1、二次函數(shù)與特殊四變形的綜合
2、二次函數(shù)與最值的綜合
3、二次函數(shù)與相似的綜合
4、二次函數(shù)與新定義的綜合
題型一：二次函數(shù)與特殊四邊形的綜合
【中考真題練】
1．（2023?揚州）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A在y軸正半軸上．
（1）如果四個點（0，0）、（0，2）、（1，1）、（﹣1，1）中恰有三個點在二次函數(shù)y＝ax2（a為常數(shù)，且a≠0）的圖象上．
①a＝ ；
②如圖1，已知菱形ABCD的頂點B、C、D在該二次函數(shù)的圖象上，且AD⊥y軸，求菱形的邊長；
③如圖2，已知正方形ABCD的頂點B、D在該二次函數(shù)的圖象上，點B、D在y軸的同側(cè)，且點B在點D的左側(cè)，設(shè)點B、D的橫坐標(biāo)分別為m、n，試探究n﹣m是否為定值．如果是，求出這個值；如果不是，請說明理由．
（2）已知正方形ABCD的頂點B、D在二次函數(shù)y＝ax2（a為常數(shù)，且a＞0）的圖象上，點B在點D的左側(cè)，設(shè)點B、D的橫坐標(biāo)分別為m、n，直接寫出m、n滿足的等量關(guān)系式．

2．（2023?棗莊）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0），C（0，3）兩點，并交x軸于另一點B，點M是拋物線的頂點，直線AM與y軸交于點D．
（1）求該拋物線的表達(dá)式；
（2）若點H是x軸上一動點，分別連接MH，DH，求MH+DH的最小值；
（3）若點P是拋物線上一動點，問在對稱軸上是否存在點Q，使得以D，M，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

3．（2023?濟(jì)寧）如圖，直線y＝﹣x+4交x軸于點B，交y軸于點C，對稱軸為的拋物線經(jīng)過B，C兩點，交x軸負(fù)半軸于點A，P為拋物線上一動點，點P的橫坐標(biāo)為m，過點P作x軸的平行線交拋物線于另一點M，作x軸的垂線PN，垂足為N，直線MN交y軸于點D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若，當(dāng)m為何值時，四邊形CDNP是平行四邊形？
（3）若，設(shè)直線MN交直線BC于點E，是否存在這樣的m值，使MN＝2ME？若存在，求出此時m的值；若不存在，請說明理由．

【中考模擬練】
1．（2024?新沂市模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣3的圖象交x軸于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點，交y軸于點C，點P在線段OB上，過點P作PD⊥x軸，交拋物線于點D，交直線BC于點E．
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）在點P運動過程中，若△CDE是直角三角形，求點P的坐標(biāo)；
（3）在y軸上是否存在點F，使得以點C、D、E、F為頂點的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出點F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

題型二：二次函數(shù)與最值的綜合
【中考真題練】
1．（2023?荊州）已知：y關(guān)于x的函數(shù)y＝（a﹣2）x2+（a+1）x+b．
（1）若函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有兩個公共點，且a＝4b，則a的值是 ；
（2）如圖，若函數(shù)的圖象為拋物線，與x軸有兩個公共點A（﹣2，0），B（4，0），并與動直線l：x＝m（0＜m＜4）交于點P，連接PA，PB，PC，BC，其中PA交y軸于點D，交BC于點E．設(shè)△PBE的面積為S1，△CDE的面積為S2．
①當(dāng)點P為拋物線頂點時，求△PBC的面積；
②探究直線l在運動過程中，S1﹣S2是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，說明理由．

2．（2023?重慶）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+2過點（1，3），且交x軸于點A（﹣1，0），B兩點，交y軸于點C．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）點P是直線BC上方拋物線上的一動點，過點P作PD⊥BC于點D，過點P作y軸的平行線交直線BC于點E，求△PDE周長的最大值及此時點P的坐標(biāo)；
（3）在（2）中△PDE周長取得最大值的條件下，將該拋物線沿射線CB方向平移個單位長度，點M為平移后的拋物線的對稱軸上一點．在平面內(nèi)確定一點N，使得以點A，P，M，N為頂點的四邊形是菱形，寫出所有符合條件的點N的坐標(biāo)，并寫出求解點N的坐標(biāo)的其中一種情況的過程．

