?2022-2023學(xué)年北京市匯文中學(xué)教育集團高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題（每題5分，共60分）
1．（5分）下列所給元素與集合的關(guān)系正確的是（　?。?br /> A．π∈R B．0∈N* C．2∈Q D．|﹣5|?Z
2．（5分）如圖所示，全集U＝R，M＝{x|x＞0}，N＝{x|﹣1≤x≤1}，則圖中陰影部分表示的集合為（　?。?br />
A．（﹣∞，﹣1] B．[﹣1，0） C．（0，1] D．[﹣1，0]
3．（5分）集合P={x|y=x+1}，集合Q={y|y=x-1}，則P與Q的關(guān)系是（　?。?br /> A．P＝Q B．P?Q C．P?Q D．P∩Q＝?
4．（5分）下列各組函數(shù)表示同一函數(shù)的是（　?。?br /> A．y＝x與y=x2 B．y＝x+1與y=x2-1x-1
C．y=x2-1+1-x2與y＝0 D．y＝x與y=3x3
5．（5分）下列函數(shù)在定義域上是減函數(shù)的是（　?。?br /> A．y＝x2 B．y＝x﹣1 C．y=(12)x D．y=x12
6．（5分）若a＝20.5，b＝20.6，c＝0.62，則a，b，c的大小關(guān)系是（　?。?br /> A．a(chǎn)＜b＜c B．c＜b＜a C．a(chǎn)＜c＜b D．c＜a＜b
7．（5分）使不等式x2﹣x﹣6＜0成立的充分不必要條件是（　?。?br /> A．﹣2＜x＜0 B．﹣2＜x＜3 C．0＜x＜5 D．﹣2＜x＜4
8．（5分）給出函數(shù)f（x），g（x）如表，則f[g（x）]的值域為（　　）
x
1
2
3
4
f（x）
4
3
2
1

x
1
2
3
4
g（x）
1
1
3
3
A．{4，2} B．{1，3}
C．{1，2，3，4} D．以上情況都有可能
9．（5分）設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當x≥0時，f（x）＝2x﹣3x+k（k為常數(shù)），則f（﹣1）＝（　?。?br /> A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1
10．（5分）已知函數(shù)y=(a-1)x2+x+1的值域為[0，+∞），則實數(shù)a的取值范圍為（　　）
A．[1，54] B．[54，+∞) C．(54，+∞) D．(-∞，54)
11．（5分）f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當x＞0時，f（x）＝﹣x2+x，則不等式（x﹣1）f（x）＞0的解集（　?。?br /> A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（1，+∞）
12．（5分）若?x，y∈R，函數(shù)f（x）滿足f（x）+f（y）﹣f（x+y）＝3，函數(shù)g(x)=xx2+1+f(x)，則g（2022）+g（﹣2022）＝（　?。?br /> A．0 B．6 C．9 D．2022
二、填空題（每題5分，共30分）
13．（5分）函數(shù)f（x）=1x+1-x的定義域是 　 ?。?br /> 14．（5分）若命題“?x0∈R，ax02-ax0+1≤0”是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是 　 ?。?br /> 15．（5分）請寫出一個定義域為R，值域為（﹣∞，1）的函數(shù)解析式為 　 　．
16．（5分）若正數(shù)x，y滿足x+3y＝5xy，則3x+4y的最小值是　 ?。?br /> 17．（5分）定義：對于非空集合A，若元素x∈A，則必有（m﹣x）∈A，則稱集合A為“m和集合”．已知集合B＝{1，2，3，4，5，6，7}，則集合B所有子集中，是“8和集合”的集合有　 　個．
