考生注意：
1． 本試卷含三個大題，共25題；
2． 答題時，考生務(wù)必按答題要求在答題紙規(guī)定的位置上作答，在草稿紙、本試卷上答題一律無效；
3． 除第一、二大題外，其余各題如無特別說明，都必須在答題紙的相應(yīng)位置寫出證明或計算的主要步驟．
一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分，下列各題的四個選項(xiàng)中，有且只有一個選項(xiàng)是正確的，選擇正確項(xiàng)的代號并填涂在答題紙的相應(yīng)位置上）
1. 下列根式中，的同類二次根式是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，下列不等式成立是（ ）
A. B. C. D.
3. 當(dāng)k＜0，b＜0時，一次函數(shù)y=kx+b的圖像不經(jīng)過（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
4. 已知一組數(shù)據(jù)a，2，4，1，6的中位數(shù)是4，那么a可以是（ ）
A. 0B. 2C. 3D. 5
5. 下列命題中，真命題的是（ ）
A. 四條邊相等四邊形是正方形B. 四個內(nèi)角相等的四邊形是正方形
C. 對角線互相垂直的平行四邊形是正方形D. 對角線互相垂直的矩形是正方形
6. 如圖，在中，，，將繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)A、B分別落在點(diǎn)D、E處，如果點(diǎn)A、D、E在同一直線上，那么下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A. B. C. D.
二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分，請將結(jié)果直接填入答題紙的相應(yīng)位置上）
7. 計算：______．
8. 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解__________
9. 函數(shù)的定義域是__________．
10. 若關(guān)于x的方程有兩個實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是________．
11. 布袋中有大小、質(zhì)地完全相同的5個小球，每個小球上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，如果從布袋中隨機(jī)抽一個小球，那么這個小球上的數(shù)字是合數(shù)的概率是______．
12. 已知反比例函數(shù)的圖象在每一個象限內(nèi)，都隨的增大而減小，則的取值范圍是_________．
13. 根據(jù)上海市統(tǒng)計局?jǐn)?shù)據(jù)，上海市2021年的地區(qū)生產(chǎn)總值約是4.32萬億，2023年的地區(qū)生產(chǎn)總值約是4.72萬億，設(shè)這兩年上海市地區(qū)生產(chǎn)總值的年平均增長率都為x，根據(jù)題意可列方程______．
14. 如圖，在平行四邊形中，E是邊的中點(diǎn)，與對角線相交于點(diǎn)F，設(shè)向量，向量，那么向量______．（用含、的式子表示）
15. 近年來越來越多的“社區(qū)食堂”出現(xiàn)在街頭巷尾，它們是城市服務(wù)不斷豐富的縮影．已知某社區(qū)食堂推出了15元、18元、20元三種價格的套餐，每人限購一份．據(jù)統(tǒng)計，3月16日該食堂銷售套餐共計160份，其中15元的占總份數(shù)的40%，18元的賣出40份，其余均為20元，那么食堂這一天賣出一份套餐的平均價格是______元．
16. 如圖，在中，，垂直平分線交邊于點(diǎn)D，如果，那么______．
17. 如圖，已知一張正方形紙片的邊長為6厘米，將這個正方形紙片剪去四個角后成為一個正八邊形，那么這個正八邊形的邊長是______厘米．
18. 已知矩形中，，以為半徑的圓A和以為半徑的圓C相交于點(diǎn)D、E，如果點(diǎn)E到直線的距離不超過3，設(shè)的長度為m，則m的取值范圍是______．
三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）
19. 計算：．
20. 解方程組：．
21. 如圖，已知在中，，，點(diǎn)G是的重心，延長交邊于點(diǎn)D，以G為圓心，為半徑的圓分別交邊、于點(diǎn)E、F．

（1）求的長；
（2）求長．
22. 寒假期間，小華一家駕車去某地旅游，早上6∶00點(diǎn)出發(fā)，以80千米/小時的速度勻速行駛一段時間后，途經(jīng)一個服務(wù)區(qū)休息了1小時，再次出發(fā)時提高了車速．如圖，這是她們離目的地的路程y（千米）與所用時間x（小時）的函數(shù)圖像．
根據(jù)圖像提供的信息回答下列問題：
（1）圖中的_______，______；
（2）求提速后y關(guān)于x的函數(shù)解析式（不用寫出定義域）；
（3）她們能否在中午12∶30之前到達(dá)目的地？請說明理由．
23. 已知：如圖，在梯形中，，，，平分線交延長線于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F．
（1）求證：四邊形是菱形；
（2）連接交于點(diǎn)G，如果，求證：．
24. 定義：我們把平面內(nèi)經(jīng)過已知直線外一點(diǎn)并且與這條直線相切的圓叫做這個點(diǎn)與已知直線的點(diǎn)切圓．如圖1，已知直線l外有一點(diǎn)H，圓Q經(jīng)過點(diǎn)H且與直線l相切，則稱圓Q是點(diǎn)H與直線l的點(diǎn)切圓．閱讀以上材料，解決問題：
