函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1. 借助函數(shù)圖象，會用符號語言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值，理解它們的作用和實(shí)際意義；
2. 掌握定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，掌握求單調(diào)區(qū)間的基本方法，能夠利用函數(shù)單調(diào)性比大小、解不等式進(jìn)而求函數(shù)值域和最值．
【備注】1. 本節(jié)重點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性判斷，求單調(diào)區(qū)間，單調(diào)性的應(yīng)用；
2. 本節(jié)難點(diǎn)：定義法證明、探索函數(shù)單調(diào)性，求函數(shù)的值域和最值；
3. 前置知識：函數(shù)的概念和性質(zhì)；
4. 后置知識：導(dǎo)數(shù)．
一、 單調(diào)性的相關(guān)概念
1. 單調(diào)性的定義和圖象表示
一般地，設(shè)的定義域?yàn)?:
（1）如果對于定義域 內(nèi)某個子區(qū)間 上的任意兩個自變量
，當(dāng)
時均有
，那
么就說函數(shù)在區(qū)間 上是 單調(diào)增函數(shù) ，如下圖，增函數(shù)的圖象在其對應(yīng)區(qū)間內(nèi)呈上升趨勢．
（2）如果對于定義域 內(nèi)某個子區(qū)間 上的任意兩個自變量，當(dāng)時均有，那
么就說函數(shù)在區(qū)間 上是 單調(diào)減函數(shù) ，如下圖，減函數(shù)的圖象在其對應(yīng)區(qū)間內(nèi)呈下降趨勢．
（3）討論函數(shù)單調(diào)性的注意點(diǎn)
①的取值具有任意性．不能因?yàn)槟澈瘮?shù)在區(qū)間上有，就說函數(shù)單調(diào)增；也不能
因?yàn)閷θ我庥?，就說函數(shù)單調(diào)增．必須強(qiáng)調(diào)都是任意的．
②單調(diào)性相對區(qū)間而言．?dāng)⑹鰡握{(diào)性永遠(yuǎn)不能脫離區(qū)間．
③若某函數(shù)在某區(qū)間 上為增函數(shù)，則與可正反互推，即
．若為減函數(shù)，同理．(以上是題型“利用單調(diào)性解不等式”的理論依據(jù)．)
④若函數(shù)在某區(qū)間 上為常數(shù)，該函數(shù)在該區(qū)間上不單調(diào)．
(4)單調(diào)性除了用定義表達(dá)外，還可以用以下方式表達(dá)：(下面都以單調(diào)增為例)
①；
②；
③．
經(jīng)典例題
1. 已知函數(shù)
的序號是
在
，
．
上是增函數(shù)，對于任意的 ，
，
（
），則下列結(jié)論中正確
①；②；
③；④．
【備注】 雖然習(xí)慣上默認(rèn)，但如遇到的大小關(guān)系未作規(guī)定時仍需謹(jǐn)慎．
【答案】①②④
【解析】
時，
，①②③④均正確；
時，
，①②④均正
確，所以正確的有①②④．
【標(biāo)注】【知識點(diǎn)】用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性
鞏固練習(xí)
2. “函數(shù)
A. 存在
B. 存在
在區(qū)間
上不是增函數(shù)”的一個充要條件是 （ ）．滿足
滿足
C.
D.
