湖南省永州市東安縣2023-2024學年九年級下學期期中數(shù)學試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習網(wǎng)

一、選擇題（在下列各題的四個選項中，只有一項是符合題意的. 請在答題卡中填涂符合題意的選項. 本大題共10個小題，每小題3分，共30分）
1. 的倒數(shù)是（）
A. B. C. D. 2024
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查了求一個數(shù)倒數(shù)，根據(jù)乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù)進行求解即可．
【詳解】解：的倒數(shù)是，
故選：B．
2. 第135屆廣交會4月15日開幕，這是目前為止規(guī)模最大的春季廣交會，本屆廣交會展覽面積155萬平方米，家企業(yè)參加出口展覽，其中數(shù)據(jù)用科學記數(shù)法表示為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此題考查了科學記數(shù)法的表示方法，根據(jù)科學記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)即可求解，解題的關(guān)鍵要正確確定的值以及的值．
【詳解】解：，
故選：B．
3. 下列運算中，正確的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了冪的乘方，合并同類項．熟練掌握冪的乘方，合并同類項是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)冪的乘方，合并同類項對各選項進行判斷作答即可．
【詳解】解：A．，故不符合要求；
B．，故不符合要求；
C．，故不符合要求；
D．，故符合要求；
故選：D．
4. 下列常用手機的圖標中，是中心對稱圖形的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此題主要考查了中心對稱圖形的概念，注意中心對稱是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．根據(jù)中心對稱圖形的概念逐一判斷即可．
【詳解】解：A、不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；
B、不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；
C、是中心對稱圖形，故此選項符合題意；
D、不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；
故選：C．
5. 如圖，直線，在，它的頂點分別在直線上，且平分，若，則的度數(shù)為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，直角三角形的兩個銳角互余，由平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)得到，即可求解，掌握平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
在，
，
故選：B．
6. 在某市舉行足球比賽中，六支球隊的進球數(shù)分別為，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）
A. 6B. 7C. 8D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了中位數(shù)的知識，根據(jù)中位數(shù)的概念求解，解題的關(guān)鍵是正確理解將一組數(shù)據(jù)按照從小到大或從大到小的順序排列，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果這組數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．
【詳解】解：∵這組數(shù)據(jù)從小到大的順序排列為：，處在第和第位的數(shù)為和，
∴這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是，
故選：A．
7. 某工程隊要限期完成一項工程，甲工程隊獨做可提前2天完成，乙工程隊獨做要誤期6天，現(xiàn)由兩工隊合做4天后，余下的由乙工程隊獨做，正好如期完成，若設工程期限為x天，則下面所列方程正確的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查列分式方程解決實際問題．設工程期限為x天，則甲工程隊的工作效率是，乙工程隊的工作效率是，根據(jù)“現(xiàn)由兩工隊合做4天后，余下的由乙工程隊獨做，正好如期完成”即可列出方程．
【詳解】設工程期限為x天，根據(jù)題意，得
．
故選：D
8. 如圖，直線與反比例函數(shù)的圖象交于點，點的橫坐標分別為，則（）
A. 3B. 4C. 2D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，根據(jù)題意和函數(shù)解析式，可以求得點和點的坐標，得到一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式，過點作軸于點，直線與軸交于點，求出點的坐標，從而可以求得的面積，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
