考生注意：
1．本試卷共25題．
2．試卷滿分150分．考試時間100分鐘．
3．答題時，考生務(wù)必按答題要求在答題紙規(guī)定的位置上作答，在草稿紙、本試卷上答題一律無效．
4．除第一、二大題外，其余各題如無特別說明，都必須在答題紙的相應(yīng)位置上寫出證明或計(jì)算的主要步驟．
一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）
【下列各題的四個選項(xiàng)中，有且只有一個選項(xiàng)是正確的，選擇正確項(xiàng)的代號并填涂在答題紙的相應(yīng)位置上】
1. 下列二次根式中，與是同類二次根式的是（ ）
A B. C. D.
2. 下列運(yùn)算正確的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列方程中，有兩個不相等的實(shí)數(shù)根的是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知正比例函數(shù)(k是常數(shù)，)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，那么下列坐標(biāo)所表示的點(diǎn)在這個正比例函數(shù)圖象上的是( )
A. B. C. D.
5. 已知中，為邊上的高，在添加下列條件中的一個后，仍不能判斷是等腰三角形的是( )
A. B. C. D.
6. 如圖，在中，，是的重心，點(diǎn)在邊上，，如果，，那么的值是（ ）
A. B. C. D.
二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）
7 計(jì)算：=______．
8. 方程的解為_____．
9. 不等式組的解集是______．
10. 已知反比例函數(shù)的圖象在第二、四象限內(nèi)，那么的取值范圍是________．
11. 已知一個角的余角是這個角的兩倍，那么這個角的補(bǔ)角是______度．
12. 現(xiàn)有四張分別是等邊三角形、菱形、直角梯形、等腰梯形的紙片，從這四張紙片中任意抽取一張恰好是軸對稱圖形的概率是______．
13. 已知直線與直線相交于點(diǎn)A，那么點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是______．
14. 在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，將點(diǎn)先向右平移個單位，再向上平移個單位得到點(diǎn)，如果點(diǎn)和點(diǎn)恰好關(guān)于原點(diǎn)對稱，那么點(diǎn)的坐標(biāo)是______．
15. 學(xué)校為了解本校九年級學(xué)生閱讀課外書籍的情況，對九年級全體學(xué)生進(jìn)行“最喜歡閱讀的課外書籍類型”的問卷調(diào)查（每人只選一個類型），如圖是收集數(shù)據(jù)后繪制的扇形圖．如果喜歡閱讀漫畫類書籍所在扇形的圓心角是，喜歡閱讀小說類書籍的學(xué)生有72人，那么該校九年級喜歡閱讀科技類書籍的學(xué)生有______人．
16. 如圖，梯形中，，過點(diǎn)作分別交、于點(diǎn)、，，設(shè)，，那么向量用向量、表示為______．

17. 已知正方形的邊長為，點(diǎn)、在直線上（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），，如果，那么的長是______．
18. 如圖，在中，，，分別以點(diǎn)B、C為圓心，1為半徑長作、，D為邊上一點(diǎn)，將和沿著翻折得到和，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，與邊相交，如果與外切，那么______．
三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）
19 計(jì)算：．
20. 解方程：．
21. 如圖，中，，點(diǎn)在邊上，，．

（1）求的長；
（2）求的值．
22. 甲外賣平臺的外賣員小張看到乙外賣平臺外賣員小王的月工資收入比自己高，于是想跳槽去乙外賣平臺工作，如果不考慮其他因素，僅根據(jù)以下信息，請你幫助小張來決策是否需要跳槽到乙外賣平臺，并說明理由．
信息一：甲、乙兩個外賣平臺的稅前月工資收入計(jì)算方式相同，如下：
稅前月工資收入＝（每日底薪＋每單提成×日均送單數(shù)）×月送單天數(shù)－當(dāng)月違規(guī)扣款
（其中這兩個外賣平臺每個月的月送單天數(shù)均相同）
信息二：乙外賣平臺外賣員小王的月工資單如下表：
信息三：甲外賣平臺外賣員每日底薪元，每單提成元，違規(guī)每單扣款元；
信息四：如圖1，隨機(jī)抽取了小張?jiān)诩淄赓u平臺若干天的日均送單數(shù)繪制成條形圖；如圖2，根據(jù)小張?jiān)谝荒曛忻吭碌倪`規(guī)送單數(shù)繪制成條形圖．
23. 已知：如圖，四邊形中，，點(diǎn)在邊上，與延長線交于點(diǎn)，．
（1）求證：四邊形為平行四邊形；
（2）聯(lián)結(jié)，分別延長、交于點(diǎn)，如果，求證：．
24. 在平面直角坐標(biāo)系中（如圖），已知拋物線與軸交于點(diǎn)、，拋物線的頂點(diǎn)在第一象限，且．
（1）當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為時，求這個拋物線的表達(dá)式；
