2023屆北京市中央民族大學(xué)附屬中學(xué)高三適應(yīng)性練習(xí)數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知集合，，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由交集的定義計(jì)算即可.【詳解】由題意得.故選：C2．若復(fù)數(shù)z滿足，則（    ）A． B．5 C．7 D．25【答案】B【分析】計(jì)算出，利用復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的性質(zhì)計(jì)算出答案.【詳解】，故，則.故選：B3．設(shè)a，，且，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，可得，A錯(cuò)；利用作差法判斷B錯(cuò)；由，而，可得C錯(cuò)；利用基本不等式可得D正確．【詳解】，，故A錯(cuò)；，，即，可得，，故B錯(cuò)；，，而，則，故C錯(cuò)；，，，等號(hào)取不到，故D正確；故選：D4．設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)，又，則的解集是（    ）A．或 B．或C．或 D．或【答案】D【分析】由奇函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合已知條件可得在內(nèi)也是增函數(shù)，，然后分，和三種情況求解即可【詳解】∵函數(shù)是奇函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)，∴在內(nèi)也是增函數(shù)．又，∴．∵，∴①當(dāng)時(shí)，，∴；②當(dāng)時(shí)，，∴；③當(dāng)時(shí)，不等式的解集為．綜上，的解集為或．故選：D．5．直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為（    ）A． B．4 C． D．【答案】C【分析】利用圓的一般方程得出圓心坐標(biāo)和半徑，再結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式與勾股定理即可求解.【詳解】由題意知，圓心，圓C的半徑為3，故C到的距離為，故所求弦長(zhǎng)為．故選：C6．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2－2n，則a2＋a18＝A．36 B．35 C．34 D．33【答案】C【詳解】試題分析：由，得，，則；故選C．【解析】的應(yīng)用．7．在中，若，則一定是（    ）A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰三角形【答案】D【分析】由余弦定理化簡(jiǎn)計(jì)算即可.【詳解】由及余弦定理得：，即.故選：D8．設(shè)雙曲線的虛軸長(zhǎng)為2，焦距為，則雙曲線的漸近線方程為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】依題意可得，即可求出、，再根據(jù)，即可求出，從而求出雙曲線方程，最后求出漸近線方程；【詳解】解：依題意，所以，又，所以，所以雙曲線方程為，所以雙曲線的漸近線方程為；故選：C9．已知直線m，n及平面，則“”是“”的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】由充分條件與必要條件求解即可【詳解】由題意可知：當(dāng)時(shí)，與可能平行，也可能相交，故充分性不成立；當(dāng)時(shí)，成立，故必要性成立；所以“”是“”的必要不充分條件，故選：B10．已知函數(shù)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，分別為和，當(dāng)時(shí)，若存在t使得成立，則k的取值范圍為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出函數(shù)圖象，結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性將問題轉(zhuǎn)化為與在內(nèi)有交點(diǎn)，分離參數(shù)計(jì)算即可.【詳解】如圖所示，作出函數(shù)與的圖象，易得兩函數(shù)交點(diǎn)位于兩側(cè)，不妨設(shè)，若存在t使得成立，即，又關(guān)于對(duì)稱，故，因?yàn)?/span>，所以，即在有解，則.故選：B 二、填空題11．在的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)和是16，則展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為________．【答案】16【分析】由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可求，再利用賦值法求各項(xiàng)系數(shù)和.【詳解】因?yàn)槎?xiàng)式的展開式中，所有二項(xiàng)式系數(shù)的和是16，所以，故，取可得二項(xiàng)式的展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為，即16.