存在
存在
且
且
滿足
滿足
【答案】D
【解析】若函數(shù)
在區(qū)間
上是增函數(shù)，
則 ，且，有，
所以若在區(qū)間不是增函數(shù)，
則有 ，且時，有，
故選： ．
【標(biāo)注】【知識點(diǎn)】充要條件與函數(shù)結(jié)合
2. 單調(diào)區(qū)間
如果函數(shù)在區(qū)間 上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說函數(shù)在這一區(qū)間具有（嚴(yán)
格的）單調(diào)性，區(qū)間 叫做的單調(diào)區(qū)間．
經(jīng)典例題
3. 若函數(shù)
是區(qū)間
上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是
．
【備注】
簡單具體函數(shù)的單調(diào)區(qū)間問題，現(xiàn)階段須掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、絕
【答案】
【解析】
由函數(shù)
，
得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
所以，解得．
【標(biāo)注】【知識點(diǎn)】求單調(diào)區(qū)間
【素養(yǎng)】數(shù)學(xué)運(yùn)算
4. ①定義在 上函數(shù)滿足，則是 上的增函數(shù)；
②定義在 上函數(shù)滿足，則在 上不是減函數(shù)；
③定義在 上函數(shù)在是增函數(shù)，在上也是增函數(shù)，則在 上單調(diào)遞增；
④定義在 上函數(shù)在是增函數(shù)，在上也是增函數(shù)，則在 上單調(diào)遞增；以
上說法正確的（ ）．
A. ②③B. ①③C. ②④D. ①④
【備注】
做題時一定要看清楚單調(diào)區(qū)間的開閉，有時候會相差甚遠(yuǎn)；
建議學(xué)生自己書寫單調(diào)區(qū)間永遠(yuǎn)寫開區(qū)間，并且若出現(xiàn)多個單調(diào)區(qū)間，用“和”或者
【答案】A【解析】略
【標(biāo)注】【知識點(diǎn)】用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性；抽象函數(shù)
5. 已知函數(shù)（），若在區(qū)間上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù) 的取值范圍
是．
【備注】
透過本題可以引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)分類討論的思想，本題乍看上去頭緒不少，既需要討論不
【答案】
【解析】當(dāng)
，即
時，要使
在
上是減函數(shù)，
則需，此時．
當(dāng)，即時，要使在上是減函數(shù)，
則需，此時
所以，實(shí)數(shù) 的取值范圍是
．
【標(biāo)注】【知識點(diǎn)】已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍
6. 函數(shù)在上單調(diào)遞增，則 的取值范圍為．
【備注】
處理此類的"分式"一般可用分離常數(shù)法，將其轉(zhuǎn)化為類似反比例函數(shù)的形式，對函數(shù)
單調(diào)性的分類討論，一般先討論 的正負(fù)，然后討論漸近線的位
，任意的一個單調(diào)區(qū)間不可能跨漸
【答案】
【解析】
在
上單遞增．
∴，
∴．
【標(biāo)注】【知識點(diǎn)】利用函數(shù)單調(diào)性解不等式
鞏固練習(xí)
7. 函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（ ）．
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】函數(shù)
的圖象如下圖所示：
由圖可得：函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是，
故選 ．
【標(biāo)注】【知識點(diǎn)】求單調(diào)區(qū)間；分段函數(shù)
8. 下列函數(shù)中，在區(qū)間上為增函數(shù)的是（ ）．
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】A 選項(xiàng)：
，即在
上單調(diào)遞減，在
上單
調(diào)遞增；B 選項(xiàng)：C 選項(xiàng)：
，在
，在上單調(diào)遞增；
上單調(diào)遞減；
D 選項(xiàng)：，上單調(diào)遞減．
故選 B .