【中考模擬練】
1．（2024?東平縣一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A、B在x軸上，點C、D在y軸上，且OB＝OC＝3，OA＝OD＝1，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過A、B、C三點，直線AD與拋物線交于另一點M．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）在拋物線對稱軸上是否存在一點N，使得△ANC的周長最小，若存在，請求出點N的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；
（3）點E是直線AM上一動點，點P為拋物線上直線AM下方一動點，EP∥y軸，當(dāng)線段PE的長度最大時，請求出點E的坐標(biāo)和△AMP面積的最大值．

題型三：二次函數(shù)與相似的綜合
【中考真題練】
1．（2023?樂至縣）如圖，直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點，拋物線經(jīng)過A、B兩點．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）點D是拋物線在第二象限內(nèi)的點，過點D作x軸的平行線與直線AB交于點C，求DC的長的最大值；
（3）點Q是線段AO上的動點，點P是拋物線在第一象限內(nèi)的動點，連結(jié)PQ交y軸于點N．是否存在點P，使△ABQ與△BQN相似，若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

2．（2023?朝陽）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸分別交于點A（﹣2，0），B（4，0），與y軸交于點C，連接BC．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，點P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點，過點P作直線l⊥x軸于點M（m，0），交BC于點N，連接CM，PB，PC．△PCB的面積記為S1，△BCM的面積記為S2，當(dāng)S1＝S2時，求m的值；
（3）在（2）的條件下，點Q在拋物線上，直線MQ與直線BC交于點H，當(dāng)△HMN與△BCM相似時，請直接寫出點Q的坐標(biāo)．

【中考模擬練】
1．（2024?東莞市一模）已知：在平面直角坐標(biāo)系中，點O為坐標(biāo)原點，直線y＝﹣x+3與x軸交于點B，與y軸交于點C，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過B、C兩點，與x軸的另一交點為點A．
（1）如圖1，求拋物線的解析式；
（2）如圖2，點D為直線BC上方拋物線上一動點，連接AC、CD，設(shè)直線BC交線段AD于點E，△CDE的面積為S1，△ACE的面積為S2．當(dāng)時，求點D的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，且點D的橫坐標(biāo)小于2，是否在數(shù)軸上存在一點P，使得以A、C、P為頂點的三角形與△BCD相似，如果存在，請直接寫出點P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

題型四：二次函數(shù)與新定義的綜合
【中考真題練】
1．（2023?南通）定義：平面直角坐標(biāo)系xOy中，點P（a，b），點Q（c，d），若c＝ka，d＝﹣kb，其中k為常數(shù)，且k≠0，則稱點Q是點P的“k級變換點”．例如，點（﹣4，6）是點（2，3）的“﹣2級變換點”．
（1）函數(shù)y＝﹣的圖象上是否存在點（1，2）的“k級變換點”？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由；
（2）動點A（t，t﹣2）與其“k級變換點”B分別在直線l1，l2上，在l1，l2上分別取點（m2，y1），（m2，y2）．若k≤﹣2，求證：y1﹣y2≥2；
（3）關(guān)于x的二次函數(shù)y＝nx2﹣4nx﹣5n（x≥0）的圖象上恰有兩個點，這兩個點的“1級變換點”都在直線y＝﹣x+5上，求n的取值范圍．

