一、空間向量的數(shù)量積運(yùn)算
1.兩向量夾角
已知兩個(gè)非零向量，，在空間任取一點(diǎn)，作，，則叫做向量，的夾角，記作，通常規(guī)定，如果，那么向量，互相垂直，記作.
2.數(shù)量積定義
已知兩個(gè)非零向量，，則叫做，的數(shù)量積，記作，即.零向量與任何向量的數(shù)量積為0，特別地，.
3.空間向量的數(shù)量積滿足的運(yùn)算律：
，（交換律）；
（分配律）.
二、空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算及應(yīng)用
（1）設(shè)，，則；
；
；
；
；
.
（2）設(shè)，，則.
這就是說，一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示該向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減起點(diǎn)的坐標(biāo).
（3）兩個(gè)向量的夾角及兩點(diǎn)間的距離公式.
①已知，，則；
；
；
；
②已知，，則,
或者.其中表示與兩點(diǎn)間的距離，這就是空間兩點(diǎn)的距離公式.
（4）向量在向量上的射影為.
（5）設(shè)是平面的一個(gè)法向量，，是內(nèi)的兩條相交直線，則，由此可求出一個(gè)法向量（向量及已知）.
（6）利用空間向量證明線面平行：設(shè)是平面的一個(gè)法向量，為直線的方向向量，證明，（如圖8-155所示）.已知直線（），平面的法向量，若，則.
（7）利用空間向量證明兩條異面直線垂直：在兩條異面直線中各取一個(gè)方向向量，，只要證明，即.
（8）利用空間向量證明線面垂直：即證平面的一個(gè)法向量與直線的方向向量共線.
（9）證明面面平行、面面垂直，最終都要轉(zhuǎn)化為證明法向量互相平行、法向量互相垂直.
（10）空間角公式.
①異面直線所成角公式：設(shè)，分別為異面直線，上的方向向量，為異面直線所成角的大小，則.
②線面角公式：設(shè)為平面的斜線，為的方向向量，為平面的法向量，為
與所成角的大小，則.
③二面角公式：
設(shè)，分別為平面，的法向量，二面角的大小為，則或（需要根據(jù)具體情況判斷相等或互補(bǔ)），其中.
（11）點(diǎn)到平面的距離為，，為平面的法向量，則.
【典型例題】
例1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，在三棱錐中，側(cè)棱平面BCD，F(xiàn)為線段BD中點(diǎn)，，，.
（1）證明：平面ABD；
（2）設(shè)Q是線段AD上一點(diǎn)，二面角的正弦值為，求的值.
例2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在等腰直角三角形中，，，，，分別是，上的點(diǎn)，且，，分別為，的中點(diǎn)，現(xiàn)將沿折起，得到四棱錐，連結(jié).
（1）證明：平面；
（2）在翻折的過程中，當(dāng)時(shí)，求平面與平面夾角的余弦值.
例3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在棱長為1的正方體中，為線段的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn).
（1）求點(diǎn)到直線的距離；
（2）求直線到平面的距離.
例4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面，底面為梯形，，，且．
（Ⅰ）若點(diǎn)為上一點(diǎn)且，證明：平面；
（Ⅱ）求二面角的大小；
（Ⅲ）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得?若存在，求出的長；若不存在，說明理由．
例5.（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在正方體中，為的中點(diǎn).
（1）證明：平面；
（2）求直線到平面的距離；
（3）求平面與平面夾角的余弦值.
【技能提升訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，，分別是棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的大小為（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面，底面為正方形，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的正弦值為（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在圓錐中，，為底面圓的兩條直徑，，且，，，異面直線與所成角的正切值為（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））在正方體中，是的中點(diǎn)，則直線與平面所成角的正弦值為（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在正方體中，中點(diǎn)為，則二面角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若正四棱柱的底邊長為2，，E是的中點(diǎn)，則到平面EAC的距離為（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在棱長為的正方體中，則平面與平面之間的距離為
A．B．
C．D．
8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知正方體ABCD -A1B1C1D1的棱長為2，點(diǎn)E是A1B1的中點(diǎn)，則點(diǎn)A到直線BE的距離是( )
A．B．
C．D．
9．（2021·浙江·杭州市余杭高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）長方體中，，，為的中點(diǎn)，則異面直線與之間的距離是（ ）
A．B．C．D．
二、填空題
10．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））如圖，在長方體中，，，若為中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為________.