【標(biāo)注】【知識點(diǎn)】用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性
9. 若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則 的取值范圍為．
【答案】
【解析】
時，滿足；
時，需要
；
時，需要
，
∴，
綜上所述：．
【標(biāo)注】【知識點(diǎn)】已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍
10. 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則 的取值范圍為．
【答案】
【解析】
，由函數(shù)在
上是增函數(shù)，可得
，即
，則
的取值范圍為．
【標(biāo)注】【知識點(diǎn)】利用函數(shù)單調(diào)性解不等式
二、 單調(diào)性證明與判斷
1. 單調(diào)性證明
依據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)的單調(diào)性的步驟如下：
第一步：取值，在指定的區(qū)間任取，且令；
第二步：作差，構(gòu)造差式，帶入函數(shù)解析式進(jìn)行化簡變形，通常的手段為因式
分解，通分，配方，有理化等等，目的是將差式分解為連乘積的形式，方便判斷符號；
第三步：定號，第二步完成順利的情況下，利用已知的以及定義域再結(jié)合其他條件判斷差式
的符號，如果能夠判定符號，直接進(jìn)行第四步，如果不能判定，可能還需要將區(qū)間細(xì)分或
者分類討論，直到可以確定差的符號為止；
第四步：判斷，判斷函數(shù)究竟符合增函數(shù)還是減函數(shù)的定義．
【備注】（1）第一步中的的大小規(guī)定對最后的結(jié)論并無影響．
（2）在第二步中的變形中一般盡量化成幾個最簡因式的積或者若干完全平方式的形式．
經(jīng)典例題
11. 已知
（ 1 ）若，試證明 在上單調(diào)遞增．
（ 2 ）若且 在上單調(diào)遞減，求 的取值范圍．
【備注】
剛學(xué)習(xí)單調(diào)性時，在解答題中，無論是判斷或證明單調(diào)性，還是根據(jù)單調(diào)性求算參數(shù)
【答案】（ 1 ）證明見解析．
（ 2 ）．
【解析】（ 1 ）當(dāng)時，．
設(shè)任意 ，，且，
則．
∵ ，，且，
∴，，
∴，
∴在上單調(diào)遞增．
（ 2 ）任取，則，
因?yàn)?，?br>所以要使，
只需在上恒成立，所以，
綜上所述， 的取值范圍是．
【標(biāo)注】【知識點(diǎn)】已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍
12. 定義在 上的函數(shù)同時滿足下列條件：
①對任意 ，恒有；
②當(dāng)
（ 1 ）求
時，
的值；
．
（ 2 ）求證： 在 上為減函數(shù)．
【備注】
抽象函數(shù)單調(diào)性的證明：可如解析中意義，通過改寫參數(shù)，從抽象關(guān)系式中構(gòu)建差式
或比式，也通過抽象關(guān)系式代換差式中的項(xiàng)，
如
結(jié)合預(yù)設(shè)的自變量關(guān)系，即可求解單調(diào)性．
【答案】（ 1 ）見解析．
（ 2 ）見解析．
【解析】（ 1 ）令得：；
（ 2 ）任取 ，，，
令，得：，
于是，
∵當(dāng)時，，∴由可知，，
∴當(dāng)時，有，
所以函數(shù)在 上為減函數(shù)．
【標(biāo)注】【知識點(diǎn)】用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性；抽象函數(shù)
13. 判斷函數(shù)的單調(diào)性．
【備注】
本題涉及用定義法探索”對勾函數(shù)“的單調(diào)性，由于需要再對區(qū)間進(jìn)行細(xì)分并討論，相比
建議結(jié)合基本不等式的知識向?qū)W生介紹的最小值在處
?。梢詷闼氐乩斫猓瑢春瘮?shù)在只有一個最小值點(diǎn)，因此最小值點(diǎn)左側(cè)單調(diào)減
右側(cè)單調(diào)增），分別探索和兩段區(qū)間的單調(diào)性，時同
理．
也可以介紹經(jīng)驗(yàn)性的區(qū)間細(xì)分方法，當(dāng)發(fā)現(xiàn)差式的正負(fù)決定項(xiàng)為時，區(qū)間
分界就為方程的實(shí)根；如正負(fù)決定項(xiàng)為，區(qū)間分界就為
的實(shí)根．
【答案】在和上是增函數(shù)，在和上是
減函數(shù)．
【解析】任取 ，
，且
，
則
，
當(dāng) ，時，，，
所以 式大于 ，即，所以，
即在上是減函數(shù)，
當(dāng) ，時，，，
所以 式小于 ，即，所以，
即在上是增函數(shù)，
同理可得，當(dāng)時，是減函數(shù)，
當(dāng)時，是增函數(shù)，
綜上所述，在和上是增函數(shù)，在和
上是減函數(shù)．
【標(biāo)注】【知識點(diǎn)】用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性
