培優(yōu)沖刺03四邊形壓軸題綜合（4題型）2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)沖刺過關(guān)（全國通用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1、四邊形與翻折的綜合
2、四邊形與旋轉(zhuǎn)的綜合
3、四邊形與新定義的綜合
4、四邊形與中點的綜合
題型一：四邊形與翻折的綜合
【中考真題練】
1．（2023?西寧）折疊問題是我們常見的數(shù)學(xué)問題，它是利用圖形變化的軸對稱性質(zhì)解決的相關(guān)問題．?dāng)?shù)學(xué)活動課上，同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展了數(shù)學(xué)活動．
【操作】如圖1，在矩形ABCD中，點M在邊AD上，將矩形紙片ABCD沿MC所在的直線折疊，使點D落在點D′處，MD′與BC交于點N．
【猜想】MN＝CN．
【驗證】請將下列證明過程補充完整：
∵矩形紙片ABCD沿MC所在的直線折疊，
∴∠CMD＝，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC （矩形的對邊平行），
∴∠CMD＝（），
∴ ＝（等量代換），
∴MN＝CN（）．
【應(yīng)用】
如圖2，繼續(xù)將矩形紙片ABCD折疊，使AM恰好落在直線MD′上，點A落在點A′處，點B落在點B′處，折痕為ME．
（1）猜想MN與EC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（2）若CD＝2，MD＝4，求EC的長．

2．（2023?衢州）如圖1，點O為矩形ABCD的對稱中心，AB＝4，AD＝8，點E為AD邊上一點（0＜AE＜3），連結(jié)EO并延長，交BC于點F．四邊形ABFE與A′B′FE關(guān)于EF所在直線成軸對稱，線段B′F交AD邊于點G．
（1）求證：GE＝GF．
（2）當(dāng)AE＝2DG時，求AE的長．
（3）令A(yù)E＝a，DG＝b．
①求證：（4﹣a）（4﹣b）＝4．
②如圖2，連結(jié)OB′，OD，分別交AD，B′F于點H，K．記四邊形OKGH的面積為S1，△DGK的面積為S2，當(dāng)a＝1時，求的值．

3．（2023?煙臺）【問題背景】
如圖1，數(shù)學(xué)實踐課上，學(xué)習(xí)小組進(jìn)行探究活動，老師要求大家對矩形ABCD進(jìn)行如下操作：①分別以點B，C為圓心，以大于BC的長度為半徑作弧，兩弧相交于點E，F(xiàn)，作直線EF交BC于點O，連接AO；②將△ABO沿AO翻折，點B的對應(yīng)點落在點P處，作射線AP交CD于點Q．
【問題提出】
在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，求線段CQ的長；
【問題解決】
經(jīng)過小組合作、探究、展示，其中的兩個方案如下：
方案一：連接OQ，如圖2．經(jīng)過推理、計算可求出線段CQ的長；
方案二：將△ABO繞點O旋轉(zhuǎn)180°至△RCO處，如圖3．經(jīng)過推理、計算可求出線段CQ的長．請你任選其中一種方案求線段CQ的長．

【中考模擬練】
1．（2024?天山區(qū)校級一模）如圖，正方形ABCD邊長為1，點E在邊AB上（不與A，B重合），將△ADE沿直線DE折疊，點A落在點A1處，連接A1B，將A1B繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到A2B，連接A1A，A1C，A2C．給出下列四個結(jié)論：
①△ABA1≌△CBA2；
②∠ADE+∠A1CB＝45°；
③點P是直線DE上動點，則CP+A1P的最小值為；
④當(dāng)∠ADE＝30°時，△A1BE的面積為．
其中正確的結(jié)論個數(shù)是（）
A．1B．2C．3D．4

2．（2024?曲阜市一模）如圖1，菱形紙片ABCD的邊長為2，∠ABC＝60°，如圖2，翻折∠ABC，∠ADC，使兩個角的頂點重合于對角線BD上一點P，EF，GH分別是折痕．設(shè)AE＝x（0＜x＜2），給出下列判斷：
①當(dāng)x＝1時，DP的長為；
②EF+GH的值隨x的變化而變化；
③六邊形AEFCHG面積的最大值是；
④六邊形AEFCHG周長的值不變．
其中正確的是（）
A．①②B．①④C．②③④D．①③④