（2）拋物線表達(dá)式中有三個待定系數(shù)，求待定系數(shù)a與n之間的數(shù)量關(guān)系；
（3）以點(diǎn)P為圓心，為半徑作，與直線相交于點(diǎn)M、N．當(dāng)點(diǎn)P在直線上時，用含a的代數(shù)式表示的長．
25. 如圖，在梯形中，（），，．將梯形繞點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，此時點(diǎn)、的對應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)、．
（1）當(dāng)點(diǎn)正好落在的延長線上時，求的度數(shù)；
（2）聯(lián)結(jié)，設(shè)，．
①求關(guān)于的函數(shù)解析式；
②定義：同中心同邊數(shù)的兩個正多邊形稱為雙同正多邊形．設(shè)是一個正多邊形的中心角，聯(lián)結(jié)，請說明以線段、為邊的正多邊形是雙同正多邊形的理由．當(dāng)這兩個正多邊形的面積比是時，求雙同正多邊形的邊數(shù)．
2023學(xué)年度第二學(xué)期九年級自適應(yīng)練習(xí)（2024.4）
數(shù)學(xué)試卷
考生注意：
1．本試卷共25題．
2．試卷滿分150分．考試時間100分鐘．
3．答題時，考生務(wù)必按答題要求在答題紙規(guī)定的位置上作答，在草稿紙、本試卷上答題一律無效．
4．除第一、二大題外，其余各題如無特別說明，都必須在答題紙的相應(yīng)位置上寫出證明或計(jì)算的主要步驟．
一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）
【下列各題的四個選項(xiàng)中，有且只有一個選項(xiàng)是正確的，選擇正確項(xiàng)的代號并填涂在答題紙的相應(yīng)位置上】
1. 下列二次根式中，與是同類二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查的是同類二次根式，把幾個二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，就把這幾個二次根式叫做同類二次根式．
先把各個二次根式化簡，根據(jù)同類二次根式概念判斷即可．
【詳解】解：A、與不是同類二次根式，故A錯誤，不符合題意；
B、與不是同類二次根式，故B錯誤，不符合題意；
C、，與不是同類二次根式，故C錯誤，不符合題意；
D、與是同類二次根式，故D正確，符合題意；
故選：D．
2. 下列運(yùn)算正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查合并同類項(xiàng)，單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式以及單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，運(yùn)用相關(guān)運(yùn)算法則求出各選項(xiàng)的結(jié)果，再進(jìn)行判斷即可
【詳解】解：A. ，原選項(xiàng)計(jì)算錯誤，不符合題意；
B. ，原選項(xiàng)計(jì)算錯誤，不符合題意；
C. ，計(jì)算正確，符合題意；
D. ，原選項(xiàng)計(jì)算錯誤，不符合題意；
故選：C
3. 下列方程中，有兩個不相等的實(shí)數(shù)根的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了一元二次方程的根的判別式：當(dāng)，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)，方程沒有實(shí)數(shù)根．分別計(jì)算四個方程的根的判別式，然后根據(jù)判別式的意義判斷根的情況．
【詳解】解：A、∵，∴方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，不合題意；
B、∵，∴方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，符合題意；
C、∵，∴方程沒有實(shí)數(shù)根，不合題意；
D、∵，∴方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，不合題意．
故選：B．
4. 已知正比例函數(shù)(k是常數(shù)，)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，那么下列坐標(biāo)所表示的點(diǎn)在這個正比例函數(shù)圖象上的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，由點(diǎn)的坐標(biāo)，利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，可求出的值，進(jìn)而可得出正比例函數(shù)解析式為再分別代入各選項(xiàng)中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，求出值，將其與縱坐標(biāo)比較后即可得出結(jié)論．
【詳解】解：正比例函數(shù)是常數(shù)，的圖象經(jīng)過點(diǎn)，
，
解得：，
正比例函數(shù)解析式為；
A．當(dāng)時，，
點(diǎn)這個正比例函數(shù)圖象上，選項(xiàng)A符合題意；
B．當(dāng)時，，，
點(diǎn)不在這個正比例函數(shù)圖象上，選項(xiàng)B不符合題意；
