考點一：比例
學(xué)習(xí)比例、比例線段的性質(zhì)等知識是學(xué)習(xí)三角形相似的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)中考中很多省市也會把這個考點單獨出題考察，特別是黃金分割和平行線分線段成比例的基本性質(zhì)，都是經(jīng)常出現(xiàn)的小題，但這類題一般難度不大，掌握好易錯點，再仔細(xì)計算即可！
題型01 比例與比例線段
【中考真題練】
1．若＝，則ab＝（ ）
A．6B．C．1D．
2．（2023?甘孜州）若，則＝ ．
3．小慧同學(xué)在學(xué)習(xí)了九年級上冊“4.1 比例線段”3節(jié)課后，發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)內(nèi)容是一個逐步特殊化的過程，請在橫線上填寫適當(dāng)?shù)臄?shù)值，感受這種特殊化的學(xué)習(xí)過程．

【中考模擬練】
1．（2024?涼州區(qū)一模）下列各組數(shù)中，成比例的是（ ）
A．1，﹣2，﹣3，﹣6B．1，4，2，﹣8
C．5，6，2，3D．，，1，
2．（2024?汝南縣一模）如果2a＝5b，那么下列比例式中正確的是（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
3．（2023?望江縣模擬）下列各組中的四條線段成比例的是（ ）
A．3cm、5cm、6cm、9cmB．3cm、5cm、8cm、9cm
C．3cm、9cm、10cm、30cmD．3cm、6cm、7cm、9cm
4．（2024?涼州區(qū)一模）已知＝，則＝ ．
5．（2024?錦江區(qū)校級模擬）＝ ．
6．（2024?山陽縣一模）如圖，在小提琴的設(shè)計中蘊含著數(shù)學(xué)知識，AC，BC，AB各部分長度滿足BC2＝AC?AB，若小提琴的總長度AB為59cm，則琴身BC的長為 cm．
題型02 黃金分割
【中考真題練】
1．（2023?綿陽）黃金分割由于其美學(xué)性質(zhì)，受到攝影愛好者和藝術(shù)家的喜愛，攝影中有一種拍攝手法叫黃金構(gòu)圖法．其原理是：如圖，將正方形ABCD的底邊BC取中點E，以E為圓心，線段DE為半徑作圓，其與底邊BC的延長線交于點F，這樣就把正方形ABCD延伸為矩形ABFG，稱其為黃金矩形．若CF＝4a，則AB＝（ ）
A．（﹣1）aB．（﹣2）aC．（+1）aD．（+2）a
2．（2023?濟(jì)南）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，以點C為圓心，以BC為半徑作弧交AC于點D，再分別以B，D為圓心，以大于BD的長為半徑作弧，兩弧相交于點P，作射線CP交AB于點E，連接DE．以下結(jié)論不正確的是（ ）
A．∠BCE＝36°B．BC＝AE
C．D．
3．（2023?達(dá)州）如圖，樂器上的一根弦AB＝80cm，兩個端點A，B固定在樂器面板上，支撐點C是靠近點B的黃金分割點，支撐點D是靠近點A的黃金分割點，則支撐點C，D之間的距離為 cm．（結(jié)果保留根號）
4．（2023?黃石）關(guān)于x的一元二次方程x2+mx﹣1＝0，當(dāng)m＝1時，該方程的正根稱為黃金分割數(shù)．寬與長的比是黃金分割數(shù)的矩形叫做黃金矩形，希臘的巴特農(nóng)神廟采用的就是黃金矩形的設(shè)計；我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚的優(yōu)選法中也應(yīng)用到了黃金分割數(shù)．
（1）求黃金分割數(shù)；
（2）已知實數(shù)a，b滿足：a2+ma＝1，b2﹣2mb＝4，且b≠﹣2a，求ab的值；
（3）已知兩個不相等的實數(shù)p，q滿足：p2+np﹣1＝q，q2+nq﹣1＝p，求pq﹣n的值．

【中考模擬練】
1．（2024?東昌府區(qū)一模）如圖，線段AB上的點C滿足關(guān)系式：AC2＝BC?AB，且AB＝2，則AC的長為（ ）
A．或B．C．D．
2．（2024?昆明模擬）黃金分割是一個跨越數(shù)學(xué)、自然、藝術(shù)和設(shè)計領(lǐng)域的概念，各個領(lǐng)域中無處不在．黃金分割是指將一個整體分為兩部分，其中較大部分與整體部分的比值等于較小部分與較大部分的比值，其比值為，通常人們把這個數(shù)叫做黃金分割數(shù)．請估計的值在（ ）