故答案為：16.12．已知向量的夾角為，，則__________．【答案】【分析】利用條件，根據(jù)向量數(shù)量積的定義及模長(zhǎng)的定義即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)橄蛄?/span>的夾角為，，所以所以，故答案為：.13．函數(shù)在的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為________．【答案】【分析】方法一：求出的范圍，再由函數(shù)值為零，得到的取值即得零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【詳解】［方法一］：【最優(yōu)解】由題可知，或解得,或故有3個(gè)零點(diǎn)．故答案為：．方法二：令，即，解得，，分別令，得，所以函數(shù)在的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3．故答案為：．【整體點(diǎn)評(píng)】方法一：先求出的范圍，再根據(jù)余弦函數(shù)在該范圍內(nèi)的零點(diǎn)，從而解出，是該題的最優(yōu)解；方法二：先求出函數(shù)的所有零點(diǎn)，再根據(jù)題中范圍限制，找出符合題意的零點(diǎn)． 三、雙空題14．已知拋物線的焦點(diǎn)為，定點(diǎn)，設(shè)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，的最小值為__________，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為__________．【答案】     3     【分析】設(shè)點(diǎn)在準(zhǔn)線上的射影為，由拋物線的定義把問題轉(zhuǎn)化為求的最小值，由圖形推斷出當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)最小，答案可得．【詳解】過點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線，過作垂直于準(zhǔn)線，，取到最小值時(shí)，且為；點(diǎn)與點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，可設(shè)點(diǎn)為，，則，解得，所以點(diǎn)，．故答案為： 3； 四、填空題15．已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的無窮數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，．給出下列四個(gè)結(jié)論：①；②數(shù)列有最大值，無最小值；③；④存在，使得.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是________．【答案】①②④【分析】賦值和即可求出；作差比較判斷數(shù)列單調(diào)性可判斷②；證明可判斷③④.【詳解】令，則，所以，令，得，又，可解得，故①正確；依題意有，，因?yàn)?/span>，所以，所以，，由得，所以，因?yàn)?/span>隨著的增大而增大，所以，所以，即，所以隨著的增大而減小，故為正項(xiàng)單調(diào)遞減的無窮數(shù)列，且，故數(shù)列有最大值，無最小值，即②正確；因?yàn)?/span>，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，即，故③錯(cuò)誤；因?yàn)?/span>對(duì)任意恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故有，即④正確.故答案為：①②④ 五、解答題16．已知函數(shù)，，從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求：(1)的最小正周期；(2)在區(qū)間上的最小值.【答案】(1)選條件①；選條件②(2)選條件①；選條件② 【分析】選條件①：；（1）利用兩角和與差的正弦公式化簡(jiǎn)可得，由周期公式可得答案；（2）根據(jù)的范圍求得的范圍可得答案；選條件②：.（1）利用兩角和與差的正弦公式化簡(jiǎn)可得，由周期公式可得答案；（2）根據(jù)的范圍求得的范圍可得答案.【詳解】（1）選條件①：；（1），所以的最小正周期是.選條件②：.，所以最小正周期是.（2）選條件①：；因?yàn)?/span>，所以≤≤， 所以≤≤，所以≤≤， 當(dāng)，即時(shí)，有最小值.選條件②：.因?yàn)?/span>，所以≤≤，所以≤≤，當(dāng)，即時(shí)，有最小值.17．如圖，在直四棱柱中，底面是平行四邊形，，.（1）求證：；（2）求二面角的大??；（3）在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面?若存在，求的值；若不存在，說明理由.【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)存在，.