湖南省永州市第九中學2023-2024學年九年級下學期開學考試數(shù)學試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習網(wǎng)

1. 的相反數(shù)是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查相反數(shù)，解題的關鍵是熟練掌握相反數(shù)的定義（只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)），據(jù)此解答即可．
【詳解】解：的相反數(shù)是．
故選：A．
2. 下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)中心對稱圖形和軸對稱圖形的概念逐項判斷即可．
【詳解】解：A．是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；
B．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；
C．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；
D．既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故此選項符合題意；
故選：D．
【點睛】本題考查的是中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后與自身重合．
3. 新華網(wǎng)，2023年4月14日，我國首顆太陽探測衛(wèi)星“夸父一號”已獲得原始太陽觀測數(shù)據(jù)大約84000000兆字節(jié)．將數(shù)據(jù)84000000用科學記數(shù)法表示為（）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】對于一個絕對值較大數(shù)，用科學記數(shù)法寫成的形式，其中，n是比原整數(shù)位數(shù)少1的數(shù)．
【詳解】．
故選D．
【點睛】此題考查了正整數(shù)指數(shù)科學記數(shù)法，對于一個絕對值大于10的數(shù)，科學記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．
4. 下列運算正確的是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)去括號法則，積的乘方法則，合并同類項法則以及同底數(shù)冪的除法法則逐項計算即可．
【詳解】解：A、，故A符合題意；
B、，故B不符合題意；
C、與不能合并，故C不符合題意；
D、，故D不符合題意；
故選：A．
【點睛】本題考查了去括號，積的乘方，合并同類項以及同底數(shù)冪的除法運算，熟練掌握運算法則是解答本題的關鍵．
5. 如圖，一根直尺壓在三角板的角上，欲使，則應使的度數(shù)為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了平行線的判定，根據(jù)時，列式計算即可．
【詳解】解：由題意得：，
當時，，
∴．
故選：A．
6. 若關于x的方程kx2﹣2x﹣1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是（）
A. k＞﹣1且k≠0B. k＞﹣1C. k＜﹣1D. k＜1且k≠0
【答案】A
【解析】
【分析】利用一元二次方程的概念及一元二次方程根的判別式計算即可.
【詳解】根據(jù)題意得k≠0且△=（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＞0，
所以k＞﹣1且k≠0．
故選A．
【點睛】本題考查了一元二次方程根的情況與判別式△的關系：（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）△＜0?方程沒有實數(shù)根．
7. 要調查九年級學生周末完成作業(yè)的時間，下面最恰當?shù)氖牵? ）
A. 對任課教師進行問卷調查B. 查閱學校的圖書資料
C. 進入學校網(wǎng)站調查D. 對學生進行問卷調查
【答案】D
【解析】
【分析】對調查方式的合理性，調查對象的全面性，代表性，逐一判斷．
【詳解】解： A．對任課教師進行問卷調查，這種方式不合理；
B．查閱學校的圖書資料，不合理；
C．進入學校網(wǎng)站調查，不合理；
D．對學生進行問卷調查，合理．
故選：D．
【點睛】本題考查了調查特點，關鍵是在選取樣本時，選取的樣本要全面，具有代表性．
8. 某中學八（1）班45名同學參加市“精準扶貧”捐款助學活動，共捐款400元，捐款情況記錄表如下：
