北京市海淀區(qū)中央民族大學附屬中學2022-2023學年高二下學期期中考試數(shù)學試題-試卷下載-教習網(wǎng)

第一部分（選擇題共40分）
一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．
1. 已知，則（）
A. 1B. -1C. 2D. -2
【答案】C
【解析】
【分析】由題，利用基本初等函數(shù)的導數(shù)公式可求得導函數(shù)，代入即可求得結(jié)果
【詳解】由題，故，
故選：C
2. 在等比數(shù)列中，，，則是（）
A. 1B. 3C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用等比中項求解即可.
【詳解】等比數(shù)列中, 因為成等比數(shù)列，
且，，
所以，
故選：D.
3. 等差數(shù)列滿足，，則該等差數(shù)列的公差（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)等差中項公式與通項公式即可求解.
【詳解】依題意，
因為是等差數(shù)列，且，，
故，解得，
則，解得.
故選：B.
4. 某校開學“迎新”活動中要把2名男生，3名女生安排在5個崗位，每人安排一個崗位，每個崗位安排一人，其中甲崗位不能安排男生，則安排方法的種數(shù)為（）
A. 72B. 56C. 48D. 36
【答案】A
【解析】
【分析】先安排甲崗位，剩下的全排即可求解．
【詳解】先安排甲崗位，剩下的全排，則安排方法共有種，
故選：A.
5. （x）6展開式中常數(shù)項是（）
A. 第4項B. 24CC. CD. 2
【答案】B
【解析】
【分析】在二項展開式的通項公式中，令x的冪指數(shù)等于0，求出r的值，即可求得常數(shù)項．
【詳解】（x）6展開式的通項公式為，令60，求得，
可得展開式中常數(shù)項是?24，
故選：B
【點睛】本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
6 從0，1，2，3，4這5個數(shù)字中選出3個不同數(shù)字能組成（）個三位偶數(shù)
A. 30B. 24C. 18D. 36
【答案】A
【解析】
【分析】分個位為0、個位為2或4兩種情況討論得解.
【詳解】當個位為0時，先從1,2,3,4中選出兩個數(shù)字排列在百位和十位，共有種方法；
當個位為2或4時，先從2, 4中選出1個數(shù)字排列在個位，有種方法，再從剩下的3個非0數(shù)字中選一個排在百位，有種方法，最后從剩下的3個數(shù)字中選一個排在十位，有種方法，共有種方法.
綜合得能組成個三位偶數(shù).
故選：A
7. 已知，那么函數(shù)在處的瞬時變化率為（）
A. 1B. 0C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)簡單復合函數(shù)的導函數(shù)計算規(guī)則求出函數(shù)的導函數(shù)，再代入計算可得；
【詳解】解：因為，所以，所以，
所以函數(shù)在處的瞬時變化率為，
故選：C
8. 已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則的值為（）
A. B. C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】利用前項和的性質(zhì)可求的值.
【詳解】設(shè)，則
，故，故，
，故選C.
【點睛】一般地，如果為等差數(shù)列，為其前項和，則有性質(zhì)：
（1）若，則；
（2）且；
（3）且為等差數(shù)列；
（4）為等差數(shù)列.
9. 已知公差不為0的等差數(shù)列的第2,3,6項依次構(gòu)成一個等比數(shù)列，則該等比數(shù)列的公比q為 ( )
A. B. 3C. ±D. ±3
【答案】B
【解析】
【分析】由已知條件設(shè)出首項與公差，利用等比中項列式求出其關(guān)系，表示出第2、3項即可求出公比.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為d，首項為，則，，，
由等比中項公式：，化簡可得：.
所以：，，作比可得公比為：3.
故選B.
【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項以及等比中項，根據(jù)題意列出等量關(guān)系式，由公比的定義即可求出結(jié)果.
10. 南宋數(shù)學家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項之差并不相等，但是逐項差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列，如數(shù)列1，3，6，10，前后兩項之差得到新數(shù)列2，3，4，新數(shù)列2，3，4為等差數(shù)列，這樣的數(shù)列稱為二階等差數(shù)列.對這類高階等差數(shù)列的研究，在楊輝之后一般稱為“垛積術(shù)”.現(xiàn)有二階等差數(shù)列，其前7項分別為3，4，6，9，13，18，24，則該數(shù)列的第15項為（）
A. 94B. 108C. 123D. 139
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)高階等差數(shù)列的知識，結(jié)合累加法求出數(shù)列的通項公式，再求出該數(shù)列的第15項．
【詳解】設(shè)該數(shù)列為，數(shù)列的前7項分別為3，4，6，9，13，18，24，
則數(shù)列滿足，，
所以
，
所以．
故選：B
第二部分（非選擇題共110分）
二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．
11. 一個三層書架，分別放置語文書12本，數(shù)學書14本，英語書11本，從中任取一本，則不同的取法有______種．（以數(shù)字作答）
【答案】37
【解析】
【分析】
根據(jù)分類加法計數(shù)原理，由題中條件，即可得出結(jié)果.
