝x2﹣4x+3 經(jīng)過點（m，k），（n，k），知m，n 是關(guān)于 x2﹣4x+3﹣k＝0 的兩個不相等的實數(shù)根，故m+n＝4，mn＝3﹣k，即可得n﹣m＝，從而，解得：﹣≤k＜15．
【解答】解：（1）∵拋物線 y＝x2+bx+c （b，c為常數(shù)）經(jīng)過點（0，3），（4，3），
∴，
解得，
∴拋物線的表達(dá)式為 y＝x2﹣4x+3；
（2）∵拋物線 y＝x2﹣4x+3 經(jīng)過點（m，k），（n，k），
∴當(dāng) y＝k 時，m，n 是關(guān)于 x2﹣4x+3﹣k＝0 的兩個不相等的實數(shù)根，
∴m+n＝4，mn＝3﹣k，
∴，
∵1≤n﹣m＜8，
∴．
∴1≤4+4k＜64，
解得：﹣≤k＜15．
考點二：二次函數(shù)的圖象性質(zhì)應(yīng)用
二次函數(shù)圖象性質(zhì)的應(yīng)用主要體現(xiàn)在利用二次函數(shù)的頂點式求最值、利用點與二次函數(shù)圖象的關(guān)系解決與其他幾何圖形的結(jié)合問題、以及二次函數(shù)與一元二次方程和不等式的關(guān)系等。
題型01 二次函數(shù)的最值
【中考真題練】
1．（2023?杭州）設(shè)二次函數(shù)y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣k）（a＞0，m，k是實數(shù)），則（）
A．當(dāng)k＝2時，函數(shù)y的最小值為﹣a
B．當(dāng)k＝2時，函數(shù)y的最小值為﹣2a
C．當(dāng)k＝4時，函數(shù)y的最小值為﹣a
D．當(dāng)k＝4時，函數(shù)y的最小值為﹣2a
【分析】令y＝0，求出二次函數(shù)與x軸的交點坐標(biāo)，繼而求出二次函數(shù)的對稱軸，再代入二次函數(shù)解析式即可求出頂點的縱坐標(biāo)，最后代入k的值進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：令y＝0，則（x﹣m）（x﹣m﹣k）＝0，
∴x1＝m，x2＝m+k，
∴二次函數(shù)y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣k）與x軸的交點坐標(biāo)是（m，0），（m+k，0），
∴二次函數(shù)的對稱軸是：直線，
∵a＞0，
∴y有最小值，
當(dāng)時，y最小，
即，
當(dāng)k＝2時，函數(shù)y的最小值為；
當(dāng)k＝4時，函數(shù)y的最小值為，
故選：A．
2．（2023?蘭州）已知二次函數(shù)y＝﹣3（x﹣2）2﹣3，下列說法正確的是（）
A．對稱軸為直線x＝﹣2B．頂點坐標(biāo)為（2，3）
C．函數(shù)的最大值是﹣3D．函數(shù)的最小值是﹣3
【分析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：二次函數(shù)y＝﹣3（x﹣2）2﹣3的圖象的開口向下，對稱軸為直線x＝2，頂點坐標(biāo)為（2，﹣3），
x＝2時，y有最大值為y＝﹣3，
故選：C．
3．（2023?陜西）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2+mx+m2﹣m（m為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點（0，6），其對稱軸在y軸左側(cè)，則該二次函數(shù)有（）
A．最大值5B．最大值C．最小值5D．最小值
【分析】將（0，6）代入二次函數(shù)解析式，進(jìn)而得出m的值，再利用對稱軸在y軸左側(cè)，得出m＝3，再利用公式法求出二次函數(shù)最值．
【解答】解：由題意可得：6＝m2﹣m，
解得：m1＝3，m2＝﹣2，
∵二次函數(shù)y＝x2+mx+m2﹣m，對稱軸在y軸左側(cè)，
∴m＞0，
∴m＝3，
∴y＝x2+3x+6，
∴二次函數(shù)有最小值為：＝＝．
故選：D．
4．（2023?泰安）二次函數(shù)y＝﹣x2﹣3x+4的最大值是．
【分析】將二次函數(shù)解析式變形為頂點式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可解決最值問題．
【解答】解：y＝﹣x2﹣3x+4＝﹣（x+）2+．
∵a＝﹣1＜0，
∴當(dāng)x＝﹣時，y取得最大值，最大值＝．
故答案為：．
5．（2023?紹興）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一個圖形上的點都在一邊平行于x軸的矩形內(nèi)部（包括邊界），這些矩形中面積最小的矩形稱為該圖形的關(guān)聯(lián)矩形．例如：如圖，函數(shù)y＝（x﹣2）2（0≤x≤3）的圖象（拋物線中的實線部分），它的關(guān)聯(lián)矩形為矩形OABC．若二次函數(shù)圖象的關(guān)聯(lián)矩形恰好也是矩形OABC，則b＝或﹣ ．
【分析】根據(jù)題意求得點A（3，0），B（3，4），C（0，4），然后分兩種情況，利用待定系數(shù)法求出解析式即可．
【解答】解：由y＝（x﹣2）2（0≤x≤3），當(dāng)x＝0時，y＝4，
∴C（0，4），
∵A（3，0），四邊形ABCO是矩形，
∴B（3，4），
①當(dāng)拋物線經(jīng)過O、B時，將點O（0，0），B（3，4）代入y＝x2+bx+c（0≤x≤3）得
，
解得b＝；
②當(dāng)拋物線經(jīng)過A、C時，將點A（3，0），C（0，4）代入y＝x2+bx+c（0≤x≤3）得
，
解得b＝﹣，
綜上所述，b＝或b＝﹣，
故答案為：或﹣，
【中考模擬練】
1．（2024?浙江模擬）已知：，，m+n＝2，則下列說法中正確的是（）
A．n有最大值4，最小值1
B．n有最大值3，最小值
C．n有最大值3，最小值1
D．n有最大值3，最小值
【分析】依據(jù)題意，由m+n＝2，從而n＝2﹣m＝﹣（a﹣1）2+3，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得，﹣≤n≤3，再結(jié)合1≤b≤4，可得1≤n≤4，最后可得n的范圍，故可判斷得解．
【解答】解：由題意，∵m+n＝2，
∴n＝2﹣m＝2﹣（a2﹣a﹣）＝﹣a2+a+＝﹣（a﹣1）2+3．
又當(dāng)a＝0時，n＝；a＝4時，n＝﹣；a＝1時，n取最大值為3．
∴當(dāng)0≤a≤4時，﹣≤n≤3．
∵1≤b≤4，
∴≤≤1．
∴1≤≤4．
∴1≤n≤4．
又﹣≤n≤3，
∴1≤n≤3．
∴n有最大值3，最小值1．
故選：C．
2．（2024?全椒縣一模）若a≥0，b≥0，且2a+b＝2，2a2﹣4b的最小值為m，最大值為n，則m+n＝（）
A．﹣14B．﹣6C．﹣8D．2
【分析】先用a表示b，然后代入2a2﹣4b中，利用配方法進(jìn)行配方，再根據(jù)a≥0，b≥0確定a的取值范圍，根據(jù)二次函數(shù)的增減性確定m，n的值，即可得出答案．
【解答】解：∵2a+b＝2，
∴b＝2﹣2a，
設(shè)y＝2a2﹣4b
＝2a2﹣4（2﹣2a）
＝2a2+8a﹣8
＝2（a2+4a﹣4）
＝2（a2+4a+4﹣8）
＝2[（a+2）2﹣8]
＝2（a+2）2﹣16，
∵a≥0，b≥0，
∴，
解得：0≤a≤1，
∵2＞0，
∴拋物線開口向上，對稱軸為a＝﹣2，
當(dāng)a＞﹣2時，y隨a的增大而增大，
當(dāng)a＝0時，y最小，即m＝2×22﹣16＝﹣8，
當(dāng)a＝1時，y最大，即n＝2×32﹣16＝2，
∴m+n＝﹣8+2＝﹣6．
故選：B．
3．（2023?衢江區(qū)三模）在平面直角坐標(biāo)系中，過點P（0，p）的直線AB交拋物線y＝x2于A，B兩點，已知A（a，b），B（c，a），且a＜c，則下列說法正確的是（）
A．當(dāng)ac＞0且a+c＝1時，p有最小值
B．當(dāng)ac＞0且a+c＝1時，p有最大值
C．當(dāng)ac＜0且c﹣a＝1時，p有最小值
D．當(dāng)ac＜0且c﹣a＝1時，p有最大值
【分析】設(shè)直線y＝kx+p，聯(lián)立直線與拋物線解析式得出a，c是方程x2﹣kx﹣p＝0的兩根，進(jìn)而根據(jù)a＜c，得出B（c，a）在y＝x的下方，得出0＜c≤1，則0＜a≤1，即可得出ac＞0，進(jìn)而結(jié)合選項，進(jìn)行判斷即可求解．
【解答】解：依題意，過點P（0，p）的直線AB交拋物線y＝x2于A（a，b），B（c，a）兩點，設(shè)直線y＝kx+p，
聯(lián)立
即x2﹣kx﹣p＝0，
∴a，c是方程x2﹣kx﹣p＝0的兩根，
即ac＝﹣p，a+c＝k，
∵a＜c，
∴B（c，a）在y＝x的下方，
聯(lián)立，
解得：或，
∴0＜c≤1，
∵B（c，a）在拋物線上，則a＝c2，
∴0＜a≤1，
∴ac＞0，
當(dāng)ac＞0且a+c＝1，
∴x2﹣x﹣p＝0，
∴p＝x2﹣x有最小值，
故選：A．
4．（2024?雁塔區(qū)校級模擬）如圖，在四邊形ABCD中，，∠B＝60°，∠D＝120°，當(dāng)四邊形ABCD面積最大時，作AE平分該四邊形ABCD面積交BC于點E，則此時線段BE的長為．
