考點一：三角形的基礎(chǔ)知識
三角形的基礎(chǔ)知識是學習三角形后續(xù)知識的基礎(chǔ)，也是其他幾何圖形學習的基礎(chǔ)，雖然中考中單獨考察的幾率不是很大，但是它卻可以融合在其他圖形中輔助解題。特別是三角形內(nèi)角和定理、外角定理、角平分線的性質(zhì)、線段中垂線的性質(zhì)，都是解決幾何問題中不可或缺的輔助手段，也更需要我們重視這塊知識的復習。
題型01 三角形的內(nèi)角和與外角定理
【中考真題練】
1．（2023?十堰）一副三角板按如圖所示放置，點A在DE上，點F在BC上，若∠EAB＝35°，則∠DFC＝ ．
2．（2023?聊城）如圖，分別過△ABC的頂點A，B作AD∥BE．若∠CAD＝25°，∠EBC＝80°，則∠ACB的度數(shù)為（ ）
A．65°B．75°C．85°D．95°
3．（2023?遂寧）若三角形三個內(nèi)角的比為1：2：3，則這個三角形是 三角形．
4．（2023?株洲）《周禮?考工記》中記載有：“…半矩謂之宣（xuān），一宣有半謂之欘（zhú）…”．意思是：“…直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘…”即：1宣＝矩，1欘＝1宣（其中，1矩＝90°）．
問題：圖（1）為中國古代一種強弩圖，圖（2）為這種強弩圖的部分組件的示意圖，若∠A＝1矩，∠B＝1欘，則∠C＝ 度．
5．（2023?徐州）如圖，在△ABC中，若DE∥BC，F(xiàn)G∥AC，∠BDE＝120°，∠DFG＝115°，則∠C＝ °．

【中考真題練】
1．（2024?鹽城模擬）將一副三角尺按如圖所示的方式擺放，則∠α的大小為（ ）
A．105°B．75°C．65°D．55°
2．（2023?新邵縣校級一模）如圖，在△ABC中，延長AB至D，延長BC至E如果∠1+∠2＝230°，則∠A＝ ．
3．（2023?紹興模擬）將一副三角尺按如圖所示的位置擺放，其中O，E，F(xiàn)在直線l上，點B恰好落在DE邊上，∠1＝20°，∠A＝45°，∠AOB＝∠DEF＝90°．則∠ABE的度數(shù)為（ ）
A．60°B．65°C．70°D．75°
4．（2023?碑林區(qū)校級二模）如圖，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，CD為∠ACB的平分線，CE⊥AB于點E，則∠ECD度數(shù)為（ ）
A．5°B．8°C．10°D．12°
5．（2023?石峰區(qū)一模）如圖，考古學家發(fā)現(xiàn)在地下A處有一座古墓，古墓上方是煤氣管道，為了不影響管道，準備在B，C處開工挖出“V”字形通道．如果∠DBA＝120°，∠ECA＝135°，那么∠A的度數(shù)是 ．

題型02 三角形的三邊關(guān)系
【中考真題練】
1．（2023?福建）若某三角形的三邊長分別為3，4，m，則m的值可以是（ ）
A．1B．5C．7D．9
2．（2023?長沙）下列長度的三條線段，能組成三角形的是（ ）
A．1，3，4B．2，2，7C．4，5，7D．3，3，6
3．（2023?金華）在下列長度的四條線段中，能與長6cm，8cm的兩條線段圍成一個三角形的是（ ）
A．1cmB．2cmC．13cmD．14cm
4．（2023?徐州）若一個三角形的邊長均為整數(shù)，且兩邊長分別為3和5，則第三邊的長可以為 （寫出一個即可）．
【中考模擬練】
1．（2024?韶關(guān)模擬）如圖，人字梯的支架AB，AC的長度都為2m（連接處的長度忽略不計），則B、C兩點之間的距離可能是（ ）
A．3mB．4.2mC．5mD．6m
2．（2024?新華區(qū)一模）為估計池塘兩岸A、B間的距離，如圖，小明在池塘一側(cè)選取了一點O，測得OA＝16m，OB＝12m，那么AB的距離不可能是（ ）
A．5mB．15mC．20mD．30m
3．（2024?邳州市校級一模）三角形的兩邊長分別為2和9，周長為偶數(shù)，則第三邊長為 ．
4．（2023?六安三模）三角形的兩邊長分別是10和8，則第三邊的取值范圍是 ．
5．（2023?二道區(qū)校級模擬）已知一個三角形的兩邊長分別為4和5，若第三邊的長為整數(shù)，則此三角形周長的最大值 ．
6．（2023?婁星區(qū)一模）已知四根小棒的長度分別為5cm、6cm、10cm、12cm，從中取出三根小棒，能圍成三角形的概率為 ．

題型03 三角形“三線”的性質(zhì)
【中考真題練】
1．（2023?廣州）如圖，已知AD是△ABC的角平分線，DE，DF分別是△ABD和△ACD的高，AE＝12，DF＝5，則點E到直線AD的距離為 ．