A．0和之間B．和1之間C．1和之間D．和2之間
3．（2024?安州區(qū)二模）如圖，以線段AB為邊作正方形ABCD，取AD的中點E，連接BE，延長DA至F，使得EF＝BE，以AF為邊作正方形AFGH，則點H即是線段AB的黃金分割點．若記正方形AFGH的面積為S1，矩形HICB的面積為S2，則S1與S2的大小關(guān)系是（ ）
A．S1＞S2B．S1＜S2C．S1＝S2D．不能確定
4．（2024?大渡口區(qū)模擬）已知C是線段AB的黃金分割點（AC＞BC），則AC：AB＝（ ）
A．﹣1）：2B．+1）：2C．）：2D．）：2
5．（2024?高新區(qū)校級二模）“黃金分割”給人以美感，它在建筑、藝術(shù)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用．秦兵馬俑被譽為“世界第八大奇跡”，兵馬俑的眼睛到下巴的距離與頭頂?shù)较掳偷木嚯x之比約為，若如圖所示的兵馬俑頭頂?shù)较掳偷木嚯x為0.3m，則該兵馬俑的眼睛到下巴的距離為 m．
題型03 平行線分線段成比例
【中考真題練】
1．（2023?吉林）如圖，在△ABC中，點D在邊AB上，過點D作DE∥BC，交AC于點E．若AD＝2，BD＝3，則的值是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023?常州）小明按照以下步驟畫線段AB的三等分點：
這一畫圖過程體現(xiàn)的數(shù)學(xué)依據(jù)是（ ）
A．兩直線平行，同位角相等
B．兩條平行線之間的距離處處相等
C．垂直于同一條直線的兩條直線平行
D．兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例
3．（2023?北京）如圖，直線AD，BC交于點O，AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，F(xiàn)D＝2，則的值為 ．
4．（2023?岳陽）如圖，在⊙O中，AB為直徑，BD為弦，點C為的中點，以點C為切點的切線與AB的延長線交于點E．
（1）若∠A＝30°，AB＝6，則的長是 （結(jié)果保留π）；
（2）若＝，則＝ ．
【中考模擬練】
1．（2024?大渡口區(qū)模擬）如圖，AD∥BE∥CF，若DE＝7，DF＝21，AB＝6，則AC的長度是（ ）
A．12B．18C．15D．
2．（2024?香坊區(qū)一模）如圖，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC，BC上的點，DE∥BC，EF∥AB，且BF：FC＝3：4，AB＝14，則EF的長為（ ）
A．5B．6C．7D．8
3．（2024?新安縣一模）如圖，AB∥CD∥EF，AF與BE相交于點G，且DG＝2，DF＝10，＝，則AG的長為（ ）
A．2B．3C．4D．5
4．（2024?沭陽縣模擬）如圖，在△ABC中，D在AC邊上，AD：DC＝1：2，O是BD的中點，連接AO并延長交BC于點E，若BE＝1，則EC的長為（ ）
A．2B．2.5C．3D．4
5．（2024?海寧市校級模擬）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的高線，點E，F(xiàn)分別在AC，CD上，且∠1＝∠2．
（1）求證：AD∥EF．
（2）當(dāng)CE：AE＝3：5，CF＝6時，求BC的長．

考點二：相似三角形
相似三角形是中考數(shù)學(xué)中非常重要的一個考點，出題難度跨度很大，當(dāng)然，單獨出題時，相似三角形的性質(zhì)、判定、應(yīng)用大多以基礎(chǔ)和中等題為主。
題型01 相似三角形的判定與性質(zhì)
【中考真題練】
1．（2023?重慶）若兩個相似三角形周長的比為1：4，則這兩個三角形對應(yīng)邊的比是（ ）
A．1：2B．1：4C．1：8D．1：16
2．（2023?恩施州）如圖，在△ABC中，DE∥BC分別交AC，AB于點D，E，EF∥AC交BC于點F，，BF＝8，則DE的長為（ ）
A．B．C．2D．3
3．（2023?徐州）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝2，D為AB的中點．若點E在邊AC上，且，則AE的長為（ ）
