2022-2023學(xué)年北京市海淀區(qū)中央民族大學(xué)附屬中學(xué)高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知，則（    ）A．1 B．-1 C．2 D．-2【答案】C【分析】由題，利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式可求得導(dǎo)函數(shù)，代入即可求得結(jié)果【詳解】由題，故，故選：C2．在等比數(shù)列中，，，則是（    ）A．1 B．3 C． D．【答案】D【分析】利用等比中項求解即可.【詳解】等比數(shù)列中, 因為成等比數(shù)列，且，，所以，故選：D.3．等差數(shù)列滿足，，則該等差數(shù)列的公差（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)等差中項公式與通項公式即可求解.【詳解】依題意，因為是等差數(shù)列，且，，故，解得，則，解得.故選：B.4．某校開學(xué)“迎新”活動中要把2名男生，3名女生安排在5個崗位，每人安排一個崗位，每個崗位安排一人，其中甲崗位不能安排男生，則安排方法的種數(shù)為（    ）A．72 B．56 C．48 D．36【答案】A【分析】先安排甲崗位，剩下的全排即可求解．【詳解】先安排甲崗位，剩下的全排，則安排方法共有種，故選：A.5．（x）6展開式中常數(shù)項是（    ）A．第4項 B．24C C．C D．2【答案】B【分析】在二項展開式的通項公式中，令x的冪指數(shù)等于0，求出r的值，即可求得常數(shù)項．【詳解】（x）6展開式的通項公式為，令60，求得，可得展開式中常數(shù)項是?24，故選：B【點睛】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．6．從0，1，2，3，4這5個數(shù)字中選出3個不同數(shù)字能組成（    ）個三位偶數(shù)A．30 B．24 C．18 D．36【答案】A【分析】分個位為0、個位為2或4兩種情況討論得解.【詳解】當(dāng)個位為0時，先從1,2,3,4中選出兩個數(shù)字排列在百位和十位，共有種方法；當(dāng)個位為2或4時，先從2, 4中選出1個數(shù)字排列在個位，有種方法，再從剩下的3個非0數(shù)字中選一個排在百位，有種方法，最后從剩下的3個數(shù)字中選一個排在十位，有種方法，共有種方法.綜合得能組成個三位偶數(shù).故選：A7．已知，那么函數(shù)在處的瞬時變化率為（    ）A．1 B．0 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)計算規(guī)則求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再代入計算可得；【詳解】解：因為，所以，所以，所以函數(shù)在處的瞬時變化率為，故選：C8．已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則的值為（　?。?/span>A． B． C． D．4【答案】C【分析】利用前項和的性質(zhì)可求的值.【詳解】設(shè)，則，故，故，，故選C.【點睛】一般地，如果為等差數(shù)列，為其前項和，則有性質(zhì)：（1）若，則；（2） 且 ；（3）且為等差數(shù)列；（4） 為等差數(shù)列.9．已知公差不為0的等差數(shù)列的第2,3,6項依次構(gòu)成一個等比數(shù)列，則該等比數(shù)列的公比q為 (　　)A．  B．3 C．± D．±3【答案】B【分析】由已知條件設(shè)出首項與公差，利用等比中項列式求出其關(guān)系，表示出第2、3項即可求出公比.【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為d，首項為，則，，，由等比中項公式：，化簡可得：.所以：，，作比可得公比為：3.故選B.【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項以及等比中項，根據(jù)題意列出等量關(guān)系式，由公比的定義即可求出結(jié)果.10．南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項之差并不相等，但是逐項差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列，如數(shù)列1，3，6，10，前后兩項之差得到新數(shù)列2，3，4，新數(shù)列2，3，4為等差數(shù)列，這樣的數(shù)列稱為二階等差數(shù)列.對這類高階等差數(shù)列的研究，在楊輝之后一般稱為“垛積術(shù)”.現(xiàn)有二階等差數(shù)列，其前7項分別為3，4，6，9，13，18，24，則該數(shù)列的第15項為（    ）A．94 B．108 C．123 D．139【答案】B【分析】根據(jù)高階等差數(shù)列的知識，結(jié)合累加法求出數(shù)列的通項公式，再求出該數(shù)列的第15項．【詳解】設(shè)該數(shù)列為，數(shù)列的前7項分別為3，4，6，9，13，18，24，則數(shù)列滿足，，所以，所以．