一、單選題
1．已知直線的傾斜角是，則該直線的斜率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)傾斜角和斜率的關(guān)系求斜率即可.
【詳解】因為傾斜角為，所以直線的斜率.
故選：D.
2．已知直線在軸上的截距為-2，則此直線方程可以為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】將代入各項直線方程中求值即可.
【詳解】A、B、D：將代入方程，可得，不合要求；
C：時，，符合要求；
故選：C
3．“”是“方程表示橢圓”的（ ）
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】先根據(jù)橢圓知識求出方程表示橢圓的充要條件，再根據(jù)必要不充分條件的概念可得結(jié)果.
【詳解】因為方程表示橢圓的充要條件是，即且，故“”是“方程表示橢圓”的必要而不充分條件.
故選：B.
【點睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了必要不充分條件，屬于基礎(chǔ)題.
4．下列說法中，
①若兩直線平行，則其斜率相等;
②若兩直線斜率之積為-1，則這兩條直線垂直;.
③若直線與直線垂直，則.
其中正確命題的個數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】根據(jù)直線傾斜角與斜率關(guān)系、直線垂直的判定判斷各項的真假，即可得結(jié)果.
【詳解】①若兩直線平行且兩線都垂直于x軸，此時斜率不存在，錯誤；
②若兩直線斜率之積為-1，則這兩條直線垂直，正確；
③若直線與直線垂直，則，，錯誤.
正確命題為②.
故選：A
5．直線截圓所得劣弧所對的圓心角為，則r的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)給定條件用圓的半徑r表示出圓心到直線距離即可計算作答.
【詳解】因直線截圓所得劣弧所對的圓心角為，令劣弧的兩個端點為A，B，圓心為O，
于是得為正三角形，圓心O到直線AB：的距離為正的高，
因此，，解得，
所以r的值為.
故選：C
6．已知雙曲線：的一個焦點為，則雙曲線的一條漸近線方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由題知,雙曲線的焦點在軸上,進(jìn)而計算,再求漸近線方程即可得答案.
【詳解】解:由題知,雙曲線的焦點在軸上,
所以,
所以雙曲線的漸近線為
故選:B
7．設(shè)，為雙曲線的兩個焦點，點P在雙曲線上，且滿足，則的面積為（ ）
A．B．2C．D．1
【答案】D
【解析】設(shè)，由雙曲線的性質(zhì)可得的值，再由，根據(jù)勾股定理可得的值，進(jìn)而求得，即得.
【詳解】設(shè)，，為雙曲線的兩個焦點，點P在雙曲線上，，，，，，的面積為.
故選：D
【點睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)，難度不大.
8．如圖，已知ABCDEF為正六邊形，若以C，F(xiàn)為焦點的雙曲線恰好經(jīng)過A，B，D，E四點，則該雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】以正六邊形中心為原點，為x軸，過作垂線為y軸建系，令正六邊形的邊長為2，求出各頂點坐標(biāo)，由焦點坐標(biāo)、點在雙曲線上求雙曲線參數(shù)，進(jìn)而求離心率.
【詳解】如下圖，以正六邊形中心為原點，為x軸，過作垂線為y軸，
令正六邊形的邊長為2，則、、、、，，
令所求雙曲線為且，A、B、D、E在雙曲線上，
所以，解得，故，
則.
故選：D
9．已知橢圓C的焦點為，.過點的直線與C交于A，B兩點.若的周長為8，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．1B．
C．D．
【答案】C
【分析】由題設(shè)可設(shè)橢圓方程為 ，根據(jù)焦點三角形的周長得，進(jìn)而求參數(shù)b，即可得標(biāo)準(zhǔn)方程.
【詳解】由題設(shè)，橢圓焦點在y軸上，若所求橢圓方程為 ，
因為的周長為8，則，故，而，則，
所以橢圓方程為.
故選：C
10．阿基米德是古希臘著名的數(shù)學(xué)家?物理學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.已知在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的面積為，兩焦點與短軸的一個端點構(gòu)成等邊三角形，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由橢圓的面積為和兩焦點與短軸的一個端點構(gòu)成等邊三角形，結(jié)合橢圓的性質(zhì)，得到關(guān)于的方程組，從而可得答案.
【詳解】橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積，且橢圓的面積為，所以，又因為兩焦點與短軸的一個端點構(gòu)成等邊三角形，所以得，解得，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.