【分析】依據(jù)題意，連接AC，過點A作AF⊥BC于點F，由AB＝BC＝4，∠B＝60°，得出△ABC是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)求出AC＝4，BF＝2，當(dāng)AD＝CD時，△ADC的面積最大，此時，四邊形ABCD的面積最大，過點D作DG⊥AC于點G，則AG＝2，進(jìn)而求出S△ADC＝4，S△ABE＝3BE，S△AEC＝3（BC﹣BE），由AE平分四邊形ABCD的面積，得出3BE＝3（4﹣BE）+4，即可求出BE值．
【解答】解：如圖，連接AC，過點A作AF⊥BC于點F，
∵AB＝BC＝4，∠B＝60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AC＝BC＝4，BF＝BC＝2．
當(dāng)AD＝CD時，△ADC的面積最大，此時，四邊形ABCD的面積最大，
過點D作DG⊥AC于點G，則AG＝AC＝2．
∵∠D＝120°，
∴∠DAG＝30°．
∴DG＝＝2．
∴S△ADC＝?AC?DG＝×4×2＝4．
∵sinB＝，
∴AF＝AB?sin60°＝4×＝6．
∴S△ABE＝?BE?AF＝×BE×6＝3BE．
S△AEC＝?EC?AF＝×（BC﹣BE）×6＝3（4﹣BE）．
∵AE平分四邊形ABCD的面積，
∴S△ABE＝S△AEC+S△ADC．
∴3BE＝3（4﹣BE）+4．
∴BE＝．
故答案為：．
5．（2024?陽新縣一模）已知二次函數(shù)y＝﹣9x2﹣6ax﹣a2+2a，當(dāng)﹣≤x≤，y有最大值為﹣3，則a的值為 2+或﹣ ．
【分析】先計算二次函數(shù)的對稱軸，再分三種情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)﹣≤﹣時，即a≥1，如圖1，確定當(dāng)﹣≤x≤，y隨x的增大而減小，得當(dāng)x＝﹣時，y＝﹣3，代入可得a的值；
②當(dāng)﹣＜﹣＜時，即﹣1＜a＜1，如圖2，同理可得a的值；
③當(dāng)﹣≥時，即a≤﹣1，如圖3，同理可得a的值．
【解答】解：對稱軸：x＝﹣＝﹣，
分三種情況：
①當(dāng)﹣≤﹣時，即a≥1，如圖1，
當(dāng)﹣≤x≤，y隨x的增大而減小，
∴當(dāng)x＝﹣時，y＝﹣3，
代入y＝﹣9x2﹣6ax﹣a2+2a中，得：﹣3＝﹣1+2a﹣a2+2a，
解得：a1＝2+，a2＝2﹣（舍）；
②當(dāng)﹣＜﹣＜時，即﹣1＜a＜1，如圖2，
當(dāng)x＝﹣時，y＝﹣3，
代入y＝﹣9x2﹣6ax﹣a2+2a中，得：﹣3＝﹣a2+2a2﹣a2+2a，
解得：a＝﹣（舍），
③當(dāng)﹣≥時，即a≤﹣1，如圖3，
當(dāng)﹣≤x≤，y隨x的增大而增大，
∴當(dāng)x＝時，y＝﹣3，
代入y＝﹣9x2﹣6ax﹣a2+2a中，得：﹣3＝﹣1﹣2a﹣a2+2a，
解得：a1＝﹣，a2＝（舍）；
故答案為：2+或﹣．
6．（2024?渠縣校級一模）如圖，在Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝4cm，點P在邊AC上，從點A向點C移動，點Q在邊CB上，從點C向點B移動．若點P，Q均以1cm/s的速度同時出發(fā)，且當(dāng)一點移動到終點時，另一點也隨之停止，連接PQ，則線段PQ的最小值是厘米．
【分析】設(shè)移動時間為t s，用含t的代數(shù)式表示出PC，QC，在Rt△PCQ中，根據(jù)勾股定理，列出PQ關(guān)于t的代數(shù)式，應(yīng)用配方的方法，即可求出線段PQ的最小值，
【解答】解：設(shè)移動時間為t s，則，PC＝6﹣t，QC＝t，
在Rt△PCQ中，，
整理得：，
當(dāng)t＝3時，PQ取得最小值，此時，
故答案為：厘米．
7．（2024?浙江模擬）已知二次函數(shù)y＝x2﹣2kx+k﹣2的圖象過點（5，5）．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式．
（2）若A（x1，y1）和B（x2，y2）都是二次函數(shù)圖象上的點，且x1+2x2＝2，求y1+y2的最小值．
（3）若點P（a，n）和Q（b，n+2）都在二次函數(shù)的圖象上，且a＜b．對于某一個實數(shù)n，若b﹣a的最小值為1，則b﹣a的最大值為多少？
【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求解；
（2）根據(jù)圖象上點的坐標(biāo)特征得出y1+y2＝﹣4x1+﹣4x2，由x1+2x2＝2可知x1＝2﹣2x2，即可求得y1+y2＝﹣4x1+﹣4x2＝5（x2﹣）2﹣，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得最小值；
（3）由題意可知當(dāng)點P（a，n）和Q（b，n+2）在對稱軸的同側(cè)時b﹣a的值最小，當(dāng)點P（a，n）和Q（b，n+2）在異側(cè)是b﹣a的值最大，據(jù)此求解即可．
【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y＝x2﹣2kx+k﹣2的圖象過點（5，5），
∴5＝25﹣10k+k﹣2，
∴k＝2，
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝x2﹣4x；
（2）∵A（x1，y1）和B（x2，y2）都是二次函數(shù)圖象上的點，
∴y1＝﹣4x1，y2＝﹣4x2，
∴y1+y2＝﹣4x1+﹣4x2，
∵x1+2x2＝2，
∴x1＝2﹣2x2，
∴y1+y2
＝﹣4x1+﹣4x2
＝（2﹣2x2）2﹣4（2﹣2x2）+﹣4x2
＝5﹣4x2﹣4
＝5（x2﹣）2﹣，
∵5＞0，
∴y1+y2的最小值是﹣；
（3）∵拋物線y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，
∴t圖象開口向上，對稱軸為直線x＝2，
∵點P（a，n）和Q（b，n+2）都在二次函數(shù)的圖象上，且a＜b．對于某一個實數(shù)n，若b﹣a的最小值為1，
∴點P（a，n）和Q（b，n+2）在對稱軸的右側(cè)，此時b﹣a＝1，則b＝a+1，
∴a2﹣4a＝n①，（a+1）2﹣4（a+1）＝n+2②，
②﹣①得a＝，
∴b＝a+1＝，
∴此時點P（，n）和Q（，n+2），
當(dāng)點P是點（，n）的對稱點時，則b﹣a的值最大，
∵對稱軸為直線x＝2，
∴點（，n）的對稱點為（，n），
∴此時a＝，
∴b﹣a的最大值為：﹣＝2．
題型02 二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征
【中考真題練】
1．（2023?衢州）已知二次函數(shù)y＝ax2﹣4ax（a是常數(shù)，a＜0）的圖象上有A（m，y1）和B（2m，y2）兩點．若點A，B都在直線y＝﹣3a的上方，且y1＞y2，則m的取值范圍是（）
A．B．C．D．m＞2
【分析】根據(jù)已知條件列不等式即可得到結(jié)論．
【解答】解：∵a＜0，
∴y＝﹣3a＞0，
∵A（m，y1）和B（2m，y2）兩點都在直線y＝﹣3a的上方，且y1＞y2，
∴4am2﹣8am＞﹣3a，
∴4m2﹣8m+3＜0，
∴＜m＜①，
∵二次函數(shù)y＝ax2﹣4ax（a是常數(shù)，a＜0）的圖象上有A（m，y1）和B（2m，y2）兩點．
∴am2﹣4am＞4am2﹣8am，
∴3am2＜4am，
∵a＜0，m＞0，
∴am＜0，
∴m＞②，
由①②得＜m＜．
故選：C．
2．（2023?廣東）如圖，拋物線y＝ax2+c經(jīng)過正方形OABC的三個頂點A，B，C，點B在y軸上，則ac的值為（）
A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．﹣4
【分析】過A作AH⊥x軸于H，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠AOB＝45°，得到AH＝OH，利用待定系數(shù)法求得a、c的值，即可求得結(jié)論．
【解答】解：過A作AH⊥x軸于H，
∵四邊形ABCO是正方形，
∴∠AOB＝45°，
∴∠AOH＝45°，
∴AH＝OH，
設(shè)A（m，m），則B（0，2m），
∴，
解得am＝﹣1，m＝，
∴ac的值為﹣2，
故選：B．
3．（2023?南充）若點P（m，n）在拋物線y＝ax2（a≠0）上，則下列各點在拋物線y＝a（x+1）2上的是（）
A．（m，n+1）B．（m+1，n）C．（m，n﹣1）D．（m﹣1，n）
【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，把點P（m，n）代入y＝ax2（a≠0）即可求出n＝am2，然后將四個選項中的坐標(biāo)代入y＝a（x+1）2中，看兩邊是否相等，即可判斷該點是否在拋物線上．
【解答】解：∵點P（m，n）在拋物線y＝ax2（a≠0）上，
∴n＝am2，
把x＝m代入y＝a（x+1）2得a（m+1）2≠n+1，故點（m，n+1）不在拋物線y＝a（x+1）2上，故A不合題意；
把x＝m+1代入y＝a（x+1）2得a（m+2）2≠n，故點（m+1，n）不在拋物線y＝a（x+1）2上，故B不合題意；
把x＝m代入y＝a（x+1）2得a（m+1）2≠n﹣1，故點（m，n﹣1）不在拋物線y＝a（x+1）2上，故C不合題意；