2．（2023?青海）如圖，在△ABC中，DE是BC的垂直平分線．若AB＝5，AC＝8，則△ABD的周長是 ．
3．如圖，在△ABC中，AC的垂直平分線交BC于點D，交AC于點E，∠B＝∠ADB．若AB＝4，則DC的長是 ．
4．（2023?攀枝花）如圖，在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，線段AB的垂直平分線交AB于點D，交AC于點E，則∠EBC＝ ．
5．（2023?隨州）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D為AC上一點，若BD是∠ABC的角平分線，則AD＝ ．

【中考模擬練】
1．（2024?沭陽縣校級模擬）已知：如圖所示，在△ABC中，點D，E，F(xiàn)分別為BC，AD，CE的中點，且S△ABC＝4cm2，則陰影部分的面積為 cm2．
2．（2024?天山區(qū)一模）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°．用尺規(guī)作圖法作出射線AE，AE交BC于點D，CD＝2，P為AB上一動點，則PD的最小值為（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．（2024?南昌一模）小明將兩把完全相同的長方形直尺如圖放置在∠AOB上，兩把直尺的接觸點為P，邊OA與其中一把直尺邊緣的交點為C，點C、P在這把直尺上的刻度讀數(shù)分別是2、5，則OC的長度是 ．
4．（2024?永靖縣一模）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，則S△ACD＝ ．
5．（2023?長清區(qū)二模）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，以A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交AC，AB于點M，N，再分別以M，N為圓心，大于MN長為半徑畫弧，兩弧交于點O，作射線AO，交BC于點E．已知CE＝3，BE＝5，則AC的長為（ ）
A．8B．7C．6D．5

考點二：全等三角形
全等三角形的性質(zhì)是對應邊相等、對應角相等。附帶推論是全等三角形對應邊上的“三線”也分別相等。全等三角形判定方法有“4+1”種，出題時常把全等三角形的判定和性質(zhì)同時出題，難度一般不大，但是這個考點后期的可結(jié)合性比較大，所以也是非常重要的一個考點。
題型01 全等三角形的判定
【中考真題練】
1．（2023?甘孜州）如圖，AB與CD相交于點O，AC∥BD，只添加一個條件，能判定△AOC≌△BOD的是（ ）
A．∠A＝∠DB．AO＝BOC．AC＝BOD．AB＝CD
2．（2023?涼山州）如圖，點E、點F在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C，添加一個條件，不能證明△ABF≌△DCE的是（ ）
A．∠A＝∠DB．∠AFB＝∠DECC．AB＝DCD．AF＝DE
3．（2023?衢州）已知：如圖，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F(xiàn)在同一條直線上．下面四個條件：
①AB＝DE；②AC＝DF；③BE＝CF；④∠ABC＝∠DEF．
（1）請選擇其中的三個條件，使得△ABC≌△DEF（寫出一種情況即可）．
（2）在（1）的條件下，求證：△ABC≌△DEF．

【中考模擬練】
1．（2024?朝陽區(qū)模擬）工人師傅常用角尺平分一個任意角，做法是：如圖在∠AOB的邊OA、OB上分別取OM＝ON，移動角尺，使角尺的兩邊相同的刻度分別與M、N重合，得到∠AOB的平分線OP，做法中用到三角形全等的判定方法是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．HL
2．（2024?重慶模擬）根據(jù)下列條件，不能畫出唯一確定的△ABC的是（ ）
A．AB＝3，BC＝4，AC＝6B．AB＝4，∠B＝45°，∠A＝60°
C．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°D．∠C＝90°，AB＝8，AC＝4
3．（2023?文昌二模）如圖，點A，F(xiàn)，E，C在一條直線上，AF＝CE，AD＝CB，則添加下列條件仍不能判斷△ADE≌△CBF的是（ ）
A．DE＝BFB．DE∥BFC．AD∥CBD．∠D＝∠B＝90°
