理科 數(shù)學(xué)
（考試時(shí)間：120分鐘 試卷滿(mǎn)分：150分）
注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
第一部分（選擇題 共60分）
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
2．已知復(fù)數(shù)，則的虛部為（ ）
A．B．C．1D．
3．設(shè)，是兩條不同的直線(xiàn)，，是兩個(gè)不同的平面，若，，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件D．既不充分也不必要條件
4．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式可能為（ ）
A．B．
C．D．
5．已知平面向量滿(mǎn)足，則與的夾角為（ ）
A．B．C．D．
6．已知在R上單調(diào)遞增，且為奇函數(shù).若正實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
7．2024年3月16日下午3點(diǎn)，在貴州省黔東南苗族侗族自治州榕江縣“村超”足球場(chǎng)，伴隨平地村足球隊(duì)在對(duì)陣口寨村足球隊(duì)中踢出的第一腳球，2024年第二屆貴州“村超”總決賽階段的比賽正式拉開(kāi)帷幕.某校足球社的五位同學(xué)準(zhǔn)備前往村超球隊(duì)所在村寨調(diào)研，將在第一天前往平地村、口寨村、忠誠(chéng)村，已知每個(gè)村至少有一位同學(xué)前往，五位同學(xué)都會(huì)進(jìn)行選擇并且每位同學(xué)只能選擇其中一個(gè)村，若學(xué)生甲和學(xué)生乙必須選同一個(gè)村，則不同的選法種數(shù)是（ ）
A．18B．36C．54D．72
8．已知，則（ ）
A． B． C．D．
9．已知，則的大小關(guān)系是（ ）
A．B．C． D．
10．已知橢圓：的左焦點(diǎn)為，如圖，過(guò)點(diǎn)作傾斜角為的直線(xiàn)與橢圓交于，兩點(diǎn)，為線(xiàn)段的中點(diǎn)，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
11．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，且滿(mǎn)足，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．點(diǎn)可以是棱的中點(diǎn)B．線(xiàn)段的最大值為
C．點(diǎn)的軌跡是正方形D．點(diǎn)軌跡的長(zhǎng)度為
12．若函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，且恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
第二部分（非選擇題 共90分）
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分
13．若數(shù)列滿(mǎn)足，，則 ．
14．已知函數(shù)，其中為常數(shù)，且，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位所得的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)在取得極大值，則的值為 .
15．已知函數(shù)的最大值為，若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
16．已知四棱錐的高為，底面為菱形，，分別為的中點(diǎn)，則四面體的體積為 ；三棱錐的外接球的表面積的最小值為 ．
三、解答題：本大題共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．
（一）必考題：共60分．
17．已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為．
(1)求的值；
(2)若的面積為，且，求的周長(zhǎng)．
18．某校高三年級(jí)進(jìn)行班級(jí)數(shù)學(xué)文化知識(shí)競(jìng)賽，每班選三人組成代表隊(duì)，其中1班和2班進(jìn)入最終的決賽．決賽第一輪要求兩個(gè)班級(jí)的代表隊(duì)隊(duì)員每人回答一道必答題，答對(duì)則為本班得1分，答錯(cuò)或不答都得0分．已知1班的三名隊(duì)員答對(duì)的概率分別為、、，班的三名隊(duì)員答對(duì)的概率都是，每名隊(duì)員回答正確與否相互之間沒(méi)有影響．用、分別表示1班和2班的總得分．
(1)求隨機(jī)變量、的數(shù)學(xué)期望；
(2)若，求2班比1班得分高的概率．
19．如圖，在圓柱中，一平面沿豎直方向截圓柱得到截面矩形，其中，為圓柱的母線(xiàn)，點(diǎn)在底面圓周上，且過(guò)底面圓心，點(diǎn)D，E分別滿(mǎn)足，過(guò)的平面與交于點(diǎn)，且.
(1)當(dāng)時(shí)，證明:平面平面；
(2)若與平面所成角的正弦值為，求的值.
20．已知?jiǎng)訄A經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，且與直線(xiàn)相切，設(shè)動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線(xiàn).
(1)求曲線(xiàn)的方程；
(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)，分別與曲線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，直線(xiàn)，的斜率存在，且傾斜角互補(bǔ)，求證：直線(xiàn)的傾斜角為定值.
21．已知函數(shù)．
(1)若函數(shù)在處的切線(xiàn)與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求的值；
(2)若函數(shù)的最小值為，求的值．
（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．
選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
22．已知在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為；在平面直角坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)），點(diǎn)的極坐標(biāo)為且點(diǎn)在曲線(xiàn)上.
(1)求曲線(xiàn)的普通方程以及曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程；
(2)已知直線(xiàn)與曲線(xiàn)分別交于，兩點(diǎn)，其中，異于原點(diǎn)，求的面積.
選修4-5：不等式選講
23．已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；
(2)若恒成立，求的取值范圍.

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