已知直線外有一點(diǎn)P，，，，圓M是點(diǎn)P與直線的點(diǎn)切圓．
（1）如果圓心M在線段上，那么圓M的半徑長是_____（直接寫出答案）．
（2）如圖2，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)、為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)P在第一象限，設(shè)圓心M的坐標(biāo)是．
①求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
②點(diǎn)B是①中所求函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，連接 并延長交此函數(shù)圖象于另一點(diǎn)C．如果，求點(diǎn)B的坐標(biāo)．
25. 已知以為直徑的半圓上有一點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)，點(diǎn)是半徑上一點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），作交弧于點(diǎn)，連接．
（1）如圖，當(dāng)?shù)难娱L線經(jīng)過點(diǎn)時，求的值；
（2）如圖，作，垂足為點(diǎn)，連接．
試判斷與的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
當(dāng)是等腰三角形，且，求的值．
2023學(xué)年度第二學(xué)期初三質(zhì)量調(diào)研（一）數(shù)學(xué)學(xué)科
（測試時間：100分鐘，滿分：150分）
考生注意：
1． 本試卷含三個大題，共25題；
2． 答題時，考生務(wù)必按答題要求在答題紙規(guī)定的位置上作答，在草稿紙、本試卷上答題一律無效；
3． 除第一、二大題外，其余各題如無特別說明，都必須在答題紙的相應(yīng)位置寫出證明或計算的主要步驟．
一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分，下列各題的四個選項(xiàng)中，有且只有一個選項(xiàng)是正確的，選擇正確項(xiàng)的代號并填涂在答題紙的相應(yīng)位置上）
1. 下列根式中，的同類二次根式是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此題考查同類二次根式，解題關(guān)鍵在于先化簡． 化簡各選項(xiàng)后根據(jù)同類二次根式的定義判斷．
【詳解】解：A． 與被開方數(shù)不同，故不是同類二次根式；
B． 與被開方數(shù)不同，故不是同類二次根式；
C． 與被開方數(shù)相同，故是同類二次根式；
D． 與被開方數(shù)不同，故不是同類二次根式．
故選C．
2. 已知，下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了不等式的基本性質(zhì)，易錯在不等式的基本性質(zhì)3，不等式兩邊同時乘以或除以同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變．不等式性質(zhì)：基本性質(zhì)1．不等式兩邊同時加上或減去同一個整式，不等號的方向不變．基本性質(zhì)2．不等式兩邊同時乘以或除以同一個正數(shù)，不等號的方向不變．基本性質(zhì)3．不等式兩邊同時乘以或除以同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變．根據(jù)性質(zhì)逐一分析即可．
【詳解】解：A．∵，
∴，故不符合題意；
B． ∵，
∴，
∴，故符合題意；
C．∵，
∴，故不符合題意；
D． ∵，
∴，故不符合題意．
故選：B．
3. 當(dāng)k＜0，b＜0時，一次函數(shù)y=kx+b的圖像不經(jīng)過（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】先根據(jù)k判斷是經(jīng)過一三象限還是二四象限，然后再根據(jù)b的值判斷在y軸的哪半軸，從而得出結(jié)果．
【詳解】解：∵k＜0，
∴函數(shù)圖像經(jīng)過第二四象限，
∵b＜0，
∴圖像與y軸負(fù)半軸相交，
∴圖像經(jīng)過第二、三、四象限，不經(jīng)過第一象限．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的圖像，解題的關(guān)鍵是根據(jù)一次函數(shù)的解析式判斷其經(jīng)過的象限．
4. 已知一組數(shù)據(jù)a，2，4，1，6的中位數(shù)是4，那么a可以是（ ）
A. 0B. 2C. 3D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查的是中位數(shù)的定義，屬于基本題型，熟知中位數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．根據(jù)中位數(shù)的定義先確定從小到大排列后a的位置，再解答即可．
【詳解】解：根據(jù)題意，a的位置按照從小到大的排列是：1，2，4，a，6或1，2，4，6，a；
∴．
∴D符合題意
故選D．
5. 下列命題中，真命題的是（ ）
A. 四條邊相等的四邊形是正方形B. 四個內(nèi)角相等的四邊形是正方形