A．1B．2C．1或D．1或2
4．如圖，在?ABCD中，F(xiàn)是AD上一點，CF交BD于點E，CF的延長線交BA的延長線于點G，EF＝1，EC＝3，則GF的長為（ ）
A．4B．6C．8D．10
5．（2023?德州）如圖，A，B，C，D是⊙O上的點，AB＝AD，AC與BD交于點E，AE＝3，EC＝5，BD＝4，⊙O的半徑為（ ）
A．6B．C．5D．2
6．（2023?紹興）如圖，在△ABC中，D是邊BC上的點（不與點B，C重合）．過點D作DE∥AB交AC于點E；過點D作DF∥AC交AB于點F，N是線段BF上的點，BN＝2NF，M是線段DE上的點，DM＝2ME．若已知△CMN的面積，則一定能求出（ ）
A．△AFE的面積 B．△BDF的面積C．△BCN的面積 D．△DCE的面積
7．（2023?江西）《周髀算經(jīng)》中記載了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指兩條邊呈直角的曲尺（即圖中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可測量物體的高度．如圖，點A，B，Q在同一水平線上，∠ABC和∠AQP均為直角，AP與BC相交于點D．測得AB＝40cm，BD＝20cm，AQ＝12m，則樹高PQ＝ m．
8．（2023?懷化）在平面直角坐標(biāo)系中，△AOB為等邊三角形，點A的坐標(biāo)為（1，0）．把△A0B按如圖所示的方式放置，并將△AOB進(jìn)行變換：第一次變換將△AOB繞著原點O順時針旋轉(zhuǎn)60°，同時邊長擴(kuò)大為△AOB邊長的2倍，得到△A1OB1；第二次旋轉(zhuǎn)將△A1OB1繞著原點O順時針旋轉(zhuǎn)60°，同時邊長擴(kuò)大為△A1OB1邊長的2倍，得到△A2OB2，…．依次類推，得到△A2023OB2023，則△A2023OB2023的邊長為 ，點A2023的坐標(biāo)為 ．
9．（2023?無錫）如圖，平行四邊形ABCD中，E、F分別為BC、CD的中點，AF與DE相交于點G，則DG：EG＝ ．
10．（2023?廣東）邊長分別為10，6，4的三個正方形拼接在一起，它們的底邊在同一直線上（如圖），則圖中陰影部分的面積為 ．
11．（2023?常德）如圖1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D是AB上一點，且AD＝2，過點D作DE∥BC交AC于E，將△ADE繞A點順時針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置．則圖2中的值為 ．
12．（2023?湘潭）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜邊BC上的高．
（1）證明：△ABD∽△CBA；
（2）若AB＝6，BC＝10，求BD的長．
13．（2023?上海）如圖，在梯形ABCD中AD∥BC，點F，E分別在線段BC，AC上，且∠FAC＝∠ADE，AC＝AD．
（1）求證：DE＝AF；
（2）若∠ABC＝∠CDE，求證：AF2＝BF?CE．
14．（2023?泰安）如圖，△ABC和△CDE均是等腰直角三角形，EF⊥AD；
（1）當(dāng)AF＝DF時，求∠AED；
（2）求證：△EHG∽△ADG；
（3）求證：．

【中考模擬練】
1．（2024?揭東區(qū)一模）如圖，正方形ABCD中，E為AB的中點，AF⊥DE于點O，則等于（ ）
A．B．C．D．
2．（2024?蕭縣一模）如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC上的點，且DE⊥EF，若，則＝（ ）
A．1B．C．D．
3．（2024?平房區(qū)一模）如圖，DE∥BC，EF∥AB，AC分別交DE、EF于點G、K，下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A．B．C．D．

4．（2024?石獅市模擬）如圖，在△ABC中，點D在AB邊上，DE∥BC，交AC于點E．若，且△ABC的面積為9，則△ADE的面積為 ．
5．（2024?交城縣一模）如圖，在菱形ABCD中，AB＝4，∠C＝120°，AE⊥BC于點E，對角線BD交AE于點F，則AF的長為 .