【詳解】解：把點的橫坐標，分別代入函數(shù)中，得
，
解得：，
∴直線的解析式為：，
反比例函數(shù)的解析式為：，
∴點，，
過點作軸于點，直線與軸交于點，如圖：
當時，，
∴點，
∴
，
故選：B．
9. 《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中記載了一個“圓材埋壁”的問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小．以鋸鋸之、深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”用幾何語言表達為：如圖，是的直徑，弦于點，寸，寸，則半徑長為（）寸．
A. 6.5B. 12.5C. 13D. 15
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查垂徑定理，勾股定理的應用等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．設寸，利用垂徑定理得到，利用勾股定理得到，根據(jù)其建立方程求解，即可解題．
【詳解】解：設寸，
弦于點，寸，寸，
寸，
，
，
解得，
半徑長為寸．
故選：C．
10. 如圖.我們按規(guī)律將正整數(shù)填入平面直角左邊系的部分對應點，若將點上的數(shù)字記作，如，，，則的值是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意分析得，依次表示出到，根據(jù)裂項法則依次展開即可求解．
【詳解】由圖可知：，，，，，，，，，，則
故選A．
【點睛】本題考查找規(guī)律和簡便運算，熟練圖形中的數(shù)字規(guī)律和分數(shù)裂項法則為解題關(guān)鍵．
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）
11. 函數(shù)的自變量x的取值范圍是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了分式有意義，分母不為0，二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)，根據(jù)二次根式的性質(zhì)和分式的意義，被開方數(shù)大于等于0，分母不等于0，就可以求解．
詳解】解：根據(jù)二次根式有意義，分式有意義得：，
解得：，
故答案為：．
12. 分解因式：___________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查因式分解，先提公因式后，再用完全平方公式分解因式即可．
【詳解】解：．
故答案為：
13. 2024年永州市體育中考報名工作即將開始，在女子四選一（一分鐘跳繩、仰臥起坐、原地正面擲實心球、立定跳遠）的項目中，小紅和小美兩名女同學對這四項運動都比較擅長，請問這兩名同學選到相同項目的概率是_________．
【答案】##
【解析】
【分析】本題考查了畫樹狀圖法求概率，根據(jù)題意設分別表示一分鐘跳繩、仰臥起坐、原地正面擲實心球、立定跳遠，畫樹狀圖，進而即可求解．
【詳解】解：設分別表示一分鐘跳繩、仰臥起坐、原地正面擲實心球、立定跳遠，畫樹狀圖如圖所示，
共有種等可能結(jié)果，其中符合題意的有種，
∴這兩名同學選到相同項目的概率是，
故答案為：．
14. 如圖，在平行四邊形中，對角線與交于點，點是邊的中點，連接，若，則的長為______ ．
【答案】2
【解析】
【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、三角形中位線定理，由平行四邊形的性質(zhì)可得，求出是的中位線得出．
【詳解】解：四邊形是平行四邊形，
，
點是邊的中點，
是的中位線，
，
故答案為：．
15. 如圖，在矩形中，是上一點，是上一動點，連接取的中點F，連接，當線段取得最小值時，線段的長度是______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查矩形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線定理，勾股定理，垂線段最短，取的中點，連接，易得：為的中位線，進而得到當時，最短，利用勾股定理求出的長即可．
【詳解】解：取中點，連接，則：，
∵，
∴為的中點，
∵為的中點，
∴，
∴當最小時，最小，
∵為上一個動點，
∴當時，最小，
∵矩形，
∴，
∴當時，四邊形為矩形，
∴，
∴；
故答案為：．
16. 若關(guān)于x的不等式組有且只有2個整數(shù)解，則a的取值范圍是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查一元一次不等式組的整數(shù)解，解答本題的關(guān)鍵是明確解一元一次不等式的方法．先解出每個不等式的解集，即可得到不等式組的解集，然后根據(jù)不等式組有且只有2個整數(shù)解，即可得到的取值范圍．
【詳解】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
該不等式組的解集是，
不等式組有且只有2個整數(shù)解，
這三個整數(shù)解是4，5，
，
解得，
故答案為：．
17. 圖中分別為反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象，已知交點坐標，，直接寫出不等式的解：___________．
【答案】或
【解析】
【分析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標滿足兩函數(shù)的解析式．先把代入得到，再把代入可求出，然后