C. 對角線互相垂直的平行四邊形是正方形D. 對角線互相垂直的矩形是正方形
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理．
根據(jù)矩形、菱形、正方形的判定定理判斷即可．
【詳解】解：A、四條邊相等的四邊形是菱形，不一定是正方形，故本選項(xiàng)不符合題意；
B、四個內(nèi)角相等的四邊形是矩形，不一定是正方形，故本選項(xiàng)不符合題意；
C、對角線互相垂直的平行四邊形是是菱形，不一定是正方形，故本選項(xiàng)不符合題意；
D、對角線互相垂直的矩形是正方形，命題正確，符合題意；
故選：D．
6. 如圖，在中，，，將繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)A、B分別落在點(diǎn)D、E處，如果點(diǎn)A、D、E在同一直線上，那么下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)等知識，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，再結(jié)合已知條件逐一分析判斷即可．
【詳解】解：A．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，
∴當(dāng)點(diǎn)A、、在同一條直線上時，，
故選項(xiàng)A不符合題意；
B．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，
∴，，
由∵，
∴為等邊三角形，
∴，
故選項(xiàng)B不符合題意；
C、∵，，
∴由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得：，
當(dāng)時，
∴，與題干條件矛盾，
∴選項(xiàng)C符合題意
D． ∵為等邊三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故選項(xiàng)D不符合題意；
故選：C．
二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分，請將結(jié)果直接填入答題紙的相應(yīng)位置上）
7. 計算：______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了單項(xiàng)式的除法，熟練掌握單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的運(yùn)算法則是關(guān)鍵．
根據(jù)單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的運(yùn)算法則計算即可．
【詳解】解：，
故答案為：．
8. 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解__________
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)平方差公式分解因式即可．
【詳解】解：．
故答案是：．
【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式，掌握是解題的關(guān)鍵．
9. 函數(shù)的定義域是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)二次根式和分式有意義的條件列不等式即可．
【詳解】解：根據(jù)題意可得，＞0，
解得，，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式和分式有意義的條件，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)列不等式，確定自變量的取值范圍．
10. 若關(guān)于x方程有兩個實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式可進(jìn)行求解．
【詳解】解：由題意得：，
解得：；
故答案為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題的關(guān)鍵．
11. 布袋中有大小、質(zhì)地完全相同的5個小球，每個小球上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，如果從布袋中隨機(jī)抽一個小球，那么這個小球上的數(shù)字是合數(shù)的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】此題考查概率的求法：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率．求出事件全部結(jié)果數(shù)及摸出的小球所標(biāo)數(shù)字是合數(shù)的全部結(jié)果數(shù)，由概率計算公式即可求得答案．
【詳解】解：∵共五個數(shù)，合數(shù)為4，共1個，
∴從中隨機(jī)地摸取一個小球，則這個小球所標(biāo)數(shù)字是合數(shù)的概率為，
故答案為：．
12. 已知反比例函數(shù)的圖象在每一個象限內(nèi)，都隨的增大而減小，則的取值范圍是_________．
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行作答，當(dāng)反比例函數(shù)系數(shù)時，它圖象所在的每個象限內(nèi)y隨x的增大而減?。?br>【詳解】解：∵在每個象限內(nèi)，y隨著x的增大而減小，
