（時(shí)間100分鐘 滿分150分）
考生注意∶
1．本試卷含三個(gè)大題，共25題；答題時(shí)，考生務(wù)必按答題要求在答題紙規(guī)定的位置上作答，在草稿紙、本試卷上答題一律無效；
2．除第一、二大題外，其余各題如無特別說明，都必須在答題紙的相應(yīng)位置上寫出證明或計(jì)算的主要步驟．
一、選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）
【下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的】
1．下列實(shí)數(shù)中，有理數(shù)是
（A）； （B）； （C）； （D）．
2．下列單項(xiàng)式中，與單項(xiàng)式是同類項(xiàng)的是
（A）； （B）； （C）； （D）．
3．已知一次函數(shù)的圖像經(jīng)過第一、二、四象限，那么直線經(jīng)過
（A）第二、三、四象限； （B）第一、二、三象限；
（C）第一、二、四象限； （D）第一、三、四象限．
4．如表1，記錄了甲、乙、丙、丁四名跳高運(yùn)動(dòng)員最近幾次選拔賽成績(jī)的平均數(shù)與方差．
表1 甲、乙、丙、丁四名跳高運(yùn)動(dòng)員最近幾次選拔賽成績(jī)的平均數(shù)與方差統(tǒng)計(jì)表

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，要從中選擇一名成績(jī)好且發(fā)揮穩(wěn)定的運(yùn)動(dòng)員參加比賽，應(yīng)該選擇
（A）甲； （B）乙； （C）丙； （D）?。?
5．如圖，□的對(duì)角線、相交于點(diǎn)，如果添加一個(gè)條件使得□是
矩形，那么下列添加的條件中正確的是
（A）； （B）；
（C）； （D）．
6．如圖，一個(gè)半徑為的定滑輪由繩索帶動(dòng)重物上升，如果該定滑輪逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)了，假設(shè)繩索（粗細(xì)不計(jì)）與滑輪之間沒有滑動(dòng)，那么重物上升的高度是
（A） cm；（B） cm； （C）cm； （D）cm．
B
O
A
C
D
（第5題圖）
（第6題圖）

二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）
7．方程的根是___▲___．
8．不等式組的解集是___▲___．
9．方程組的解是____▲____．
10．關(guān)于的一元二次方程根的情況是：原方程__▲___實(shí)數(shù)根．
11．如果二次函數(shù)的圖像的一部分是上升的，那么的取值范圍是▲_．
12．如果反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，那么的值是____▲_____．
13．如果從長(zhǎng)度分別為、、、的四條線段中任意取出三條，那么取出的三條線段能構(gòu)成三角形的概率是__▲__．
14．小杰沿著坡比的斜坡，從坡底向上步行了米，那么他上升的高度是▲米．
15．某校為了了解學(xué)生家長(zhǎng)對(duì)孩子用手機(jī)的態(tài)度問題，隨機(jī)抽取了名家長(zhǎng)進(jìn)行問卷調(diào)查，
（第15題圖1）
0
問卷數(shù)
類別
從來
不管
稍加
詢問
嚴(yán)格
管理
30
35
40
45
50
55
（第15題圖2）
25℅
從來
不管
嚴(yán)格
管理
稍加
詢問
每位學(xué)生家長(zhǎng)只有一份問卷，且每份問卷僅表明一種態(tài)度（這名家長(zhǎng)的問卷真實(shí)有效），將這份問卷進(jìn)行回收整理后，繪制了如圖1、圖2所示的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．如果該校共有名學(xué)生，那么可以估計(jì)該校對(duì)手機(jī)持“嚴(yán)格管理”態(tài)度的家長(zhǎng)有__▲__人．
16．如圖，梯形中，，，平分，如果，
，，那么是_▲_（用向量、表示）．
17．如圖，在中，，． 已知點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，將 沿直線翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)處，聯(lián)結(jié)，那么的長(zhǎng)是_▲__．
18．如圖，點(diǎn)是函數(shù)圖像上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)交函數(shù)圖像于
（第18題圖）
B
A
O
x
y
C
點(diǎn)，點(diǎn)是軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，且，聯(lián)結(jié)，那么的面積是_▲_．
（第17題圖）
A
B
C
（第16題圖）
D
A
B
C
三、（本大題共7題，第19—22題每題10分；第23、24題每題12分；第25題14分；
滿分78分）
19．（本題滿分10分）
計(jì)算：．