鞏固練習(xí)
14. 設(shè)是定義在 上的函數(shù)，對 ，，恒有，
且當(dāng)時，
（ 1 ）求證：（ 2 ）求證：（ 3 ）求證：
．
．
時，恒有
在 上是減函數(shù)．
．
【答案】（ 1 ）證明見解析．（ 2 ）證明見解析．（ 3 ）證明見解析．
【解析】（ 1 ）根據(jù)題意，令，可得．
∵，
∴．
（ 2 ）由題意知時，．
當(dāng)時，．
當(dāng)時，，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴當(dāng)時，．故時，恒有．
（ 3 ）任取 ，，且，則，
∴
．
由（ ）知，又，∴，
故，故在 上是減函數(shù)．
【標(biāo)注】【知識點(diǎn)】用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性；用賦值消元法求解析式；解析法；抽象函數(shù)
15. 設(shè)函數(shù)，證明：當(dāng)時, 函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)．
【答案】證明見解析．【解析】設(shè) ，
，且
，
，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即．
∴函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，
【標(biāo)注】【知識點(diǎn)】用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性
16. 利用單調(diào)性的定義討論函數(shù)
在區(qū)間
上的單調(diào)性．
【答案】當(dāng)時， 在上遞減；當(dāng)時， 在上遞增．
【解析】設(shè)，，
∴
，
∵，
∴，，，
故當(dāng)時，，
即，此時函數(shù)在上遞減；
當(dāng)時，，
即，此時函數(shù)在上遞增．
【標(biāo)注】【知識點(diǎn)】用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性
2. 單調(diào)性的運(yùn)算性質(zhì)
1、數(shù)乘：函數(shù)乘以正數(shù)，單調(diào)性 不變 ；乘以負(fù)數(shù)，單調(diào)性 相反 ．
2、倒數(shù)：若函數(shù)恒正或恒負(fù)，則單調(diào)性與相反 ．(學(xué)習(xí)了后面復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可
解釋此性質(zhì)，還可推導(dǎo)與等情形及其條件．)
3、四則運(yùn)算：增函數(shù)加增函數(shù)是 增函數(shù) ，減函數(shù)加減函數(shù)是 減函數(shù) ，即“增 增 增”，“減
減 減”．如若兩個函數(shù)恒正，則“增 增 增 ”，“減 減 減 ”．如若兩個函數(shù)恒負(fù)，則“增增 減 ”，“減 減 增 ”
【備注】，函數(shù)圖象上下平移，單調(diào)性不變；，函數(shù)圖象左右平
移，單調(diào)區(qū)間相應(yīng)移動．(函數(shù)的平移變換以后會學(xué)到．)
判斷單調(diào)性的方法：直接判斷、定義、性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)(以后會學(xué)到)．
經(jīng)典例題
17. 判斷下列函數(shù)的單調(diào)性：
（ 1 ）．
（ 2 ）（ 3 ）（ 4 ）
．
．
．
（ 5 ）．
（ 6 ）．
【備注】 應(yīng)用單調(diào)性的性質(zhì)時須留意定義域的制約功能．
【答案】（ 1 ）見解析．
（ 2 ）見解析．
（ 3 ）見解析．
（ 4 ）見解析．
（ 5 ）見解析．
（ 6 ）見解析．
【解析】（ 1 ）在
，
上單調(diào)遞減；在
，
上單調(diào)遞增．
（ 2 ）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
（ 3 ）在與上單調(diào)遞減．
（ 4 ）（ 5 ）（ 6 ）
在
在定義域
在定義域
上單調(diào)遞減．
上是增函數(shù)；因?yàn)?br>上是增函數(shù)；因?yàn)?br>，
，
，且都單調(diào)增．
，且都單調(diào)增．
【標(biāo)注】【思想】函數(shù)思想
【知識點(diǎn)】判斷復(fù)合函數(shù)單調(diào)性【知識點(diǎn)】求單調(diào)區(qū)間
【素養(yǎng)】數(shù)學(xué)運(yùn)算
鞏固練習(xí)
18. 有以下命題：
①若函數(shù)、 在 上是增函數(shù)，則在 上也是增函數(shù)；
②若在 上是增函數(shù)， 在 上是減函數(shù)，則在 上是減函數(shù)；
③若函數(shù)在區(qū)間上遞增，則在上遞增；
④ 若函數(shù)、 在 上是增函數(shù)，則在 上也是增函數(shù)．
其中正確命題的個數(shù)為（ ）．
A.B.C.D.