∴，即，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，對于反比例函數(shù) （），（1），反比例函數(shù)圖象在一、三象限，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減??；（2），反比例函數(shù)圖象在第二、四象限內(nèi)，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大．
13. 根據(jù)上海市統(tǒng)計局?jǐn)?shù)據(jù)，上海市2021年的地區(qū)生產(chǎn)總值約是4.32萬億，2023年的地區(qū)生產(chǎn)總值約是4.72萬億，設(shè)這兩年上海市地區(qū)生產(chǎn)總值的年平均增長率都為x，根據(jù)題意可列方程______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)上海市2021年及2023年我國國民生產(chǎn)總值，即可得出關(guān)于的一元二次方程，此題得解．
【詳解】解：依題意得：．
故答案為：．
14. 如圖，在平行四邊形中，E是邊的中點(diǎn)，與對角線相交于點(diǎn)F，設(shè)向量，向量，那么向量______．（用含、的式子表示）
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查平面向量的知識，結(jié)合平行四邊形性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)解題是關(guān)鍵．利用平行四邊形的性質(zhì)可先證明，然后用三角形法則表示出，即可得到．
【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，
∴，，，，
∴，，
∵E是邊的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案為：
15. 近年來越來越多的“社區(qū)食堂”出現(xiàn)在街頭巷尾，它們是城市服務(wù)不斷豐富的縮影．已知某社區(qū)食堂推出了15元、18元、20元三種價格的套餐，每人限購一份．據(jù)統(tǒng)計，3月16日該食堂銷售套餐共計160份，其中15元的占總份數(shù)的40%，18元的賣出40份，其余均為20元，那么食堂這一天賣出一份套餐的平均價格是______元．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查的是加權(quán)平均數(shù)的含義，用各自的單價乘以各自的權(quán)重即可得到答案．
【詳解】解：∵，
∴20元的占比，
∴食堂這一天賣出一份套餐的平均價格是
（元），
故答案為：
16. 如圖，在中，，的垂直平分線交邊于點(diǎn)D，如果，那么______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查是線段的垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，求解銳角的正切，如圖，連接，設(shè)，可得，求解，再利用正切的定義可得答案．
【詳解】解：如圖，連接，
∵，設(shè)，
∴，
∵的垂直平分線交邊于點(diǎn)D，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案為．
17. 如圖，已知一張正方形紙片的邊長為6厘米，將這個正方形紙片剪去四個角后成為一個正八邊形，那么這個正八邊形的邊長是______厘米．
【答案】##
【解析】
【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，讀懂題目信息，根據(jù)正方形的邊長列出方程是解題的關(guān)鍵．
設(shè)正八邊形的邊長為，表示出剪掉的等腰直角三角形的直角邊，再根據(jù)正方形的邊長列出方程求解即可．
【詳解】解：如圖
設(shè)正八邊形的邊長為，則剪掉的等腰直角三角形的直角邊為，
正方形的邊長為，
，
解得，
故答案為：．
18. 已知矩形中，，以為半徑的圓A和以為半徑的圓C相交于點(diǎn)D、E，如果點(diǎn)E到直線的距離不超過3，設(shè)的長度為m，則m的取值范圍是______．
【答案】
【解析】
【分析】如圖，當(dāng)在的左側(cè)時，連接，，，過作于，作于，如圖，當(dāng)在的右側(cè)時，連接，，，過作于， 交于，再分別求解的值，從而可得答案．
【詳解】解：如圖，當(dāng)在的左側(cè)時，連接，，，過作于，作于，
∵矩形，，，
∴四邊形為矩形，，，
∴，，
∴，
∵，為圓心，
∴是的垂直平分線，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在中，，
解得：；
如圖，當(dāng)在的右側(cè)時，連接，，，過作于， 交于，
∵矩形，，，
∴，，四邊形為矩形，
∴，
同理可得：
，，
∵，
∴，
∴，
∵
在中，，
∴，
綜上：點(diǎn)E到直線的距離不超過3，則；
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，兩圓的位置關(guān)系，線段的垂直平分線的性質(zhì)，確定臨界點(diǎn)是解本題的關(guān)鍵．
三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）