故選：A
11．已知圓錐曲線的離心率為方程的根，則滿足條件的有（ ）個不同的值
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】解方程得或，討論、，結(jié)合橢圓、雙曲線性質(zhì)判斷焦點位置，進(jìn)而求參數(shù)值，即可得結(jié)果.
【詳解】由，則或，
當(dāng)時，曲線為橢圓，
當(dāng)橢圓的焦點在x軸上時,，則，可得符合；
當(dāng)橢圓的焦點在y軸上時，，則，可得符合；
當(dāng)時，曲線為雙曲線，則，故，可得符合.
綜上，有3個不同的值.
故選：C
12．已知雙曲線：的右焦點為，關(guān)于原點對稱的兩點A、B分別在雙曲線的左、右兩支上，，，且點C在雙曲線上，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】若左焦點，連接，由題意知為矩形，設(shè)，則，，，在直角△、直角△中應(yīng)用勾股定理列方程可得，且得到關(guān)于雙曲線參數(shù)的齊次方程，即可得離心率.
【詳解】如下圖，若左焦點，連接，
因為A、B關(guān)于原點對稱且，所以為矩形，
設(shè)，則，，，
在直角△中，即，
所以，
在直角△中，即，
所以.
故選：B
二、填空題
13．a(chǎn)，b，c是兩兩不等的實數(shù)，則經(jīng)過、兩點的直線的傾斜角為____________.
【答案】##45°
【分析】根據(jù)傾斜角與斜率關(guān)系，利用斜率兩點式求傾斜角正切值，即可確定其大小.
【詳解】由題設(shè)，若直線的傾斜角為，則，
所以.
故答案為：
14．過雙曲線的左頂點，且與直線平行的直線方程為____________.
【答案】
【分析】由雙曲線方程確定頂點坐標(biāo)，根據(jù)直線平行確定斜率，應(yīng)用點斜式寫出直線方程.
【詳解】由雙曲線方程知：其左頂點為，
根據(jù)直線平行關(guān)系知：所求直線的斜率為2，
所以所求直線為，則.
故答案為：
15．以雙曲線的焦點為頂點，頂點為焦點的橢圓方程為_____________.
【答案】
【分析】由雙曲線方程寫出頂點、焦點坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)寫出橢圓方程即可.
【詳解】由雙曲線方程知：頂點坐標(biāo)為，焦點坐標(biāo)為，
所以所求橢圓的焦點為，左右頂點為，即，
故，則橢圓方程為.
故答案為：
16．圓與圓的位置關(guān)系為_____________.（從“相離”“相交”“相切”“內(nèi)含”中選一個填入）
【答案】內(nèi)含
【分析】寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)形式求出圓心和半徑，判斷圓心距與兩半徑的不等關(guān)系，即可得答案.
【詳解】由的標(biāo)準(zhǔn)形式為，即圓心為，半徑為1；
由的標(biāo)準(zhǔn)形式為，即圓心為，半徑為；
所以圓心距為1，故兩圓為內(nèi)含關(guān)系.
故答案為：內(nèi)含
17．下列說法中，①方程表示一條直線；
②方程表示的曲線為橢圓；
③方程表示的曲線為雙曲線；
④方程表示的曲線為圓心在軸上的一個圓.
以上敘述正確的有____________（寫出所有序號）
【答案】①②
【分析】①④將兩邊平方并整理即可判斷，②③根據(jù)幾何意義，結(jié)合橢圓、雙曲線的定義判斷即可.
【詳解】①兩邊平方得，整理得表示一條直線，正確；
②幾何意義為點到的距離和為4且的距離小于4，故的軌跡為橢圓，正確；
③幾何意義為點到的距離與到的距離差為1且的距離大于1，故的軌跡為雙曲線的一支，錯誤；
④兩邊平方并整理得，即且去掉點，其圓心為，曲線為圓心在軸上且去掉點的一個圓，錯誤.