觀察函數(shù)圖象得到當或時，一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)圖象上方，即使．
【詳解】解：把代入得到，
∴反比例函數(shù)解析式為，
把代入得，
解得：，
∴，
∵當或時，一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)圖象上方，
∴的解集為：或．
故答案為：或．
18. 如圖，正六邊形的邊長為6，分別以正六邊形的邊，為直徑作圓，兩圓交于點，點，則圖中陰影部分的面積為______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查正多邊形和圓的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，扇形與三角形的面積．掌握求不規(guī)則圖形面積方法以是解題的關(guān)鍵．
連接，，，設以邊為直徑的圓的圓心為，連接，先證明為等邊三角形，然后由求解即可．
【詳解】解：如圖，連接，，，設以邊為直徑的圓的圓心為，連接，
∵是直徑，
∴，
∵正六邊形，
∴，，
，，
，
，
為等邊三角形，
，，
，
故答案為：．
三、解答題（本大題共8小題，第19-20題每小題6分，第21-22題每小題8分，第23-24題每小題9分，第25-26題每小題10分，共66分）
19. 計算：．
【答案】5
【解析】
【分析】本題考查絕對值，零次冪與負整數(shù)指數(shù)冪，特殊角三角函數(shù)值，根據(jù)絕對值，零次冪與負整數(shù)指數(shù)冪，特殊角三角函數(shù)值分別計算即可．
【詳解】解：
．
20. 先化簡，再求值：，在，，2中選一個合適的數(shù)作代入求值．
【答案】，時，原式
【解析】
【分析】本題考查了分式的化簡求值，分式有意義的條件，解題關(guān)鍵是熟練掌握分式的通分和約分．先把分式化簡后，再把使原分式有意義的數(shù)代入化簡后的式子，計算即可得到結(jié)果．
【詳解】解：原式
，
當時，分式無意義，
所以取，
當時，原式．
21. 永州市某游樂場有一摩天輪如圖，某人站在距離摩天輪30米的點處（即米），以的仰角恰好看到摩天輪圓輪最低處的點，在原地再以的仰角恰好看到摩天輪圓輪最高處的點．（人的身高忽略不計）
（1）求摩天輪最低處到地面的距離的長；
（2）求摩天輪圓輪直徑的長．
【答案】（1）摩天輪的最低處到地面的距離的長為米
（2）摩天輪圓輪直徑的長為米
【解析】
【分析】本題考查了解直角三角形的應用，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
（1）由銳角三角函數(shù)的定義得出，即可得出結(jié)果；
（2）由銳角三角函數(shù)的定義得出，求出的長，再由（1）得出的長，即可得出結(jié)果．
【小問1詳解】
解：在中，，
（米），
摩天輪的最低處到地面的距離的長為米．
【小問2詳解】
解：在中，，
（米），
（米），
即摩天輪圓輪直徑的長為米．
22. 為弘揚向善、為善優(yōu)秀品質(zhì)，助力愛心公益事業(yè)，某校組織開展“人間自有真情在，愛心助力暖人心”慈善捐款活動，九年級全體同學參加了此次活動．隨機抽查了部分同學捐款的情況，統(tǒng)計結(jié)果如圖1和圖2所示．

（1）本次抽查的學生人數(shù)是，并補全條形統(tǒng)計圖；
（2）本次捐款金額的平均數(shù)為元，中位數(shù)為元；
（3）若該校九年級學生為名，請你估算捐款金額不低于元的人數(shù)．
【答案】（1），補全圖形見解析
（2），
（3）全校九年級學生為名，捐款金額不低于元的人數(shù)為人
【解析】
【分析】本題考查扇形統(tǒng)計圖，條形統(tǒng)計圖，中位數(shù)、平均數(shù)以及樣本估計總體，理解兩個統(tǒng)計圖中數(shù)量之間的關(guān)系，掌握中位數(shù)、眾數(shù)的計算方法是正確解答的前提．
（1）從兩個統(tǒng)計圖中可知，樣本中“捐款為元”的學生有人，占調(diào)查人數(shù)的，根據(jù)頻率頻數(shù)總數(shù)可求出答案；
（2）根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)的定義進行計算即可；
（3）根據(jù)樣本估計總體進行計算即可．
【小問1詳解】
解：（人），
故答案為：．
“捐款為元”的學生有（人），補全條形統(tǒng)計圖如下：
【小問2詳解】
解：這名學生捐款金額從小到大排列處在中間位置的兩個數(shù)都是元，因此中位數(shù)是元
樣本平均數(shù)為（元/人），
故答案為：．
【小問3詳解】
全校九年級學生為名，捐款金額不低于元的人數(shù)為人，
答：全校九年級學生為名，捐款金額不低于元的人數(shù)為人．
23. 東安縣某中學舉辦一場運動會，現(xiàn)需購買、兩種獎品．若購買種獎2件和種獎品4件，共需48元；若購買種獎品3件和種獎品3件，共需54元．
（1）求、兩種獎品單價各是多少元？
（2）學校計劃購買、兩種獎品共60件，購買費用不超過640元，且種獎品的數(shù)量大于種獎品數(shù)量的2倍．設購買種獎品件，購買費用為元，寫出（元）與（件）之間的函數(shù)表達式，并說明有多少種購買方案．
【答案】（1）種獎品的單價為12元，種獎品的單價為6元
（2）；一共有6種購買方案
【解析】
【分析】本題考查二元一次方程組的運用，一元一次不等式組的運用，一元一次不等式的應用，解決的關(guān)鍵是讀懂題意，找到數(shù)量之間的關(guān)系．