18．（5分）若使集合A＝{x|（kx﹣k2﹣8）（x﹣1）＞0，x∈Z}中的元素個數(shù)最少，則實數(shù)k的取值范圍是 　 ?。?br /> 三、解答題（共60分）
19．（12分）已知集合A＝{x|x2﹣5x≤0}，B＝{x|t＜x＜t+6}，其中t∈R．
（1）當t＝1時，求A∩B和A∪B；
（2）若A?B，求t的取值范圍．
20．（12分）已知函數(shù)f(x)=1-x22x．
（Ⅰ）求f(-13)；
（Ⅱ）判斷函數(shù)的奇偶性，并加以證明；
（Ⅲ）求證：函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞減．
21．（12分）已知函數(shù)f（x）＝﹣x2+2ax+1﹣a．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，3]上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若f（x）在區(qū)間[0，1]上有最大值3，求實數(shù)a的值．
22．（12分）已知定義域為R的函數(shù)f(x)=a-2xb+2x是奇函數(shù)．
（1）求a，b的值；
（2）判斷f（x）的單調(diào)性，并用定義證明；
（3）若存在t∈[0，4]，使f（k+t2）+f（4t﹣2t2）＜0成立，求k的取值范圍．
23．（12分）對于函數(shù)y＝f（x），若定義域中存在實數(shù)a、b滿足b＞a＞0且f(a)=f(b)=2f(a+b2)≠0，則稱函數(shù)y＝f（x）為“P函數(shù)”．
（1）判斷y1=(x-1)2，x∈R是否為“P函數(shù)”，并說明理由；
（2）設(shè)n∈N且n＞0，若函數(shù)y2=|2x-k|，x∈(0，n)為“P函數(shù)”，且n的最小值為5，求實數(shù)k的取值范圍．

2022-2023學(xué)年北京市匯文中學(xué)教育集團高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（每題5分，共60分）
1．【解答】解：R、N*、Q、Z分別表示了實數(shù)集、正整數(shù)集、有理數(shù)集、整數(shù)集，
故π∈R，0?N*，2?Q，|﹣5|＝5∈Z，
故選：A．
2．【解答】解：陰影部分表示的集合為?M∪NM，
又∵M＝{x|x＞0}，N＝{x|﹣1?x?1}，
∵M∪N＝{x|x?﹣1}，
∴?M∪NM＝[﹣1，0]．
故選：D．
3．【解答】解：∵P={x|y=x+1}={x|x≥-1}，
Q＝{y|y≥0}
由圖可知：
∴P?且≠Q(mào)，
故選：B．

4．【解答】解：y＝x與y=x2=|x|的對應(yīng)關(guān)系不一致，故不表示同一函數(shù)；
y＝x+1與y=x2-1x-1=x+1（x≠1）的定義域不一致，故不表示同一函數(shù)；
y=x2-1+1-x2=0（x＝±1）與y＝0的定義域不一致，故不表示同一函數(shù)；
y＝x與y=3x3=x的定義域和對應(yīng)關(guān)系均相同，故可表示同一函數(shù)；
故選：D．
5．【解答】解：根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，A顯然不符合題意；
根據(jù)冪函數(shù)性質(zhì)可知y＝x﹣1顯然不符合題意；
根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，y＝（12）x在R上單調(diào)遞減，
根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可知，y=x12在[0，+∞）上單調(diào)遞增．