4．（2023?西寧二模）如圖，正方形格點圖中，點A、B、C、D、E、F均在格點上，若以D、E、F為頂點的三角形與△ABC全等，請寫出一個滿足條件的F點坐標 ．
5．（2024?伊通縣一模）如圖，AD⊥AE，AB⊥AC，AD＝AE，AB＝AC．求證：△ABD≌△ACE．
6．（2023?農(nóng)安縣模擬）如圖，ED⊥AB，F(xiàn)C⊥AB，垂足分別為D、C，AC＝BD，AE＝BF．求證：△AED≌△BFC．
題型02 全等三角形的判定與性質(zhì)
【中考真題練】
1．（2023?成都）如圖，已知△ABC≌△DEF，點B，E，C，F(xiàn)依次在同一條直線上．若BC＝8，CE＝5，則CF的長為 ．
2．（2023?遼寧）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D為BC的中點，過點C作CE∥AB交AD的延長線于點E，若AC＝4，CE＝5，則CD的長為 ．
3．（2023?重慶）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D為BC上一點，連接AD．過點B作BE⊥AD于點E，過點C作CF⊥AD交AD的延長線于點F．若BE＝4，CF＝1，則EF的長度為 ．
4．（2023?通遼）如圖，等邊三角形ABC的邊長為6cm，動點P從點A出發(fā)以2cm/s的速度沿AB向點B勻速運動，過點P作PQ⊥AB，交邊AC于點Q，以PQ為邊作等邊三角形PQD，使點A，D在PQ異側(cè)，當點D落在BC邊上時，點P需移動 s．
5．（2023?蘇州）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD為△ABC的角平分線．以點A圓心，AD長為半徑畫弧，與AB，AC分別交于點E，F(xiàn)，連接DE，DF．
（1）求證：△ADE≌△ADF；
（2）若∠BAC＝80°，求∠BDE的度數(shù)．
6．（2023?長沙）如圖，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D，E．
（1）求證：△ABE≌△ACD；
（2）若AE＝6，CD＝8，求BD的長．
7．（2023?大連）如圖，AC＝AE，BC＝DE，BC的延長線與DE相交于點F，∠ACF+∠AED＝180°．求證：AB＝AD．
8．（2023?營口）如圖，點A，B，C，D在同一條直線上，點E，F(xiàn)分別在直線AB的兩側(cè)，且AE＝BF，∠A＝∠B，∠ACE＝∠BDF．
（1）求證：△ACE≌△BDF；
（2）若AB＝8，AC＝2，求CD的長．
9．（2023?聊城）如圖，在四邊形ABCD中，點E是邊BC上一點，且BE＝CD，∠B＝∠AED＝∠C．
（1）求證：∠EAD＝∠EDA；
（2）若∠C＝60°，DE＝4時，求△AED的面積．
【中考模擬練】
1．（2024?寧波模擬）如圖，在等邊三角形ABC中，點D，E分別在BC，AC邊上，點D不與點B，C重合，且BD＝CE，則（ ）
A．∠AFE＜∠FAEB．∠AFE＜∠FEAC．∠AFE＝∠FAED．∠AFE＝∠FEA
2．（2024?蜀山區(qū)一模）如圖，△ABC中，高AD，BE相交于點H，連接DE，若BD＝AD，BE＝5，AE＝2，則DE＝ ．
3．（2024?潼南區(qū)一模）如圖，已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝52°，B、D、E在同一直線上，則∠BEC的度數(shù)為 ．
4．（2024?河東區(qū)一模）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點E在△ABC外，連接AE，BE，CE，過點A作AF⊥AE，交CE于點F，連接BF，若AE＝AF＝．則：
（Ⅰ）線段EF的長等于 ；
（Ⅱ）△ABC的面積為 ．
5．（2024?南崗區(qū)校級一模）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AC、BD相交于點E，AC＝BD，且AC⊥BD，若AB＝4，AD＝5，則CD邊的長為 ．
6．（2024?蓮湖區(qū)一模）如圖，F(xiàn)，C是AD上兩點，且AF＝CD，點E，F(xiàn)，G在同一直上，∠B＝∠AGF，BC＝EF，求證：∠A＝∠D．
7．（2024?天河區(qū)校級一模）如圖，∠A＝∠B，AE＝BE，點D在AC邊上，∠1＝∠2，AE和BD相交于點O
（1）求證：△AEC≌△BED；
（2）若∠1＝38°，求∠BDE的度數(shù)．
8．（2024?湖州一模）如圖，已知△ABC，∠C＝50°，將AB沿射線BC的方向平移至A′B′，使B′為BC的中點，連結(jié)AA′，記A′B′與AC的交點為O．