表格中捐款5元和8元人數(shù)不小心被墨水污染看不清楚．若設捐款5元的有x名同學，捐款8元的有y名同學，根據(jù)題意可得方程組（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】設捐款5元的有x名同學，捐款8元的有y名同學，利用八（1）班學生人數(shù)為45得出一個方程，然后利用共捐款400元得出另外一個方程，再組成方程組即可．
【詳解】解：設捐款5元的有x名同學，捐款8元的有y名同學，根據(jù)題意可得：
，即．
故選：A．
【點睛】本題考查二元一次方程組的應用，關鍵是利用總人數(shù)和總錢數(shù)作為等量關系列方程組．
9. 如圖，內(nèi)接于，，，則的長為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】連接，過點O作于D，根據(jù)垂徑定理求出，根據(jù)圓周角定理求出，根據(jù)余弦的定義求出，根據(jù)弧長公式計算，得到答案．
【詳解】解：連接，過點O作于D，
則，
由圓周角定理得，，
∵，
∴，
∴，，
即，
∴(負值已舍)，
∴的長，
故選：C．
【點睛】本題考查的是三角形的外接圓與外心、弧長的計算、垂徑定理的應用，掌握圓周角定理、垂徑定理、弧長公式是解題的關鍵．
10. 如圖，在平面直角坐標系中，點A，C分別在坐標軸上，且四邊形是邊長為3的正方形，反比例函數(shù)的圖像與邊分別交于兩點，的面積為4，點P為y軸上一點，則的最小值為（）
A. 3B. C. D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】由正方形的邊長是3，得到點的橫坐標和點的縱坐標為3，求得，，，根據(jù)三角形的面積列方程得到，，作關于軸的對稱點，連接交軸于，則的長的最小值，根據(jù)勾股定理即可得到結論．
【詳解】正方形的邊長是3，
點的橫坐標和點的縱坐標為3，
，，，
，，
的面積為，
，
或（舍去），
，，
作關于軸的對稱點，連接交軸于，則的長的最小值，
，
，，
，
即的最小值為，
故選：B．
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的系數(shù)的幾何意義，軸對稱中最小距離問題，勾股定理，正方形的性質，正確的作出圖形是解題的關鍵．
二．填空題（共8小題，滿分24分，每小題3分）
11. 將化成最簡二次根式為 _____．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)二次根式的化簡方法，被開方數(shù)中的分子分母同時乘以3求解即可．
【詳解】解：，
故答案為：．
【點睛】此題考查了二次根式的化簡方法，解題的關鍵是熟練掌握二次根式的化簡方法．
12. 當________時，分式的值為零．
【答案】2
【解析】
【分析】根據(jù)分式的值為零的條件：分子為0，分母不為0，即可求出的值．
【詳解】解：分式的值為零，
，
，
故答案為：2．
【點睛】本題考查了分式值為零的條件，分母為零分式無意義，分子為零且分母不為零分式的值為零．
13. 點關于原點O對稱的點的坐標為______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)兩個點關于原點對稱時，它們的坐標符號相反即可求解．此題主要考查了關于原點對稱的點的坐標，關鍵是掌握點的坐標的變化規(guī)律．
【詳解】點關于原點對稱的點的坐標為，
故答案為：．
14. 對甲、乙兩個小麥品種各100株小麥的株高（單位：）進行測量，算出平均數(shù)和方差為：，，，，于是可估計株高較整齊的小麥品種是______．
【答案】甲
【解析】
【分析】本題主要考查了方差與穩(wěn)定性之間的關系，根據(jù)方差越小越穩(wěn)定即可得到答案．
【詳解】解：∵，，，，
∴，，
∴可估計株高較整齊的小麥品種是甲，
故答案為：甲．
15. 對于有理數(shù)a，b，定義一種新運算“⊙”，規(guī)定．則計算的值為______．
【答案】8
【解析】
【分析】根據(jù)題中的新定義進行計算即可得．
【詳解】解：根據(jù)題中的新定義得：，
故答案為：8．
【點睛】本題考查了有理數(shù)加減混合運算，絕對值的運算，解題的關鍵是理解題意．
16. 在平面直角坐標系中，如果點在一次函數(shù)圖象上，那么點A和坐標原點的距離是 _____．
【答案】5
【解析】
【分析】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，勾股定理，先求出點A的坐標，再用勾股定理求解即可．
【詳解】解：將點代入一次函數(shù)得，
∴點，
∴點A和坐標原點的距離是．
故答案為：5．
17. 如圖，是平行四邊形邊的延長線上一點，，則____．