6．（2024?黃浦區(qū)二模）如圖，D是等邊△ABC邊BC上點，BD：CD＝2：3，作AD的垂線交AB、AC分別于點E、F，那么AE：AF＝ ．
7．（2024?東安縣一模）如圖，在△ABC中，D是AB上一點，連接CD，點E在CD上，連接BE，已知BD＝BE，且∠ACB＝∠BED．
（1）求證：△BEC∽△CDA；
（2）若BD＝4，DE＝3，BC＝5，求CE的長．
8．（2024?開原市一模），如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB是⊙O的直徑，點F在AB上，連接CF并延長，交⊙O于點D，連接BD，作BE⊥CD，垂足為 E．
（1）求證：△DBE∽△ABC；
（2）若AF＝2，求ED的長．
9．（2024?涼州區(qū)校級一模）已知，如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，對角線AC、BD相交于點E，且AC⊥BD．
（1）求證：CD2＝BC?AD；
（2）點F是邊BC上一點，連接AF，與BD相交于點G，如果∠BAF＝∠DBF，求證：．
10．（2024?惠城區(qū)模擬）把Rt△ABC和Rt△DEF按如圖（1）擺放（點C與E重合），點B、C（E）、F在同一條直線上．已知：∠ACB＝∠EDF＝90°，∠DEF＝45°，AC＝8cm，BC＝6cm，EF＝10cm．如圖（2），△DEF從圖（1）的位置出發(fā)，以1cm/s的速度沿CB向△ABC勻速移動，在△DEF移動的同時，點P從△ABC的頂點A出發(fā)，以2cm/s的速度沿AB向點B勻速移動；當(dāng)點P移動到點B時，點P停止移動，△DEF也隨之停止移動．DE與AC交于點Q，連接PQ，設(shè)移動時間為t（s）．
（1）用含t的代數(shù)式表示線段AP和AQ的長，并寫出t的取值范圍；
（2）連接PE，設(shè)四邊形APEQ的面積為y（cm2），試探究y的最大值；
（3）當(dāng)t為何值時，△APQ是等腰三角形．
題型02 相似三角形的應(yīng)用
【中考真題練】
1．如圖，不等臂蹺蹺板AB的一端A碰到地面時，另一端B到地面的高度為60cm；當(dāng)AB的一端B碰到地面時，另一端A到地面的高度為90cm，則蹺蹺板AB的支撐點O到地面的高度OH是（ ）
A．36cmB．40cmC．42cmD．45cm
2．（2023?湖州）某數(shù)學(xué)興趣小組測量校園內(nèi)一棵樹的高度，采用以下方法：如圖，把支架（EF）放在離樹（AB）適當(dāng)距離的水平地面上的點F處，再把鏡子水平放在支架（EF）上的點E處，然后沿著直線BF后退至點D處，這時恰好在鏡子里看到樹的頂端A，再用皮尺分別測量BF，DF，EF，觀測者目高（CD）的長，利用測得的數(shù)據(jù)可以求出這棵樹的高度．已知CD⊥BD于點D，EF⊥BD于點F，AB⊥BD于點B，BF＝6米，DF＝2米，EF＝0.5米，CD＝1.7米，則這棵樹的高度（AB的長）是 米．
3．（2023?濰坊）在《數(shù)書九章》（宋?秦九韶）中記載了一個測量塔高的問題：如圖所示，AB表示塔的高度，CD表示竹竿頂端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB、CD、EF在同一平面內(nèi)，點A、C、E在一條水平直線上．已知AC＝20米，CE＝10米，CD＝7米，EF＝1.4米，人從點F遠(yuǎn)眺塔頂B，視線恰好經(jīng)過竹竿的頂端D，可求出塔的高度．根據(jù)以上信息，塔的高度為 米．
4．（2023?攀枝花）拜寺口雙塔，分為東西兩塔，位于寧夏回族自治區(qū)銀川市賀蘭縣拜寺口內(nèi)，是保存最為完整的西夏佛塔，已有近1000年歷史，是中國佛塔建筑史上不可多得的藝術(shù)珍品．某數(shù)學(xué)興趣小組決定采用我國古代數(shù)學(xué)家趙爽利用影子對物體進(jìn)行測量的原理，來測量東塔的高度．東塔的高度為AB，選取與塔底B在同一水平地面上的E、G兩點，分別垂直地面豎立兩根高為1.5m的標(biāo)桿EF和GH，兩標(biāo)桿間隔EG為46m，并且東塔AB、標(biāo)桿EF和GH在同一豎直平面內(nèi)．從標(biāo)桿EF后退2m到D處（即ED＝2m），從D處觀察A點，A、F、D在一直線上；從標(biāo)桿GH后退4m到C處（即CG＝4m），從C處觀察A點，A、H、C三點也在一直線上，且B、E、D、G、C在同一直線上，請你根據(jù)以上測量數(shù)據(jù)，幫助興趣小組求出東塔AB的高度．