（1）求證：△AOA′≌△COB′；
（2）若AC平分∠BAA′，求∠B的度數(shù)．

考點三：特殊三角形
特殊三角形在中考數(shù)學中包含等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、等腰直角三角形。其中等腰三角形的性質(zhì)“三線合一”和直角三角形的“勾股定理”是特殊三角形非常重要的性質(zhì)。
題型01 等腰三角形的性質(zhì)和判定
【中考真題練】
1．（2023?眉山）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，則∠ACD的度數(shù)為（ ）
A．70°B．100°C．110°D．140°
2．（2023?河北）在△ABC和△A'B'C′中，∠B＝∠B'＝30°，AB＝A'B'＝6，AC＝A'C′＝4，已知∠C＝n°，則∠C′＝（ ）
A．30°B．n°
C．n°或180°﹣n°D．30°或150°
3．（2023?菏澤）△ABC的三邊長a，b，c滿足（a﹣b）2++|c﹣3|＝0，則△ABC是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．銳角三角形D．等腰直角三角形
4．（2023?內(nèi)蒙古）如圖，直線a∥b，直線l與直線a，b分別相交于點A，B，點C在直線b上，且CA＝CB．若∠1＝32°，則∠2的度數(shù)為（ ）
A．32°B．58°C．74°D．75°
5．（2023?西寧）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，點D在BC邊上，連接AD，若△ABD為直角三角形，則∠ADB的度數(shù)是 ．
6．（2023?山西）如圖，在四邊形ABCD中，∠BCD＝90°，對角線AC，BD相交于點O．若AB＝AC＝5，BC＝6，∠ADB＝2∠CBD，則AD的長為 ．
7．（2023?煙臺）如圖，點C為線段AB上一點，分別以AC，BC為等腰三角形的底邊，在AB的同側(cè)作等腰△ACD和等腰△BCE，且∠A＝∠CBE．在線段EC上取一點F，使EF＝AD，連接BF，DE．
（1）如圖1，求證：DE＝BF；
（2）如圖2，若AD＝2，BF的延長線恰好經(jīng)過DE的中點G，求BE的長．

【中考模擬練】
1．（2024?宿遷二模）等腰三角形的一個內(nèi)角為80°，則這個等腰三角形的底角為（ ）
A．80°或50°B．80°C．50°D．50°或20°
2．（2024?道里區(qū)一模）定義：一個三角形的一邊長是另一邊長的2倍，這樣的三角形叫做“倍長三角形”．若等腰△ABC是“倍長三角形”，腰AB的長為4，則底邊BC的長為 ．
3．（2024?喀什地區(qū)一模）如圖，△ABC中，AB＝AC，以點B為圓心，BC的長為半徑畫弧交AC于點C，E，再分別以點C與點E為圓心，大于CE長的一半為半徑畫弧，兩弧交于點F，連接BF交AC于點D，若∠A＝40°，則∠EBD是 ．
4．（2024?咸豐縣模擬）已知A（2，0），B（0，2），點C在坐標軸上，且△ABC為等腰三角形，滿足條件的C有（ ）個．
A．5B．6C．7D．8
5．（2024?惠安縣一模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD是邊AC的中線，根據(jù)下列作圖步驟：
①分別以B，C為圓心，大于為半徑作弧，兩弧分別相交于M，N兩點；
②連接M，N并延長，交BD于點P；
③連接AP，CP．
則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．延長CP，則CP垂直平分AB
B．AP平分∠BAC
C．△APB是等腰三角形
D．AP＝BP＝CP
6．（2023?紫金縣三模）如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格的交點稱為格點，已知A，B是兩格點，如果C也是圖中的格點，且使得△ABC為等腰三角形，則符合條件的點C的個數(shù)是（ ）
A．9B．8C．7D．6
7．（2024?道里區(qū)校級一模）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點D，AE平分∠BAC，∠C＝2∠B，AB﹣BE＝4，AD＝BE，則BE的長 ．
8．（2024?利津縣一模）如圖，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點O，MN過點O，且MN∥BC，分別交AB、AC于點M、N．則△AMN的周長為 ．