故選：C．
6．【解答】解：因為函數(shù)y＝2x是單調(diào)增函數(shù)，且0＜0.5＜0.6，
所以1＝20＜20.5＜20.6，即1＜a＜b；
又函數(shù)y＝0.6x是單調(diào)減函數(shù)，且2＞0，
所以0.62＜0.60＝1，即c＜1；
所以c＜a＜b．
故選：D．
7．【解答】解：由x2﹣x﹣6＜0可得：﹣2＜x＜3，
即不等式的解集為（﹣2，3），
因為（﹣2，0）?（﹣2，3），則﹣2＜x＜0是不等式x2﹣x﹣6＜0成立的充分不必要條件，
而選項B是充要條件，選項C對應(yīng)的集合與（﹣2，3）只有交集，選項D是不等式x2﹣x﹣6＜0成立的必要不充分條件，
故選：A．
8．【解答】解：∵當x＝1或x＝2時，g（1）＝g（2）＝1，
∴f（g（1））＝f（g（2））＝f（1）＝4；
當x＝3或x＝4時，g（3）＝g（4）＝3，
∴f（g（3））＝f（g（4））＝f（3）＝2．
故f[g（x）]的值域為{2，4}．
故選：A．
9．【解答】解：∵f（x）為定義在R上的奇函數(shù)；
∴f（0）＝1﹣0+k＝0；
∴k＝﹣1；
∴x≥0時，f（x）＝2x﹣3x﹣1；
∴f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣（2﹣3﹣1）＝2．
故選：A．
10．【解答】解：當a＝1時，y=x+1的值域為[0，+∞），滿足題意；
當a≠1時，要使函數(shù)y=(a-1)x2+x+1的值域為[0，+∞），
則a-1＞01-4(a-1)≥0，解得1＜a≤54，
綜上可得實數(shù)a的取值范圍是[1，54]．
故選：A．
11．【解答】解：根據(jù)題意，當x＞0時，f（x）＝﹣x2+x＝x（1﹣x），
則在區(qū)間（0，1）上，f（x）＞0，在區(qū)間（1，+∞）上，f（x）＜0，
又由f（x）為奇函數(shù)，在區(qū)間（﹣1，0）上，f（x）＜0，在區(qū)間（﹣∞，﹣1）上，f（x）＞0，
（x﹣1）f（x）＞0?x-1＞0f(x)＞0或x-1＜0f(x)＜0，解可得﹣1＜x＜0，
即不等式的解集為（﹣1，0），
故選：B．
12．【解答】解：由題意，將x＝y(tǒng)＝0代入f（x）+f（y）﹣f（x+y）＝3，得f（0）＝3，
將y＝﹣x代入f（x）+f（y）﹣f（x+y）＝3，得f（x）+f（﹣x）﹣f（0）＝3，即f（x）+f（﹣x）＝6．
設(shè)h（x）=xx2+1，（x∈R），則h（﹣x）=-xx2+1=-h（x），
所以h（x）是R上的奇函數(shù)，則h（x）+h（﹣x）＝0，
又g（x）=xx2+1+f（x）＝h（x）+f（x），
所以g（2022）+g（﹣2022）＝h（2022）+f（2022）+h（﹣2022）+f（﹣2022）＝6，
故選：B．
二、填空題（每題5分，共30分）
13．【解答】解：要使函數(shù)f（x）=1x+1-x有意義，
則x≠01-x≥0，解得x≤1且x≠0，
所以函數(shù)的定義域為（﹣∞，0）∪（0，1]．
故答案為：（﹣∞，0）∪（0，1]．
14．【解答】解：若命題“?x0∈R，ax02-ax0+1≤0”是假命題，
則命題的否定：?x∈R，ax2﹣ax+1＞0為真命題，
只需Δ＝a2﹣4a＜0，解得0＜a＜4，
故答案為：（0，4）．
15．【解答】解：令y＝﹣3x+1，函數(shù)的定義域為R，
因為指數(shù)函數(shù)y＝3x的值域為（0，+∞），所以y＝﹣3x的值域為（﹣∞，0），
所有y＝﹣3x+1的值域為（﹣∞，1），滿足題意．
故答案為：y＝﹣3x+1（答案不唯一）．
16．【解答】解：∵x+3y＝5xy，x＞0，y＞0，
∴15y+35x=1，
∴3x+4y＝（3x+4y）（15y+35x）=135+3x5y+4y5x×3≥135+23x5y?12y5x=5，
當且僅當3x5y=12y5x即x＝2y＝1時取等號，