三、解答題
11．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，，．
（1）求異面直線和所成角的大小；
（2）求直線和平面所成角的大小．
12．（2022·天津南開·高三期末）如圖，四棱錐中，底面，，，，，E為上一點(diǎn)，且.
（1）求證：平面；
（2）求證：平面；
（3）求平面與平面的夾角的大小.
13．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）如圖，在四棱錐中，已知平面，且四邊形為直角梯形，，，.且Q為線段的中點(diǎn)
（1）求直線與所成角的大??；
（2）求直線與平面所成角的大小
14．（2022·上海·高三專題練習(xí)）如圖，空間幾何體由兩部分構(gòu)成，上部是一個(gè)底面半徑為1，高為2的圓錐，下部是一個(gè)底面半徑為1，高為2的圓柱，圓錐和圓柱的軸在同一直線上，圓錐的下底面與圓柱的上底面重合，點(diǎn)P是圓錐的頂點(diǎn)，AB是圓柱下底面的一條直徑，AA1、BB1是圓柱的兩條母線，C是弧AB的中點(diǎn).
（1）求異面直線PA1與BC所成的角的大??；
（2）求點(diǎn)B1到平面PAC的距離.
15．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）如圖,四棱錐中,底面為矩形,底面,,,分別為棱的中點(diǎn).
（1）求證:、、、四點(diǎn)共面；
（2）求異面直線與所成的角.
16．（2022·天津和平·高三期末）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，為正三角形，且側(cè)面底面，為的中點(diǎn).
（1）求證：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值；
（3）求平面與平面夾角的余弦值．
17．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））如圖，在三棱柱中，四邊形是菱形，，在底面ABC上的射影是BC的中點(diǎn)．
（1）證明：平面；
（2）若，求與平面所成角的正弦值．
18．（2022·全國·模擬預(yù)測）如圖所示，直三棱柱的上、下底面的頂點(diǎn)分別在圓柱的上、下底面的圓周上，且AB過圓柱下底面的圓心為與的交點(diǎn).
（1）求證:平面；
（2）若圓柱底面半徑為，母線長為，求直線與平面所成角的正切值.
19．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，在三棱錐中，，，，，.
（1）求證：平面；
（2）若為的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值.
20．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））如圖1，直角梯形ABCD中，，，．如圖2，將圖1中沿AC折起，使得點(diǎn)D在平面ABC上的正投影G在內(nèi)部．點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)．連接DB，DE，三棱錐D－ABC的體積為．對(duì)于圖2的幾何體．
（1）求證：；
（2）求DE與平面DAC所成角的正弦值．
21．（2022·河北張家口·高三期末）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，、、、分別為、、、的中點(diǎn).
（1）證明：平面；
（2）若平面平面，為等邊三角形，求二面角的正弦值.
22．（2022·全國·模擬預(yù)測）如圖①，直角梯形中，，，點(diǎn)，分別在，上，，，將四邊形沿折起，使得點(diǎn)，分別到達(dá)點(diǎn)，的位置，如圖②，平面平面，.
（1）求證：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
23．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，面，，且，，，，，為的中點(diǎn).
（1）求證：∥平面；
（2）求平面與平面所成二面角的余弦值；
（3）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值是，若存在，求出的值，若不存在，說明理由.
24．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱柱中，側(cè)棱底面，，且是的中點(diǎn).
（1）求點(diǎn)到平面的距離；
（2）設(shè)為棱上的點(diǎn)，若直線和平面所成角的正弦值為，求線段的長.
25．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，四棱錐底面是矩形，面，，、是棱、上的點(diǎn)，，．
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）棱上是否存在點(diǎn)，使面？若存在，求出的值；不存在，請(qǐng)說明理由．
26．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，四邊形為直角梯形，，，，，，為的中點(diǎn)，且.
（1）證明：平面；
（2）線段上是否存在一點(diǎn)，使得二面角的余弦值為？若存在，試確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.
27．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在直四棱柱中，底面是平行四邊形，，.
（1）求證：；
（2）求二面角的大??；
（3）在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面?若存在，求的值；若不存在，說明理由.
28．（2022·河北·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，E為棱上的點(diǎn)，且.