把x＝m﹣1代入y＝a（x+1）2得a（m﹣1+1）2＝am2＝n，故點（m﹣1，n）在拋物線y＝a（x+1）2上，D符合題意；
故選：D．
4．（2023?十堰）已知點A（x1，y1）在直線y＝3x+19上，點B（x2，y2），C（x3，y3）在拋物線y＝x2+4x﹣1上，若y1＝y(tǒng)2＝y(tǒng)3，x1＜x2＜x3，則x1+x2+x3的取值范圍是（）
A．﹣12＜x1+x2+x3＜﹣9B．﹣8＜x1+x2+x3＜﹣6
C．﹣9＜x1+x2+x3＜0D．﹣6＜x1+x2+x3＜1
【分析】求得直線與拋物線的交點的橫坐標(biāo)，把拋物線的頂點縱坐標(biāo)代入直線解析式，求得對應(yīng)的x的值，即可求得x1取值范圍，根據(jù)拋物線的對稱性求得x2+x3＝﹣4，從而求得x1+x2+x3的取值范圍．
【解答】解：令3x+19＝x2+4x﹣1，整理得x2+x﹣20＝0，
解得x1＝﹣5，x2＝4，
∴直線y＝3x+19與拋物線的交點的橫坐標(biāo)為﹣5，4，
∵y＝x2+4x﹣1＝（x+2）2﹣5，
∴拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝﹣2，頂點為（﹣2，﹣5），
把y＝﹣5代入y＝3x+19，解得x＝﹣8，
若y1＝y(tǒng)2＝y(tǒng)3，x1＜x2＜x3，則﹣8＜x1＜﹣5，x2+x3＝﹣4，
∴﹣12＜x1+x2+x3＜﹣9，
故選：A．
5．（2023?濟(jì)南）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對于點P（x1，y1），當(dāng)點Q（x2，y2）滿足2（x1+x2）＝y(tǒng)1+y2時，稱點Q（x2，y2）是點P（x1，y1）的“倍增點”．已知點P1（1，0），有下列結(jié)論：
①點Q1（3，8），Q2（﹣2，﹣2）都是點P1的“倍增點”；
②若直線y＝x+2上的點A是點P1的“倍增點”，則點A的坐標(biāo)為（2，4）；
③拋物線y＝x2﹣2x﹣3上存在兩個點是點P1的“倍增點”；
④若點B是點P1的“倍增點”，則P1B的最小值是；
其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（）
A．1B．2C．3D．4
【分析】依據(jù)題意，由“倍增點”的意義進(jìn)行計算進(jìn)而判斷①；設(shè)滿足題意得“倍增點”A為（x，x+2），從而可以求得A（0，2），進(jìn)而可以判斷②；設(shè)拋物線上的“倍增點”為（x，x2﹣2x﹣3），從而建立方程求得解，可以判斷③；設(shè)B（x，y），再由倍增點的意義得出y＝2（x+1），再利用兩點間的距離公式表示出P1B，然后利用配方可以判斷④，從而可以得解．
【解答】解：依據(jù)題意，由“倍增點”的意義，
∵2（1+3）＝8+0，2（1﹣2）＝﹣2+0，
∴點Q1（3，8），Q2（﹣2，﹣2）都是點P1的“倍增點”．
∴①正確．
對于②，由題意，可設(shè)滿足題意得“倍增點”A為（x，x+2），
∴2（x+1）＝x+2+0．
∴x＝0．
∴A（0，2）．
∴②錯誤．
對于③，可設(shè)拋物線上的“倍增點”為（x，x2﹣2x﹣3），
∴2（x+1）＝x2﹣2x﹣3．
∴x＝5或﹣1．
∴此時滿足題意的“倍增點”有（5，12），（﹣1，0）兩個．
∴③正確．
對于④，設(shè)B（x，y），
∴2（x+1）＝y(tǒng)+0．
∴y＝2（x+1）．
∴P1B＝＝＝．
∴當(dāng)x＝﹣時，P1B有最小值為．
∴④正確．
故選：C．
6．（2023?岳陽）若一個點的坐標(biāo)滿足（k，2k），我們將這樣的點定義為“倍值點”．若關(guān)于x的二次函數(shù)y＝（t+1）x2+（t+2）x+s（s，t為常數(shù)，t≠﹣1）總有兩個不同的倍值點，則s的取值范圍是（）
A．s＜﹣1B．s＜0C．0＜s＜1D．﹣1＜s＜0
【分析】將（k，2k）代入二次函數(shù)，得（t+1）k2+tk+s＝0，是關(guān)于k的二次方程．若它總有兩個不同的實根，必有Δ＝t2﹣4s（t+1）＞0．t2﹣4s（t+1）是關(guān)于t的一元二次方程，其圖象開口向上，若它恒大于0，則與x軸無交點，故有Δ＝（4s）2+16s＝16s2+16s＜0，解此一元二次不等式即可．
【解答】解：將（k，2k）代入二次函數(shù)，得2k＝（t+1）k2+（t+2）k+s，整理得（t+1）k2+tk+s＝0．
∵（t+1）k2+tk+s＝0是關(guān)于k的一元二次方程，總有兩個不同的實根，
∴Δ＝t2﹣4s（t+1）＞0．
令f（t）＝t2﹣4s（t+1）＝t2﹣4st﹣4s
∵f（t）＞0，
∴Δ＝（4s）2+16s＝16s2+16s＜0，
即Δ＝s（s+1）＜0，解得0＞s＞﹣1．
故選：D．
7．（2023?麗水）已知點（﹣m，0）和（3m，0）在二次函數(shù)y＝ax2+bx+3（a，b是常數(shù)，a≠0）的圖象上．
（1）當(dāng)m＝﹣1時，求a和b的值；
（2）若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（n，3）且點A不在坐標(biāo)軸上，當(dāng)﹣2＜m＜﹣1時，求n的取值范圍；
（3）求證：b2+4a＝0．
【分析】（1）當(dāng)m＝﹣1時，二次函數(shù)y＝ax2+bx+3圖象過點（1，0）和（﹣3，0），用待定系數(shù)法可得a的值是﹣1，b的值是﹣2；
（2）y＝ax2+bx+3圖象過點（﹣m，0）和（3m，0），可知拋物線的對稱軸為直線x＝m，而y＝ax2+bx+3的圖象過點A（n，3），（0，3），且點A不在坐標(biāo)軸上，可得m＝，根據(jù)﹣2＜m＜﹣1，即得﹣4＜n＜﹣2；
（3）由拋物線過（﹣m，0），（3m，0），可得﹣＝m，b＝﹣2am，把（﹣m，0），（3m，0）代入y＝ax2+bx+3變形可得am2+1＝0，故b2+4a＝（﹣2am）2+4a＝4a（am2+1）＝4a×0＝0．
【解答】（1）解：當(dāng)m＝﹣1時，二次函數(shù)y＝ax2+bx+3圖象過點（1，0）和（﹣3，0），
∴，
∴解得，
∴a的值是﹣1，b的值是﹣2；
（2）解：∵y＝ax2+bx+3圖象過點（﹣m，0）和（3m，0），
∴拋物線的對稱軸為直線x＝m，
∵y＝ax2+bx+3的圖象過點A（n，3），（0，3），且點A不在坐標(biāo)軸上，
∴由圖象的對稱性得n＝2m，
∴m＝，
∵﹣2＜m＜﹣1，
∴﹣2＜＜﹣1，
∴﹣4＜n＜﹣2；
（3）證明：∵拋物線過（﹣m，0），（3m，0），
∴拋物線對稱軸為直線x＝＝m，
∴﹣＝m，
∴b＝﹣2am，
把（﹣m，0），（3m，0）代入y＝ax2+bx+3得：
，
①×3+②得：12am2+12＝0，
∴am2+1＝0，
∴b2+4a＝（﹣2am）2+4a＝4a（am2+1）＝4a×0＝0．
【中考模擬練】
1．（2024?韓城市一模）已知二次函數(shù)y＝ax2+4ax+c（a＞0）圖象上的兩點（﹣5，y1）和（x2，y2），若y1＞y2，則x2的取值范圍是（）
A．x2＞﹣5B．x2＜﹣2C．﹣5＜x2＜1D．﹣5＜x2＜﹣2
【分析】由y＝ax2+4ax+c可知圖象開口向下，求出對稱軸，圖象上的點到對稱軸的距離越遠(yuǎn)，縱坐標(biāo)越?。?br>【解答】解：∵二次函數(shù)的解析式為y＝ax2+4ax+c，a＞0，
∴函數(shù)圖象開口向上，對稱軸為x＝﹣＝﹣2，
∵y1＞y2，
∴A（﹣5，y1）到對稱軸的距離分別為：3，
∵函數(shù)圖象開口向上，
∴圖象上的點到對稱軸的距離越遠(yuǎn)，縱坐標(biāo)越大，即函數(shù)值越大，
∴|x2﹣（﹣2）|＜3，
∴﹣5＜x2＜1
故選：C．
2．（2024?秀峰區(qū)校級模擬）二次函數(shù)（m為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點，，C（0，y3），則y1，y2，y3的大小關(guān)系是（）
A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y2＜y1＜y3D．y3＜y2＜y1
【分析】由拋物線解析式可知，拋物線的對稱軸為x＝﹣1，圖象開口向下，然后根據(jù)二次函數(shù)的對稱性和增減性即可得出結(jié)論．
【解答】解：∵y＝﹣x2﹣x+n，
∴拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝﹣＝﹣1，
∵二次函數(shù)y＝﹣x2﹣x+n的圖象經(jīng)過A（，y1）、B（﹣，y2）、C（0，y3）三點，
∴B（，y2）關(guān)于對稱軸的對稱點為（﹣2，y2），
∵﹣2＜0＜，
∴y1＜y3＜y2
故選：B．
3．（2024?龍湖區(qū)一模）如圖，在正方形ABCD中，點B、D的坐標(biāo)分別是（﹣1，﹣2）、（1，2），點C在拋物線y＝﹣x2+bx的圖象上，則b的值是（）
A．﹣B．C．﹣D．
【分析】作MN⊥x軸，BM⊥MN于M，DN⊥MN于N，利用三角形全等的即可得出C點坐標(biāo)，代入y＝﹣x2+bx即可得出b的值．
【解答】解：作MN⊥x軸，BM⊥MN于M，DN⊥MN于N，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ACD＝90°，BC＝DC，
∴∠BCM+∠DCN＝90°＝∠BCM+∠CBM，