9．（2023?黑龍江模擬）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB﹣AC＝3，BC＝8，AD平分∠BAC，BD⊥AD于點D，則S△BDC的值為（ ）
A．24B．12C．6D．3
10．（2023?長春二模）如圖，直線y＝4x+4與坐標軸交于A、B兩點，點C為x軸負半軸上一點，∠CAB＝45°．則點C的坐標是 ．
題型02 等邊三角形的性質(zhì)和判定
【中考真題練】
1．（2023?金昌）如圖，BD是等邊△ABC的邊AC上的高，以點D為圓心，DB長為半徑作弧交BC的延長線于點E，則∠DEC＝（ ）
A．20°B．25°C．30°D．35°
2．（2023?綿陽）如圖，在等邊△ABC中，BD是AC邊上的中線，延長BC至點E，使CE＝CD，若DE＝，則AB＝（ ）
A．B．6C．8D．
3．（2023?江西）將含30°角的直角三角板和直尺按如圖所示的方式放置，已知∠α＝60°，點B，C表示的刻度分別為1cm，3cm，則線段AB的長為 cm．
4．（2023?涼山州）如圖，邊長為2的等邊△ABC的兩個頂點A、B分別在兩條射線OM、ON上滑動，若OM⊥ON，則OC的最大值是 ．
5．（2023?雅安）如圖，四邊形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠C＝60°，AE∥CD交BC于點E，BC＝8，AE＝6，則AB的長為 ．
【中考模擬練】
1．（2023?黔東南州二模）如圖，在等邊三角形ABC中，AD⊥BC于點D，點E是AD延長線上一點，若AE＝AC，則∠AEC的度數(shù)為（ ）
A．45°B．60°C．65°D．75°
2．（2024?長沙縣一模）如圖，AB∥CD，△ACE為等邊三角形，∠DCE＝45°，則∠EAB等于（ ）
A．40°B．30°C．20°D．15°
3．（2023?團風縣模擬）如圖，△ABC是等邊三角形，點P是三角形內(nèi)的任意一點，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周長為12，則PD+PE+PF＝（ ）
A．12B．8C．4D．3
4．（2023?肥西縣二模）如圖，在等邊△ABC中，點 A、C分別在x軸、y軸上，AC＝4，當點A在x軸正半軸上運動時，點C隨之在y軸上運動，在運動過程中，點B到原點的最大距離是（ ）
A．4B．2+C．+2D．2+2
5．（2023?碑林區(qū)校級模擬）如圖，△ABC是等邊三角形，點E是AC的中點，過點E作EF⊥AB于點F，延長BC交EF的反向延長線于點D，若EF＝1，則DF的長為 ．
6．（2023?長春模擬）兩個大小不同的等邊三角形三角板按圖①所示擺放．將兩個三角板抽象成如圖②所示的△ABC和△ADE，點B、C、D依次在同一條直線上，連接CE．若CD＝1，CE＝3，則點A到直線BC的距離為 ．
題型03 直角三角形的性質(zhì)和判定
【中考真題練】
1．（2023?貴州）5月26日，“2023中國國際大數(shù)據(jù)產(chǎn)業(yè)博覽會”在貴陽開幕，在“自動化立體庫”中有許多幾何元素，其中有一個等腰三角形模型（示意圖如圖所示），它的頂角為120°，腰長為12m，則底邊上的高是（ ）
A．4mB．6mC．10mD．12m
2．在△ABC中，∠B＝60°，AB＝4，若△ABC是銳角三角形，則滿足條件的BC長可以是（ ）
A．1B．2C．6D．8
3．（2023?株洲）一技術(shù)人員用刻度尺（單位：cm）測量某三角形部件的尺寸．如圖所示，已知∠ACB＝90°，點D為邊AB的中點，點A、B對應的刻度為1、7，則CD＝（ ）
A．3.5cmB．3cmC．4.5cmD．6cm
4．（2023?荊州）如圖，CD為Rt△ABC斜邊AB上的中線，E為AC的中點．若AC＝8，CD＝5，則DE＝ ．
【中考模擬練】
1．（2024?昭通一模）如圖所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD是斜邊AB上的高，BD＝2，那么AB等于（ ）
A．5B．6C．8D．12
2．（2023?工業(yè)園區(qū)校級二模）定義：一個三角形的一個角是另一個角的2倍，這樣的三角形叫做“倍角三角形”．若直角△ABC是“倍角三角形”，∠C＝90°，∠A≤∠B，則∠A的度數(shù)為 ．
3．（2023?漳浦縣模擬）在下列條件中：
①∠A+∠B＝∠C，
②∠A：∠B：∠C＝1：5：6，
③∠A＝90°﹣∠B，
④∠A＝∠B＝∠C 中，能確定△ABC是直角三角形的條件有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