5．（2023?南京）如圖，玻璃桌面與地面平行，桌面上有一盞臺燈和一支鉛筆，點光源O與鉛筆AB所確定的平面垂直于桌面．在燈光照射下，AB在地面上形成的影子為CD（不計折射），AB∥CD．
（1）在桌面上沿著AB方向平移鉛筆，試說明CD的長度不變．
（2）桌面上一點P恰在點O的正下方，且OP＝36cm，PA＝18cm，AB＝18cm，桌面的高度為60cm．在點O與AB所確定的平面內(nèi)，將AB繞點A旋轉(zhuǎn)，使得CD的長度最大．
①畫出此時AB所在位置的示意圖；
②CD的長度的最大值為 cm．

【中考模擬練】
1．（2024?劍河縣校級模擬）如圖①，是生活中常見的人字梯，也稱折梯，用于在平面上方空間進(jìn)行工作的一類登高工具，因其使用時，左右的梯桿及地面構(gòu)成一個等腰三角形，看起來像一個“人”字，因而把它形 象的稱為“人字梯”．如圖②，是其工作示意圖，AB＝AC，拉桿EF∥BC，AE＝，EF＝0.35米，則兩梯桿跨度B、C之間距離為（ ）
A．2米B．2.1米C．2.5米D． 米
2．（2024?甘井子區(qū)一模）《孫子算經(jīng)》有首數(shù)學(xué)歌謠，意思是：有一根竹竿不知道有多長，直立后量出它在太陽下的影子長一丈五尺，同時直立一根一尺五寸的小標(biāo)桿（如圖所示），它的影長五寸（提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸），則竹竿的長為（ ）
A．四丈B．四丈五尺C．五丈D．五丈四尺
3．（2024?應(yīng)縣一模）如圖，這是一把折疊椅子及其側(cè)面的示意圖，線段AE和BD相交于點C，點F在AE的延長線上，測得AC＝30cm，BC＝40cm，CD＝24cm，EC＝18cm，若∠BAC＝60°，則∠DEF的度數(shù)為（ ）
A．120°B．125°C．130°D．135°
4．（2024?深圳模擬）如圖是凸透鏡成像示意圖，CD是蠟燭AB通過凸透鏡MN所成的虛像．已知蠟燭的高AB為5.4cm，蠟燭AB離凸透鏡MN的水平距離OB為6cm，該凸透鏡的焦距OF為10cm，AE∥OF，則像CD的高為（ ）
A．15cmB．14.4cmC．13.5cmD．9cm
5．（2024?化德縣校級模擬）如圖，在測量旗桿高度的數(shù)學(xué)活動中，小達(dá)同學(xué)在腳下放了一面鏡子，然后向后退，直到他剛好在鏡子中看到旗桿的頂部．若眼睛距離地面AB＝1.5米，同時量得BC＝2米，CD＝10米，則旗桿高度DE為（ ）
A．7.5米B．米C．7米D．9.5米
6．（2024?新昌縣一模）如圖1是某一遮陽篷支架從閉合到完全展開的一個過程，當(dāng)遮陽篷支架完全閉合時，支架的若干支桿可看作共線．圖2是遮陽篷支架完全展開時的一個示意圖，支桿MN固定在垂直于地面的墻壁上，支桿CE與水平地面平行，且G，F(xiàn)，B三點共線，在支架展開過程中四邊形ABCD始終是平行四邊形，展開時∠GHB為90度．
（1）若遮陽棚完全展開時，CE長2米，在與水平地面呈60°的太陽光照射下，CE在地面的影子有 米（影子完全落在地面）．
（2）長支桿與短支桿的長度比（即CE與AD的長度比）是 ．
7．（2024?長沙模擬）如圖，在某小區(qū)內(nèi)拐角處的一段道路上，有一兒童在C處玩耍，一輛汽車從被樓房遮擋的拐角另一側(cè)的A處駛來（CM⊥DM，BD⊥DM，BC與DM相交于點O），已知OM＝4米，CO＝5米，DO＝3米，AO＝米，則汽車從A處前行的距離AB＝ 米時，才能發(fā)現(xiàn)C處的兒童．
8．（2024?灞橋區(qū)校級模擬）如圖，為了估算河面的寬度，即EP的長，在離河岸D點2米遠(yuǎn)的B點，立一根長為1米的標(biāo)桿AB，在河對岸的岸邊有一塊高為2.5米的安全警示牌MF，警示牌的頂端M在河里的倒影為點N，即PM＝PN，兩岸均高出水平面1.25米，即DE＝FP＝1.25米，經(jīng)測量此時A、D、N三點在同一直線上，并且點M、F、P、N共線，點B、D、F共線，若AB、DE、MF均垂直于河面EP，求河寬EP是多少米？
9．（2024?鄞州區(qū)模擬）國旗上的每顆星都是標(biāo)準(zhǔn)五角星，圓圓對五角星進(jìn)行了較深入的研究：延長正五邊形的各邊直到不相鄰的邊相交，得到一個標(biāo)準(zhǔn)五角星．如圖，正五邊形ABCDE的邊BA、
DE的延長線相交于點F，∠EAF的平分線交EF于點M．
（1）求證：AE2＝EF?EM；
（2）若AF＝1，求AE的長．
題型03 位似變換
【中考真題練】
