湖南省永州市柳子中學(xué)2023-2024學(xué)年七年級下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

（總分：120分時間：120分鐘）
一、選擇題：（共10個小題，每小題3分，滿分30分）
1. 下列方程中，為二元一次方程的是（）
A. 2x＋3＝0B. 3x－y＝2zC. x2＝3D. 2x－y＝5
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)二元一次方程的定義，從二元一次方程的未知數(shù)的個數(shù)和次數(shù)方面辨別．
【詳解】解：A．是一元一次方程，故本選項不合題意；
B．含有三個未知數(shù)，不是二元一次方程，故本選項不合題意；
C．只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2，不是二元一次方程，故本選項不合題意；
D．符合二元一次方程的定義，故本選項符合題意．
故選：D．
【點睛】此題考查了二元一次方程的定義，含有兩個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1，像這樣的整式方程叫做二元一次方程．
2. 下列計算中正確的是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了合并同類項，積的乘方，冪的乘方，完全平方公式，根據(jù)合并同類項，積的乘方，冪的乘方，完全平方公式運算法則逐項判斷即可，熟知相關(guān)計算法則是解題的關(guān)鍵．
【詳解】、與不是同類項，不可以合并，原選項計算錯誤，不符合題意；
、，原選項計算錯誤，不符合題意；
、，原選項計算正確，符合題意；
、，原選項計算錯誤，不符合題意；
故選：．
3. 下列等式從左到右的變形，屬于因式分解的是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了因式分解的定義及提公因式法分解因式，根據(jù)因式分解是指將幾個多項式和的形式轉(zhuǎn)化為幾個單項式或多項式的積的形式，逐個判斷即可，熟練掌握把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：、，不是整式的乘法運算，不是整式乘積的形式，不屬于因式分解，不符合題意；
、，不是整式乘積的形式，不屬于因式分解，不符合題意；
、，屬于因式分解，符合題意；
、，不是整式乘積的形式，不屬于因式分解，不符合題意；
故選：．
4. 已知是二元一次方程的一個解，則的值為（）
A. 3B. C. D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了二元一次方程的解，將代入，即可轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的一元一次方程，解答即可．方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．
【詳解】將代入，
得，
解得．
故選：A．
5. 若，，則（）．
A 3B. 5C. 8D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法計算即可．
【詳解】解：∵，
==，
∴=5，
故答案為：B．
【點睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，解題的關(guān)鍵是掌握公式的逆用．
6. 如圖所示，在邊長為a的正方形上剪去一個邊長為b的小正方形（），把剩下的部分剪拼成一個梯形，分別計算這兩個圖形陰影部分的面積，由此可以驗證的等式為（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)正方形和梯形的面積公式，觀察圖形發(fā)現(xiàn)這兩個圖形陰影部分的面積=a2-b2=（a+b）（a-b）．
【詳解】解：左邊圖形的陰影部分的面積=a2-b2
右邊的圖形的面積
=（a+b）（a-b）．
∴，
故選：A．
【點睛】本題主要考查了平方差公式．掌握利用圖形面積證明代數(shù)恒等式是解本題的關(guān)鍵．
7. 若是一個關(guān)于的完全平方式，則的值為（）
A. B. C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】此題主要考查了完全平方公式的應(yīng)用，熟練掌握是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵，
∴，
故選：．
8. 《孫子算經(jīng)》中有一道題，原文是：“今有木，不知長短，引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺，木長幾何？”意思是：用一根繩子去量一根長木，繩子還剩余4.5尺；將繩子對折再量長木，長木還剩余1尺，木長多少尺？若設(shè)繩子長x尺，木長y尺，所列方程組正確的是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此題考查了二元一次方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)“用一根繩子去量一根長木，繩子還剩余4.5尺，將繩子對折再量木條，木頭剩余1尺”，即可得出方程組即可．
【詳解】解：∵用繩子去量長木，繩子還剩余4.5尺，
∴；
∵將繩子對折再量長木，長木還剩余1尺，
∴．
∴所列方程組為．
故選：B．
9. 計算的值為（）
A. 2B. C. 4D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查了積的乘方的逆運算，同底數(shù)冪乘法的逆運算，先把原式變形為，進一步變形為，據(jù)此計算求解即可．
【詳解】解：
，
故選：C．