4．（2023?海珠區(qū)校級二模）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，交BC于點E，BE＝4，則AC＝ ．
5．（2023?蓮湖區(qū)模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，BC＝6，點D為BC的中點，AE⊥BC于點E，則DE的長是（ ）
A．1B．C．3D．6
6．（2024?靈山縣一模）如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點，AC＝6，F(xiàn)是線段DE上一點，連接AF，CF，EF＝3DF．若∠AFC＝90°，則BC的長度是（ ）
A．6B．8C．10D．12
7．（2024?湖南模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，DE是斜邊AC的垂直平分線，分別交AB、AC于D、E兩點，若BD＝4，則AC的長是 ．
8．（2024?新昌縣一模）如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的中線，點E是邊BC延長線上一點，連結(jié)AE，DE，過點C作CF⊥DE于點F，且DF＝EF．
（1）求證：AD＝CE．
（2）若CD＝5，AC＝6，求△AEB的面積．
題型04 勾股定理及其應用
【中考真題練】
1．（2023?寧夏）將一副直角三角板和一把寬度為2cm的直尺按如圖方式擺放：先把60°和45°角的頂點及它們的直角邊重合，再將此直角邊垂直于直尺的上沿，重合的頂點落在直尺下沿上，這兩個三角板的斜邊分別交直尺上沿于A，B兩點，則AB的長是（ ）
A．2﹣B．2﹣2C．2D．2
2．（2023?南京）我國南宋數(shù)學家秦九韶的著作《數(shù)書九章》中有一道問題：“問沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步，欲知為田幾何？”問題大意：如圖，在△ABC中，AB＝13里，BC＝14里，AC＝15里，則△ABC的面積是（ ）
A．80平方里B．82平方里C．84平方里D．86平方里
3．（2023?日照）已知直角三角形的三邊a，b，c滿足c＞a＞b，分別以a，b，c為邊作三個正方形，把兩個較小的正方形放置在最大正方形內(nèi)，如圖，設三個正方形無重疊部分的面積為S1，均重疊部分的面積為S2，則（ ）
A．S1＞S2B．S1＜S2
C．S1＝S2D．S1，S2大小無法確定
4．（2023?湖北）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，點D在邊AC上，且BD平分△ABC的周長，則BD的長是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023?泰州）小明對《數(shù)書九章》中的“遙度圓城”問題進行了改編：如圖，一座圓形城堡有正東、正南、正西和正北四個門，出南門向東走一段路程后剛好看到北門外的一棵大樹，向樹的方向走9里到達城堡邊，再往前走6里到達樹下．則該城堡的外圍直徑為 里．
6．（2023?安徽）清初數(shù)學家梅文鼎在著作《平三角舉要》中，對南宋數(shù)學家秦九韶提出的計算三角形面積的“三斜求積術(shù)”給出了一個完整的證明，證明過程中創(chuàng)造性地設計直角三角形，得出了一個結(jié)論：如圖，AD是銳角△ABC的高，則BD＝（BC+）．當AB＝7，BC＝6，AC＝5時，CD＝ ．
7．（2023?菏澤）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝5，AD＝4，AD＜BC，點E在線段BC上運動，點F在線段AE上，∠ADF＝∠BAE，則線段BF的最小值為 ．
8．（2023?湖北）如圖，是我國漢代的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成的一個大正方形．設圖中AF＝a，DF＝b，連接AE，BE，若△ADE與△BEH的面積相等，則＝ ．
9．（2023?揚州）我國漢代數(shù)學家趙爽證明勾股定理時創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”，它是由4個全等的直角三角形和一個小正方形組成．如圖，直角三角形的直角邊長為a、b，斜邊長為c，若b﹣a＝4，c＝20，則每個直角三角形的面積為 ．