（1）根據(jù)所花費用等于的費用加上的費用，找到等量列出方程組，即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)總費用等于的費用加上的費用，列出與之間的函數(shù)解析式，并通過不等式組找到的取值范圍，再由一次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【小問1詳解】
解：設種獎品的單價為元，種獎品的單價為元．
則有，
解得，
答：種獎品的單價為12元，種獎品的單價為6元．
【小問2詳解】
解：根據(jù)題意，購買費用為元，購買種獎品個，則購買種獎品個，
∵，
∴．
．
∵，
∴，
∴，
由題知為正整數(shù)，
∴當時，，
當時，，
當時，，
當時，，
當時，，
當時，，
答：一共有種購買方案．
24. 如圖，已知的內(nèi)接為等邊三角形，連接頂點C與圓心O，并延長交于點，交于點，連接，．
（1）圖中與全等的三角形是；
（2）求證：；
（3）連接，，判斷四邊形的形狀，并說明理由．
【答案】（1）
（2）見解析（3）四邊形為菱形，理由見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)圓周角定理可知是的角平分線，根據(jù)全等三角形的判定可得，即得答案；
（2）由（1）的推理過程可知，證明，由此即可證得答案；
（3）證明，是等邊三角形，再根據(jù)菱形的判定即得答案．
【小問1詳解】
解：是等邊三角形的外接圓，
，
，
是的直徑，
，
是的角平分線，
，
，
是的角平分線，
，
與中，
，
，
故答案為：．
【小問2詳解】
證明：由（1）知，，
∴，
∵為直徑，
∴，
∴，
∴，
∴．
【小問3詳解】
解：四邊形為菱形．
理由如下：
∵，，
∴，
，
，是等邊三角形，
，
四邊形是菱形．
【點睛】本題考查了圓周角定理，全等三角形的判定，相似三角形的判定，菱形的判定等知識，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．
25. 如圖，在中，弦與弦相交于點，于點，過點的直線與的延長線交于點，．
（1）若，求證：是的切線．
（2）若，，求的半徑．
（3）請問的值為定值嗎？請說明理由
【答案】（1）見解析（2）
（3）是定值；理由見解析
【解析】
【分析】（1）等邊對等角，得到，根據(jù)等角的余角，得到，進而得到，即可；
（2）平行得到，垂徑定理，得到，進而得到，求出的長，連接，設圓的半徑為r，則，利用勾股定理進行求解即可；
（3）證明，得到，得到，代入求解即可．
【小問1詳解】
證明：∵，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，即，
∴，
∵是的弦，
∴點B在上，
∴是的切線；
【小問2詳解】
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，解得，
連接，如圖1所示：
設圓的半徑為r，則，
在中，，
即，
解得：；
【小問3詳解】
是定值；理由如下：
連接，如圖2所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴．
【點睛】本題考查切線的判定，垂徑定理，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握相關(guān)知識點，并靈活運用，是解題的關(guān)鍵．
26. 在平面直角坐標系中，已知拋物線與x軸交于點A，B（點A在點B的左邊），與y軸負半軸交于點C，且，直線經(jīng)過點A，C，點D為y軸左側(cè)拋物線上一點，連接，．
（1）求拋物線的函數(shù)表達式；
（2）當點D在直線下方時，連接交于點E，求的最大值及此時點D的坐標；
（3）是否存在點D，使？若存在，求點D的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）
（2）的最大值為，此時點
（3）存在，點D的坐標為：或
【解析】
【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求解；
（2）由，即可求解；
（3）分情況討論：當點D在下方時，可求出一個D點坐標；當點D在上方時，可求出一個D點坐標．
【小問1詳解】
解：∵，則點，
將點C的坐標代入一次函數(shù)表達式得：，
則一次函數(shù)表達式為：，
令，得，
∴點，
把A、C兩點坐標代入二次函數(shù)解析式中，得：，
解得：，
則拋物線的表達式為：；
【小問2詳解】
由，得，
∴點，
設直線交y軸于點N，設點，
設直線的表達式為：，
則，
解得：，
直線的表達式為：，
令，得，
∴點，，
過點D作軸交于點H，則點，
則
，
∵，則有最大值，
當時，的最大值為，
此時點；
【小問3詳解】
存在，理由：
當點D在下方時，由點A、C的坐標知，，
∵若，
∴，
∴，即，
∴；
設點，
過點D作軸于E，如圖，
則；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
解得：（舍去），，則點；
當點D在的上方時，如圖，設交x軸于點F，
∵，，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
設直線解析式為 6，把點F坐標代入得：，
∴直線的表達式為：，
聯(lián)立直線的表達式與拋物線表達式得：，
解得：，（舍去），
即點；
綜上，點D的坐標為：或．
【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，涉及到解直角三角形、面積的計算，分類求解是本題解題的關(guān)鍵．

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