3．（2024?遼寧模擬）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，，點E為射線BA上一點（點E不與點B重合），將△BCE沿EC折疊，得到△FCE，點P為線段FC上一點，再將△EFP沿EP折疊，得到△EGP，PG的延長線與邊BC相交于點Q．
（1）如圖1，連接EQ，求證：QB＝QG．
（2）如圖2，當(dāng)點E與點A重合時，若點G落在邊AD上，連接BF，EC與BF相交于點M，與PQ相交于點N，求MN的長．
（3）若點G落在邊AD上，且，CE所在直線與AD所在直線相交于點H．
①如圖3，當(dāng)點E在線段BA延長線上時，求HG的長；
②當(dāng)點E在線段AB上時，請直接寫出HG的長．

題型二：四邊形與旋轉(zhuǎn)的綜合
【中考真題練】
1．（2023?南充）如圖，正方形ABCD中，點M在邊BC上，點E是AM的中點，連接ED，EC．
（1）求證：ED＝EC；
（2）將BE繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)，使點B的對應(yīng)點B′落在AC上，連接MB′．當(dāng)點M在邊BC上運動時（點M不與B，C重合），判斷△CMB′的形狀，并說明理由．
（3）在（2）的條件下，已知AB＝1，當(dāng)∠DEB′＝45°時，求BM的長．

2．（2023?紹興）在平行四邊形ABCD中（頂點A，B，C，D按逆時針方向排列），AB＝12，AD＝10，∠B為銳角，且sinB＝．
（1）如圖1，求AB邊上的高CH的長；
（2）P是邊AB上的一動點，點C，D同時繞點P按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得點C'，D'，
①如圖2，當(dāng)C'落在射線CA上時，求BP的長；
②當(dāng)△AC'D'是直角三角形時，求BP的長．

3．（2023?丹東）在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，AB＝6，點D是BC的中點．四邊形DEFG是菱形（D，E，F(xiàn)，G按逆時針順序排列），∠EDG＝60°，且DE＝2，菱形DEFG可以繞點D旋轉(zhuǎn)，連接AG和CE，設(shè)直線AG和直線CE所夾的銳角為α．
（1）在菱形DEFG繞點D旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)點E在線段DC上時，如圖①，請直接寫出AG與CE的數(shù)量關(guān)系及α的值；
（2）當(dāng)菱形DEFG繞點D旋轉(zhuǎn)到如圖②所示的位置時，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由；
（3）設(shè)直線AG與直線CE的交點為P，在菱形DEFG繞點D旋轉(zhuǎn)一周的過程中，當(dāng)EF所在的直線經(jīng)過點B時，請直接寫出△APC的面積．

【中考模擬練】
1．（2023?寧陽縣一模）如圖，Rt△ABE中，∠B＝90°，AB＝BE，將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°，得到△AHD，過D作DC⊥BE交BE的延長線于點C，連接BH并延長交DC于點F，連接DE交BF于點O．下列結(jié)論：
①DE平分∠HDC；②DO＝OE；③H是BF的中點；④BC﹣CF＝2CE；
⑤CD＝HF，其中正確的有（）
A．5個B．4個C．3個D．2個

2．（2024?永修縣一模）在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的邊AD在y軸正半軸上，邊BC在第一象限，且A（0，3）、B（5，3），將正方形ABCD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜180°），若點B的對應(yīng)點B′恰好落在坐標(biāo)軸上，則點C的對應(yīng)點C′的坐標(biāo)為．

3．（2024?天津一模）在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點，△OAB是等腰直角三角形，∠OBA＝90°，點A（5，0），點B在第一象限，點P在邊OA（點P不與點O，A重合），過點P作PQ⊥OA，交△OAB的直角邊于點Q，將線段QP繞點Q逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段QM，點P的對應(yīng)點為M，連接PM．
（1）如圖①，若點M落在AB上，點B的坐標(biāo)是，點M的坐標(biāo)是；
（2）設(shè)△PQM與△OAB重合部分面積為S，OP＝t．
①如圖②，若重合部分為四邊形PQEF，與邊AB交于點E，F(xiàn)，試用含t的式子表示S，并直接寫出t的取值范圍；
②當(dāng)1≤t≤4時，求S的取值范圍．（請直接寫出結(jié)果即可）