10．（2023?無錫）《九章算術(shù)》中提出了如下問題：今有戶不知高、廣，竿不知長短，橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出，問戶高、廣、邪各幾何？這段話的意思是：今有門不知其高寬；有竿，不知其長短，橫放，竿比門寬長出4尺；豎放，竿比門高長出2尺；斜放，竿與門對角線恰好相等．問門高、寬和對角線的長各是多少？則該問題中的門高是 尺．
11．（2023?東營）一艘船由A港沿北偏東60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，則A，C兩港之間的距離為 km．
12．（2023?廣安）如圖，圓柱形玻璃杯的杯高為9cm，底面周長為16cm，在杯內(nèi)壁離杯底4cm的點A處有一滴蜂蜜，此時，一只螞蟻正好在杯外壁上，它在離杯上沿1cm，且與蜂蜜相對的點B處，則螞蟻從外壁B處到內(nèi)壁A處所走的最短路程為 cm．（杯壁厚度不計）
【中考模擬練】
1．（2024?黔南州一模）如圖，△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2，AB＝6，在BC上取一點M（不與B、C點重合），連接AM，當AM的長度為整數(shù)值時，符合條件的AM值共有（ ）
A．2個B．3個C．4個D．5個
2．（2024?元謀縣一模）如圖所示，在4×4網(wǎng)格正方形中，每個小正方形的邊長為1，頂點為格點，若△ABC的頂點均是格點，則△ABC的面積為（ ）
A．B．5C．D．10
3．（2024?邱縣一模）四邊形ABCD的邊長如圖所示，對角線AC的長度隨四邊形的形狀改變而變化．當△ABC是直角三角形時，對角線AC的長為（ ）
A．5B．C．D．4
4．（2024?雁塔區(qū)校級模擬）學習了勾股定理后，老師給大家留了一個作業(yè)題，小華看了后，無從下手，請你幫幫小華．如圖，△ABC的頂點都在邊長為1的正方形網(wǎng)格的格點上，CD⊥AB于點D，則CD的長是（ ）
A．B．4C．D．
5．（2024?鞍山模擬）勾股定理是人類數(shù)學文化的一顆璀璨明珠，是用代數(shù)思想解決幾何問題最重要的工具，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一．如圖，當秋千靜止時，踏板B離地的垂直高度BE＝0.7m，將它往前推3m至C處時（即水平距離CD＝3m），隨板離地的垂直高度CF＝2.5m，它的繩索始終拉直，則繩索AC的長是（ ）
A．3.4mB．5mC．4mD．5.5m
6．（2024?涼州區(qū)校級模擬）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的各邊為邊作三個正方形，點G落在HI上，若AC+BC＝7，空白部分面積為13，則AB的長為（ ）
A．5B．C．D．
7．（2024?潯陽區(qū)校級一模）如圖，在△ABC中，AB＝BC＝6，AO＝BO，P是射線CO上的一個動點，∠AOC＝60°，則當△PAB為直角三角形時，AP的長為 ．
8．（2023?杭州模擬）在學習“勾股數(shù)”的知識時，愛動腦的小小同學發(fā)現(xiàn)了一組有規(guī)律的勾股數(shù)，并將它們記錄在如下的表格中．據(jù)此規(guī)律，當a＝45時，b的值是（ ）
A．1011B．1012C．1013D．1014
9．（2024?常州模擬）如圖，四個全等的直角三角形圍成正方形ABCD和正方形EFGH，連接AC，分別交EF，GH于點M，N．已知AH＝3DH，正方形ABCD的面積為24，則圖中陰影部分的面積之和為（ ）
A．4B．4.5C．4.8D．5
10．（2024?高新區(qū)模擬）我國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》中記載了一個問題：“今有池方一丈，葭（ji?。┥渲?，出水一尺．引葭赴岸，適與岸齊．問水深幾何．”（丈、尺是長度單位，1丈＝10尺）其大意為：有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺．如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端恰好到達池邊的水面．水的深度是多少？則水深為（ ）
A．10尺B．12尺C．13尺D．15尺
11．（2023?丹江口市模擬）如圖，地面上有一個長方體盒子，一只螞蟻在這個長方體盒子的頂點A處，盒子的頂點C′處有一小塊糖粒，螞蟻要沿著這個盒子的表面A處爬到C′處吃這塊糖粒，已知盒子的長和寬為均為20cm，高為30cm，則螞蟻爬行的最短距離為（ ）cm．
A．10B．50C．10D．70