【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質得到，，易證，由相似三角形的性質即可求解．
【詳解】∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
【點睛】此題考查了平行四邊形的性質和相似三角形的判定與性質，熟練掌握相似三角形的對應邊成比例是解題的關鍵．
18. 我國南宋時期數(shù)學家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，此公式與古希臘幾何學家海倫提出的公式如出一轍，即三角形的三邊長分別為，，，記，則其面積．這個公式也被稱為海倫—秦九韶公式．若，，則此三角形面積的最大值為______．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)在幾何圖形中的應用，先根據(jù)公式得到，進而求出，再由二次函數(shù)的性質即可求出答案．
【詳解】解：∵，，，
∴，
∴，
∴
，
∵，
∴當時，的值最大，最大為63，
∴若，，則此三角形面積的最大值為，
故答案為：．
三．解答題（共8小題，滿分66分）
19. 計算：．
【答案】2
【解析】
【分析】本題主要考查了實數(shù)的運算，根據(jù)，，，，，再計算即可．
【詳解】原式
．
20. 先化簡，再求值：然后在0，1，三個數(shù)中選一個合適的數(shù)，代入求值．
【答案】，當時，原式
【解析】
【分析】本題主要考查了分式化簡求值，先根據(jù)分式的混合計算法則化簡，然后根據(jù)分式有意義的條件選擇合適的值代值計算即可．
【詳解】解：
，
∵分式要有意義，
∴，
∴且，
∴當時，原式
21. 如圖，在平行四邊形中，連接，為線段的中點，延長與的延長線交于點，連接．
（1）求證：四邊形是平行四邊形；
（2）若，，，求四邊形的面積．
【答案】（1）見解析（2）36
【解析】
【分析】本題主要考查平行四邊形性質及應用，矩形的判定，全等三角形判定與性質，勾股定理以及三角函數(shù)等知識．
（1）由四邊形是平行四邊形，得，而點E是的中點，可得，即知，從而四邊形是平行四邊形；
（2）先證明四邊形是矩形，再由，，求出，以及，，再求出即可得出結論．
【小問1詳解】
證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∵點E是的中點，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴四邊形是平行四邊形，
【小問2詳解】
解：由（1）得：四邊形是平行四邊形，
∵，
∴四邊形是矩形，
∵，，，
∴
∴
由勾股定理得，，
∴，
∴，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∴四邊形的面積，
所以，四邊形的面積為36．
22. 第十九屆亞運會于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行．某網(wǎng)絡經(jīng)銷商購進了一批以杭州亞運會為主題的文化衫進行銷售，文化衫的進價每件30元．根據(jù)市場調查：在一段時間內(nèi)，銷售單價是45元時，每日銷售量是550件；銷售單價每漲1元，每日文化衫就會少售出10件．設該批文化衫的銷售單價為元．
（1）請你寫出銷售量（件）與銷售單價（元）的函數(shù)關系式．
（2）若經(jīng)銷商獲得了10000元銷售利潤，則該文化衫單價應為多少元？
【答案】（1）
（2）若經(jīng)銷商獲得了10000元銷售利潤，則該文化衫單價應為50元或80元
【解析】
【分析】本題主要考查了列函數(shù)關系式，一元二次方程的實際應用：
（1）根據(jù)銷售單價每漲1元，每日文化衫就會少售出10件求出銷售量即可；
（2）根據(jù)總利潤單件利潤銷售量列出方程求解即可．
【小問1詳解】
解：由題意得：；
【小問2詳解】
解：由題意得：，
整理得：，
解得或，
答：若經(jīng)銷商獲得了10000元銷售利潤，則該文化衫單價應為50元或80元．
23. 2022年是我國航天事業(yè)輝煌的一年，神舟十四號和神舟十五號兩個飛行乘組6位航天員在太空會師，在神州大地上掀起了航天熱潮，某學校為了解本校學生對我國航天事業(yè)的了解情況，在全校范圍內(nèi)開展了航天知識競賽，學校隨機抽取了50名學生的成績，整理并制成了如下不完整的頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖．
其中這一組的數(shù)據(jù)如下：
61，62，62，63，64，64，64，64，64，64，64，64，64，64，66，67，67，69
根據(jù)以上提供的信息，解答下列問題：
（1）補全頻數(shù)直方圖，并計算______；
（2）這一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是______，中位數(shù)是______；
（3）若將成績在的記為“良好”，試估計全校3000名學生參與競賽時成績?yōu)椤傲己谩钡娜藬?shù)．
【答案】（1）補全圖形見解析，0.28
（2）64；64 （3）1380名
【解析】
【分析】（1）先根據(jù)頻率之和等于1求出m值，再根據(jù)頻數(shù)=頻率×總數(shù)求出a，b的值，最后補全頻數(shù)分布直方圖即可；
（2）根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的定義求解即可；
（3）先求出樣本中“良好”的頻率，再利用樣本估計總體求解即可．
【小問1詳解】
解：，
；
，
補全條形統(tǒng)計圖如下：
故答案為：0.28；
【小問2詳解】
解：這一組的數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列如下：
61，62，62，63，64，64，64，64，64，64，64，64，64，64，66，67，67，69
數(shù)據(jù)64出現(xiàn)次數(shù)最多，共10次，故眾數(shù)為：64；
最中間的兩個數(shù)為：64，64，故中位數(shù)為：，
故答案為：64；64；
【小問3詳解】
解：（名）
答：估計全校3000名學生參與競賽時成績?yōu)椤傲己谩钡娜藬?shù)為1380名．
24. 在學習反比例函數(shù)后，數(shù)學興趣小組參照學習反比例函數(shù)的過程與方法，探究函數(shù)的圖象與性質，因為即y＝所以我們對比函數(shù)來進行探究．
列表如下：
（1）填空：a＝_______________，b＝_______________；
（2）在平面直角坐標系中以自變量x的取值為橫坐標，以相應的函數(shù)值為縱坐標，描出相應的點，并用光滑的曲線畫出函數(shù)圖象；
（3）觀察圖象并分析表格，寫出這個函數(shù)的兩條性質：
①________________________；②______________________________．
（4）函數(shù)與直線交于點A，B，求的面積．