∴∠DCN＝∠CBM，
∵∠BMC＝∠CND＝90°，
∴△CBM≌△DCN（AAS），
∴CN＝BM，DN＝CM，
設(shè)C（a，b），
∵點B、D的坐標(biāo)分別是（﹣1，﹣2）、（1，2），
∴，解得，
∴C（2，﹣1），
∵點C在拋物線y＝﹣x2+bx的圖象上，
∴﹣1＝﹣×4+2b，
∴b＝，
故選：D．
4．在平面直角坐標(biāo)系中，對點M（a，b）和點M′（a，b′）給出如下定義：若b′＝，則稱點M′（a，b′）是點M（a，b）的伴隨點．如：點A（1，﹣2）的伴隨點是A′（1，﹣6），B（﹣1，﹣2）的伴隨點是B′（﹣1，2）．若點Q（m，n）在二次函數(shù)y＝x2﹣4x﹣2的圖象上，則當(dāng)﹣2≤m＜5時，其伴隨點Q′（m，n′）的縱坐標(biāo)n′的值不可能是（）
A．﹣10B．﹣1C．1D．10
【分析】先根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出當(dāng)﹣2≤m＜0時，﹣2＜n≤10，當(dāng)0≤m＜5時，﹣6≤n＜3 進(jìn)而根據(jù)定義得到當(dāng)﹣2≤m＜0時，n′＝|n|，即0≤n′≤10，當(dāng)0＜m＜5時，n′＝n﹣4，即﹣10≤n′＜﹣1，由此即可得到答案．
【解答】解：∵二次函數(shù)解析式為 y＝x2﹣4x﹣2＝（x﹣2）2﹣6，
∴二次函數(shù)對稱軸為直線x＝2，頂點為（2，﹣6），
∵點Q（m，n）在二次函數(shù)y＝x2﹣4x﹣2的圖象上，﹣2≤m＜5，
∴當(dāng)﹣2≤m＜0時，n′＝|n|，當(dāng)0≤m＜5時，n′＝n﹣4，
∵當(dāng)x＝2時，y＝﹣6，
當(dāng)x＝﹣2時，y＝（﹣2）2﹣4×（﹣2）﹣2＝10，
當(dāng)x＝0時，y＝x2﹣4x﹣2＝﹣2，
當(dāng)x＝5時，y＝52﹣4×5﹣2＝3，
∴當(dāng)﹣2≤m＜0時，﹣2＜n≤10，則0＜n′≤10，
當(dāng)0≤m＜5時，﹣6≤n＜3，則﹣10≤n′＜﹣1；
故選：B．
5．（2024?浙江一模）對于給定的兩個函數(shù)，任取自變量x的一個值，當(dāng)x＜0時，它們對應(yīng)的函數(shù)值互為相反數(shù)；當(dāng)x≥0時，它們對應(yīng)的函數(shù)值相等，我們稱這樣的兩個函數(shù)互為“陰陽函數(shù)”．例如：一次函數(shù)y＝x+2，它的“陰陽函數(shù)”為y＝，若點P（m，2）在二次函數(shù)y＝x2+2x﹣3的“陰陽函數(shù)”的圖象上時，則m的值為（）
A．﹣1+或﹣1﹣B．
C．或D．
【分析】寫出二次函數(shù)y＝x2+2x﹣3的“陰陽函數(shù)”，代入計算．
【解答】解：二次函數(shù)y＝x2+2x﹣3的“陰陽函數(shù)”為y＝，
①當(dāng)m＜0時，將P（m，2）代入y＝﹣x2﹣2x+3得﹣m2﹣2m+3＝2，
解得：m＝﹣1+（舍去）或m＝﹣1﹣，
當(dāng)m≥0時，將P（m，2）代入y＝x2+2x﹣3得：m2+2m﹣3＝2，
解得：m＝﹣1+或m＝﹣1﹣（舍去）．
綜上所述：m＝﹣1﹣或m＝﹣1+．
故選：A．
6．（2024?綠園區(qū)一模）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點A（﹣1，0）和B（0，3），點P是拋物線上第一象限內(nèi)一動點，過點P作x軸的垂線，垂足為Q，則OQ+PQ的最大值為．
【分析】根據(jù)拋物線上點的坐標(biāo)特征，先求出拋物線解析式，再設(shè)P點坐標(biāo)為（m，﹣m2+2m+3），代入OQ+PQ后化為頂點式解答最值即可．
【解答】解：∵拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點A（﹣1，0）和B（0，3），
∴，解得，
∴拋物線解析式為：y＝﹣x2+2x+3，
設(shè)P點坐標(biāo)為（m，﹣m2+2m+3）（0＜m＜3），
∴OQ+PQ＝m﹣m2+2m+3＝﹣m2+3m+3＝﹣（m﹣）2+，
當(dāng)m＝時，OQ+PQ有最大值，最大值為．
故答案為：．
7．（2024?東營區(qū)校級一模）拋物線的圖象如圖所示，點A1，A2，A3，A4，…，A2024在拋物線第一象限的圖象上．點B1，B2，B3，B4，…，B2024在y軸的正半軸上，△OA1B1，△B1A2B2，…，△B2023A2024B2024都是等腰直角三角形，則B2023A2024＝．
【分析】設(shè)第一個等腰直角三角形的直角邊長為x，表示出點A1的坐標(biāo)，再代入二次函數(shù)的解析式求出x；設(shè)第二個等腰直角三角形的直角邊長為m，表示出A2的坐標(biāo)，代入二次函數(shù)的解析式求出m，同理求出第2024個等腰直角三角形的直角邊長，最后求出斜邊即可解答．
【解答】解：設(shè)A1B1＝x，
∵△OA1B1是等腰直角三角形，
∴OB1＝x，
∴A1的坐標(biāo)為（x，x），代入二次函數(shù)，則，解得x＝1或x＝0（舍），
設(shè)A2B2＝m，
∵△B1A2B2是等腰直角三角形，
∴B1B2＝m，
∴A2的坐標(biāo)為（m，1+m），代入二次函數(shù)，得，解得m＝2或m＝﹣1（舍），
同理可求出A3B3＝3，A4B4＝4，
∴B2024A2024＝2024，
根據(jù)勾股定理可得，
故答案為：．
題型03 拋物線與x軸的交點
【中考真題練】
1．（2023?甘孜州）下列關(guān)于二次函數(shù)y＝（x﹣2）2﹣3的說法正確的是（）
A．圖象是一條開口向下的拋物線
B．圖象與x軸沒有交點
C．當(dāng)x＜2時，y隨x增大而增大
D．圖象的頂點坐標(biāo)是（2，﹣3）
【分析】由二次函數(shù)解析式可得拋物線開口方向、對稱軸、頂點坐標(biāo)，與x軸的交點個數(shù)，由此解答即可．
【解答】解：A、∵a＝1＞0，圖象的開口向上，故此選項不符合題意；
B、∵y＝（x﹣2）2﹣3＝x2﹣4x+1，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×1＝12＞0，
即圖象與x軸有兩個交點，
故此選項不符合題意；
C、∵拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝2，
∴當(dāng)x＜2時，y隨x增大而減小，
故此選項不符合題意；
D、∵y＝（x﹣2）2﹣3，
∴圖象的頂點坐標(biāo)是（2，﹣3），
故此選項符合題意；
故選：D．
2．（2023?衡陽）已知m＞n＞0，若關(guān)于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解為x1，x2（x1＜x2），關(guān)于x的方程x2+2x﹣3﹣n＝0的解為x3，x4（x3＜x4）．則下列結(jié)論正確的是（）
A．x3＜x1＜x2＜x4B．x1＜x3＜x4＜x2
C．x1＜x2＜x3＜x4D．x3＜x4＜x1＜x2
【分析】畫出拋物線y＝x2+2x﹣3，直線y＝m，直線y＝n，根據(jù)一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系，觀察圖象可得答案．
【解答】解：關(guān)于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解為拋物線y＝x2+2x﹣3與直線y＝m的交點的橫坐標(biāo)，
關(guān)于x的方程x2+2x﹣3﹣n＝0的解為拋物線y＝x2+2x﹣3與直線y＝n的交點的橫坐標(biāo)，
如圖：
由圖可知，x1＜x3＜x4＜x2，
故選：B．
3．（2023?寧波）已知二次函數(shù)y＝ax2﹣（3a+1）x+3（a≠0），下列說法正確的是（）
A．點（1，2）在該函數(shù)的圖象上
B．當(dāng)a＝1且﹣1≤x≤3時，0≤y≤8
C．該函數(shù)的圖象與x軸一定有交點
D．當(dāng)a＞0時，該函數(shù)圖象的對稱軸一定在直線x＝的左側(cè)
【分析】將點（1，2）代入拋物線的解析式即可對選項A進(jìn)行判斷；將a＝1代入拋物線的解析式求出頂點坐標(biāo)為（2，﹣1），據(jù)此可對選項B進(jìn)行判斷；令y＝0，則ax2﹣（3a+1）x+3＝0，然后判斷該方程判別式的符號即可對選項C進(jìn)行判斷；求出拋物線的解析式為：，然后根據(jù)a＞0得，據(jù)此可對選項C進(jìn)行判斷．
【解答】解：①對于y＝ax2﹣（3a+1）x+3，當(dāng)x＝1時，y＝a×12﹣（3a+1）×1+3＝2﹣2a
∵a≠0，
∴y＝2﹣2a≠2，
∴點A（1，2）不在該函數(shù)的圖象上，
故選項A不正確；
②當(dāng)a＝1時，拋物線的解析式為：y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴拋物線的頂點坐標(biāo)為（2，﹣1），
即當(dāng)x＝2時，y＝﹣1＜0，
故得選項B不正確；
③令y＝0，則ax2﹣（3a+1）x+3＝0，
∵Δ＝[﹣（3a+1）]2﹣4a×3＝（3a﹣1）2≥0，
∴該函數(shù)的圖象與x軸一定有交點，
故選項C正確；
④∵該拋物線的對稱軸為直線：，
又∵a＞0，
∴，
∴該拋物線的對稱軸一定在直線的右側(cè)，
故選項D不正確．
故選：C．