題型三：四邊形與新定義的綜合
【中考真題練】
1．（2023?寧波）定義：有兩個相鄰的內(nèi)角是直角，并且有兩條鄰邊相等的四邊形稱為鄰等四邊形，相等兩鄰邊的夾角稱為鄰等角．
（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，對角線BD平分∠ADC．求證：四邊形ABCD為鄰等四邊形．
（2）如圖2，在6×5的方格紙中，A，B，C三點均在格點上，若四邊形ABCD是鄰等四邊形，請畫出所有符合條件的格點D．
（3）如圖3，四邊形ABCD是鄰等四邊形，∠DAB＝∠ABC＝90°，∠BCD為鄰等角，連結(jié)AC，過B作BE∥AC交DA的延長線于點E．若AC＝8，DE＝10，求四邊形EBCD的周長．

2．（2023?常州）對于平面內(nèi)的一個四邊形，若存在點O，使得該四邊形的一條對角線繞點O旋轉(zhuǎn)一定角度后能與另一條對角線重合，則稱該四邊形為“可旋四邊形”，點O是該四邊形的一個“旋點”．例如，在矩形MNPQ中，對角線MP、NQ相交于點T，則點T是矩形MNPQ的一個“旋點”．
（1）若菱形ABCD為“可旋四邊形”，其面積是4，則菱形ABCD的邊長是；
（2）如圖1，四邊形ABCD為“可旋四邊形”，邊AB的中點O是四邊形ABCD的一個“旋點”．求∠ACB的度數(shù)；
（3）如圖2，在四邊形ABCD中，AC＝BD，AD與BC不平行．四邊形ABCD是否為“可旋四邊形”？請說明理由．

3．（2023?淮安）綜合與實踐
定義：將寬與長的比值為（n為正整數(shù)）的矩形稱為n階奇妙矩形．
（1）概念理解：
當(dāng)n＝1時，這個矩形為1階奇妙矩形，如圖（1），這就是我們學(xué)習(xí)過的黃金矩形，它的寬（AD）與長（CD）的比值是．
（2）操作驗證：
用正方形紙片ABCD進(jìn)行如下操作（如圖（2））：
第一步：對折正方形紙片，展開，折痕為EF，連接CE；
第二步：折疊紙片使CD落在CE上，點D的對應(yīng)點為點H，展開，折痕為CG；
第三步：過點G折疊紙片，使得點A、B分別落在邊AD、BC上，展開，折痕為GK．
試說明：矩形GDCK是1階奇妙矩形．
（3）方法遷移：
用正方形紙片ABCD折疊出一個2階奇妙矩形．要求：在圖（3）中畫出折疊示意圖并作簡要標(biāo)注．
（4）探究發(fā)現(xiàn)：
小明操作發(fā)現(xiàn)任一個n階奇妙矩形都可以通過折紙得到．他還發(fā)現(xiàn)：如圖（4），點E為正方形ABCD邊AB上（不與端點重合）任意一點，連接CE，繼續(xù)（2）中操作的第二步、第三步，四邊形AGHE的周長與矩形GDCK的周長比值總是定值．請寫出這個定值，并說明理由．

【中考模擬練】
1．（2024?泰興市一模）【定義呈現(xiàn)】有兩個內(nèi)角分別是它們對角的兩倍的四邊形叫做倍對角四邊形．其中，這兩個內(nèi)角稱為倍角．例如：如圖1，在四邊形ABCD中，∠A＝2∠C，∠D＝2∠B，那么我們就叫這個四邊形是倍對角四邊形，其中∠A，∠D稱為倍角．
【定義理解】如圖1，四邊形ABCD是倍對角四邊形，且∠A，∠D是倍角．求∠B+∠C的度數(shù)；
【拓展提升】如圖2，四邊形BDEC是倍對角四邊形，且∠DEC，∠BDE是倍角，延長BD、CE交于點A．在BC下方作等邊△BCF，延長FC、DE交于點G．若AB＝AC，BC＝2，F(xiàn)G＝kAB，四邊形BDEC的周長記為l．
（1）用k的代數(shù)式表示l；
（2）如圖3，把題中的“AB＝AC”條件舍去，其它條件不變．
①求證：CE＝EG；
②探究是否為定值．如果是定值，求這個定值，如果不是，請說明理由．