C．當(dāng)時，，，
點(diǎn)不在這個正比例函數(shù)圖象上，選項(xiàng)C不符合題意；
D．當(dāng)時，，，
點(diǎn)不在這個正比例函數(shù)圖象上，選項(xiàng)D不符合題意．
故選：A．
5. 已知中，為邊上的高，在添加下列條件中的一個后，仍不能判斷是等腰三角形的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了等腰三角形判定，全等三角形的性質(zhì)與判定；A選項(xiàng)，可證是的垂直平分線，可證是等腰三角形；B，由可證，可得，可證是等腰三角形；D,根據(jù)三角形的面積公式可得，即可證明是等腰三角形；C選項(xiàng)無法證明是等腰三角形，據(jù)此分析，即可求解．
【詳解】解：如圖所示，

解：A、，，
是的垂直平分線，
∴，
是等腰三角形，
故A不符合題意；
B、，，，
，
是等腰三角形，
故B不符合題意；
C、無法判斷是等腰三角形，故C符合題意；
D、，是邊上的高，
是的垂直平分線，
是等腰三角形，
故D不符合題意；
故選：C．
6. 如圖，在中，，是的重心，點(diǎn)在邊上，，如果，，那么的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了三角形重心的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，余弦的定義； 根據(jù)題意得出，設(shè)，則，進(jìn)而根據(jù)得出，即可求解．
【詳解】解：如圖所示，延長交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，
∵是的重心，點(diǎn)在邊上，
∴，
∴
∴
∴
設(shè)，則，
∵，
∴，
∴，即
∴
解得：（負(fù)值舍去）
∴
∴，
故選：D．
二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）
7. 計(jì)算：=______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)積的乘方公式和冪的乘方公式計(jì)算即可．
【詳解】解：=9．
故答案為：9．
【點(diǎn)睛】本題考查了積的乘方公式和冪的乘方，解題的關(guān)鍵是理解積的乘方和冪的乘方的運(yùn)算法則．
8. 方程的解為_____．
【答案】3
【解析】
【分析】根據(jù)無理方程的解法，首先，兩邊平方解出x的值，然后驗(yàn)根，解答即可．
【詳解】解：兩邊平方得：2x+3＝x2
∴x2﹣2x﹣3＝0，
解方程得：x1＝3，x2＝﹣1，
檢驗(yàn)：當(dāng)x1＝3時，方程的左邊＝右邊，所以x1＝3為原方程的解，
當(dāng)x2＝﹣1時，原方程的左邊≠右邊，所以x2＝﹣1不是原方程的解．
故答案為3．
【點(diǎn)睛】此題考查無理方程的解，解題關(guān)鍵在于掌握運(yùn)算法則
9. 不等式組的解集是______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了解一元一次不等式組，分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．
【詳解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式組的解集為：，
故答案為：．
10. 已知反比例函數(shù)的圖象在第二、四象限內(nèi)，那么的取值范圍是________．
【答案】k＜1
【解析】
【詳解】分析：根據(jù)k＜0時，反比例函數(shù)的圖象位于二、四象限即可得出結(jié)果．
詳解：∵反比例函數(shù)y=的圖象在第二、四象限內(nèi)，
∴k-1＜0，
則k＜1．
故答案為k＜1．
點(diǎn)睛：反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)：（1）k＞0時，圖象是位于一、三象限．（2）k＜0時，圖象是位于二、四象限．
11. 已知一個角的余角是這個角的兩倍，那么這個角的補(bǔ)角是______度．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了與余角和補(bǔ)角有關(guān)的計(jì)算，設(shè)這個角的度數(shù)為，則這個角的余角的度數(shù)為，根據(jù)一個角的余角是這個角的兩倍，列出方程，解方程求出這個角的度數(shù)，再根據(jù)度數(shù)之和為180度的兩個角互補(bǔ)進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：設(shè)這個角的度數(shù)為，則這個角的余角的度數(shù)為，
由題意得，，
解得，
∴這個角的度數(shù)為，
∴這個角的補(bǔ)角是，
故答案為：．
12. 現(xiàn)有四張分別是等邊三角形、菱形、直角梯形、等腰梯形的紙片，從這四張紙片中任意抽取一張恰好是軸對稱圖形的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了概率公式求概率，軸對稱圖形的識別，軸對稱圖案的卡片是等邊三角形、菱形、和等腰梯形，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【詳解】∵在等邊三角形、菱形、直角梯形、等腰梯形的紙片中屬于軸對稱圖形的有：等邊三角形、菱形、和等腰梯形3種，
∴從這4張紙片中隨機(jī)抽取一張，抽到軸對稱圖形的概率為：.
