數(shù) 學(xué)（文科）
（考試時(shí)間：120分鐘 試卷滿分：150分）
注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
第一部分（選擇題 共60分）
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．已知集合，，則滿足的實(shí)數(shù)a的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．已知復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，則（ ）
A．B．C．4D．2
3．在中，則（ ）
A．B．
C．D．
4．已知是偶函數(shù)，則（ ）
A．0B．1C．D．
5．設(shè)是兩個(gè)不同的平面，是兩條直線，且.則“”是“”的（ ）
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
6．隨著國(guó)潮的興起，消費(fèi)者對(duì)漢服的接受度日漸提高，數(shù)據(jù)顯示，目前中國(guó)大眾穿漢服的場(chǎng)景主要有漢服活動(dòng)、藝術(shù)拍攝、傳統(tǒng)節(jié)日、旅游觀光、舞臺(tái)表演、婚慶典禮6類，某自媒體博主準(zhǔn)備從這6類場(chǎng)景中選2類拍攝中國(guó)大眾穿漢服的照片，則漢服活動(dòng)、旅游觀光這2類場(chǎng)景至少有1類場(chǎng)景被選中的概率為（ ）
A．B．C．D．
7．已知一個(gè)三棱錐的三視圖如圖，正視圖為邊長(zhǎng)為3的正方形，側(cè)視圖和俯視圖均為等腰直角三角形，則此幾何體的外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
8．已知點(diǎn)，點(diǎn)Q在圓上運(yùn)動(dòng)，若，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
9．已知函數(shù)，若直線為函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸，為函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，且在上單調(diào)遞減，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
10．我國(guó)南宋時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書(shū)九章》中提出了“三斜求積術(shù)”，其內(nèi)容為：“以小斜冪，并大斜冪，減中斜冪，余半之，自乘于上；以小斜冪乘大斜冪，減上，余四約之，為實(shí)；一為從隅，開(kāi)平方得積.”把以上文字寫(xiě)成公式，即（其中S為面積，a，b，c為的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊）.若，且，則利用“三斜求積”公式可得的面積（ ）
A．B．C．D．
11．已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F作垂直于x軸的直線，M，N分別是與雙曲線C及其漸近線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn).若M是線段的中點(diǎn)，則C的漸近線方程為（ ）
A．B．
C．D．
12．已知，則的大小關(guān)系是（ ）
A．B．C．D．
第二部分（非選擇題 共90分）
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13．已知實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為 ．
14．設(shè)，向量，，若，則 ．
15．已知圓錐的軸截面為正三角形，球與圓錐的底面和側(cè)面都相切.設(shè)圓錐的體積?表面積分別為，球的體積?表面積分別為，則 .
16．拋物線的焦點(diǎn)F，點(diǎn)A，B在拋物線上，且，弦AB的中點(diǎn)M在準(zhǔn)線上的射影為N，則的最大值為 ．
三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及驗(yàn)算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答，第22、23題為選做題，考生根據(jù)要求作答。
（一）必考題：共60分.
17．（12分）第19屆亞運(yùn)會(huì)將于2023年9月23日在我國(guó)杭州舉行，這是繼北京亞運(yùn)會(huì)后，我國(guó)第二次舉辦這一亞洲最大的體育盛會(huì).為迎接這一體育盛會(huì)，浙江某大學(xué)舉辦了一次主題為“喜迎杭州亞運(yùn)，講好浙江故事”的知識(shí)競(jìng)賽，并從所有參賽大學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，統(tǒng)計(jì)他們的競(jìng)賽成績(jī)（滿分100分，每名參賽大學(xué)生至少得60分），并將成績(jī)分成4組：，，，（單位：分），得到如下的頻率分布直方圖.
(1)試用樣本估計(jì)總體的思想，估計(jì)這次競(jìng)賽中參賽大學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)及中位數(shù)；（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)的區(qū)間中點(diǎn)值作代表）
(2)現(xiàn)將競(jìng)賽成績(jī)不低于90分的學(xué)生稱為“亞運(yùn)達(dá)人”，成績(jī)低于90分的學(xué)生稱為“非亞運(yùn)達(dá)人”.這100名參賽大學(xué)生的情況統(tǒng)計(jì)如下.
判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為能否獲得“亞運(yùn)達(dá)人”稱號(hào)與性別有關(guān).
附：（其中）.
18．（12分）已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，若成等比數(shù)列，且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)記，求證：.
19．（12分）如圖，在四棱錐中，平面平面，底面為等腰梯形，，且．
(1)證明：平面平面；
(2)若點(diǎn)到平面的距離為，求四棱錐的體積．
20．（12分）已知，曲線在處的切線方程為．
(1)求；
(2)證明．
21．（12分）已知雙曲線的右焦點(diǎn)，離心率為，過(guò)F的直線交于點(diǎn)兩點(diǎn)，過(guò)與垂直的直線交于兩點(diǎn).
(1)當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，求由四點(diǎn)圍成的四邊形的面積；
(2)直線分別交于點(diǎn)，若為的中點(diǎn)，證明：為的中點(diǎn).
（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做。則按所做的第一題記分.
22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；
(2)設(shè)直線與軸相交于點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在上，點(diǎn)滿足，點(diǎn)的軌跡為，試判斷曲線與曲線是否有公共點(diǎn).若有公共點(diǎn)，求出其直角坐標(biāo)；若沒(méi)有公共點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.
23．（10分）已知，，均為正數(shù)，且.
(1)是否存在，，，使得，說(shuō)明理由；
(2)證明：.亞運(yùn)達(dá)人
非亞運(yùn)達(dá)人
總計(jì)
男生
15
30
45
女生
5
50
55
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

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