1．（2023?浙江）如圖，在直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個頂點分別為A（1，2），B（2，1），C（3，2），現(xiàn)以原點O為位似中心，在第一象限內(nèi)作與△ABC的位似比為2的位似圖形△A′B′C′，則頂點C′的坐標(biāo)是（ ）
A．（2，4）B．（4，2）C．（6，4）D．（5，4）
2．（2023?煙臺）如圖，在直角坐標(biāo)系中，每個網(wǎng)格小正方形的邊長均為1個單位長度，以點P為位似中心作正方形PA1A2A3，正方形PA4A5A6，…，按此規(guī)律作下去，所作正方形的頂點均在格點上，其中正方形PA1A2A3的頂點坐標(biāo)分別為P（﹣3，0），A1（﹣2，1），A2（﹣1，0），A3（﹣2，﹣1），則頂點A100的坐標(biāo)為（ ）
A．（31，34）B．（31，﹣34）C．（32，35）D．（32，0）
3．在方格圖中，以格點為頂點的三角形叫做格點三角形．在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，格點△ABC、△DEF成位似關(guān)系，則位似中心的坐標(biāo)為（ ）
A．（﹣1，0）B．（0，0）C．（0，1）D．（1，0）
4．（2023?鄂州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC與△A1B1C1位似，原點O是位似中心，且＝3．若A（9，3），則A1點的坐標(biāo)是 ．
5．（2023?長春）如圖，△ABC和△A'B'C'是以點O為位似中心的位似圖形，點A在線段OA′上．若OA：AA′＝1：2，則△ABC與△A'B'C'的周長之比為 ．
6．（2023?遼寧）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC的頂點坐標(biāo)分別是O（0，0），A（1，0），B（2，3），C（﹣1，2），若四邊形OA′B′C′與四邊形OABC關(guān)于原點O位似，且四邊形OA′B′C′的面積是四邊形OABC面積的4倍，則第一象限內(nèi)點B′的坐標(biāo)為 ．

【中考模擬練】
1．（2024?涼州區(qū)一模）如圖：△AOB與△A1OB1是以原點為位似中心的位似圖形，且位似比為1：3，點B的坐標(biāo)為（﹣1，2），則點B1的坐標(biāo)為（ ）
A．（2，﹣4）B．（﹣2，4）C．（3，﹣6）D．（3，6）
2．（2024?鞍山模擬）如圖，正方形網(wǎng)格圖中的△ABC與△A′B′C是位似關(guān)系圖，則位似中心是（ ）
A．點RB．點PC．點QD．點O
3．（2024?酒泉一模）如圖，四邊形ABCD與四邊形A′B′C′D′位似，點O是它們的位似中心，若OA：OA′＝2：3，則CD：C′D′的值為（ ）
A．1：2B．2：3C．2：5D．4：9
4．（2024?鄲城縣一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD與正方形BEFG是以原點O為位似中心的位似圖形，且相似比為1：3，點A、B、E在x軸上，若正方形BEFG的邊長為3，則D點坐標(biāo)為（ ）
A．（，1）B．（，1）C．（，）D．（，）
5．（2023?新化縣模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點O在坐標(biāo)原點，邊OA在x軸上，OC在y軸上，如果矩形OA′B′C與矩形OABC關(guān)于點O位似，且矩形OA′B′C′的面積等于矩形OABC面積的，那么點B′的坐標(biāo)是（ ）
A．（3，2）B．（﹣2，﹣3）
C．（2，3）或（﹣2，﹣3）D．（3，2）或（﹣3，﹣2）
6．（2024?新榮區(qū)一模）如圖，A是反比例函數(shù)y＝（x＞0）圖象上一點，點B、D在y軸正半軸上，△ABD是△COD關(guān)于點D的位似圖形，且△ABD與△COD的位似比是1：3，△ABD的面積為1，則該反比例函數(shù)的表達(dá)式為 ．
考點三：相似形綜合
相似三角形出綜合題時，經(jīng)常是相似的性質(zhì)與其他幾何圖形的綜合，特別是和其他如函數(shù)、特殊四邊形、圓等考點一起出題時，基本都是填空壓軸題和簡答題壓軸題。
題型01 相似形綜合題
【中考真題練】
1．（2023?德陽）如圖，⊙O的直徑AB＝10，DE是弦，AB⊥DE，＝，sin∠BAC＝，AD的延長線與CB的延長線相交于點F，DB的延長線與OE的延長線相交于點G，連接CG．下列結(jié)論中正確的個數(shù)是（ ）
①∠DBF＝3∠DAB；
②CG是⊙O的切線；
③B，E兩點間的距離是；
④DF＝．