【備注】 應(yīng)用單調(diào)性性質(zhì)時，涉及到乘除的一般都須考慮正負(fù)．
【答案】B
【解析】正確命題為①②，
故選 ．
【標(biāo)注】【知識點(diǎn)】利用四則運(yùn)算判斷函數(shù)單調(diào)性
19. 判斷下列函數(shù)的單調(diào)性
（ 1 ）（ 2 ）（ 3 ）
．
．
．
（ 4 ）．
【答案】（ 1 ）單調(diào)增區(qū)間：（ 2 ）單調(diào)增區(qū)間：（ 3 ）單調(diào)增區(qū)間：（ 4 ）單調(diào)增區(qū)間：
．和．
．
．
【解析】（ 1 ）函數(shù)定義域?yàn)?，在定義域上和均為增函數(shù)，所以原函數(shù)在定
義域上單調(diào)遞增．
（ 2 ）函數(shù)定義域?yàn)?br>，在
和
上
單調(diào)遞增，
單調(diào)遞減，所以原函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為和．
（ 3 ）函數(shù)定義域?yàn)?，原函?shù)可化為在上單調(diào)
遞增，單調(diào)遞減，所以原函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為．
（ 4 ）
函數(shù)的定義域?yàn)?，在定義域上與均單調(diào)遞增且均大
于零，所以原函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增．
【標(biāo)注】【知識點(diǎn)】利用四則運(yùn)算判斷函數(shù)單調(diào)性
3. 分段函數(shù)單調(diào)性
遇到分段函數(shù)，先畫出函數(shù)圖象，再判斷其單調(diào)性．
分段函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)等價于：函數(shù)在每一段區(qū)間上單調(diào)；函數(shù)在區(qū)間與區(qū)間之間交界處保持單
調(diào)趨勢．
經(jīng)典例題
20. 已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則 的取值范圍是（ ）．
A.B.
C.D.
【備注】
除了研究各段上的單調(diào)性外，還要留意區(qū)間交界處保持單調(diào)趨勢，一般來說，兩段函
【答案】C
【解析】當(dāng)
時，
，
由題意，在上單調(diào)遞減，
則，解得，
當(dāng)時，，
由題意，在上單調(diào)遞減，
則，解得，
又在 上單調(diào)遞減，
則當(dāng)時，，
即，解得，
故 的取值范圍是．
故選 ．
【標(biāo)注】【知識點(diǎn)】分段函數(shù)單調(diào)性
鞏固練習(xí)
21. 已知函數(shù)若存在 ，，使得成立，則實(shí)數(shù) 的取值
范圍是（ ）．
A.B.
C.D.