19. 計算：．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查的是分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算，二次根式的混合運(yùn)算，整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算，掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵，先計算負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，零次冪，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，化簡絕對值，再合并即可．
【詳解】解：
；
20. 解方程組：．
【答案】或
【解析】
【分析】本題考查的是二元二次方程的解法，掌握解法步驟是解本題的關(guān)鍵，先把方程組化為或，再解二元一次方程組即可．
【詳解】解：，
由②得：，
∴，
∴或，
∴或，
解得：或．
21. 如圖，已知在中，，，點(diǎn)G是的重心，延長交邊于點(diǎn)D，以G為圓心，為半徑的圓分別交邊、于點(diǎn)E、F．

（1）求的長；
（2）求的長．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先證明，，，結(jié)合，可得，再利用勾股定理可得答案；
（2）過作于，可得，證明，求解，可得，從而可得答案．
【小問1詳解】
解：∵，點(diǎn)G是的重心，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小問2詳解】
如圖，過作于，
∴，

∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，重心性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．
22. 寒假期間，小華一家駕車去某地旅游，早上6∶00點(diǎn)出發(fā)，以80千米/小時的速度勻速行駛一段時間后，途經(jīng)一個服務(wù)區(qū)休息了1小時，再次出發(fā)時提高了車速．如圖，這是她們離目的地的路程y（千米）與所用時間x（小時）的函數(shù)圖像．
根據(jù)圖像提供的信息回答下列問題：
（1）圖中的_______，______；
（2）求提速后y關(guān)于x的函數(shù)解析式（不用寫出定義域）；
（3）她們能否在中午12∶30之前到達(dá)目的地？請說明理由．
【答案】（1）；；
（2）提速后y關(guān)于x的函數(shù)解析式為．
（3）能．理由見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)圖象求出a的值，根據(jù)“離目的地的路程=家與目的地之間的距離-行駛的路程”可計算b的數(shù)值；
（2）利用待定系數(shù)法求解即可；
（3）當(dāng)時求出對應(yīng)x的值，計算出到達(dá)目的地的時間，從而作出判斷即可．
【小問1詳解】
解：由題意可得：，
．
【小問2詳解】
設(shè)提速后y關(guān)于x的函數(shù)解析式為（k、b為常數(shù)，且k≠0）．
將坐標(biāo)和代入，
得 ，
解得 ，
∴提速后y關(guān)于x的函數(shù)解析式為．
【小問3詳解】
能．理由如下：
當(dāng)她們到達(dá)目的地時，， 得，
解得，
小時=6時12分，
∴她們于12：12分到達(dá)目的地．
23. 已知：如圖，在梯形中，，，，的平分線交延長線于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F．
（1）求證：四邊形是菱形；
（2）連接交于點(diǎn)G，如果，求證：．
【答案】（1）證明見解析
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）先證明，可得，結(jié)合，可得四邊形是平行四邊形，從而可得結(jié)論，
（2）如圖，連接交于點(diǎn)G，交于，證明梯形是等腰梯形，證明，結(jié)合，可得，再利用相似三角形的性質(zhì)可得結(jié)論．
【小問1詳解】
證明：∵，
∴，
∵的平分線交延長線于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F．
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，而，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴四邊形是菱形；
【小問2詳解】
如圖，連接交于點(diǎn)G，交于，

∵在梯形中，，，
∴梯形是等腰梯形，
∴，，
∵菱形，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰梯形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，掌握基本幾何圖形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
24. 定義：我們把平面內(nèi)經(jīng)過已知直線外一點(diǎn)并且與這條直線相切的圓叫做這個點(diǎn)與已知直線的點(diǎn)切圓．如圖1，已知直線l外有一點(diǎn)H，圓Q經(jīng)過點(diǎn)H且與直線l相切，則稱圓Q是點(diǎn)H與直線l的點(diǎn)切圓．閱讀以上材料，解決問題：
已知直線外有一點(diǎn)P，，，，圓M是點(diǎn)P與直線的點(diǎn)切圓．
（1）如果圓心M在線段上，那么圓M的半徑長是_____（直接寫出答案）．
（2）如圖2，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)、為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)P在第一象限，設(shè)圓心M的坐標(biāo)是．