20．（本題滿分10分）
解方程：．

21．（本題滿分10分）
（第21題圖）
A
B
如圖，⊙和⊙相交于點(diǎn)、，聯(lián)結(jié)、、，已知，，．
（1）求⊙的半徑長(zhǎng)；
（2）試判斷以為直徑的⊙是否經(jīng)過點(diǎn)，并說明理由．
22．（本題滿分10分）
市“第××屆中學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì)”期間，甲校租用兩輛小汽車（設(shè)每輛車的速度相同）同時(shí)出發(fā)送名學(xué)生到比賽場(chǎng)地參加運(yùn)動(dòng)會(huì)，每輛小汽車限坐人（不包括司機(jī)），其中一輛小汽車在距離比賽場(chǎng)地千米的地方出現(xiàn)故障，此時(shí)離截止進(jìn)場(chǎng)的時(shí)刻還有分鐘，這時(shí)唯一可利用的交通工具是另一輛小汽車．已知這輛車的平均速度是每小時(shí)千米，人步行的平均速度是每小時(shí)千米（上、下車時(shí)間忽略不計(jì)）．
（1）如果該小汽車先送名學(xué)生到達(dá)比賽場(chǎng)地，然后再回到出故障處接其他學(xué)生，請(qǐng)你判斷他們能否在截止進(jìn)場(chǎng)的時(shí)刻前到達(dá)？并說明理由；
（2）試設(shè)計(jì)一種運(yùn)送方案，使所有參賽學(xué)生能在截止進(jìn)場(chǎng)的時(shí)刻前到達(dá)比賽場(chǎng)地，并說明方案可行性的理由．
23．（本題滿分12分）
（第23題圖）
E
A
B
C
D
F
G
H
如圖，在菱形中，點(diǎn)、、、分別在邊、、、上，，，．
（1）求證：；
（2）分別聯(lián)結(jié)、，求證：四邊形是等腰梯形．
24．（本題滿分12分）
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．
（1）求該拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）已知點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，過點(diǎn)作，垂足為，點(diǎn)是軸上的動(dòng)點(diǎn)，分別聯(lián)結(jié)、，以、為邊作平行四邊形．
① 當(dāng)時(shí)，且□的頂點(diǎn)正好落在軸上，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
② 當(dāng)時(shí)，且點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中存在唯一的位置，使得□是矩形，求的值．
（第24題圖）
A
O
x
y
B
C
25．（本題滿分14分）
如圖，在扇形中， ，，點(diǎn)、是弧上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的上方，點(diǎn)不與點(diǎn)重合，點(diǎn)不與點(diǎn)重合），且．
（1）①請(qǐng)直接寫出弧、弧和弧之間的數(shù)量關(guān)系；
②分別聯(lián)結(jié)、和，試比較和的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）聯(lián)結(jié)分別交、于點(diǎn)、．
①當(dāng)點(diǎn)在弧上運(yùn)動(dòng)過程中， 的值是否變化，若變化請(qǐng)說明理由；若不變，請(qǐng)求的值；
（第25題圖）
B
A
C
D
O
②當(dāng)時(shí)，求圓心角的正切值．
2023學(xué)年第二學(xué)期徐匯區(qū)初三年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科
學(xué)習(xí)能力診斷卷參考答案和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)
一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）
1．B； 2．C； 3．D； 4．A； 5．D； 6．B．
二．填空題：（本大題共12題，滿分48分）
7．； 8．； 9．或； 10．有兩個(gè)不相等的；
11．； 12．； 13．； 14．； 15．；
16．； 17．； 18．．
三、（本大題共7題，第19、20、21、22題每題10分，第23、24題每題12分，第25題14分，滿分78分）
19. 解：原式