【備注】 留意到兩段函數(shù)在分界點(diǎn)處函數(shù)值相等，即函數(shù)圖像連續(xù)，因此不會出現(xiàn)不單調(diào)
而沒有成立的情況．也就是說，本題等價于函數(shù)在定義域上不單調(diào)．
【答案】A
【解析】依題意，在定義域內(nèi)，
不是單調(diào)的．
分情況討論：
1）當(dāng)時，若不是單調(diào)的函數(shù)，
則對稱軸，所以．
2）當(dāng)時，若是單調(diào)遞增的，此時，
此時當(dāng)時為單調(diào)遞增函數(shù)，
并且函數(shù)在 上單調(diào)遞增的，所以不滿足條件．
綜上，．
故選 ．
【標(biāo)注】【知識點(diǎn)】求單調(diào)區(qū)間
22. 已知是 上的增函數(shù)，則 的取值范圍是．
【答案】
【解析】
若
在 上單調(diào)遞增，則
即
則
，即 的取值范
圍是．
故答案為：．
【標(biāo)注】【知識點(diǎn)】分段函數(shù)單調(diào)性；已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍
4. 復(fù)合函數(shù)單調(diào)性
復(fù)合函數(shù)的定義
如果函數(shù)的定義域?yàn)?，函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)? ，若滿足
，那么使的任意一個 ，都有唯一確定的一個 與之對應(yīng)，則變量 與 之間通過變量 形成
的一種函數(shù)關(guān)系，這種函數(shù)稱為復(fù)合函數(shù)．記為：，其中 叫做中間變量，叫做內(nèi)
函數(shù)，叫做外函數(shù)．
例如就可以視為復(fù)合函數(shù)，其中叫做內(nèi)函數(shù)，叫做外函
數(shù)．
（一）判斷復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的步驟：
（1）確定定義域；
（2）將復(fù)合函數(shù)分解為若干基本初等函數(shù)；
（3）分別確定各個基本初等函數(shù)的單調(diào)性；
（4）若，函數(shù)在區(qū)間 上的單調(diào)性與在區(qū)間 的單調(diào)性一致，
則復(fù)合函數(shù)在區(qū)間 上單調(diào)遞增；若單調(diào)性相反，則復(fù)合函數(shù)在區(qū)間 上單調(diào)遞減，即“同增異減”．
(二) 求復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間
（1）確定定義域 ；
（2）分別求出外層函數(shù)
的增減區(qū)間 和 ，內(nèi)層函數(shù)
的增減區(qū)間 和 ；
（3）根據(jù)“同增異減”的法則，復(fù)合函數(shù)增區(qū)間為不等式組
與不等式組
解集的并集；
復(fù)合函數(shù)減區(qū)間為不等式組與不等式組解集的并集．
需要強(qiáng)調(diào)的是，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間一定是自變量 的區(qū)間．
【備注】
需要指出的是，常見的涉及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的題目中，外函數(shù)和內(nèi)函數(shù)其中的一個一
，求
的單調(diào)區(qū)間，這樣的題目內(nèi)外函數(shù)都不單調(diào)，則會相對復(fù)雜一些，可結(jié)合圖
經(jīng)典例題
23. 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）．
A.B.，
C.，D.，
【備注】 可借由本題向?qū)W生展示數(shù)形結(jié)合思想的優(yōu)越性．如用不等式組求解，則有如下：
【答案】C
【解析】方法一：函數(shù)
，
當(dāng)即或，
可得，
即有在遞增；
當(dāng)即，
可得，
即有在遞增；
則的增區(qū)間為，．
故選 ．
方法二：作出函數(shù)
的圖像如圖所示，
由圖像得，的單調(diào)遞增區(qū)間為和．
故選 ．
【標(biāo)注】【思想】數(shù)形結(jié)合思想
【素養(yǎng)】直觀想象
【知識點(diǎn)】求單調(diào)區(qū)間；絕對值函數(shù)
鞏固練習(xí)
24. 用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知識解決下列函數(shù)的單調(diào)性問題．
（ 1 ）（ 2 ）
．
．
【答案】（ 1 ），單調(diào)遞減，，單調(diào)遞增，，單調(diào)遞減，
（ 2 ）
，單調(diào)遞增．
，單調(diào)遞減，
，單調(diào)遞增，
單調(diào)遞減，
單調(diào)遞增．