A．1B．2C．3D．4
2．（2023?黑龍江）如圖，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是AB，BC上的動點，且AF⊥DE，垂足為G，將△ABF沿AF翻折，得到△AMF，AM交DE于點P，對角線BD交AF于點H，連接HM，CM，DM，BM，下列結(jié)論正確的是（ ）
①AF＝DE；②BM∥DE；③若CM⊥FM，則四邊形BHMF是菱形；④當(dāng)點E運動到AB的中點，tan∠BHF＝2；⑤EP?DH＝2AG?BH．
A．①②③④⑤B．①②③⑤C．①②③D．①②⑤
3．（2023?衢州）下面是勾股定理的一種證明方法：圖1所示紙片中，∠ACB＝90°（AC＜BC），四邊形ACDE，CBFG是正方形．過點C，B將紙片CBFG分別沿與AB平行、垂直兩個方向剪裁成四部分，并與正方形ACDE，△ABC拼成圖2．
（1）若cs∠ABC＝，△ABC的面積為16，則紙片Ⅲ的面積為 ．
（2）若，則＝ ．
4．（2023?日照）如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，點P在對角線BD上，過點P作MN⊥BD，交邊AD，BC于點M，N，過點M作ME⊥AD交BD于點E，連接EN，BM，DN．下列結(jié)論：
①EM＝EN；
②四邊形MBND的面積不變；
③當(dāng)AM：MD＝1：2時，S△MPE＝；
④BM+MN+ND的最小值是20．
其中所有正確結(jié)論的序號是 ．
5．（2023?武漢）問題提出 如圖（1），E是菱形ABCD邊BC上一點，△AEF是等腰三角形，AE＝EF，∠AEF＝∠ABC＝α （α≥90°），AF交CD于點G，探究∠GCF與α的數(shù)量關(guān)系．
問題探究 （1）先將問題特殊化，如圖（2），當(dāng)α＝90°時，直接寫出∠GCF的大??；
（2）再探究一般情形，如圖（1），求∠GCF與α的數(shù)量關(guān)系．
問題拓展 將圖（1）特殊化，如圖（3），當(dāng)α＝120°時，若，求的值．
6．（2023?福建）如圖1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AB邊上不與A，B重合的一個定點．AO⊥BC于點O，交CD于點E．DF是由線段DC繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°得到的，F(xiàn)D，CA的延長線相交于點M．
（1）求證：△ADE∽△FMC；
（2）求∠ABF的度數(shù)；
（3）若N是AF的中點，如圖2，求證：ND＝NO．
7．（2023?南京）在平面內(nèi)，將一個多邊形先繞自身的頂點A旋轉(zhuǎn)一個角度θ（0°＜θ＜180°），再將旋轉(zhuǎn)后的多邊形以點A為位似中心放大或縮小，使所得多邊形與原多邊形對應(yīng)線段的比為k，稱這種變換為自旋轉(zhuǎn)位似變換．若順時針旋轉(zhuǎn)，記作T（A，順θ，k）；若逆時針旋轉(zhuǎn)，記作T（A，逆θ，k）．
例如：如圖①，先將△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)50°，得到△A1BC1，再將△A1BC1以點B為位似中心縮小到原來的，得到△A2BC2，這個變換記作T（B，逆50°，）．
（1）如圖②，△ABC經(jīng)過T（C，順60°，2）得到△A′B′C，用尺規(guī)作出△A′B′C．（保留作圖痕跡）
（2）如圖③，△ABC經(jīng)過T（B，逆α，k1）得到△EBD，△ABC經(jīng)過T（C，順β，k2）得到△FDC，連接AE，AF．求證：四邊形AFDE是平行四邊形．
（3）如圖④，在△ABC中，∠A＝150°，AB＝2，AC＝1．若△ABC經(jīng)過（2）中的變換得到的四邊形AFDE是正方形．
Ⅰ．用尺規(guī)作出點D（保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明）；
Ⅱ．直接寫出AE的長．
8．（2023?濟(jì)南）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，點E在邊BC上，將射線AE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，交CD延長線于點G，以線段AE，AG為鄰邊作矩形AEFG．
（1）如圖1，連接BD，求∠BDC的度數(shù)和的值；
（2）如圖2，當(dāng)點F在射線BD上時，求線段BE的長；