2．（2023?鄂州）某數(shù)學(xué)興趣小組運用《幾何畫板》軟件探究y＝ax2（a＞0）型拋物線圖象．發(fā)現(xiàn)：如圖1所示，該類型圖象上任意一點P到定點F（0，）的距離PF，始終等于它到定直線l：y＝﹣的距離PN（該結(jié)論不需要證明）．他們稱：定點F為圖象的焦點，定直線l為圖象的準(zhǔn)線，y＝﹣叫做拋物線的準(zhǔn)線方程．準(zhǔn)線l與y軸的交點為H．其中原點O為FH的中點，F(xiàn)H＝2OF＝．例如，拋物線y＝2x2，其焦點坐標(biāo)為F（0，），準(zhǔn)線方程為l：y＝﹣，其中PF＝PN，F(xiàn)H＝2OF＝．
【基礎(chǔ)訓(xùn)練】
（1）請分別直接寫出拋物線y＝x2的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線l的方程： ， ；
【技能訓(xùn)練】
（2）如圖2，已知拋物線y＝x2上一點P（x0，y0）（x0＞0）到焦點F的距離是它到x軸距離的3倍，求點P的坐標(biāo)；
【能力提升】
（3）如圖3，已知拋物線y＝x2的焦點為F，準(zhǔn)線方程為l．直線m：y＝x﹣3交y軸于點C，拋物線上動點P到x軸的距離為d1，到直線m的距離為d2，請直接寫出d1+d2的最小值；
【拓展延伸】
該興趣小組繼續(xù)探究還發(fā)現(xiàn)：若將拋物線y＝ax2（a＞0）平移至y＝a（x﹣h）2+k（a＞0）．拋物線y＝a（x﹣h）2+k（a＞0）內(nèi)有一定點F（h，k+），直線l過點M（h，k﹣）且與x軸平行．當(dāng)動點P在該拋物線上運動時，點P到直線l的距離PP1始終等于點P到點F的距離（該結(jié)論不需要證明）．例如：拋物線y＝2（x﹣1）2+3上的動點P到點F（1，）的距離等于點P到直線l：y＝的距離．
請閱讀上面的材料，探究下題：
（4）如圖4，點D（﹣1，）是第二象限內(nèi)一定點，點P是拋物線y＝x2﹣1上一動點．當(dāng)PO+PD取最小值時，請求出△POD的面積．

【中考模擬練】
1．（2024?新吳區(qū)一模）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx（a≠0）頂點的縱坐標(biāo)為﹣4，且與x軸交于點A（4，0）．作出該拋物線位于x軸下方的圖象關(guān)于x軸對稱的圖象，位于x軸上方的圖象保持不變，就得到y(tǒng)＝|ax2+bx|的圖象，直線y＝kx（k＞0）與y＝|ax2+bx|的圖象交于O、B、C三點．
（1）求a、b的值；
（2）新定義：點M（xm，ym）與點N（xn，yn）的“折線距離”為ρ（M，N）＝|xm﹣xn|+|ym﹣yn|．已知ρ（O，B）＝ρ（B，C）．
①求k的值；
②以點B為圓心、OB長為半徑的⊙B交∠AOC的平分線于點D（異于點O），交x軸點E（異于點O），求ρ（D，E）的值．

2．（2024?寶安區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系中，有如下定義：若某圖形W上的所有點都在一個矩形的內(nèi)部或邊界上（該矩形的一條邊平行于x軸），這些矩形中面積最小的矩形叫圖形W的“美好矩形”．
例如：如圖1，已知△ABC，矩形ADEF，AD∥x軸，點B在DE上，點C在EF上，則矩形ADEF為△ABC的美好矩形．
（1）如圖2，矩形ABCD是函數(shù)y＝2x（﹣1≤x≤1）圖象的美好矩形，求出矩形ABCD的面積；
（2）如圖3，點A的坐標(biāo)為（1，4），點B是函數(shù)圖象上一點，且橫坐標(biāo)為m，若函數(shù)圖象在A、B之間的圖形的美好矩形面積為9，求m的值；
（3）對于實數(shù)a，當(dāng)時，函數(shù)圖象的美好矩形恰好是面積為3，且一邊在x軸上的正方形，請直接寫出b的值．

此類問題都是在拋物線的基礎(chǔ)之上與平行四邊形、特殊平行四邊形結(jié)合，考察特殊平行四邊形的性質(zhì)或者存在性問題；做題時需要將二者的性質(zhì)結(jié)合思考，共同應(yīng)用。
1、二次函數(shù)本身可以轉(zhuǎn)化成頂點式求最值；
2、拋物線上不規(guī)則三角形求面積最大值，常用“水平寬×鉛垂高÷2”來計算

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