【詳解】一個三層書架，分別放置語文書12本，數(shù)學書14本，英語書11本，從中任取一本，由分類加法計數(shù)原理可知，不同的取法有種，
故答案為：37．
12. 已知，則________．
【答案】7
【解析】
【分析】根據(jù)組合數(shù)性質(zhì)分析即可.
【詳解】因為，故.
故答案為：7
13. 有個身高均不相等的學生排成一排合影，最高的人站在中間，從中間到左邊和從中間到右邊的身高都遞減，則不同的排法有____種.（用數(shù)字作答）
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)排隊問題中的順序固定問題只選不排，以及分步計數(shù)原理計算求解即可．
【詳解】最高的學生站在中間，有種排法，
再從其余四個同學中任意選取兩個，站在最高同學的左邊，由于身高從中間到左邊遞減，所以共有種不同排法，
最后兩名同學站在最高同學的右邊，按身高從中間到右邊遞減，共有種排法，
則個身高均不相等的學生排成一排合影，不同的排法有種，
故答案為：
14. 已知，則________．
【答案】
【解析】
【分析】利用賦值法可求出結(jié)果.
【詳解】因為，
令，得，
令，得，
所以.
故答案為：
15. 已知函數(shù)存在兩個極值點，給出下列四個結(jié)論：
①函數(shù)有零點；
②a的取值范圍是；
③；
④．
其中所有正確結(jié)論的序號是___________．
【答案】①④
【解析】
【分析】求出函數(shù)定義域以及導函數(shù).由可說明①正確；由已知，有兩個不同的正數(shù)解，根據(jù)二次函數(shù)根的分布即可求出的范圍，判斷②；根據(jù)求根公式，解出，結(jié)合②中解出的的范圍，可得到，即③錯誤；根據(jù)導函數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合③的解析，可得，即④正確.
【詳解】由已知可得，定義域為，.
對于①，因為，所以1是函數(shù)的一個零點，故①正確；
對于②，因為函數(shù)存在兩個極值點，所以有兩個不同的正數(shù)解，即方程有兩個不同的正數(shù)解，
則應滿足，解得，故②錯誤；
對于③，解方程可得，，因為，所以，由②知，所以，所以，故③錯誤；
對于④，由可得，即，所以，所以在上單調(diào)遞增；解可得，或，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減.
由③知，所以，故④正確.
故答案為：①④.
三、解答題共6小題，共85分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．
16. 已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)單調(diào)區(qū)間；
（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值．
【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為
（2）最大值為1，最小值為
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，求導得到即可得到其單調(diào)區(qū)間；
（2）根據(jù)題意，由（1）中的單調(diào)區(qū)間即可得到其最值.
【小問1詳解】
，
時，，的單調(diào)增區(qū)間為，
時，，的單調(diào)減區(qū)間為，
所以函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.
【小問2詳解】
由（1）知在上遞減，在上遞增，
當時，有極小值即最小值為．
，，
所以最大值為，最小值為
17. 在等差數(shù)列中，
（1）求的通項公式；
（2）若是公比為2的等比數(shù)列，，求數(shù)列的通項及前項和.
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）設(shè)公差為，根據(jù)已知求出首項與公差，再根據(jù)等差數(shù)列通項公式即可得解；
（2）根據(jù)等差數(shù)列的通項求出數(shù)列的通項，即可得出數(shù)列{}的通項，再利用分組求和法即可得解.
【小問1詳解】
設(shè)公差為，則，解得，
則，所以，
所以；
【小問2詳解】
，
因為是公比為2的等比數(shù)列，
所以，
所以，.
所以
.
18. 已知數(shù)列中，，，其中．
從①數(shù)列的前項和，② ，③且，這三個條件中一個，補充在上面的問題中并作答.
注：若選作多個條件分別解答，按第一個解答計分.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè)，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
（3）設(shè)數(shù)列，求數(shù)列的通項公式及前20項和．
【答案】（1）；
（2）證明見解析；（3），.
【解析】
【分析】（1）選①，利用與的關(guān)系求出即可；選②③，判斷等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列定義求出通項公式作答.
（2）由（1）的結(jié)論求出，再利用等差數(shù)列定義判斷作答.
（3）由（2）的結(jié)論，利用裂項相消法求和作答.
【小問1詳解】
選①，當時，，當時，，滿足上式，
所以數(shù)列的通項公式是 .
選②，依題意，數(shù)列為等比數(shù)列，其首項為1，公比為2，
所以數(shù)列的通項公式是.
選③，由，，知，，則數(shù)列為等比數(shù)列，
公比為，有，解得，
所以數(shù)列的通項公式是.