12．（2024?西安一模）為實現(xiàn)核心素養(yǎng)導向的教學目標，走向綜合性、實踐性的課程教學變革，某中學推進項目式學習，組織九年級數(shù)學研學小組，進行了“測量古樹高度”的項目式學習活動．其中甲、乙兩個研學小組分別設計了不同的測量方案；他們各自設計的測量方案示意圖及測量數(shù)據(jù)如表所示：
請你選擇其中的一種測量方案，求古樹AB的高度．（結(jié)果保留根號）
易錯點：三角形內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角的和=180°
三角形外角定理：三角形的一個外角=與它不相鄰兩個內(nèi)角的和
三角形內(nèi)角和與外角定理是幾何圖形求解角度時常用的等量關(guān)系；即使是其他多邊形，也常轉(zhuǎn)化為三角形求角度；
解題大招01：三角形兩邊之差＜第三邊＜三角形兩邊之和
解題大招02：判定三邊能否組成三角形，直接用“定理”，且只需要較小的兩邊之和大于最大的邊長即可
解題大招03：“三點共線”類最值：當兩線段長固定，且首尾相連，可用三點共線來求其最大值與最小值
由△的三線組成的幾個“心”：
△三邊中線交點—→重心—→性質(zhì)：△的重心到一中線中點的距離=重心到這條中線定點距離的一半；
△三條角平分線交點—→內(nèi)心—→性質(zhì)：△的內(nèi)心到△三邊的距離（垂線段）相等；
△三邊中垂線交點—→外心—→性質(zhì)：△的外心到△三個頂點的距離（連接）相等；
解題大招01：三角形中線常見作用及其輔助線
常見“用途”：平分線段、平分面積；
輔助線類型：倍長中線造全等—→延伸：倍長中線類模型；
解題大招02：三角形高線常見作用及其輔助線
常見“用途”：求面積（等積法）、求角度（余角）；
輔助線類型：見特殊角做⊥，構(gòu)特殊直角△、見等腰做底邊上高線，構(gòu)三線合一；
解題大招03：角平分線常見作用及其輔助線
常見“用途”：得角相等（定義）、得線段相等（性質(zhì)）、SAS證全等、知2得1等；
輔助線類型：見角平分線作雙垂、見角平分線作對稱、截長補短構(gòu)全等、見角平分線＋垂直，延長出等腰；
解題大招04：中垂線常見作用及其輔助線
常見“用途”：平分線段、得90°、證全等、求新形成三角形周長等；
輔助線類型：連接兩點
易錯點01：全等三角形的判定通用方法為：SSS、SAS、ASA、AAS；直角三角形全等的判定方法為：HL
易錯點02：三角形全等的基本步驟：①準備條件；②羅列條件；③得出結(jié)論。
全等三角形的判定通用方法為：SSS、SAS、ASA、AAS；直角三角形全等的判定方法為：HL
解題大招01：解題大招：有關(guān)三角形全等問題應用的三個方向：
①證邊相等就證它們所在的三角形全等；
②證角相等就證它們所在的三角形全等；
③全等三角形可以提供相等線段、相等角
解題大招02：

易錯點01：等腰三角形是軸對稱圖形，有1條或3條對稱軸
易錯點02：等腰三角形重要性質(zhì)：“三線合一”、等邊對等角
易錯點03：等腰三角形判定方法：①定義法；②等角對等邊
當一個三角形的角平分線與高線，或者中線出現(xiàn)重合時，雖然不能直接得等腰三角形，但是也可以用三角形全等來證明該三角形是等腰三角形，遇到時要記得用。
解題大招01：等邊三角形的判定方法重點記憶有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形，但是如果一個三角形中出現(xiàn)2個60°內(nèi)角，也要往等邊三角形方向想。
解題大招02：等邊三角形面積的求解方法：
直角三角形的性質(zhì)有些是通用的，有些是特殊角的直角三角形才有的，使用時需要注意區(qū)分
解題大招01：常見的勾股數(shù)：3,4,5及其倍數(shù)；5,12,13及其倍數(shù)；7,24,25及其倍數(shù)；8,15,17及其倍數(shù)
解題大招02：勾股定理是初中數(shù)學中求解長度非常重要的等量關(guān)系，故很多求長度的問題沒方向時，就往直角三角形勾股定理方向去想
a
3
5
7
9
11
…
b
4
12
24
40
60
…
c
5
13
25
41
61
…
活動課題
測量古樹AB的高度
研學小組
甲組
乙組
測量示意圖


測量說明
CE⊥AB于點E，BECD為一個矩形架，圖中所有的點都在同一平面內(nèi)．
CD⊥AB于點D，圖中所有的點都在同一平面內(nèi)．
測量數(shù)據(jù)
CD＝4m，CE＝12m，∠ACE＝30°．
∠ACD＝45°，∠BCD＝60°，CD＝4m．

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