【解析】（ 1 ），，單調(diào)遞減，，單調(diào)遞增，
（ 2 ）
，單調(diào)遞減，
，單調(diào)遞減，
，單調(diào)遞增．
，單調(diào)遞增，
單調(diào)遞減，
單調(diào)遞增．
【標(biāo)注】【素養(yǎng)】邏輯推理
【知識點(diǎn)】判斷復(fù)合函數(shù)單調(diào)性
25. 分析下列函數(shù)的單調(diào)性：
（ 1 ）．
（ 2 ）．
（ 3 ）．
【答案】（ 1 ）在（ 2 ）
（ 3 ）
單調(diào)增．
單調(diào)增，
單調(diào)增，
單調(diào)減．
單調(diào)增．
【標(biāo)注】【知識點(diǎn)】判斷復(fù)合函數(shù)單調(diào)性
三、 單調(diào)性的應(yīng)用
1. 比大小/解不等式
根據(jù)單調(diào)性的定義，若函數(shù)在某區(qū)間 上單調(diào)增，則對于區(qū)間內(nèi)任意
，必有
．則知道自變量的大小關(guān)系，可以比較因變量的大小關(guān)系．比如已知函數(shù)在上單調(diào)增，則
必有，因?yàn)椋?br>反過來，已知也可推出，可應(yīng)用于解不等式．例如已知函數(shù)在 上單調(diào)
減，且，則可得或．
經(jīng)典例題
26. 已知函數(shù)
，若在區(qū)間
上，滿足
，則實(shí)數(shù) 的取值范
圍為．
【備注】
先判斷函數(shù)在指定區(qū)間上的單調(diào)性，自變量在滿足相對大小關(guān)系前，須滿足在定義域
【答案】
【解析】由題意知，
在
上是增函數(shù)，
因此．
【標(biāo)注】【素養(yǎng)】數(shù)學(xué)運(yùn)算
【素養(yǎng)】邏輯推理
【知識點(diǎn)】利用函數(shù)單調(diào)性解不等式
27. 函數(shù)
（ 1 ）求證：
對任意的實(shí)數(shù) ， ，都有
是上的增函數(shù)．
，并且當(dāng)
時，
．
（ 2 ）若，解不等式．
【備注】
作為單調(diào)增的抽象函數(shù)，不難想到第二問是要利用單調(diào)性解不等式，因此尋找
就成了"題中應(yīng)有之義"．
【答案】（ 1 ）證明見解析．
（ 2 ）．
【解析】（ 1 ）任取，則，
∴，
∴
，
∴
（ 2 ）∵
在
上單調(diào)遞增．
，
∴，
∴等價于，
即，
∴，即，
∴．
∴ 的取值范圍是
．
【標(biāo)注】【知識點(diǎn)】用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性；利用函數(shù)單調(diào)性解不等式
鞏固練習(xí)
28. 已知函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，且，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是（
）．
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】函數(shù)
在定義域
上是減函數(shù)，
則有：，
解得：．
故選 ．
【標(biāo)注】【知識點(diǎn)】利用函數(shù)單調(diào)性解不等式
29. 已知函數(shù)．當(dāng)時，不等式恒成立，則實(shí)數(shù) 的取值范圍
是．
【答案】
【解析】因?yàn)?br>為偶函數(shù)，
為奇函數(shù)，
所以是奇函數(shù)，
當(dāng)時，為增函數(shù)，
由奇函數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)性相同可得，函數(shù)在 上增函數(shù)，
又因?yàn)椴坏仁娇梢赞D(zhuǎn)化為解得，
即，所以．
【標(biāo)注】【知識點(diǎn)】利用函數(shù)單調(diào)性解不等式
30. 定義在 上的函數(shù)，滿足，當(dāng)時，，且對任意的 ，，有
．
（ 1 ）證明：．
（ 2 ）證明：對任意的
，恒有
．
（ 3 ）證明：（ 4 ）若
是 上的增函數(shù)．
，求 的取值范圍．
【答案】（ 1 ）證明見解析（ 2 ）證明見解析（ 3 ）證明見解析（ 4 ）
【解析】（ 1 ）令
（ 2 ）由題設(shè)知
，則
時，
，又
．
，故
．
當(dāng)時，．
由，得．
由即有，故，
即，也有．
綜上，對任意的恒有．
（ 3 ）設(shè)，不妨令，
則．
由于，，
故，
即
（ 4 ）由
是 上的增函數(shù)．
，
，
得，
又是 上的增函數(shù)，
故，
解得．
【標(biāo)注】【知識點(diǎn)】抽象函數(shù)；利用函數(shù)單調(diào)性解不等式；用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性
2. 求解函數(shù)的值域和最值