①求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
②點(diǎn)B是①中所求函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，連接 并延長交此函數(shù)圖象于另一點(diǎn)C．如果，求點(diǎn)B的坐標(biāo)．
【答案】（1）
（2）①；②或
【解析】
【分析】本題考查了二次函數(shù)與相似三角形的綜合題，以新定義的形式出現(xiàn)，理解題意是解決本題的關(guān)鍵．
（1）過點(diǎn)M作，設(shè)圓M的半徑為R，根據(jù)點(diǎn)切圓的定義，先通過勾股定理求，再利用同角三角函數(shù)值相等得：，求解即可；
（2）①過點(diǎn)M作,，則，，則，對運(yùn)用勾股定理即可建立y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
②設(shè)點(diǎn)，過點(diǎn)C、B作的垂線交于點(diǎn)D、E，構(gòu)造相似三角形，用x，y的代數(shù)式表示出B點(diǎn)坐標(biāo)，再代入拋物線解析式，聯(lián)立即可求解．
【小問1詳解】
解：過點(diǎn)M作，設(shè)圓M的半徑為R，
∵，，
∴，
∵圓M是點(diǎn)P與直線點(diǎn)切圓，
∴，
∴，
解得：．
故答案為：．
【小問2詳解】
解：①過點(diǎn)M作,，
由（1）得，則，，則，
在中，得：，化簡得：．
②設(shè)點(diǎn)，過點(diǎn)C、B作的垂線交于點(diǎn)D、E，
∵，
∴，
∴，則，
∴點(diǎn)代入得：
解得：或，
∴點(diǎn)或．
25. 已知以為直徑的半圓上有一點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)，點(diǎn)是半徑上一點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），作交弧于點(diǎn)，連接．
（1）如圖，當(dāng)?shù)难娱L線經(jīng)過點(diǎn)時，求的值；
（2）如圖，作，垂足為點(diǎn)，連接．
試判斷與的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
當(dāng)是等腰三角形，且，求的值．
【答案】（1）；
（2），理由見解析；的值為或或．
【解析】
【分析】（）利用垂徑定理，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)解答即可；
（）延長交于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，連接，，，，利用垂徑定理，三角形的中位線定理得到，利用垂徑定理得到，再利用四邊形的內(nèi)角和定理和鄰補(bǔ)角的性質(zhì)得到，再利用相等的圓心角所對的弧相等的性質(zhì)，等弧對等弦的性質(zhì)得到則結(jié)論可得；
利用分類討論的方法分三種情況解答： 當(dāng)時，利用全等三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理解答即可；當(dāng) 時，過點(diǎn)作于點(diǎn)，利用直角三角形的邊角關(guān)系定理和勾股定理解答即可；當(dāng)時，則，連接，利用矩形的判定與性質(zhì)和勾股定理解答即可．
【小問1詳解】
當(dāng)?shù)难娱L線經(jīng)過點(diǎn)時，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小問2詳解】
與的大小關(guān)系為：，
理由：延長交于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，連接，，，，如圖，
∵
∴，
∵為直徑，，
∴,
∴為的中位線，
∴，
∵為直徑，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，，
∴，
∴設(shè)，則，
∴，
當(dāng)時，
由（）知：，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
當(dāng)時，
過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖，
在和中，
，
∴，
∴，
設(shè)，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴ ，
∵，
∴，
∴ ，，
∴，
當(dāng)時，則，連接，如圖，
∵，，，
∴四邊形為矩形，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
設(shè)，則，
∴ ，，
∴，
∴，
∴，
∴
綜上，當(dāng)是等腰三角形，且，的值為或或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，直角三角形的性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系定理，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，三角形的中位線定理，添加適當(dāng)?shù)妮o助線和利用分類討論的思想方法解答是解題的關(guān)鍵．

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