【分析】(1)線線垂直需要借助于線面垂直，結(jié)合圖形分析出需要先證明平面；而證明線面垂直需要證明與面里面的兩條相交線垂直即和；(2)由兩兩垂直可建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面與平面的法向量之后，直接利用空間向量的夾角公式即可求得；(3)通過向量表示出所求線段的比例關(guān)系，然后依次表示出所需向量的坐標(biāo)，利用線面垂直時(shí)線與面的法向量平行即可得出等量關(guān)系，解方程即可求得結(jié)果.【詳解】解：(1)證明：在直四棱柱中，  底面，因?yàn)?/span>底面，所以.因?yàn)?/span>，，所以平面.因?yàn)?/span>平面，所以.(2)因?yàn)?/span>平面，且，所以兩兩垂直.如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，   ，，，    設(shè)平面的法向量為，，由  可得令，解得，所以                                        因?yàn)?/span>平面，所以平面的一個(gè)法向量為           所以                     由題可知二面角為銳角，所以二面角的大小為.           (3)設(shè).                           因?yàn)?/span>，由(2)知平面的一個(gè)法向量為，     因?yàn)?/span>平面，可得.所以，解得.所以，在線段上存在點(diǎn)使得平面，的值是.【點(diǎn)睛】向量法求解空間幾何問題的步驟：建、設(shè)、求、算、取1、建：建立空間直角坐標(biāo)系，以三條互相垂直的直線的交點(diǎn)為原點(diǎn)，沒有三條垂線時(shí)需要做輔助線；建立右手直角坐標(biāo)系（盡可能使得較多的關(guān)鍵點(diǎn)落在坐標(biāo)軸或者坐標(biāo)平面內(nèi)）；2、設(shè)：設(shè)出所需的點(diǎn)的坐標(biāo)，得出所需要的向量坐標(biāo)；3、求：求出所需平面的法向量；4、算：運(yùn)用向量的數(shù)量積，驗(yàn)證平行垂直，求出兩個(gè)平面的法向量的夾角的余弦值；5、?。焊鶕?jù)題意或者二面角線面角的范圍，得出答案.18．隨著人民生活水平的提高，人們對(duì)牛奶品質(zhì)要求越來越高，某牛奶企業(yè)針對(duì)生產(chǎn)的鮮奶和酸奶，在一地區(qū)進(jìn)行了質(zhì)量滿意調(diào)查，現(xiàn)從消費(fèi)者人群中隨機(jī)抽取500人次作為樣本，得到下表（單位：人次）：滿意度老年人中年人青年人酸奶鮮奶酸奶鮮奶酸奶鮮奶滿意100120120100150120不滿意503030505080（1）從樣本中任取1個(gè)人，求這個(gè)人恰好對(duì)生產(chǎn)的酸奶質(zhì)量滿意的概率；（2）從該地區(qū)的老年人中抽取2人，青年人中隨機(jī)選取1人，估計(jì)這三人中恰有2人對(duì)生產(chǎn)的鮮奶質(zhì)量滿意的概率；（3）依據(jù)表中三個(gè)年齡段的數(shù)據(jù)，你認(rèn)為哪一個(gè)消費(fèi)群體鮮奶的滿意度提升0.1，使得整體對(duì)鮮奶的滿意度提升最大？（直接寫結(jié)果）．【答案】（1）；（2）；（3）青年人．【分析】（1）用頻率估計(jì)概率，直接計(jì)算；（2）先分別求出老年人和青年人滿意度的概率，然后對(duì)“抽取這三人中恰有2人對(duì)生產(chǎn)的鮮奶質(zhì)量滿意”分成一老年人、一青年人滿意和兩老年人滿意討論，進(jìn)行計(jì)算即可；（3）直接判斷出青年人.【詳解】解：（1）設(shè)這個(gè)人恰好對(duì)生產(chǎn)的酸奶滿意人數(shù)事件為A，總?cè)舜螢?/span>500人，共抽取了100+120+150=370人次對(duì)酸奶滿意，所以．（2）由頻率估計(jì)概率，由已知抽取老年人滿意度的概率為，抽取青年人滿意度的概率為，抽取這三人中恰有2人對(duì)生產(chǎn)的鮮奶質(zhì)量滿意的概率，，所以這三人中恰有2人對(duì)生產(chǎn)的鮮奶質(zhì)量滿意的概率為．（3）青年人.【點(diǎn)睛】(1)實(shí)際問題中一般用頻率估計(jì)概率；(2)等可能性事件的概率一般用列舉法列舉出基本事件,直接套公式求概率.19．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；(2)若函數(shù)在處取得極值，求實(shí)數(shù)的值；(3)若不等式對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求出結(jié)果；（2）根據(jù)可導(dǎo)函數(shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為求出，再根據(jù)極值點(diǎn)的定義驗(yàn)證即可得解；（3）二次求導(dǎo)后，分類討論，得函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性可得結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?