故選：B 二、填空題11．一個三層書架，分別放置語文書12本，數(shù)學(xué)書14本，英語書11本，從中任取一本，則不同的取法有______種．（以數(shù)字作答）【答案】37【解析】根據(jù)分類加法計數(shù)原理，由題中條件，即可得出結(jié)果.【詳解】一個三層書架，分別放置語文書12本，數(shù)學(xué)書14本，英語書11本，從中任取一本，由分類加法計數(shù)原理可知，不同的取法有種，故答案為：37．12．已知，則________．【答案】7【分析】根據(jù)組合數(shù)性質(zhì)分析即可.【詳解】因為，故.故答案為：713．有個身高均不相等的學(xué)生排成一排合影，最高的人站在中間，從中間到左邊和從中間到右邊的身高都遞減，則不同的排法有____種.（用數(shù)字作答）【答案】【分析】根據(jù)排隊問題中的順序固定問題只選不排，以及分步計數(shù)原理計算求解即可．【詳解】最高的學(xué)生站在中間，有種排法，再從其余四個同學(xué)中任意選取兩個，站在最高同學(xué)的左邊，由于身高從中間到左邊遞減，所以共有種不同排法，最后兩名同學(xué)站在最高同學(xué)的右邊，按身高從中間到右邊遞減，共有種排法，則個身高均不相等的學(xué)生排成一排合影，不同的排法有種，故答案為：14．已知，則________．【答案】【分析】利用賦值法可求出結(jié)果.【詳解】因為，令，得，令，得，所以.故答案為：15．已知函數(shù)存在兩個極值點，給出下列四個結(jié)論：①函數(shù)有零點；     ②a的取值范圍是；③；              ④．其中所有正確結(jié)論的序號是___________．【答案】①④【分析】求出函數(shù)定義域以及導(dǎo)函數(shù).由可說明①正確；由已知，有兩個不同的正數(shù)解，根據(jù)二次函數(shù)根的分布即可求出的范圍，判斷②；根據(jù)求根公式，解出，結(jié)合②中解出的的范圍，可得到，即③錯誤；根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合③的解析，可得，即④正確.【詳解】由已知可得，定義域為，.對于①，因為，所以1是函數(shù)的一個零點，故①正確；對于②，因為函數(shù)存在兩個極值點，所以有兩個不同的正數(shù)解，即方程有兩個不同的正數(shù)解，則應(yīng)滿足，解得，故②錯誤；對于③，解方程可得，，因為，所以，由②知，所以，所以，故③錯誤；對于④，由可得，即，所以，所以在上單調(diào)遞增；解可得，或，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減.由③知，所以，故④正確.故答案為：①④. 三、解答題16．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值．【答案】(1)單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為(2)最大值為1，最小值為 【分析】（1）根據(jù)題意，求導(dǎo)得到即可得到其單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)題意，由（1）中的單調(diào)區(qū)間即可得到其最值.【詳解】（1），時，，的單調(diào)增區(qū)間為，時，，的單調(diào)減區(qū)間為，所以函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.（2）由（1）知在上遞減，在上遞增，當(dāng)時，有極小值即最小值為．，，.所以最大值為，最小值為17．在等差數(shù)列中，(1)求的通項公式；(2)若是公比為2的等比數(shù)列，，求數(shù)列的通項及前項和.【答案】(1)(2)， 【分析】（1）設(shè)公差為，根據(jù)已知求出首項與公差，再根據(jù)等差數(shù)列的通項公式即可得解；（2）根據(jù)等差數(shù)列的通項求出數(shù)列的通項，即可得出數(shù)列{}的通項，再利用分組求和法即可得解.【詳解】（1）設(shè)公差為，則，解得， 則，所以，所以；（2），因為是公比為2的等比數(shù)列，所以，所以，.所以...18．已知數(shù)列中，， ，其中 ．從①數(shù)列的前項和 ，② ，③且，這三個條件中一個，補充在上面的問題中并作答.注：若選作多個條件分別解答，按第一個解答計分.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求證：數(shù)列 是等差數(shù)列；(3)設(shè)數(shù)列 ，求數(shù)列的通項公式及前20項和 ．【答案】(1)；(2)證明見解析；(3)，. 【分析】（1）選①，利用與的關(guān)系求出即可；選②③，判斷等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列定義求出通項公式作答.（2）由（1）的結(jié)論求出，再利用等差數(shù)列定義判斷作答.（3）由（2）的結(jié)論，利用裂項相消法求和作答.【詳解】（1）選①，當(dāng)時，，當(dāng)時，，滿足上式，所以數(shù)列的通項公式是 .