（3）如圖3，當(dāng)EA＝EC時，在平面內(nèi)有一動點P，滿足PE＝EF，連接PA，PC，求PA+PC的最小值．
【中考模擬練】
1．（2024?浙江模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，在BC上取點F，使得CF＝CE，連結(jié)AF交CD于點G，連結(jié)AD．若CG＝GF，則的值等于（ ）
A．B．C．D．
2．如圖，已知在矩形ABCD中，M是AD邊的中點，BM與AC垂直，交直線AC于點N，連接DN，則下列四個結(jié)論中：
①CN＝2AN；②DN＝DC；③tan∠CAD＝；④△AMN∽△CAB．
正確的有（ ）
A．①②③④B．①②③C．①②④D．②③④
3．（2024?鼓樓區(qū)校級模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點D，E為AC邊上的中點，連接BE交AD于F，將△AFE沿著AC翻折到△AGE，恰好有GE∥AD，則下列結(jié)論：①四邊形AFEG為菱形；②2AE2＝BD?BC；③S△ABF＝S△CBF；④連接BG，．上述結(jié)論中正確的有 ．（填正確的序號）．
4．三國時期魏國的數(shù)學(xué)家劉徽為古籍《九章算術(shù)》作注釋時提出了一個以形證數(shù)的勾股定理證明方法，可惜圖已失傳，只留下一段文字：“勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補，各從其類，因就其余不動也，合成弦方之冪，開方除之，即弦也．”后人根據(jù)這段文字補了一張圖，如圖所示，大意是：Rt△ABC，以AB為邊的正方形ABDE為朱方，以BC為邊的正方形BCGF為青方，引AC為邊的正方形切割朱方和青方，多出的部分正好可以和弦方缺虧的部分相補．若，則＝ ．
5．（2024?安徽模擬）問題情境：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CD是邊AB上的高，點E為AC上一點，連接DE，過點D作DF⊥DE交BC于點F．
猜想與證明：
（1）如圖1，當(dāng)點E為邊AC的中點時，試判斷點F是否為邊BC的中點，并說明理由；
（2）如圖2，連接EF，試判斷△DEF與△ABC是否相似，并說明理由；
問題解決：
（3）如圖3，當(dāng)CE＝CF時，試求線段CF的長．
6．（2024?武侯區(qū)校級一模）（1）如圖1，在直角△ABC中，∠ACB＝90°，過C作CD⊥AB交AB于點D，求證：CD2＝AD?BD；
（2）如圖2，在菱形ABCD中，過C作CE⊥AB交AB的延長線于點E，過E作EF⊥AD交AD邊于點F．①若，求的值；②若（n＞2），直接寫出的值（用含n的式子表示）；
（3）如圖3，在菱形ABCD中，∠A＝60°，點E在CD上，EC＝2且＝a，點F為BC上一點，連接EF，過E作EG⊥EF交AD于點G，EG?EF＝a，求AG的值（用含a的式子表示）．
易錯點：4個數(shù)成比例時， 對應(yīng)數(shù)據(jù)可正可負(fù)；線段成比例時，對應(yīng)數(shù)據(jù)只能是正數(shù)，特別是比例中項的計算中，更要注意線段正負(fù)的問題；
易錯點：一個線段的黃金分割點有2個，黃金分割比=，0.618是黃金分割比的近似值。題目中沒有要求時，一般都要用原值；
畫法
圖形
（1）以A為端點畫一條射線；
（2）用圓規(guī)在射線上依次截取3條等長線段AC、CD、DE，連接BE；
（3）過點C、D分別畫BE的平行線，交線段AB于點M、N．M、N就是線段AB的三等分點．

解題大招01：相似三角形性質(zhì)的主要應(yīng)用方向有：
①求角的度數(shù)；②求或證明比值關(guān)系；③證線段等積式；④求面積或面積比；
解題大招02：相似三角形的對應(yīng)邊成比例是求線段長度的重要方法，也是動點問題中得到函數(shù)關(guān)系式的重要手段；
解題大招03：判定三角形相似的思路：
（1）有平行截線——用平行線的性質(zhì)，找等角
（2）有一對等角，找
（3）有兩邊對應(yīng)成比例，找夾角相等
（4）直角三角形，找
（5）等腰三角形，找
解題大招：相似三角形在實際生活中的應(yīng)用：
建模思想：建立相似三角形的模型
（二）常見題目類型：
1.利用投影、平行線、標(biāo)桿等構(gòu)造相似三角形求解
2.測量底部可以到達(dá)的物體的高度
3.測量底部不可以到達(dá)的物體的高度
4.測量河的寬度

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