10. 若，則代數(shù)式的值為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了代數(shù)式的值與提公因式，由，得，然后整體代入即可求解，熟練掌握利用整體代入進行求解代數(shù)式的值是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
，
，
，
，
故選：．
二、填空題（共8個小題，每小題3分，滿分24分）
11. 將方程變形成用含的代數(shù)式表示，則__________．
【答案】7x-5
【解析】
【分析】把x看做已知數(shù)求出y即可．
【詳解】解：7x-y=5，
7x-5=y，
即y=7x-5．
故答案為：7x-5．
【點睛】此題考查了解二元一次方程，熟練掌握“解方程步驟”是解本題的關(guān)鍵．
12. 計算： ___________．
【答案】##
【解析】
【分析】利用單項式與單項式相乘的乘法法則運算．
【詳解】解：．
故答案為：．
【點睛】本題考查了單項式乘單項式：單項式與單項式相乘，把他們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式．
13. 已知，，則____．
【答案】
【解析】
【分析】提取公因式分解因式，把，整體代入即可．
【詳解】解：，
，，
原式．
故答案為：．
【點睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，掌握提取公因式法分解因式，整體代入是解題關(guān)鍵．
14. 若，則_____．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查多項式乘多項式，由等式左邊利用多項式乘多項式法則計算，根據(jù)多項式相等的條件求出與的值即可求解，掌握多項式乘多項式的運算法則是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵，
∴，，
∴，
故答案為：．
15. 如果方程組與方程組的解相同，則______．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了解二元一次方程組，同解方程組，先解方程組得，進而把代入方程組得到，解方程組求出m、n的值即可得到答案．
【詳解】解：解方程組得，
∵方程組與方程組的解相同，
∴是方程組的解，
∴，
解得，
∴，
故答案為：．
16. 若的乘積展開式中不含項，則的值為_____．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查多項式乘多項式，利用多項式乘多項式的法則進行運算，再結(jié)合結(jié)果不含項，則其相應(yīng)的系數(shù)為，從而可求解，解題的關(guān)鍵是掌握運算法則及明確結(jié)果不含項，則其相應(yīng)的系數(shù)為．
【詳解】解：
，
，
，
∵乘積展開式中不含項，
∴，解得：，
故答案為：．
17. 已知多項式因式分解后有一個因式為，則的值為______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了因式分解的應(yīng)用，設(shè)多項式的一個因式為，則，再根據(jù)多項式乘多項式法則展開合并，即可作答．
【詳解】解：設(shè)多項式的一個因式為，
∵多項式因式分解后有一個因式為，
∴
則
∴
則
故答案為：．
18. 我國宋代數(shù)學(xué)家楊輝所著《詳解九章算法》中記載了用如圖所示的三角形解釋了二項和的乘方展開式中的系數(shù)規(guī)律，我們把這種數(shù)字三角形叫做“楊輝三角”．請你利用楊輝三角，計算（a+b）6的展開式中，從左起第四項是 _____．
【答案】20a3b3
【解析】
【分析】通過觀察可知“楊輝三角”的規(guī)律：①每個數(shù)等于上方兩數(shù)之和．②每行數(shù)字左右對稱，由1開始逐漸變大．③a的指數(shù)從左向右逐漸變小，b的指數(shù)由左向右逐漸變大．依據(jù)此規(guī)律，可得出最后答案．
【詳解】解：由題意可知：每個數(shù)等于上方兩數(shù)之和，
∴（a+b）5的展開式中系數(shù)從左向右分別是1，5，10，10，5，1，
∴（a+b）6的展開式中系數(shù)從左向右分別是1，6，15，20，15，6，1，
又∵a的指數(shù)從左向右逐漸變小，b的指數(shù)由左向右逐漸變大，
∴（a+b）6展開式左起第四項是20a3b3，
故答案為：20a3b3．
【點睛】本題屬于規(guī)律探索型問題，考查觀察以及歸納總結(jié)能力，找到蘊含的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（共8個小題，滿分66分）
19. 解二元一次方程組：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）應(yīng)用代入消元法，求出方程組的解即可．
（2）應(yīng)用加減消元法，求出方程組的解即可．
【小問1詳解】
解：，
由①，可得：，
③代入②，可得：，
解得，
把代入③，可得：，
∴原方程組的解是．
【小問2詳解】
解：，
由①，可得：，
，可得，
解得，
把代入②，可得：，
解得，
∴原方程組的解是．
【點睛】此題主要考查了解二元一次方程組的方法，注意代入消元法和加減消元法的應(yīng)用．
20. 因式分解：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（）先提取公因式，再利用平方差公式分解即可；
（）先提取公因式，再根據(jù)完全平方公式進行二次分解；
本題考查了因式分解的綜合運用，涉及平方差公式、完全平方公式等知識，綜合運用提公因式法及公式法因式分解是解題的關(guān)鍵．
【小問1詳解】
解：原式，
；
【小問2詳解】