．
20．解：去分母，得；
化簡(jiǎn)，得；
解得 ，；
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的增根；
所以，原方程的根是．
21．解：（1）聯(lián)結(jié)，設(shè)與的交點(diǎn)為．
∵⊙和⊙相交于點(diǎn)、，∴，；
在中，，∴；
∴；在中，，
∴；
即⊙的半徑長(zhǎng)為．
（2）以為直徑的⊙經(jīng)過點(diǎn)．
∵，；
∴，又；
∴∽；∴；
取的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)、．∴；
又垂直平分，；
∴以為直徑的⊙經(jīng)過點(diǎn)．
22．解：（1）他們不能在截止進(jìn)場(chǎng)的時(shí)刻前到達(dá)比賽場(chǎng)地．
∵單程送達(dá)比賽場(chǎng)地的時(shí)間是：；
∴送完另名學(xué)生的時(shí)間是：：
∴他們不能在截止進(jìn)場(chǎng)的時(shí)刻前到達(dá)比賽場(chǎng)地．
（2）方案不唯一．如：
先將名學(xué)生用車送達(dá)比賽場(chǎng)地，另外名學(xué)生同時(shí)步行前往比賽場(chǎng)地，
汽車到比賽場(chǎng)地后返回到與另外名學(xué)生的相遇處再載他們到比賽場(chǎng)地．（用
這種方案送這名學(xué)生到達(dá)比賽場(chǎng)地共需時(shí)間約為分鐘）．
理由如下：
先將名學(xué)生用車送達(dá)比賽場(chǎng)地的時(shí)間是：
此時(shí)另外名學(xué)生步行路程是：(千米)；
設(shè)汽車與另外名學(xué)生相遇所用時(shí)間為小時(shí)．
則；解得（小時(shí)）（分鐘）；
從相遇處返回比賽場(chǎng)地所需的時(shí)間也是（分鐘）；
所以，送這名學(xué)生到達(dá)比賽場(chǎng)地共需時(shí)間為：
（分鐘）； 又；
所以，用這種方案送這名學(xué)生能在截止進(jìn)場(chǎng)的時(shí)刻前到達(dá)比賽場(chǎng)地．
23．證明：（1）聯(lián)結(jié)．
∵四邊形是菱形， ∴；
又，，∴，；
∴，；
∴．
（2）∵，∴；
∵，∴；又，∴；
又，∴四邊形是梯形；
∵,即；
又，即；
∵四邊形是菱形，∴；
∴；∴；
∴梯形是等腰梯形．
24．解：（1）由題意，得；解得；
∴拋物線的表達(dá)式為；
∵拋物線的對(duì)稱軸是直線，∴點(diǎn)．
（2）①由題意，得、，∴；
∵四邊形是平行四邊形，∴；
又點(diǎn)在軸上，∴；∴；
在中。，∴；
，；
在中，，∴；
∴；
過點(diǎn)作，垂足為．
在中，，；
易得四邊形是矩形，∴；∴．
②當(dāng)時(shí)，根據(jù)不同取值分三種情況討論：
當(dāng)時(shí)。即點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，符合題意；
M
O
x
y
B
C
G
D
N
P
H
當(dāng)時(shí)，如圖情況符合題意，由，
即，解得；
當(dāng)時(shí)，可得，所以符合題意的不存在；
綜合、、，符合題意的的值為或．
25．解：（1）①弧弧??；
②．
在弧上取點(diǎn)聯(lián)結(jié)，使得；∴；
聯(lián)結(jié)、可得 ；
∵，．，
∴；∴；
∴．
（2）①的值不變，．
∵，∴；
∵，∴；
∵，
又，
∴；
∴∽；∴；
∴．
②過點(diǎn)在下方作，截取，聯(lián)結(jié)、
．又，∴；
∴，；∴；
又，，∴；
∴；∴；
∵，又；
解得或；
當(dāng)時(shí)，可得；
當(dāng)時(shí)，可得．
甲
乙
丙
丁
平均數(shù)（cm）
185
180
180
185
方差
3.6
3.6
8.1
7.4

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