4．（2023?自貢）經(jīng)過A（2﹣3b，m），B（4b+c﹣1，m）兩點的拋物線y＝﹣x2+bx﹣b2+2c（x為自變量）與x軸有交點，則線段AB的長為（）
A．10B．12C．13D．15
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知＝﹣，再根據(jù)經(jīng)過A（2﹣3b，m），B（4b+c﹣1，m）兩點的拋物線y＝﹣x2+bx﹣b2+2c（x為自變量）與x軸有交點，可知Δ＝b2﹣4×（﹣）×（﹣b2+2c）≥0，然后可以得到b和c的關(guān)系，求出b和c的值，再根據(jù)點A和點B的坐標(biāo)，即可計算出線段AB長．
【解答】解：∵經(jīng)過A（2﹣3b，m），B（4b+c﹣1，m）兩點的拋物線y＝﹣x2+bx﹣b2+2c（x為自變量）與x軸有交點，
∴＝﹣，Δ＝b2﹣4×（﹣）×（﹣b2+2c）≥0，
∴b＝c+1，b2≤4c，
∴（c+1）2≤4c，
∴（c﹣1）2≤0，
∴c﹣1＝0，
解得c＝1，
∴b＝c+1＝2，
∴AB＝|（4b+c﹣1）﹣（2﹣3b）|
＝|4b+c﹣1﹣2+3b|
＝|7b+c﹣3|
＝|7×2+1﹣3|
|14+1﹣3|
＝12，
故選：B．
5．（2023?牡丹江）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點（﹣2，0），（3，0）．下列結(jié)論：
①＞0；②c＝2b；③若拋物線上有點（，y1），（﹣3，y2），（﹣，y3），則y2＜y1＜y3；④方程cx2+bx+a＝0的解為x1＝，x2＝﹣．其中正確的個數(shù)是（）
A．4B．3C．2D．1
【分析】由二次函數(shù)的圖象可判斷出個系數(shù)的符號，即可判斷①，由對稱軸可判斷②，然后根據(jù)增減性可判斷③，由根與系數(shù)的關(guān)系可判斷④．
【解答】解：∵拋物線的開口向下，與y軸交于正半軸，對稱軸在y軸右側(cè)，
∵a＜0，b＞0，c＞0，
∴①錯誤；
∵拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點（﹣2，0），（3，0）．
∴對稱軸為直線x＝，即﹣＝，
∴b＝﹣a，
∴a＝﹣b，
把（﹣2，0）代入解析式得4a﹣2b+c＝0，把a(bǔ)＝﹣b，
∴﹣4b﹣2b+c＝0，
∴c＝6b，故②錯誤；
∵拋物線開口向下，
∴越靠近對稱軸的點的函數(shù)值越大，
∴y2＜y1＜y3，故③正確；
a＝﹣b，c＝6b，選項④可變成6bx2+bx﹣b＝0，即6x2+x﹣1＝0；即可求出兩根，x2＝，
故④錯誤．
故選：D．
6．（2023?婁底）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸相交于點A（1，0）、點B（3，0），與y軸相交于點C，點D在拋物線上，當(dāng)CD∥x軸時，CD＝ 4 ．
【分析】先根據(jù)點A和點B的坐標(biāo)求出該拋物線的對稱軸，再根據(jù)二次函數(shù)具有對稱性，即可得到點D的橫坐標(biāo)，從而可以求得CD的長．
【解答】解：∵拋物線y＝ax2+bx+c與x軸相交于點A（1，0）、點B（3，0），
∴該拋物線的對稱軸為直線x＝＝2，
∵拋物線與y軸相交于點C，點D在拋物線上，CD∥x軸，
∴點D的橫坐標(biāo)為：2×2﹣0＝4，
∴CD＝4﹣0＝4，
故答案為：4
7．（2023?巴中）規(guī)定：如果兩個函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，那么稱這兩個函數(shù)互為“Y函數(shù)”．例如：函數(shù)y＝x+3與y＝﹣x+3互為“Y函數(shù)”．若函數(shù)y＝x2+（k﹣1）x+k﹣3的圖象與x軸只有一個交點，則它的“Y函數(shù)”圖象與x軸的交點坐標(biāo)為（3，0）或（4，0）．
【分析】根據(jù)關(guān)于y軸對稱的圖形的對稱點的坐標(biāo)特點，分情況討論求出它的“Y函數(shù)”圖象與x軸的交點坐標(biāo)．
【解答】解：當(dāng)k＝0時，函數(shù)解析式為y＝﹣x﹣3，
它的“Y函數(shù)”解析式為y＝x﹣3，它們的圖象與x軸都只有一個交點，
∴它的“Y函數(shù)”圖象與x軸的交點坐標(biāo)為（3，0）；
當(dāng)k≠0時，此函數(shù)為二次函數(shù)，
若二次函數(shù)的圖象與x軸只有一個交點，
則二次函數(shù)的頂點在x軸上，
即，
解得k＝﹣1，
∴二次函數(shù)的解析式為＝，
∴它的“Y函數(shù)”解析式為，
令y＝0，
則，
解得x＝4，
∴二次函數(shù)的“Y函數(shù)”圖象與x軸的交點坐標(biāo)為（4，0），
綜上，它的“Y函數(shù)”圖象與x軸的交點坐標(biāo)為（3，0）或（4，0）．
故答案為：（3，0）或（4，0）．
8．（2023?郴州）已知拋物線y＝x2﹣6x+m與x軸有且只有一個交點，則m＝ 9 ．
【分析】利用判別式Δ＝b2﹣4ac＝0即可得出結(jié)論．
【解答】解：∵拋物線y＝x2﹣6x+m與x軸有且只有一個交點，
∴方程x2﹣6x+m＝0有唯一解．
即Δ＝b2﹣4ac＝36﹣4m＝0，
解得：m＝9．
故答案為：9．
9．（2023?赤峰）如圖，拋物線y＝x2﹣6x+5與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，點D（2，m）在拋物線上，點E在直線BC上，若∠DEB＝2∠DCB，則點E的坐標(biāo)是和．
【分析】先根據(jù)題意畫出圖形，先求出D點坐標(biāo)，當(dāng)E點在線段BC上時：∠DEB 是△DCE 的外角，∠DEB＝2∠DCB，而∠DEB＝∠DCE+∠CDE，所以此時∠DCE＝∠CDE，有 CE＝DE，可求出BC 所在直線的解析式y(tǒng)＝﹣x+5，設(shè)E點（a，﹣a+5）坐標(biāo)，再根據(jù)兩點距離公式，CE＝DE，得到關(guān)于a的方程，求解a的值，即可求出E點坐標(biāo)；當(dāng)E點在線段CB的延長線上時，根據(jù)題中條件，可以證明 BC2+BD2＝DC2 得到∠DBC為直角三角形，延長EB至E′，取BE′＝BE，此時，∠DE'E＝∠DEE'＝2∠DCB，從而證明E′是要找的點，應(yīng)為 OC＝OB，△OCB 為等腰直角三角形，點E和E′關(guān)于B點對稱，可以根據(jù)E點坐標(biāo)求出E′點坐標(biāo)．
【解答】解：根據(jù)D點坐標(biāo)，有m＝22﹣6×2+5＝﹣3，所，以D點坐標(biāo)（2，﹣3），
設(shè)BC所在直線解析式為 y＝kx+b，其過點C（0，5）、B（5，0），
，
解得，
BC所在直線的解析式為：y＝﹣x+5，
當(dāng)E點在線段BC上時，設(shè)E（a，﹣a+5），∠DEB＝∠DCE+∠CDE，而∠DEB＝2∠DCB，
∴∠DCE＝∠CDE，
∴CE＝DE，
因為E（a，﹣a+5），C（0，5），D（2，﹣3），
有，
解得：，，所以E點的坐標(biāo)為：，
當(dāng)E在CB的延長線上時，
在△BDC中，BD2＝（5﹣2）2+32＝18，
BC2＝52+52＝50，DC2＝（5+3）2+22＝68，
BD2+BC2＝DC2，
∴BD⊥BC 如圖延長EB至 E'，取 BE'＝BE，
則有△DEE'為等腰三角形，DE＝DE'，
∴∠DEE′＝∠DE′E，
又∵∠DEB＝2∠DCB，
∴∠DE′E＝2∠DCB，
則E′為符合題意的點，
∵OC＝OB＝5，∠OBC＝45°，
E′的橫坐標(biāo)：，縱坐標(biāo)為；
綜上E點的坐標(biāo)為：和．
10．（2023?宜賓）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點A（﹣3，0），頂點為M（﹣1，m），且拋物線與y軸的交點B在（0，﹣2）與（0，﹣3）之間（不含端點），則下列結(jié)論：①當(dāng)﹣3≤x≤1時，y≤0；②當(dāng)△ABM的面積為時，a＝；③當(dāng)△ABM為直角三角形時，在△AOB內(nèi)存在唯一一點P，使得PA+PO+PB的值最小，最小值的平方為18+9．其中正確的結(jié)論是 ①② ．（填寫所有正確結(jié)論的序號）
【分析】①根據(jù)拋物線的對稱性可得：拋物線與x軸的另一個交點坐標(biāo)為（1，0），再結(jié)合拋物線的性質(zhì)可判斷結(jié)論①；
②將（﹣3，0），（1，0）代入y＝ax2+bx+c，可得b＝2a，c＝﹣3a，得出y＝ax2+2ax﹣3a＝a（x+1）2﹣4a，拋物線的頂點為M（﹣1，﹣4a），設(shè)拋物線對稱軸交x軸于H，利用S△ABM＝S△AMH+S梯形BMHO﹣S△AOB，建立方程求解即可判斷②；
③過點A、M分別作y軸、x軸的平行線交于點C，連接AM、AB、BM，則四邊形ACDO是矩形，根據(jù)△ABM為直角三角形，可得∠AMB＝90°或∠ABM＝90°，進(jìn)而可得利用相似三角形的判定和性質(zhì)求得a＝或1，將△BPA繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△BP′A′，連接PP′，過點A′作A′T⊥x軸于點T，作A′Q⊥y軸于點Q，可得△BPP′和△ABA′是等邊三角形，即AA′2＝A′B2＝AB2＝，由于PA+PO+PB＝P′A′+PO+PP′，可得當(dāng)點O，點P，點P′，點A′共線時，PA+PO+PB值最小，最小值為OA′，設(shè)A′（m，n），列方程組，求解即可求得m、n，再利用OA′2＝m2+n2，即可判斷③．