【答案】（1）7；
（2）見解析（3）①當時，y隨x的增大而增大；②函數(shù)沒有最大值（答案不唯一）
（4）
【解析】
【分析】（1）將自變量代入計算即可；
（2）結合表格數(shù)據(jù)先描點，再連線即可作答；
（3）結合反比例函數(shù)的特點作答即可；
（4）先求出兩個函數(shù)的交點坐標，再求出與x軸的交點坐標，問題隨之得解．
【小問1詳解】
在曲線上，
當時，；
當時，，
故答案為：7；．
【小問2詳解】
函數(shù)圖象如圖所示
【小問3詳解】
結合（2）中的函數(shù)圖象有：
①當時，y隨x的增大而增大；
②函數(shù)沒有最大值（答案不唯一）．
【小問4詳解】
根據(jù)題意得，
解得或．
當時，；
當時，，
∴交點為，．
如圖，

當時，,
解得：，即與x軸交于點，
∴．
【點睛】本題是一道涉及反比例函數(shù)的拓展題，題目難度不大，通過類比，緊扣反比例函數(shù)的圖象與性質，是解答本題的關鍵．
25. 如圖，線段是半圓的直徑，點為的中點，在線段的延長線上取點，過點作的切線，切點為，點是?。ú慌c點，重合）上一點，延長交于的延長線于點．
（1）連接，，若，求證：；
（2）在（1）的條件下，若，，求的半徑．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】本題主要考查了切線的性質，直徑所對的圓周角是直角，勾股定理，相似三角形的性質與判定：
（1）由線段是半圓的直徑，是半圓的切線得到，進而證明，從而得到，由此即可證明；
（2）利用切線的性質和平行線的性質可得，利用勾股定理求出，證明，最后根據(jù)相似三角形的性質求解即可．
【小問1詳解】
證明：∵線段是半圓的直徑，
∴，
∵是半圓切線，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小問2詳解】
解：∵是的切線，
∴∠．
∵，
∴．
∵，，
∴．
設半徑為R，則．
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴的半徑為．
26. 綜合與探究．
如圖，在平面直角坐標系中，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點（點在點的左側），與軸交于點，連接．
（1）求，，三點的坐標；
（2）若點是軸上一點，當為等腰三角形時，求點的坐標；
（3）點是二次函數(shù)圖象上的一個動點，請問是否存在點使？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】（1），，
（2）或或
（3）或
【解析】
【分析】（1）當時，即，解方程可得圖象與軸交于點，，當時，，從而得圖象與軸交于點；
（2）先利用勾股定理求出，再分當，當時，當時，三種情況討論求解即可；
（3）分點在上方時和點在下方兩種情況討論求解即可．
【小問1詳解】
解：當時，即，解得：．
∴圖象與軸交于點，，
當時，，
∴圖象與軸交于點，
【小問2詳解】
解：∵，，
∴，
當，則點P的坐標為或；
當時，∵，
∴，
∴點P的坐標為；
當時，設點P的坐標為，
∴，
∴，
解得，
∴點P的坐標為；
綜上所述，點P的坐標為或或；
【小問3詳解】
解：當點在上方時，

∵，
∴，即軸，
∴點與點關于拋物線的對稱軸對稱，
∵拋物線解析式為，
∴拋物線的對稱軸為直線；
∵，
∴；
當點在下方時，設交軸于點，

則，．
∵，
∴．
在中，，
∴，
解得：，
∴，
設直線的解析式為，
，
解得：，
∴直線的解析式為，
聯(lián)立，得，
解得：舍去，，
∴．
綜上所述，點的坐標為或；
【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，求二次函數(shù)與坐標軸的交點坐標，一次函數(shù)與幾何綜合，勾股定理，等腰三角形的性質與判定等等，利用分類討論的思想求解是解題的關鍵．
捐款（元）
3
5
8
10
人數(shù)
2
■
■
31
組號
成績
頻數(shù)
頻率
1
2
0.04
2
0.1
3
18
0.36
4
9
0.18
5
6
2
0.04
合計
50
1.000
x
…
1
2
3
4
．．．
…
5
－1
．．．
…
a
b
1
．．．

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