選②，依題意，數(shù)列為等比數(shù)列，其首項為1，公比為2，所以數(shù)列的通項公式是.選③，由，，知，，則數(shù)列為等比數(shù)列，公比為，有，解得，所以數(shù)列的通項公式是.（2）由（1）知，，顯然，所以數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列.（3）由（2）知，，.19．已知函數(shù).(1)求函數(shù)在點處的切線方程；(2)設(shè)函數(shù)，證明：函數(shù)存在唯一的極小值點且極小值大于.【答案】(1)(2)證明見解析 【分析】（1）求得，得到，進而求得切線方程；（2）求得，令，得到，得出函數(shù)在上單調(diào)遞增，進而得到存在使得，求得函數(shù)的單調(diào)性與極小值，結(jié)合時，函數(shù)單調(diào)遞減，即可求解.【詳解】（1）解：由的定義域為，可得，則，即切線斜率為且切點為，所以切線方程為.（2）解：由，可得函數(shù)的定義為，且，令，可得，所以單調(diào)遞增，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，又由，所以存在使得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，函數(shù)取得極小值，無極大值，因為，且，又因為時，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，即，所以函數(shù)存在唯一的極小值點且極小值大于.20．已知(1)若在處取到極值，求的值；(2)若存在使得，求的范圍；(3)直接寫出零點的個數(shù)，結(jié)論不要求證明.【答案】(1)1(2)(3)且有一個零點;且有兩個零點 【分析】（1）由題可得，即可得a，但要注意檢驗；分，兩種情況討論單調(diào)性，結(jié)合可得答案；（3）由（2）分析可得答案；【詳解】（1）的定義域為，，，所以，又時，，，得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即在處取到極大值. 故.（2）注意到，又時，恒成立，于是在單調(diào)遞增；則存在使得；當(dāng)時，令：，得.當(dāng)時，，當(dāng)時，，  于是可以得到函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.則有極大值點.若，可得在單調(diào)遞減，于是，則滿足題意；若，則，則此時不存在相應(yīng)的；若，可得在單調(diào)遞增，于是.則滿足題意.綜上：的范圍是；（3）且有一個零點；且有兩個零點21．已知{}是公差不為0的無窮等差數(shù)列．若對于{}中任意兩項，，在{}中都存在一項，使得，則稱數(shù)列{}具有性質(zhì)P．(1)已知，判斷數(shù)列{}，{}是否具有性質(zhì)P；(2)若數(shù)列{}具有性質(zhì)P，證明：{}的各項均為整數(shù)；(3)若，求具有性質(zhì)P的數(shù)列{}的個數(shù)．【答案】(1)數(shù)列具有性質(zhì)，數(shù)列不具有性質(zhì)(2)證明見解析(3)12個 【分析】（1）根據(jù)數(shù)列{}具有性質(zhì)P的定義即可求解；（2）設(shè)數(shù)列的公差為，由題意，存在使得，同理，存在使得，兩式相減，根據(jù)等差數(shù)列的定義即可得證；（3）由題意結(jié)合（2）知的各項均為整數(shù)，所以為整數(shù)，首先證明為正整數(shù)，其次證明為的約數(shù)，從而即可求解.【詳解】（1）解：因為，所以，所以對于{}中任意兩項，，在{}中都存在一項，使得， 所以數(shù)列具有性質(zhì)，因為，所以取，則，因為，所以不存在一項，所以數(shù)列不具有性質(zhì)；（2）證明：設(shè)數(shù)列的公差為，因為數(shù)列具有性質(zhì)，所以存在使得，同理，存在使得，兩式相減，得，即，因為，所以， 所以的各項均為整數(shù)．（3）解：由題意結(jié)合（2）知的各項均為整數(shù)，所以為整數(shù)，首先證明為正整數(shù)，否則假設(shè)為負整數(shù)，則為遞減數(shù)列，所以中各項的最大值為，由題設(shè)，中存在某項，且，所以，從而對任意正整數(shù)，，這與具有性質(zhì)矛盾； 其次證明為的約數(shù)，由得，，所以，所以為整數(shù)，即為的約數(shù)， 由為正整數(shù)，所以為的正約數(shù)，                        因為，所以的正約數(shù)共有個，對于首項為，的正約數(shù)為公差的等差數(shù)列，易知其滿足性質(zhì)，所以具有性質(zhì)的數(shù)列共有個．【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題（3）問需結(jié)合（2）的結(jié)論，得的各項均為整數(shù)，所以為整數(shù)，進而證明為正整數(shù)，然后再證明為的約數(shù)，這里牢牢抓住性質(zhì)P的定義及等差數(shù)列的通項公式是解題的關(guān)鍵. 

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