題型四：四邊形與中點的綜合
【中考真題練】
1．（2023?鎮(zhèn)江）[發(fā)現(xiàn)]如圖1，有一張三角形紙片ABC，小宏做如下操作：
①取AB、AC的中點D、E，在邊BC上作MN＝DE．
②連接EM，過點D、N作DG⊥EM、NH⊥EM，垂足分別為G、H．
③將四邊形BDGM剪下，繞點D旋轉(zhuǎn)180°至四邊形ADPQ的位置，將四邊形CEHN剪下，繞點E旋轉(zhuǎn)180°至四邊形AEST的位置．
④延長PQ、ST交于點F．
小宏發(fā)現(xiàn)并證明了以下幾個結(jié)論是正確的：
①點Q、A、T在一條直線上；
②四邊形FPGS是矩形；
③△FQT≌△HMN；
④四邊形FPGS與△ABC的面積相等．
[任務(wù)1]請你對結(jié)論①進(jìn)行證明．
[任務(wù)2]如圖2，四邊形ABCD中，AD∥BC，P、Q分別是AB、CD的中點，連接PQ．求證：PQ＝（AD+BC）．
[任務(wù)3]如圖3，有一張四邊形紙片ABCD，AD∥BC，AD＝2，BC＝8，CD＝9，sin∠DCB＝，小麗分別取AB、CD的中點P、Q，在邊BC上作MN＝PQ，連接MQ，她仿照小宏的操作，將四邊形ABCD分割、拼成了矩形．如果她拼成的矩形恰好是正方形，求BM的長．

2．（2023?東營）（1）用數(shù)學(xué)的眼光觀察
如圖①，在四邊形ABCD中，AD＝BC，P是對角線BD的中點，M是AB的中點，N是DC的中點．求證：∠PMN＝∠PNM．
（2）用數(shù)學(xué)的思維思考
如圖②，延長圖①中的線段AD交MN的延長線于點E，延長線段BC交MN的延長線于點F．求證：∠AEM＝∠F．
（3）用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)
如圖③，在△ABC中，AC＜AB，點D在AC上，AD＝BC，M是AB的中點，N是DC的中點，連接MN并延長，與BC的延長線交于點G，連接GD．若∠ANM＝60°，試判斷△CGD的形狀，并進(jìn)行證明．

【中考模擬練】
1．（2024?泗陽縣校級二模）綜合與實踐
探究幾何元素之間的關(guān)系
問題情境：四邊形ABCD中，點O是對角線AC的中點，點E是直線AC上的一個動點（點E與點C，O，A都不重合），過點A，C分別作直線BE的垂線，垂足分別為F，G，連接OF，OG．
（1）初步探究：
如圖1，已知四邊形ABCD是正方形，且點E在線段OC上，求證AF＝BG；
（2）深入思考：請從下面A，B兩題中任選一題作答，我選擇題．
A．探究圖1中OF與OG的數(shù)量關(guān)系并說明理由；
B．如圖2，已知四邊形ABCD為菱形，且點E在AC的延長線上，其余條件不變，探究OF與OG的數(shù)量關(guān)系并說明理由；
（3）拓展延伸：請從下面AB兩題中任選一題作答，我選擇題．
如圖3，已知四邊形ABCD為矩形，且AB＝4，∠BAC＝60°．
A．點E在直線AC上運動的過程中，若BF＝BG，則FG的長為．
B．點E在直線AC上運動的過程中，若OF//BC，則FG的長為．

有翻折必有全等，并且是軸對稱類型的全等，所以，當(dāng)四邊形壓軸題出現(xiàn)翻折或折疊時，一般都是從軸對稱類的全等入手思考！
旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是不改變圖形的形狀與大小，并且旋轉(zhuǎn)中兩對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心連線的三角形是等腰三角形，各等腰三角形間均相似；所以四邊形與旋轉(zhuǎn)結(jié)合考察的綜合題，謹(jǐn)記以下幾點：①有旋轉(zhuǎn)就會出現(xiàn)全等三角形、新形成的等腰三角形、新形成的相似三角形、旋轉(zhuǎn)相似必成對！
新定義類問題解題時，一般第一問都會先考察學(xué)生對所給新定義的準(zhǔn)確理解，所以不需要深入，新定義給什么就用什么即可；
新定義第二問一般要結(jié)合一個和所給新定義比較接近的一個圖形的性質(zhì)，此時需要把新老知識結(jié)合應(yīng)用，同時思考；
新定義最后一問，通常要在兩個性質(zhì)的考點之上拓展延伸，這時就要回歸老知識，重點從老知識上來挖掘新定義能帶給我們什么！
當(dāng)題目中出現(xiàn)2個及以上中點時，注意聯(lián)系中位線的性質(zhì)及相關(guān)規(guī)律！

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