解：原式，
．
21 先化簡，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本題考查了整式的混合運算以及化簡求值，先根據(jù)完全平方公式以及平方差公式進行展開，再合并同類項，得出，再把代入，即可作答．
【詳解】解：
；
把代入，得．
22. 如圖，某市有一塊長為米，寬為米的長方形地塊，規(guī)劃部門計劃將陰影部分進行綠化，中間將修建一座雕像．試用含，的代數(shù)式表示綠化的面積是多少平方米？
【答案】．
【解析】
【分析】此題考查了整式的混合運算，綠化面積等于長方形的面積減去中間正方形的面積，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．
【詳解】解：綠化的面積為,
，
．
23. 甲、乙兩人共同解方程組，由于甲看錯了方程①中的a，得到方程組的解為，乙看錯了方程②中的b，得到方程組解為，試計算：的值．
【答案】2
【解析】
【分析】將代入，求得的值，將代入，求得的值，即可求出最后結(jié)果．
【詳解】解：將代入，得，
解得，
將代入，得，
解得，
∴．
【點睛】本題考查了二元一次方程組錯解問題，關(guān)鍵是將解代入沒看錯的方程即可求出參數(shù)的值．
24. 用2輛A型車和1輛型車載滿貨物一次可運華10噸；用1輛A型車和2輛型車載滿貨物一次可運貨11噸，某物流公司現(xiàn)有27噸貨物，計劃兩種車型都要租，其中A型車輛，型車輛，一次運完，且恰好每輛車都載滿貨物．
根據(jù)以上信息，列二元一次方程（組）解答下列問題：
（1）1輛A型車和1輛車型車都載滿貨物一次可分別運貨多少噸？
（2）若A型車每輛需租金100元/次，型車每輛需租金120元/次．請你幫物流公司設(shè)計最省錢的租車方案，并求出最少租車費．
【答案】（1）1輛A型車載滿貨物一次可運貨3噸，1輛B型車載滿貨物一次可運貨4噸；
（2）最省錢的租車方案為：租用1輛A型車，6輛B型車，最少租車費為820元．
【解析】
【分析】（1）設(shè)1輛A型車載滿貨物一次可運貨噸，1輛B型車載滿貨物一次可運貨噸，根據(jù)“用2輛A型車和1輛型車載滿貨物一次可運華10噸；用1輛A型車和2輛型車載滿貨物一次可運貨11噸”，即可得出關(guān)于，的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)“現(xiàn)有27噸貨物，計劃兩種車型都要租，其中A型車輛，型車輛，一次運完，且恰好每輛車都載滿貨物”，即可得出關(guān)于，的二元一次方程，結(jié)合，均為自然數(shù)，即可得出各租車方案，再求出選擇各租車方案所需租車費，比較后即可得出結(jié)論．
【小問1詳解】
設(shè)1輛A型車載滿貨物一次可運貨噸，1輛B型車載滿貨物一次可運貨噸，
依題意得：，
解得：．
答：1輛A型車載滿貨物一次可運貨3噸，1輛B型車載滿貨物一次可運貨4噸；
【小問2詳解】
依題意得：，
．
又，均為自然數(shù)，
或，
共有2種租車方案，
方案1：租用5輛A型車，3輛B型車，所需總租金為（元；
方案2：租用1輛A型車，6輛B型車，所需總租金為（元．
，
最省錢的租車方案為：租用1輛A型車，6輛B型車，最少租車費為820元．
【點睛】此題主要考查二元一次方程組的實際應(yīng)用和二元一次方程有整數(shù)解的實際意義．在解與實際問題有關(guān)的二元一次方程組時，要結(jié)合未知數(shù)的實際意義求解．
25. 【閱讀理解，自主探究】把代數(shù)式通過配湊手段，得到完全平方式，再運用完全平方式是非負數(shù)這一性質(zhì)解答一些數(shù)學(xué)問題，這種解題方法叫做配方法．配方法在代數(shù)式求值，解方程，因式分解，最值問題等都有著廣泛的應(yīng)用．
例1．用配方法因式分解：；
原式．
例2．若，利用配方法求的最小值．
；
∵，，∴當時，有最小值．
請根據(jù)上述自主學(xué)習(xí)材料解決下列問題：
（1）若，則的最小值為______；
（2）用配方法因式分解：；
（3）已知，求值．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】（）類比例題求的最小值即可；
（）類比例題進行分解因式即可；
（）根據(jù)配方法把等式配成的形式，根據(jù)，具有非負性，，即可求出答案.
本題主要考查了配方法的運用，一個數(shù)或整數(shù)的平方具有非負性和因式分解法計算與運用，合理利用配方法是解題的關(guān)鍵．
【小問1詳解】
解：，
，
∵，
∴當時，有最小值，
故答案為：；
【小問2詳解】
，
，
，
；
【小問3詳解】
∵，
∴，
∵，，，
∴，，
∴．
26. 完全平方公式：，適當?shù)淖冃?，可以解決很多的數(shù)學(xué)問題．例如：若，，求的值．
解：因為，
所以，即：，又因為，所以．
根據(jù)上面的解題思路與方法，解決下列問題：
（1）若，，求的值；
（2）若，求的值；
（3）如圖，點是線段上的一點，以為邊向兩邊作正方形，設(shè)，兩正方形的面積和，求圖中陰影部分（三角形）的面積．
【答案】（1）；
（2）；
（3）陰影部分的面積為．
【解析】
【分析】（）根據(jù)完全平方公式得出，整體代入求值即可；
（）根據(jù)完全平方公式將轉(zhuǎn)化為，再整體代入求值即可；
（）設(shè)，可得，，求出即可；
本題考查完全平方公式的幾何背景，掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是解題的關(guān)鍵．
小問1詳解】
∵，，
∴，
∴；
【小問2詳解】
∵，
∴，
，
，
；
【小問3詳解】
設(shè)，，
∵，
∴，
又，
∴，
由完全平方公式可得，，
∴，
∴，
∴，
答：陰影部分的面積為．

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