【小問2詳解】
由（1）知，，顯然，
所以數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列.
【小問3詳解】
由（2）知，，
.
19. 已知函數(shù).
（1）求函數(shù)在點處的切線方程；
（2）設(shè)函數(shù)，證明：函數(shù)存在唯一的極小值點且極小值大于.
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）求得，得到，進而求得切線方程；
（2）求得，令，得到，得出函數(shù)在上單調(diào)遞增，進而得到存在使得，求得函數(shù)的單調(diào)性與極小值，結(jié)合時，函數(shù)單調(diào)遞減，即可求解.
【小問1詳解】
解：由的定義域為，可得，
則，即切線斜率為且切點為，
所以切線方程為.
【小問2詳解】
解：由，可得函數(shù)的定義為，
且，
令，可得，所以單調(diào)遞增，
即函數(shù)在上單調(diào)遞增，
又由，所以存在使得，
當時，，單調(diào)遞減；
當時，，單調(diào)遞增，
所以當時，函數(shù)取得極小值，無極大值，
因為，且，
又因為時，函數(shù)單調(diào)遞減，
所以，即，
所以函數(shù)存在唯一的極小值點且極小值大于.
20. 已知
（1）若在處取到極值，求的值；
（2）若存在使得，求的范圍；
（3）直接寫出零點個數(shù)，結(jié)論不要求證明.
【答案】（1）1 （2）
（3）且有一個零點;且有兩個零點
【解析】
【分析】（1）由題可得，即可得a，但要注意檢驗；分，兩種情況討論單調(diào)性，結(jié)合可得答案；（3）由（2）分析可得答案；
【小問1詳解】
的定義域為，，，所以，又時，，，得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即在處取到極大值. 故.
【小問2詳解】
注意到，又時，恒成立，于是在單調(diào)遞增；則存在使得；
當時，令：，得.
當時，，當時，，
于是可以得到函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.則有極大值點
.若，可得在單調(diào)遞減，于是，則滿足題意；
若，則，則此時不存在相應的；
若，可得在單調(diào)遞增，于是.則滿足題意.
綜上：的范圍是；
【小問3詳解】
且有一個零點；且有兩個零點
21. 已知{}是公差不為0的無窮等差數(shù)列．若對于{}中任意兩項，，在{}中都存在一項，使得，則稱數(shù)列{}具有性質(zhì)P．
（1）已知，判斷數(shù)列{}，{}是否具有性質(zhì)P；
（2）若數(shù)列{}具有性質(zhì)P，證明：{}的各項均為整數(shù)；
（3）若，求具有性質(zhì)P的數(shù)列{}的個數(shù)．
【答案】（1）數(shù)列具有性質(zhì)，數(shù)列不具有性質(zhì)
（2）證明見解析（3）12個
【解析】
【分析】（1）根據(jù)數(shù)列{}具有性質(zhì)P的定義即可求解；
（2）設(shè)數(shù)列的公差為，由題意，存在使得，同理，存在使得，兩式相減，根據(jù)等差數(shù)列的定義即可得證；
（3）由題意結(jié)合（2）知的各項均為整數(shù)，所以為整數(shù)，首先證明為正整數(shù)，其次證明為的約數(shù)，從而即可求解.
【小問1詳解】
解：因為，所以，
所以對于{}中任意兩項，，在{}中都存在一項，使得，
所以數(shù)列具有性質(zhì)，
因為，所以取，則，
因為，
所以不存在一項，
所以數(shù)列不具有性質(zhì)；
【小問2詳解】
證明：設(shè)數(shù)列的公差為，
因為數(shù)列具有性質(zhì)，所以存在使得，同理，存在使得，
兩式相減，得，即，
因為，所以，
所以的各項均為整數(shù)．
【小問3詳解】
解：由題意結(jié)合（2）知的各項均為整數(shù)，所以為整數(shù)，
首先證明為正整數(shù)，否則假設(shè)為負整數(shù)，則為遞減數(shù)列，所以中各項的最大值為，
由題設(shè)，中存在某項，且，所以，
從而對任意正整數(shù)，，這與具有性質(zhì)矛盾；
其次證明為的約數(shù)，
由得，，
所以，
所以為整數(shù)，即為的約數(shù)，
由為正整數(shù)，所以為的正約數(shù)，
因為，所以的正約數(shù)共有個，
對于首項為，的正約數(shù)為公差的等差數(shù)列，易知其滿足性質(zhì)，
所以具有性質(zhì)的數(shù)列共有個．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題（3）問需結(jié)合（2）的結(jié)論，得的各項均為整數(shù)，所以為整數(shù)，進而證明為正整數(shù)，然后再證明為的約數(shù)，這里牢牢抓住性質(zhì)P的定義及等差數(shù)列的通項公式是解題的關(guān)鍵.

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