【解答】解：①∵拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點A（﹣3，0），頂點為M（﹣1，m），
∴拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1，
∴拋物線與x軸的另一個交點坐標(biāo)為（1，0），
∵拋物線的開口向上，
∴當(dāng)﹣3≤x≤1時，y≤0；故①正確．
②將（﹣3，0），（1，0）代入y＝ax2+bx+c，得，
解得：，
∴y＝ax2+2ax﹣3a＝a（x+1）2﹣4a，
∴拋物線的頂點為M（﹣1，﹣4a），
設(shè)拋物線對稱軸交x軸于H，如圖，
則H（﹣1，0），
∴AH＝﹣1﹣（﹣3）＝2，MH＝4a，OH＝1，
∵B（0，﹣3a），
∴OB＝3a，
∴S△ABM＝S△AMH+S梯形BMHO﹣S△AOB＝?AH?MH+?（MH+OB）?OH﹣OA?OB＝×2×4a+×（4a+3a）×1﹣×3×3a＝3a，
∵S△ABM＝，
∴3a＝，
∴a＝；故②正確．
③如圖，過點A、M分別作y軸、x軸的平行線交于點C，連接AM、AB、BM，
則四邊形ACDO是矩形，
∴∠C＝∠BDM＝∠AOB＝90°，
∵A（﹣3，0），B（0，﹣3a），M（﹣1，﹣4a），
∴AC＝OD＝4a，OA＝CD＝3，OB＝3a，BD＝a，DM＝1，CM＝2，
∵△ABM為直角三角形，∠BAM＜90°，
∴∠AMB＝90°或∠ABM＝90°，
若∠AMB＝90°，則∠AMC+∠BMD＝90°，
∵AC∥OD，OA∥DC，
∴四邊形ACDO是平行四邊形，
∵∠AOD＝90°，
∴?ACDO是矩形，
∴∠C＝∠BDM＝∠AOB＝90°，
∴∠AMC+∠MAC＝90°，
∴△AMC∽△MBD，
∴＝，即＝，
∴a2＝，
∵a＞0，
∴a＝；
若∠ABM＝90°，則∠ABO+∠MBD＝90°，
∵∠AOB＝∠BDM＝90°，
∴∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠MBD＝∠BAO，
∴△ABO∽△BMD，
∴＝，即＝，
∴a2＝1，
∵a＞0，
∴a＝1；
∵點B在（0，﹣2）與（0，﹣3）之間（不含端點），
∴﹣3＜﹣3a＜﹣2，
∴＜a＜1，
∴a＝，
∴OB＝，AB2＝，
如圖，將△BPA繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△BP′A′，連接PP′，過點A′作A′T⊥x軸于點T，作A′Q⊥y軸于點Q，
∴BP＝BP′，PA＝P′A′，∠PBP′＝∠ABA′＝60°，
∴△BPP′和△ABA′是等邊三角形，
∴BP＝PP′，AA′2＝A′B2＝AB2＝，
∴PA+PO+PB＝P′A′+PO+PP′，
∴當(dāng)點O，點P，點P′，點A′共線時，PA+PO+PB值最小，最小值為OA′，
此時∠APB＝∠APO＝∠BPO＝120°，
設(shè)A′（m，n），
則A′T＝﹣n，AT＝﹣3﹣m，A′Q＝﹣m，BQ＝﹣n﹣，
在Rt△AA′T中，AT2+A′T2＝AA′2，
在Rt△BA′Q中，BQ2+A′Q2＝A′B2，
即，
解得：，
∴OA′2＝m2+n2＝（）2+（）2＝，
故③錯誤；
故答案為：①②．
【中考模擬練】
1．（2024?太原模擬）關(guān)于二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3的圖象，下列說法正確的是（）
A．開口向下B．對稱軸為直線x＝﹣1
C．與y軸交于點（0，3）D．與x軸有兩個交點
【分析】先將函數(shù)解析式化為頂點式和交點式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷各個選項中的說法是否正確，本題得以解決．
【解答】解：∵二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4＝（x﹣3）（x+1），
∴該函數(shù)圖象開口向上，故選項A錯誤，不符合題意；
對稱軸為直線x＝1，故選項B錯誤，不符合題意；
與y軸的交點坐標(biāo)為（0，﹣3），故選項C錯誤，不符合題意；
與x軸有兩個交點，故選項D正確，符合題意；
故選：D．
2．（2024?西安校級模擬）已知拋物線y＝ax2+bx+3（a＜0）與x軸交于A（1，0），B（﹣3，0）兩點，與y軸交于點C．若點P在拋物線的對稱軸上，線段PA繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°后，點A的對應(yīng)點A′恰好也落在此拋物線上，則點P的坐標(biāo)為（）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，﹣1）
C．（﹣1，1）或（﹣1，﹣2）D．（﹣1，﹣1）或（﹣1，2）
【分析】依據(jù)題意，把A（1，0），B（﹣3，0）代入y＝ax2+bx+3，求出a，b可得解析式，再由拋物線的對稱軸為x＝﹣1，當(dāng)P點在x軸上方時，過點A'作A'M⊥x＝﹣1交于點M，證明△MPC≌△QAP（AAS），則PQ＝1，求得P（﹣1，1）；當(dāng)P點在x軸下方時，△APA'為等腰直角三角形，求得AQ＝2，則P（﹣1，﹣2）．
【解答】解：由題意，把A（1，0），B（﹣3，0）代入y＝ax2+bx+3，
得，
解得：，
∴y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4．
∴對稱軸是直線x＝﹣1．
當(dāng)P點在x軸上方時，如圖1，
過點A'作A'M⊥x＝﹣1交于點M，
∵∠APA'＝90°，
∴∠MPA'+∠MCP＝90°，∠MPC+∠APQ＝90°，
∴∠MCP＝∠APQ，
∵AP＝A'P，
∴△MPA'≌△QAP（AAS），
∴MP＝AQ＝2，MA'＝PQ，
設(shè)PQ＝m，則MA'＝m，MQ＝m+2，
∴A'（﹣1+m，m+2），
∵A'在拋物線上，
∴﹣（﹣1+m）2＝2（﹣1+m）+3＝m+2，
∴m＝﹣2（舍）或m＝1，
∴P（﹣1，1），此時點A'與點C重合；
當(dāng)P點在x軸下方時，如圖2，
∵AP＝A'P，∠APA'＝90°，
∴△APA'為等腰直角三角形，
∴AQ＝PQ，
∴PQ＝AQ＝2，
∴P（﹣1，﹣2）；
綜上所述：P點坐標(biāo)為（﹣1，1）或（﹣1，﹣2）．
故選：C．
3．（2024?郾城區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系中，點O為坐標(biāo)原點，拋物線y＝x2+2x﹣3與y軸交于點A，與x軸負(fù)半軸交于點B，連接AB．將Rt△OAB向左上方平移，得到RtΔO′A′且點O′A′落在拋物線的對稱軸上，點B′落在拋物線上，則直線A′B′的表達(dá)式為（）
A．y＝﹣xB．y＝﹣x+1C．y＝x+1D．y＝x+3
【分析】求得A、B的坐標(biāo)以及拋物線的對稱軸，根據(jù)題意設(shè)出A′（﹣1，n），則B′（﹣4，n+3），把B′（﹣4，n+3）代入拋物線解析式求得n，即可求得A′、B′的坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得直線A'B'的表達(dá)式．
【解答】解：如圖，∵拋物線y＝x2+2x﹣3與y軸交于點A，與x軸正半軸交于點B
令y＝0，解得x＝﹣3或1，
令x＝0，求得y＝﹣3，
∴B（﹣3，0），A（0，﹣3），
∵拋物線y＝x2+2x﹣3的對稱軸為直線x＝﹣＝﹣1，
∴A′的橫坐標(biāo)為﹣1，
設(shè)A′（﹣1，n），則B′（﹣4，n+3），
∵點B'落在拋物線上，
∴n+3＝16﹣8﹣3，解得n＝2，
∴A′（﹣1，2），B′（﹣4，5），
設(shè)直線A'B'的表達(dá)式為y＝kx+b，
∴，
解得，
∴直線A'B'的表達(dá)式為y＝﹣x+1，
故選：B．
4．（2024?寧波模擬）已知ac≠0，若二次函數(shù)y1＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于兩個不同的點A（x1，0），B（x2，0），二次函數(shù)y2＝cx2+bx+a的圖象與x軸交于兩個不同的點C（x3，0），D（x4，0），則（）
A．x1+x2+x3+x4＝1B．x1x2x3x4＝1
C．D．
【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到：x1+x2＝﹣，x1?x2＝，x3+x4＝﹣，x3?x4＝，然后代入求值即可．
【解答】解：∵ac≠0，二次函數(shù)y1＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于兩個不同的點A（x1，0），B（x2，0），二次函數(shù)y2＝cx2+bx+a的圖象與x軸交于兩個不同的點C（x3，0），D（x4，0），
∴關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0和cx2+bx+a＝0的根分別是：x1、x2、x3、x4．
∴x1+x2＝﹣，x1?x2＝，x3+x4＝﹣，x3?x4＝．