故答案為：①②
18．已知實數(shù)、、、滿足：，，，則的最大值為______．
【答案】
【分析】設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），=（x1，y1），=（x2，y2），由圓的方程和向量數(shù)量積的定義、坐標(biāo)表示，可得三角形OAB為等邊三角形，AB=1，+的幾何意義為點A，B兩點到直線x+y﹣1=0的距離d1與d2之和，由兩平行線的距離可得所求最大值．
【詳解】設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
=（x1，y1），=（x2，y2），
由x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，
可得A，B兩點在圓x2+y2=1上，
且?=1×1×cs∠AOB=，
即有∠AOB=60°，
即三角形OAB為等邊三角形，
AB=1，
+的幾何意義為點A，B兩點
到直線x+y﹣1=0的距離d1與d2之和，
顯然A，B在第三象限，AB所在直線與直線x+y=1平行，
可設(shè)AB：x+y+t=0，（t＞0），
由圓心O到直線AB的距離d=，
可得2=1，解得t=，
即有兩平行線的距離為=，
即+的最大值為+，
故答案為+．
【點睛】本題考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示和定義，以及圓的方程和運(yùn)用，考查點與圓的位置關(guān)系，運(yùn)用點到直線的距離公式是解題的關(guān)鍵，屬于難題．
三、解答題
19．在平面直角坐標(biāo)系中，三個頂點坐標(biāo)分別為，，.
(1)設(shè)線段的中點為，求中線所在直線的方程；
(2)求邊上的高所在直線的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由中點坐標(biāo)公式得中點坐標(biāo)為，進(jìn)而根據(jù)點斜式方程求解即可；
（2）先根據(jù)直線的斜率得高的斜率，再根據(jù)點斜式方程求解即可.
【詳解】（1）解：由題意，三個頂點坐標(biāo)分別為，，，
設(shè)中點坐標(biāo)為，由中點公式可得，，
即中點坐標(biāo)為，又由斜率公式，可得，
所以中線所在直線的方程為，即
（2）解：由，可得，
所以上的高所在直線的斜率為，
則上的高所在直線的方程為，即.
20．（1）中心在原點，焦點在軸上的雙曲線W，經(jīng)過點，且其實軸長與橢圓：的焦距相等，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（2）已知A，B是橢圓：上兩點，且A，B兩點關(guān)于x軸對稱，點A在第二象限，點，為等邊三角形，求點坐標(biāo).
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由橢圓方程求焦距，即得雙曲線實軸長，再令雙曲線為，根據(jù)所過的點求得，即可得方程；
（2）若且，結(jié)合M坐標(biāo)和為等邊三角形列方程組求參數(shù)m、n.
【詳解】（1）由題設(shè)，橢圓：的焦距為2，則雙曲線實軸長，即，
又焦點在軸上，令雙曲線為，經(jīng)過，故，則，
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）由題設(shè)，若且，則，
又，為等邊三角形，則，
綜上，可得，故.
21．（1）已知圓心在軸上且過點的圓與軸相切，求該圓的方程；
（2）過點作圓：的切線，求方程.
【答案】（1）；（2）或.
【分析】（1）令圓心為，寫出圓的方程，根據(jù)點在圓上求參數(shù)m，即可得方程；
（2）討論切線的斜率，結(jié)合點線距離公式，分別求出圓的切線方程即可.
【詳解】（1）由題設(shè)，令圓心為，則圓的方程為，
又在圓上，故，可得，
所以圓的方程為.
（2）圓：的圓心為，半徑為2，
當(dāng)切線斜率不存在時有，顯然與：相切，滿足要求；
當(dāng)切線斜率存在時，設(shè)切線為，即，
由切線與圓心距離等于半徑，則，可得，
所以切線方程為，即，
綜上，切線方程為或.
22．已知橢圓：，點，過點的直線與橢圓C交于不同的兩點M，N.
(1)若直線的斜率為，求的面積；
(2)設(shè)直線和直線的斜率分別為和，求證：為定值.
【答案】(1)；
(2)證明見解析.
【分析】（1）由題設(shè)有直線為，代入橢圓方程整理得，應(yīng)用韋達(dá)定理、相交弦的弦長公式及點線距離公式、三角形面積公式求的面積；
（2）由題設(shè)，令直線聯(lián)立橢圓整理，應(yīng)用韋達(dá)定理得、，利用斜率兩點式可得，進(jìn)而化簡即可證.
【詳解】（1）由題設(shè)，直線為，即，代入橢圓：，
整理得：，則，，
所以，則，
又到直線距離為，故的面積為.
（2）由題設(shè)，直線的斜率一定存在，設(shè)直線，
聯(lián)立橢圓并整理得：，則，，
，，且，，
則為定值.

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