故答案為：5．
17．【解答】解：①含有1個元素的“8和集合”：{4}；
②含有2個元素的“8和集合”：{1，7}，{2，6}，{3，5}；
③含有3個元素的“8和集合”：{1，4，7}，{2，4，6}，{3，4，5}；
④含有4個元素的“8和集合”：{1，7，2，6}，{1，7，3，5}，{2，6，3，5}；
⑤含有5個元素的“8和集合”：{1，7，2，6，4}，{1，7，3，5，4}，{2，6，3，5，4}；
⑥含有6個元素的“8和集合”：{1，7，2，6，3，5}；
⑦含有7個元素的“8和集合”：{1，7，2，6，3，5，4}．
18．【解答】解：由題意知：
①當k＝0時，A＝{x|﹣8（x﹣1）＞0，x∈Z}＝{x|x＜1，x∈Z}，
此時集合A中的元素個數(shù)為無限個，故舍去；
②當k＞0時，（kx﹣k2﹣8）（x﹣1）＞0，
等價于kx-k2-8＞0x-1＞0或kx-k2-8＜0x-1＜0，
∴x＞k+8kx＞1或x＜k+8kx＜1，
∴x＞k+8k或x＜1，
∴A＝{x|x＞k+8k或x＜1，k∈Z}，
此時集合A中的元素個數(shù)為無限個，故舍去；
③當k＜0時，（kx﹣k2﹣8）（x﹣1）＞0，
等價于x＜k+8kx＞1或x＞k+8kx＜1，
∵k+8k＜1，∴k+8k＜x＜1，
∴A＝{x|k+8k＜x＜1，x∈Z}，
此時集合A中的元素個數(shù)為有限個，且k+8k的值越大，集合A中的元素就越少，
∵k+8k≤-42，且﹣6＜-42＜-5，
∴當﹣6≤k+8k＜-5時，即﹣4≤k≤﹣2時，集合A中的元素個數(shù)最少．
故答案為：[﹣4，﹣2]．
三、解答題（共60分）
19．【解答】解：（1）當t＝1時，B＝{x|t＜x＜t+6}＝{x|1＜t＜7}，
A＝{x|x2﹣5x≤0}＝{x|0≤x≤5}，
故A∩B＝{x|1＜x≤5}，A∪B＝{x|0≤x＜7}．
（2）∵A?B，
∴t＜0t+6＞5，解得﹣1＜t＜0，
故t的取值范圍為（﹣1，0）．
20．【解答】解：（Ⅰ）f(-13)=1-(-13)22×(-13)=1-19-23=89-23=-43．
（Ⅱ）函數(shù)的定義域為{x|x≠0}，
則f（﹣x）=1-x2-2x=-f（x），則f（x）是奇函數(shù)．
（Ⅲ）證明：f（x）=12x-12x，
設(shè)0＜x1＜x2，
則f（x1）﹣f（x2）=12（1x1-x1-1x2+x2）=12[（x2﹣x1）+x2-x1x1x2]=12（x2﹣x1）（1+1x1x2），
∵0＜x1＜x2，
∴x2﹣x1＞0，則f（x1）﹣f（x2）＞0，
即f（x1）＞f（x2），即函數(shù)在（0，+∞）上為減函數(shù)．
21．【解答】解：（I）根據(jù)題意，函數(shù)f（x）＝﹣x2+2ax+1﹣a．函數(shù)f（x）為二次函數(shù)，且其開口向下，對稱軸為x＝a，
因為函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，3]上是單調(diào)函數(shù)，
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，3]上是增函數(shù)或減函數(shù)，
所以a≤0或a≥3．
（Ⅱ）f（x）對稱軸為x＝a，
當a≤0時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上是減函數(shù)，
則f（x）max＝f（0）＝1﹣a＝3，即a＝﹣2；
當0＜a＜1時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，a]上是增函數(shù)，在區(qū)間[a，1]上是減函數(shù)，
則f（x）max＝f（a）＝a2﹣a+1＝3，解得a＝2或﹣1，不符合題意；