則：A、x1+x2+x3+x4＝﹣﹣＝﹣，所以等式x1+x2+x3+x4＝1不一定成立，不符合題意；
B、x1x2x3x4＝?＝1，符合題意；
C、＝＝，所以等式不一定成立，不符合題意；
D、＝＝，所以等式不一定成立，不符合題意；
故選：B．
5．（2024?莘縣一模）如圖，一段拋物線y＝﹣x2+6x（0≤x≤6），記為拋物線C1，它與x軸交于點O、A1；將拋物線C1繞點A1旋轉(zhuǎn)180°得拋物線C2，交x軸于點A2；將拋物線C2繞點A2旋轉(zhuǎn)180°得拋物線C3，交x軸于點A3；…如此進(jìn)行下去，得到一條“波浪線”，若點M（2020，m）在此“波浪線”上，則m的值為（）
A．﹣6B．6C．﹣8D．8
【分析】根據(jù)題意可以得到：整個函數(shù)圖象每隔6×2＝12個單位長度，函數(shù)值就相等，而2020＝12×168+4，由此即可計算．
【解答】解：由y＝﹣x2+6x（0≤x≤6），結(jié)合函數(shù)圖象觀察整個函數(shù)圖象得到每隔6×2＝12個單位長度，函數(shù)值就相等，
又因為2020＝12×168+4，
所以m的值等于x＝4時的縱坐標(biāo)，
所以m＝﹣42+6×4＝8．
故選：D．
6．（2024?遼寧模擬）如圖，拋物線y＝﹣x+3與x軸相交于A，B兩點．點C的坐標(biāo)為（，0），點P在拋物線上，將線段PC繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PD，當(dāng)點D落在y軸正半軸上時，點D的坐標(biāo)為（0，）．
【分析】過點P作PM⊥x軸于點M，PN⊥y軸于點N，可證明△PND≌△PMC，則P（x，x），將P點代入拋物線解析式，即可求得P點坐標(biāo)，進(jìn)一步求得DN＝CM，即可求得點D的坐標(biāo)．
【解答】解：令y＝0，則﹣x+3＝0，
解得x＝﹣2或x＝3，
∴A（﹣2，0），B（3，0），
過點P作PM⊥x軸于點M，PN⊥y軸于點N，
∴∠MPN＝90°，
∵∠CPD＝90°，
∴∠NPD＝∠MPC，
∵CP＝PD，∠OND＝∠PMC＝90°，
∴△PND≌△PMC（AAS），
∴PN＝PM，DN＝CM，
∴P（x，x），
∴x＝﹣x+3，即x2+x﹣6＝0，
解得x＝2或x＝﹣3（舍去），
∴P（2，2），
∴PN＝OM＝2，PM＝ON＝2，
∵點C的坐標(biāo)為（，0），
∴DN＝CM＝2﹣＝，
∴OD＝2+＝，
∴D（0，）．
故答案為：（0，）．
7．（2024?徐州模擬）如圖，拋物線y＝x2﹣2x+k與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C（0，﹣3）．若拋物線y＝x2﹣2x+k上有點Q，使△BCQ是以BC為直角邊的直角三角形，則點Q的坐標(biāo)為（﹣2，5）或（1，﹣4）．
【分析】由于拋物線y＝x2﹣2x+k與y軸交于點C（0，﹣3），代入解析式中即可求出k，而△BCQ是以BC為直角邊的直角三角形，所以有兩種情況：
①若QC⊥BC與C，設(shè)經(jīng)過C點和Q點的直線可以表示為y＝mx﹣3，而直線BC的解析式利用待定系數(shù)法可以求出，然后利用QC⊥BC與C可以求出m，聯(lián)立直線CB、CQ的解析式組成方程組即可求出交點Q的坐標(biāo)；
②若點B為直角定點，那么利用同樣的方法也可以求出Q的坐標(biāo)．
【解答】解：∵拋物線y＝x2﹣2x+k與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C（0，﹣3）．
∴y＝x2﹣2x﹣3，B點坐標(biāo)為（3，0），
假設(shè)存在一點Q，則QC⊥BC與C，
設(shè)經(jīng)過C點和Q點的直線可以表示為：y＝mx﹣3，
而直線BC可以表示為：y＝x﹣3，
∵QC⊥BC，
∴m＝﹣1
∴直線CQ解析式為：y＝﹣x﹣3，
聯(lián)立方程組：，
解得x＝0或者x＝1，
舍去x＝0（與點C重合，應(yīng)舍去）的解，
從而可得點Q為（1，﹣4）；
同理如果點B為直角定點，同樣得到兩點（3，0）（同理舍去）和（﹣2，5），
從而可得：點Q的坐標(biāo)為：（1，﹣4）和（﹣2，5）．
題型04 二次函數(shù)與不等式（組）
【中考真題練】
1．（2023?新疆）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y1＝mx+n與拋物線y2＝ax2+bx﹣3相交于點A，B．結(jié)合圖象，判斷下列結(jié)論：①當(dāng)﹣2＜x＜3時，y1＞y2；②x＝3是方程ax2+bx﹣3＝0的一個解；③若（﹣1，t1），（4，t2）是拋物線上的兩點，則t1＜t2；④對于拋物線y2＝ax2+bx﹣3，當(dāng)﹣2＜x＜3時，y2的取值范圍是0＜y2＜5．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）
A．4個B．3個C．2個D．1個
【分析】①根據(jù)函數(shù)的圖象特征即可得出結(jié)論．
②根據(jù)二次函數(shù)與二次方程根的關(guān)系即可得出結(jié)論．
③將點（﹣2，5）、（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3得出解析式，再求出t的值即可得出結(jié)論．
④由圖象和③可得出二次函數(shù)的對稱軸，再根據(jù)二次函數(shù)的增減性以及二次函數(shù)圖象即得出y得取值范圍．
【解答】解：①∵直線y1＝mx+n與拋物線y2＝ax+bx﹣3相交于點A，B，
∴由圖象可知：當(dāng)﹣2＜x＜3時，直線y1＝mx+n在拋物線y2＝ax+bx﹣3的上方，
∴y1＞y2，
∴①正確．
②由圖象可知：拋物線y2＝ax+bx﹣3有兩個交點，
∴方程ax2+bx﹣3＝0有兩個不相等的實數(shù)根．
∴x＝3是方程ax2+bx﹣3＝0的一個解，
∴②正確．
③將點（﹣2，5）、（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3得：，
解得：，
∴拋物線解析式為y＝x2﹣2x﹣3，
當(dāng)x＝﹣1時，t1＝0，
當(dāng)x＝4時，t2＝5，
∴t1＜t2，
∴③正確．
④由③可知（﹣2，5）與點（4，5）關(guān)于對稱軸x對稱，
∴對稱軸x＝＝1．
將x＝1代入拋物線解析式得y＝﹣4，
∴當(dāng)﹣2＜x＜1時，﹣4＜y＜5．
當(dāng)﹣2＜x＜3時，﹣4≤y＜5．
∴④錯誤．
故選：B．
2．（2023?通遼）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點（x1，0），（2，0），其中0＜x1＜1 下列四個結(jié)論：①abc＜0；②a+b+c＞0；③2b+3c＜0；④不等式ax2+bx+c＜﹣x+c的解集為0＜x＜2．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）
A．1B．2C．3D．4
【分析】利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)依次判斷即可．
【解答】解：∵拋物線開口向上，對稱軸在y軸右邊，與y軸交于正半軸，
∴a＞0，b＜0，c＞0，
∴abc＜0，
∴①正確．
∵當(dāng)x＝1時，y＜0，
∴a+b+c＜0，
∴②錯誤．
∵拋物線過點（2，0），
∴4a+2b+c＝0，
∴b＝﹣2a﹣，a＝﹣，
∵a+b+c＜0，
∴a﹣2a﹣+c＜0，
∴2a﹣c＞0，
∴﹣b﹣c﹣c＞0，
∴﹣2b﹣3c＞0，
∴2b+3c＜0，
∴③正確．
如圖：
設(shè)y1＝ax2+bx+c，y2＝﹣x+c，
由圖知，y1＜y2時，0＜x＜2，
故④正確．
故選：C．
【中考模擬練】
1．（2024?江漢區(qū)一模）已知點A（x1，y1）在拋物線y1＝nx2﹣2nx+n上，點B（x2，y2）在直線y2＝﹣nx+n，當(dāng)n＞0時，下列判斷正確的是（）
A．當(dāng)x1＝x2＜1時，y1＜y2B．當(dāng)x1＝x2＞1時，y1＜y2
C．當(dāng)y1＝y(tǒng)2＞n時，x1＞x2D．當(dāng)y1＝y(tǒng)2＜n時，x1＞x2
【分析】由題意可知，拋物線y1＝nx2﹣2nx+n與直線y2＝﹣nx+n都恒過定點（1，0），與y軸的交點都為（0，n）．再結(jié)合圖象可得答案．
【解答】解：∵y1＝nx2﹣2nx+n＝n（x2﹣2x+1）＝n（x﹣1）2，y2＝﹣nx+n＝﹣n（x﹣1），
∴拋物線y1＝nx2﹣2nx+n與直線y2＝﹣nx+n都恒過定點（1，0），與y軸的交點都為（0，n）．
畫出大致圖象如下：
由圖可知，當(dāng)x1＝x2＜0時，y1＞y2，當(dāng)0＜x1＝x2＜1時，y1＜y2，當(dāng)x1＝x2＞1時，y1＞y2，當(dāng)y1＝y(tǒng)2＞n時，x1＞x2，
當(dāng)y1＝y(tǒng)2＜n時，若x1＜1，則x1＜x2；若x1＞1，則x1＞x2．
故C選項正確，符合題意．
故選：C．
2．（2024?永城市校級一模）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與y軸交于點A（0，2），其對稱軸是直線x＝，則不等式ax2+bx+c≤2的解集是（）
A．x≤0B．x≤﹣1或x≥2C．0≤x≤1D．x≤0或x≥1