故答案為.
13. 已知直線與直線相交于點(diǎn)A，那么點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，代入，求出x的值即可．
【詳解】解：將代入得：，
解得：，
∴點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是．
故答案為：．
14. 在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，將點(diǎn)先向右平移個單位，再向上平移個單位得到點(diǎn)，如果點(diǎn)和點(diǎn)恰好關(guān)于原點(diǎn)對稱，那么點(diǎn)的坐標(biāo)是______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查點(diǎn)的平移和原點(diǎn)對稱的性質(zhì)，先按題目要求對、點(diǎn)進(jìn)行平移，再根據(jù)原點(diǎn)對稱的特征：橫縱坐標(biāo)互為相反數(shù)進(jìn)行列方程，求解．
【詳解】設(shè)，向右平移個單位，再向上平移個單位得到
、關(guān)于原點(diǎn)對稱，
，，
解得，，
則
故答案為：
15. 學(xué)校為了解本校九年級學(xué)生閱讀課外書籍的情況，對九年級全體學(xué)生進(jìn)行“最喜歡閱讀的課外書籍類型”的問卷調(diào)查（每人只選一個類型），如圖是收集數(shù)據(jù)后繪制的扇形圖．如果喜歡閱讀漫畫類書籍所在扇形的圓心角是，喜歡閱讀小說類書籍的學(xué)生有72人，那么該校九年級喜歡閱讀科技類書籍的學(xué)生有______人．
【答案】27
【解析】
【分析】本題主要考查扇形統(tǒng)計(jì)圖，先求出喜歡閱讀漫畫類書籍的占比，得出喜歡閱讀科技類書籍的學(xué)生的占比，再根據(jù)喜歡閱讀小說類書籍的學(xué)生人數(shù)求出問卷調(diào)查的總?cè)藬?shù)，再求出喜歡閱讀科技類書籍的學(xué)生數(shù)即可．
【詳解】解：喜歡閱讀漫畫類書籍的百分比為：，
喜歡閱讀科技類書籍的學(xué)生的百分比為：，
被調(diào)查的總?cè)藬?shù)為：（人），
所以，喜歡閱讀科技類書籍的學(xué)生數(shù)為：（人），
故答案為：27
16. 如圖，梯形中，，過點(diǎn)作分別交、于點(diǎn)、，，設(shè)，，那么向量用向量、表示為______．

【答案】
【解析】
【分析】本題考查了平行四邊形的判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，平面向量的線性運(yùn)算，先證明四邊形是平行四邊形，根據(jù)已知得出，進(jìn)而證明得出，，進(jìn)而根據(jù)三角形法則，進(jìn)行計(jì)算即可求解．
【詳解】解：∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
∴，則，
∵，，
∴，
∴
故答案為：．
17. 已知正方形的邊長為，點(diǎn)、在直線上（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），，如果，那么的長是______．
【答案】或
【解析】
【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理的應(yīng)用；先證明，進(jìn)而證明設(shè)，分兩種情況討論，在中根據(jù)勾股定理即可求解．
【詳解】解：如圖所示，當(dāng)在點(diǎn)的左側(cè)時，
取，連接，
∵四邊形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
在中，
∴
∴，
設(shè)，則，
∴，
在中，
∴
即
解得：；
當(dāng)在點(diǎn)的右側(cè)時，如圖所示
同理可得，則，，
在中，
即
解得：；
綜上所述，的長為或
18. 如圖，在中，，，分別以點(diǎn)B、C為圓心，1為半徑長作、，D為邊上一點(diǎn)，將和沿著翻折得到和，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，與邊相交，如果與外切，那么______．
【答案】或
【解析】
【分析】作，，根據(jù)余弦的定義，勾股定理，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，在中，得到，的長，，由折疊的性質(zhì)得到，，由與外切，得到，在中得到，
當(dāng)在內(nèi)部時， ，，當(dāng)在外部時，，，
本題考查了，三角函數(shù)解直角三角形，等腰三角形三線合一，勾股定理，折疊的性質(zhì)，圓與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是：找到兩種情況，分別求解．
【詳解】解：過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，
∵，，
在中，，，
∴，
由折疊的性質(zhì)可得：，，
∵，，
∴，
∵與外切，
∴，，
在中，，，
當(dāng)在內(nèi)部時，
，
∴，，
∴，
當(dāng)在外部時，
，
∴，，
∴，
故答案為：或．
三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）
19. 計(jì)算：．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，分母有理化，根據(jù)冪的運(yùn)算以及二次根式的混合運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可求解．
【詳解】解：
．
20. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查解分式方程，方程兩邊都乘以得出，求出方程的解，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可
【詳解】解：
方程兩邊都乘以得
，
整理得，，
解得，，，
檢驗(yàn)：當(dāng)時，，所以，是分式方程的解；
當(dāng)時，，所以，是增根，
所以，分式方程的解是
21. 如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，，．

（1）求的長；
（2）求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本題考查解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形的外角的性質(zhì)；
（1）利用三角形外角的性質(zhì)，結(jié)合等角對等邊即可解決問題．
（2）過點(diǎn)作垂線構(gòu)造出直角三角形即可解決問題．
【小問1詳解】
解：，
，
又，
．
又，
，
．
，，
．
【小問2詳解】
過點(diǎn)作的垂線，垂足為，

，
，
．
在中，，
．
22. 甲外賣平臺的外賣員小張看到乙外賣平臺外賣員小王的月工資收入比自己高，于是想跳槽去乙外賣平臺工作，如果不考慮其他因素，僅根據(jù)以下信息，請你幫助小張來決策是否需要跳槽到乙外賣平臺，并說明理由．
信息一：甲、乙兩個外賣平臺的稅前月工資收入計(jì)算方式相同，如下：
稅前月工資收入＝（每日底薪＋每單提成×日均送單數(shù)）×月送單天數(shù)－當(dāng)月違規(guī)扣款
（其中這兩個外賣平臺每個月的月送單天數(shù)均相同）
信息二：乙外賣平臺外賣員小王的月工資單如下表：
信息三：甲外賣平臺外賣員每日底薪元，每單提成元，違規(guī)每單扣款元；
信息四：如圖1，隨機(jī)抽取了小張?jiān)诩淄赓u平臺若干天的日均送單數(shù)繪制成條形圖；如圖2，根據(jù)小張?jiān)谝荒曛忻吭碌倪`規(guī)送單數(shù)繪制成條形圖．
【答案】不需要跳槽，理由見解析
【解析】
【分析】本題考查了條形統(tǒng)計(jì)圖，一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題目信息先求得小張?jiān)诩淄赓u平臺日均送單數(shù)，小張?jiān)逻`規(guī)送單數(shù)，根據(jù)信息二求得送單天數(shù)，進(jìn)而分別求得小張?jiān)趦蓚€平臺的稅前收入，即可求解．
【詳解】解：小張?jiān)诩淄赓u平臺日均送單數(shù)為單，
小張?jiān)逻`規(guī)送單數(shù)平均數(shù)為：單
根據(jù)信息二：設(shè)送單天數(shù)為天，
解得：
小張?jiān)诩淄赓u平臺的工資為（元）
若小張?jiān)谝彝赓u平臺工資為（元）
∴不需要跳槽
23. 已知：如圖，四邊形中，，點(diǎn)在邊上，與的延長線交于點(diǎn)，．
（1）求證：四邊形為平行四邊形；
（2）聯(lián)結(jié)，分別延長、交于點(diǎn)，如果，求證：．
【答案】（1）見解析 （2）見解析
【解析】
【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定；
（1）根據(jù)，可得得出，結(jié)合已知條件可得，即可得證；
（2）根據(jù)已知可證明得出，，進(jìn)而證明，得出，即可得出，進(jìn)而根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，即可得證．
【小問1詳解】
證明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四邊形是平行四邊形；
【小問2詳解】
證明：如圖所示，
∵，
即，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
即．
24. 在平面直角坐標(biāo)系中（如圖），已知拋物線與軸交于點(diǎn)、，拋物線的頂點(diǎn)在第一象限，且．
（1）當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為時，求這個拋物線的表達(dá)式；
（2）拋物線表達(dá)式中有三個待定系數(shù)，求待定系數(shù)a與n之間的數(shù)量關(guān)系；
（3）以點(diǎn)P為圓心，為半徑作，與直線相交于點(diǎn)M、N．當(dāng)點(diǎn)P在直線上時，用含a的代數(shù)式表示的長．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）是等腰直角三角形，當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為時，則拋物線的對稱軸為直線，得出，，然后待定系數(shù)法求解析式，即可求解；
（2）根據(jù)（1）的方法求得，待定系數(shù)法求解析式，進(jìn)而得出；
（3）根據(jù)在上得出，根據(jù)（2）的結(jié)論得出，即，與直線相交于點(diǎn)M、N．設(shè)直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，得出，則，求得，在中勾股定理求得，進(jìn)而求得，即可求解．
【小問1詳解】
解：依題意，是等腰直角三角形，
當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為時，則拋物線的對稱軸為直線，
如圖所示，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，
∴
∴，
將代入
解得：
∴拋物線解析式為；
【小問2詳解】
解：∵拋物線與軸交于點(diǎn)、，拋物線的頂點(diǎn)在第一象限，且，
∴是等腰直角三角形，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴，