/span>，，，，所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2），設(shè)，則，依題意得，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在處取得極大值，符合題意.綜上所述：.（3）當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)， ,令，，則，①當(dāng)時(shí)，在上恒成立，故在上為增函數(shù)，所以，故在上為增函數(shù)，故，不合題意.②當(dāng)時(shí)，令，得，（i）若，即時(shí)，在時(shí)，，在上為減函數(shù)，，即，在上為減函數(shù)，，符合題意；(ii)若，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù)，，在上為增函數(shù)，，不合題意.綜上所述：若不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：一般地，已知函數(shù)，（1）若，總有成立，故；（2）若，有成立，故；（3）若，使得成立，故；（4）若，使得成立，故；20．已知曲線．(1)若曲線C是橢圓，求m的取值范圍．(2)設(shè)，曲線C與y軸的交點(diǎn)為A，B（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的上方），直線與曲線C交于不同的兩點(diǎn)M，N．設(shè)直線AN與直線BM相交于點(diǎn)G．試問點(diǎn)G是否在定直線上？若是，求出該直線方程；若不是，說明理由．【答案】(1)(2)在定直線上，理由見詳解. 【分析】（1）由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程計(jì)算即可；（2）由對(duì)稱性分析該定直線為平行于橫軸的直線，將直線MN與橢圓聯(lián)立消，設(shè)直線AN、BM的方程解出G縱坐標(biāo)，結(jié)合韋達(dá)定理化簡(jiǎn)計(jì)算即可.【詳解】（1）因?yàn)榍€C是橢圓，所以，解得；.（2）是在定直線上，理由如下：當(dāng)時(shí)，此時(shí)橢圓，設(shè)點(diǎn)與直線l聯(lián)立得，，且，所以易知，則，兩式作商得是定值，故G在定直線上.21．已知點(diǎn)列(，)滿足，且與() 中有且僅有一個(gè)成立．（Ⅰ）寫出滿足且的所有點(diǎn)列；（Ⅱ） 證明：對(duì)于任意給定的（，），不存在點(diǎn)列，使得；（Ⅲ）當(dāng)且（）時(shí)，求的最大值．【答案】（Ⅰ）；或；或．（Ⅱ）詳見解析（Ⅲ）【詳解】試題分析：（Ⅰ）本題就是及時(shí)定義，按定義分類列舉：或；或．（Ⅱ）證明不存在命題，一般利用反證法，即先假設(shè)存在點(diǎn)列，使得，則 ，即．因?yàn)檎麛?shù)和總是一個(gè)為奇數(shù)，一個(gè)為偶數(shù)，且，而整數(shù)中不含有大于1的奇因子，因此矛盾，假設(shè)不成立（Ⅲ）令，則.這是關(guān)于的二次函數(shù)，從對(duì)稱軸及正整數(shù)條件可得當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，時(shí)， 有最大值．當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，時(shí)， 有最大值．試題解析：（Ⅰ）解：符合條件的點(diǎn)列為； 或；或． 3分（Ⅱ）證明：由已知，得，所以數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列．由，得（）． 3分故． 5分若存在點(diǎn)列，使得，則 ，即．因?yàn)檎麛?shù)和總是一個(gè)為奇數(shù)，一個(gè)為偶數(shù)，且，而整數(shù)中不含有大于1的奇因子，所以對(duì)于任意正整數(shù)，任意點(diǎn)列均不能滿足． 8分（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可知，，所以，令，則. 10分考察關(guān)于的二次函數(shù)． （1）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，可得是正整數(shù)，可構(gòu)造數(shù)列：，對(duì)應(yīng)數(shù)列：．（由此構(gòu)造的點(diǎn)列符合已知條件）而且此時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)， 有最大值． 12分（2）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，不是正整數(shù)，而是離其最近的正整數(shù)，可構(gòu)造數(shù)列：，對(duì)應(yīng)數(shù)列：，（由此構(gòu)造的點(diǎn)列符合已知條件）而且此時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)， 有最大值．13分【解析】及時(shí)定義，反證法，二次函數(shù)求最值 

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