【分析】由題意得，點A關(guān)于對稱軸對稱的點的坐標(biāo)為（1，2），則二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與直線y＝2的交點坐標(biāo)為（0，2），（1，2），結(jié)合圖象可得答案．
【解答】解：∵點A（0，2），拋物線的對稱軸是直線x＝，
∴點A關(guān)于對稱軸對稱的點的坐標(biāo)為（1，2），
∴二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與直線y＝2的交點坐標(biāo)為（0，2），（1，2），
∴不等式ax2+bx+c≤2的解集是x≤0或x≥1．
故選：D．
3．（2024?殷都區(qū)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y1＝mx+n與拋物線相交于點A，B．結(jié)合圖象，判斷下列結(jié)論：①當(dāng)﹣3＜x＜2時，y1＞y2；②x＝﹣3是方程ax2+bx﹣3＝0的一個解；③若（﹣4，t1），（1，t2）是拋物線上的兩點，則t1＞t2；④對于拋物線，當(dāng)﹣3＜x＜2時，y2的取值范圍是0＜y2＜5．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）
A．4個B．3個C．2個D．1個
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象即可判斷①②④；求出對稱軸，再由開口向上得到離對稱軸越遠(yuǎn)函數(shù)值越大，即可判斷③．
【解答】解：由函數(shù)圖象可知，當(dāng)一次函數(shù)圖象在二次函數(shù)圖象上方時，自變量的取值范圍為﹣3＜x＜2，
∴當(dāng)﹣3＜x＜2時，y1＞y2，故①正確；
∵二次函數(shù)與x軸的一個交點坐標(biāo)為當(dāng)（﹣3，0），
∴x＝﹣3是方程ax2+bx﹣3＝0的一個解，故②正確；
∵拋物線經(jīng)過（2，5），（﹣3，0）
∴4a+2b﹣3＝5，9a﹣3b﹣3＝0，
∴a＝1，b＝2，
∴拋物線對稱軸為直線，
∵函數(shù)開口向上，
∴離對稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越大，
∵﹣1﹣（﹣4）＝3＞1﹣（﹣1）＝2，
∴t1＞t2，故③正確；
由函數(shù)圖象可知，當(dāng)﹣3＜x＜2時，y2的取值范圍是不是0＜y2＜5，故④錯誤，
故選：B．
4．（2024?沭陽縣一模）如圖，拋物線y＝ax2+c與直線y＝mx+n交于A（﹣2，p），B（4，q）兩點，則不等式ax2+c＜mx+n的解集是 x＜﹣2或x＞4 ．
【分析】由圖象可得在點A左側(cè)或點B右側(cè)，拋物線在直線上方，根據(jù)點A，B坐標(biāo)求解．
【解答】解：∵點A，B橫坐標(biāo)分別為﹣2，4，
∴﹣2＜x＜4時，拋物線在直線下方，
∴ax2+c＜mx+n的解集是﹣2＜x＜4．
故答案為：﹣2＜x＜4．
5．（2024?玄武區(qū)校級模擬）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示．下列結(jié)論：
①2a+b＝0；②a+b+c＞0；③方程ax2+bx+c＝a有兩個不相等的實數(shù)根；④不等式a（x+1）2+b（x+1）+c＜0的解集是﹣2＜x＜2．
其中所有正確結(jié)論的序號是 ①③④ ．
【分析】先利用拋物線的對稱性得到拋物線的對稱軸為直線x＝1，則根據(jù)對稱軸方程可對①進(jìn)行判斷；利用x＝1時，y＜0可對②進(jìn)行判斷；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到a＞0，則拋物線y＝ax2+bx+c與直線y＝a有兩個公共點，從而可對③進(jìn)行判斷；利用拋物線與x軸的交點問題得到方程ax2+bx+c＝0的根為x1＝﹣1，x2＝3，把方程a（x+1）2+b（x+1）+c＝0看作關(guān)于（x+1）的一元二次方程，則x+1＝﹣1或x+1＝3，解得x1＝﹣2，x2＝2，然后寫出拋物線y＝a（x+1）2+b（x+1）+c在x軸下方所對應(yīng)的自變量的范圍即可．
【解答】解：∵拋物線與x軸的交點坐標(biāo)為（﹣1，0），（3，0），
∴拋物線的對稱軸為直線x＝1，
即﹣＝1，
∴2a+b＝0，所以①正確；
∵x＝1時，y＜0，
∴a+b+c＜0，所以②錯誤；
∵拋物線開口向上，
∴a＞0，
∴拋物線y＝ax2+bx+c與直線y＝a有兩個公共點，
即方程ax2+bx+c＝a有兩個不相等的實數(shù)根，所以③正確；
∵拋物線與x軸的交點坐標(biāo)為（﹣1，0），（3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的根為x1＝﹣1，x2＝3，
∴對于方程a（x+1）2+b（x+1）+c＝0有x+1＝﹣1或x+1＝3，
即方程a（x+1）2+b（x+1）+c＝0的解為x1＝﹣2，x2＝2，
∵y＝a（x+1）2+b（x+1）+c的開口向上，
∴當(dāng)﹣2＜x＜2時，y＜0，
即不等式a（x+1）2+b（x+1）+c＜0的解集是﹣2＜x＜2，所以④正確．
故答案為：①③④．
易錯點01：對于二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象：
形狀：拋物線；對稱軸：直線；頂點坐標(biāo)：；
其中拋物線的頂點坐標(biāo)的縱坐標(biāo)與一元二次方程解法中的公式法的表達(dá)式比較相似，需要重點加以區(qū)分；
易錯點02：拋物線的增減性問題，由a的正負(fù)和對稱軸同時確定，單一的直接說y隨x的增大而增大（或減?。┦遣粚Φ模仨氃诖_定a的正負(fù)后，附加一定的自變量x取值范圍；
解題大招：對于上的各個點，
當(dāng)時，拋物線開口向上，圖象有最低點，函數(shù)有最小值，哪個點離對稱軸越近，哪個點的縱坐標(biāo)越?。?br>當(dāng)時，拋物線開口向下，圖象有最高點，函數(shù)有最大值，哪個點離對稱軸越近，哪個點的縱坐標(biāo)越大；
易錯點：拋物線平移步驟：①將一般式轉(zhuǎn)化為頂點式，
②根據(jù)“左加右減（x），上加下減（整體）”來轉(zhuǎn)化平移所得函數(shù)解析式；
解題大招：的軸對稱變換規(guī)律
解題大招01：二次函數(shù)圖象與系數(shù)a、b、c的關(guān)系
a的特征與作用
b的特征與作用(a與b“左同右異”）
c的特征與作用
解題大招02：二次函數(shù)圖象題符號判斷類問題大致分為以下幾種基本情形∶
①a、b、c單個字母的判斷，a 由開口判斷，b由對稱軸判斷（左同右異），c由圖象與y軸交點判斷;
②含有a、b兩個字母時，考慮對稱軸;
③含有a、b、c三個字母，且a 和b系數(shù)是平方關(guān)系，給x取值，結(jié)合圖像判斷，
例如∶二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），
當(dāng)x=1時，y=a+b+c，
當(dāng)x=-1時，y=a-b+c，
當(dāng)x=2時，y=4a+2b+c
當(dāng)x=-2 時，y=4a-2b+c;
另：含有 a、b、c 三個字母，a和b系數(shù)不是平方關(guān)系，想辦法消掉一到兩個字母再判斷∶
④含有b2和 4ac，考慮頂點坐標(biāo)，或考慮△.
⑤其他類型，可考慮給x取特殊值，聯(lián)立方程進(jìn)行判斷;也可結(jié)合函數(shù)最值，圖像增減性進(jìn)行判斷。
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
m
1
n
1
p
…
解題大招：當(dāng)a＞0，拋物線開口向上，函數(shù)有最小值；當(dāng)a＜0，拋物線開口向下，函數(shù)有最大值；而函數(shù)的最值都是定點坐標(biāo)的縱坐標(biāo)。
解題大招：牢記一句話，“點在圖象上，點的坐標(biāo)符合其對應(yīng)解析式”，然后，和哪個幾何圖形結(jié)合，多想與之結(jié)合的幾何圖形的性質(zhì)；
易錯點01：求拋物線與x軸的交點，就是讓拋物線解析式的y=0，就得到了一元二次方程，而①一元二次
方程的解法、②根的判別式、③根與系數(shù)的關(guān)系等性質(zhì)也就分別對應(yīng)①拋物線與x軸交點橫坐標(biāo)、②交點個數(shù)、③交點橫坐標(biāo)與其對稱軸的關(guān)系的考點；
易錯點02：求拋物線與直線的交點時，聯(lián)立拋物線與直線的解析式，得新的一元二次方程時，上述結(jié)論與用法大多依然適用，使用時注意聯(lián)想和甄別。
解題大招01：當(dāng)拋物線與x軸相交、與直線相交時，只要有交點，就可以接著考察兩圖象的上下關(guān)系，進(jìn)而得不等式，根據(jù)圖象直接寫出不等式的解集。
解題大招02：由函數(shù)圖象直接寫出不等式解集的方法歸納：①根據(jù)圖象找出交點橫坐標(biāo)，②不等式中不等號開口朝向的一方，圖象在上方，對應(yīng)交點的左邊或右邊符合，則x取對應(yīng)一邊的范圍。

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