∴
代入
∴
即，
∵拋物線的頂點(diǎn)在第一象限，則
∴；
【小問3詳解】
∵在上
∴，即，
由（2）可得，即，
∴拋物線解析式為
∵與直線相交于點(diǎn)M、N．設(shè)直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，
當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，則，
∴，則是等腰直角三角形，，
∵是等腰直角三角形，則，
∴，
延長交于點(diǎn)，則，連接，，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
在中，，，
∴ ，
∴，
又∵，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，垂徑定理，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
25. 如圖，在梯形中，（），，．將梯形繞點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，此時點(diǎn)、的對應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)、．
（1）當(dāng)點(diǎn)正好落在的延長線上時，求的度數(shù)；
（2）聯(lián)結(jié)，設(shè)，．
①求關(guān)于的函數(shù)解析式；
②定義：同中心同邊數(shù)的兩個正多邊形稱為雙同正多邊形．設(shè)是一個正多邊形的中心角，聯(lián)結(jié)，請說明以線段、為邊的正多邊形是雙同正多邊形的理由．當(dāng)這兩個正多邊形的面積比是時，求雙同正多邊形的邊數(shù)．
【答案】（1）
（2）①；②理由見解析，雙同正多邊形的邊數(shù)為
【解析】
【分析】（1）當(dāng)點(diǎn)正好落在的延長線上時，連接，根據(jù)平行線的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊對等角的性質(zhì)，得出，結(jié)合三角形內(nèi)角和為求出度數(shù)即可；
（2）①連接、、、，過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定定理，證明，得出，結(jié)合勾股定理，用含的代數(shù)式表示出、，代入中整理得出關(guān)于的函數(shù)解析式即可；②根據(jù)①過程中，，，已知，說明以線段、為邊的正多邊形是雙同正多邊形即可；根據(jù)當(dāng)這兩個正多邊形的面積比是時，相似多邊形的面積比等于相似比的平方，得出相似比為，求出的長，結(jié)合勾股定理計(jì)算，求出，得出，計(jì)算即可得出雙同正多邊形的邊數(shù)．
【小問1詳解】
解：如圖，當(dāng)點(diǎn)正好落在的延長線上時，連接，
∵，，將梯形繞點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，此時點(diǎn)、對應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)、，
∴（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），，，
∴，
∴；
【小問2詳解】
解：①如圖，連接、、、，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
∵將梯形繞點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，此時點(diǎn)、的對應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)、，
∴，
和都等于旋轉(zhuǎn)角，即，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，
∴四邊形是矩形，
∴，，
，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
，
，
整理得：；
②以線段、為邊的正多邊形是雙同正多邊形，理由如下，
如圖，由①過程得：，，，
∵，是一個正多邊形的中心角，將梯形繞點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，此時點(diǎn)、的對應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)、，
∴，
∴也是一個正多邊形的中心角，
∴以線段、為邊，以點(diǎn)為的中心的兩個正多邊形的中心角也相等，即這兩個正多邊形是雙同正多邊形，
∴這兩個正多邊形也是相似多邊形，
∵當(dāng)這兩個正多邊形的面積比是時，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴這兩個正多邊形的中心角，
∴這兩個正多邊形的邊數(shù)，
∴當(dāng)這兩個正多邊形的面積比是時，雙同正多邊形的邊數(shù)為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、正多邊形的性質(zhì)等，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)、推理證明是解題的關(guān)鍵．
每日底薪（元）
每單提成（元）
日均送單數(shù)
當(dāng)月違規(guī)扣款
稅前月工資收入（元）
每單扣款（元）
違規(guī)送單數(shù)
每日底薪（元）
每單提成（元）
日均送單數(shù)
當(dāng)月違規(guī)扣款
稅前月工資收入（元）
每單扣款（元）
違規(guī)送單數(shù)

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