一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果存在實(shí)數(shù) 滿足：
①，都有;
②，使得．
那么我們稱 是函數(shù)的 最大值 ；
如果存在實(shí)數(shù) 滿足：
①，都有;
②，使得．
那么我們稱 是函數(shù)的 最小值 ；
單調(diào)性幾乎是函數(shù)最基本的性質(zhì)，要得到函數(shù)的圖象，就必須清楚地知道其單調(diào)性．而若得到了函
數(shù)圖象，函數(shù)的值域和最值等等自然迎刃而解．
例如求解函數(shù)在的最大值，由于其為“增 增 增”，所以最大值為
．又如函數(shù)，其在定義域內(nèi)單調(diào)增，最大值為，所以函數(shù)值
域?yàn)椋?br>經(jīng)典例題
31. 函數(shù)
，
的值域是
．
【備注】 "增"加"增"還是增．
【答案】
【解析】由題意可知，
在
上單調(diào)遞增，所以
，
，所以
在上的值域是．
【標(biāo)注】【知識點(diǎn)】用單調(diào)性觀察法求值域
32. 設(shè)，若無最小值，則 的取值范圍．
【備注】
本題體現(xiàn)了核驗(yàn)邊界取等的重要性，可如解析中分類討論，也可利用數(shù)形結(jié)合思想，
【答案】
【解析】
，
當(dāng)時，為減函數(shù)，，
當(dāng)時，，
①當(dāng)，，
∵無最小值，
∴，解得，
②當(dāng)時，，
∵無最小值，
∴，顯然不成立，
綜上所述 的取值范圍為
．
故答案為：．
【標(biāo)注】【知識點(diǎn)】已知函數(shù)的最值求參數(shù)
鞏固練習(xí)
33. 求函數(shù)的值域．
【答案】．
【解析】，，值域?yàn)椋?br>【標(biāo)注】【知識點(diǎn)】用單調(diào)性觀察法求值域
34. 對于任意實(shí)數(shù) ， ，定義：，若函數(shù)，，則函數(shù)
的最小值為()
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】解：由題意
，
可得：
作出圖象如下：
或
，
從圖象不難看出：函數(shù)的最小值為 ．
故選：B．
【標(biāo)注】【知識點(diǎn)】利用單調(diào)性求函數(shù)最值
35. 已知函數(shù)
（ 1 ）若對任意的
．
，
恒成立．試求實(shí)數(shù) 的取值范圍．
（ 2 ）若時，求函數(shù) 在上的最小值．
【答案】（ 1 ）．
（ 2 ）．
【解析】（ 1 ）根據(jù)題意可得在恒成立，
等價于在恒成立，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減，所以，
∴．
（ 2 ），設(shè)，
，
∵，
∴，
∴，即．
∴在單調(diào)遞減，同理可證在單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
出門測
36. 函數(shù)在上是減函數(shù)，且，則滿足的實(shí)數(shù) 的取值范圍是（
）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】∵
，
∴由得，，且在上是減函數(shù)，
∴，解得，
∴滿足的實(shí)數(shù) 的取值范圍是．
故選： ．
【標(biāo)注】【知識點(diǎn)】利用函數(shù)單調(diào)性解不等式
37. 若，則函數(shù)的值域是（ ）．
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】
為增函數(shù)，
為減函數(shù)．
，
根據(jù)單調(diào)性的四則運(yùn)算可知，增函數(shù)減去減函數(shù)為增函數(shù)．
，．
故選 ．
【標(biāo)注】【知識點(diǎn)】用單調(diào)性觀察法求值域；利用四則運(yùn)算判斷函數(shù)單調(diào)性
38. 若函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)增函數(shù)，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是．
【答案】
【解析】∵
，
∴，
∵函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)增函數(shù)，
∴在區(qū)間恒成立．
∴．
故答案為：．
【標(biāo)注】【知識點(diǎn)】求單調(diào)區(qū)間
39. 已知函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù) 的取值范圍為．
【答案】
【解析】
．
∵在上單調(diào)遞減，
∴，即．
【標(biāo)注】【知識點(diǎn)】求單調(diào)區(qū)間
27

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