當a≥1時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上是增函數(shù)，
則f（x）max＝f（1）＝﹣1+2a+1﹣a＝3，解得a＝3；
綜上所述，a＝﹣2或a＝3．
22．【解答】（1）解：由題意知，f（0）＝0=a-1b+1，所以a＝1，
所以f（x）=1-2xb+2x，
因為f（﹣x）＝﹣f（x），所以1-2-xb+2-x=-1-2xb+2x，化簡得2x-1b?2x+1=2x-1b+2x，
所以b?2x+1＝b+2x，即b（2x﹣1）＝（2x﹣1），所以b＝1．
（2）證明：f（x）在R上單調(diào)遞減，證明過程如下：
由（1）知，f（x）=1-2x1+2x=2-(1+2x)1+2x=21+2x-1，
任取x1＜x2，
則f（x1）﹣f（x2）=21+2x1-1-21+2x2+1=2(2x2-2x1)(1+2x1)(1+2x2)，
因為x1＜x2，所以2x2-2x1＞0，1+2x2＞0，1+2x1＞0，
所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
所以f（x）在R上單調(diào)遞減．
（3）解：因為f（x）是奇函數(shù)，
所以不等式f（k+t2）+f（4t﹣2t2）＜0可化為f（k+t2）＜﹣f（4t﹣2t2）＝f（2t2﹣4t），
又f（x）在R上單調(diào)遞減，
所以k+t2＞2t2﹣4t，即k＞t2﹣4t，
原問題等價于存在t∈[0，4]，使k＞t2﹣4t，
設(shè)g（t）＝t2﹣4t，是開口向上，對稱軸為t＝2的二次函數(shù)，
所以g（t）在[0，2）上遞減，在（2，4]上遞增，
所以g（t）min＝g（2）＝4﹣8＝﹣4，
所以k＞﹣4，
故k的取值范圍為（﹣4，+∞）．
23．【解答】解：（1）若y1=(x-1)2，x∈R是“P函數(shù)”，則滿足(a-1)2=(b-1)2=2(a+b2-1)2，
∴a2-b2-2a+2b=0a2-b2-2ab+4b-2=0，兩式相減得﹣2a+2ab+2b﹣4b+2＝0，即ab﹣a﹣b+1＝0．
∴（b﹣1）（a﹣1）＝0，則b＝1或a＝1，與f（a）＝f（b）≠0矛盾，
故y1=(x-1)2，x∈R不是“P函數(shù)”；
（2）y2=|2x-k|，x∈(0，n)是“P函數(shù)”．
①若k≤0，則2x-k＞0，則y2=|2x-k|=2x-k在x∈（0，n）上單調(diào)遞減，
故不滿足存在實數(shù)a、b滿足b＞a＞1且f（a）＝f（b），不合題意；
②若k＞0，∵g（x）=2x-k，x∈（0，n）單調(diào)遞減，且g（2k）＝0，
故x∈（0，2k）時，f（x）＝|2x-k|單調(diào)遞減，x∈（2k，+∞）時，f（x）＝|2x-k|單調(diào)遞增，
故a∈（0，2k），b∈（2k，+∞），
∴f（a）=2a-k=f（b）＝k-2b=2f（a+b2），則k=1a+1b，
∴f（a）=2a-1a-1b=1a-1b，則2f（a+b2）＝2|4a+b-k|＝2|4a+b-(1a+1b)|．
若2[4a+b-(1a+1b)]=1a-1b，則8a+b=3a+1b=3b+aab，整理可得a2+3b2﹣4ab＝0，
得a＝3b，不合題意；
若2[4a+b-(1a+1b)]=1b-1a，則8a+b=3b+1a=3a+bab，整理可得3a2+b2﹣4ab＝0，
得b＝3a，故k=1a+1b=43a，2k=3a2，a=43k．
由（0，n）中存在實數(shù)a、b滿足b＞a＞1且f(a)=f(b)=2f(a+b2)≠0，n的最小值為5，
故在（0，5）中存在a滿足f（a）＝f（3a）＝2f（2a），且4≤3a＜5，
故4≤k4＜5，得45＜k≤1．
綜上所述，實數(shù)k的取值范圍是（45，1]．
26 11:07:33

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