（1）若F為棱的中點(diǎn)，求證：平面；
（2）（i）求證平面；
（ii）設(shè)Q為棱上的點(diǎn)(不與C，P重合)，且直線與平面所成角的正弦值為，求的值.
29．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，三棱柱中，側(cè)面底面，是邊長為2的正三角形，已知點(diǎn)滿足.
（1）求二面角的大?。?br>（2）求異面直線與的距離；
（3）直線上是否存在點(diǎn)，使平面？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.
30．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面，底面是矩形，，與底面所成角的正切值為，是的中點(diǎn)，線段上的動(dòng)點(diǎn).
（1）證明：平面；
（2）若二面角的余弦值為，求的長.
31．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB＝4，CC1＝2，∠ACB＝90°，點(diǎn)M在線段A1B1上．
（1）若A1M＝3MB1，求異面直線AM和A1C所成角的余弦值；
（2）若直線AM與平面ABC1所成角為30°，試確定點(diǎn)M的位置．
32．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，平面，，．
（1）求點(diǎn)到平面的距離；
（2）求二面角的平面角的余弦值．
第25講 空間向量與立體幾何
【知識(shí)點(diǎn)總結(jié)】
一、空間向量的數(shù)量積運(yùn)算
1.兩向量夾角
已知兩個(gè)非零向量，，在空間任取一點(diǎn)，作，，則叫做向量，的夾角，記作，通常規(guī)定，如果，那么向量，互相垂直，記作.
2.數(shù)量積定義
已知兩個(gè)非零向量，，則叫做，的數(shù)量積，記作，即.零向量與任何向量的數(shù)量積為0，特別地，.
3.空間向量的數(shù)量積滿足的運(yùn)算律：
，（交換律）；
（分配律）.
二、空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算及應(yīng)用
（1）設(shè)，，則；
；
；
；
；
.
（2）設(shè)，，則.
這就是說，一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示該向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減起點(diǎn)的坐標(biāo).
（3）兩個(gè)向量的夾角及兩點(diǎn)間的距離公式.
①已知，，則；
；
；
；
②已知，，則,
或者.其中表示與兩點(diǎn)間的距離，這就是空間兩點(diǎn)的距離公式.
（4）向量在向量上的射影為.
（5）設(shè)是平面的一個(gè)法向量，，是內(nèi)的兩條相交直線，則，由此可求出一個(gè)法向量（向量及已知）.
（6）利用空間向量證明線面平行：設(shè)是平面的一個(gè)法向量，為直線的方向向量，證明，（如圖8-155所示）.已知直線（），平面的法向量，若，則.
（7）利用空間向量證明兩條異面直線垂直：在兩條異面直線中各取一個(gè)方向向量，，只要證明，即.
（8）利用空間向量證明線面垂直：即證平面的一個(gè)法向量與直線的方向向量共線.
（9）證明面面平行、面面垂直，最終都要轉(zhuǎn)化為證明法向量互相平行、法向量互相垂直.
（10）空間角公式.
①異面直線所成角公式：設(shè)，分別為異面直線，上的方向向量，為異面直線所成角的大小，則.
②線面角公式：設(shè)為平面的斜線，為的方向向量，為平面的法向量，為
與所成角的大小，則.
③二面角公式：
設(shè)，分別為平面，的法向量，二面角的大小為，則或（需要根據(jù)具體情況判斷相等或互補(bǔ)），其中.
（11）點(diǎn)到平面的距離為，，為平面的法向量，則.
【典型例題】
例1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，在三棱錐中，側(cè)棱平面BCD，F(xiàn)為線段BD中點(diǎn)，，，.
（1）證明：平面ABD；
（2）設(shè)Q是線段AD上一點(diǎn)，二面角的正弦值為，求的值.
【詳解】
解：（1）因?yàn)?，F(xiàn)為線段BD中點(diǎn)，所以.
因?yàn)槠矫鍮CD，平面BCD，
所以.
又因?yàn)槠矫鍭BD，平面ABD，，
所以平面ABD.
（2）在三棱錐中，在平面BCD內(nèi)作于E.
以B為原點(diǎn)建立如圖空間直角坐標(biāo)系.
由題得，，，，
，，.
設(shè)，
所以.
設(shè)，分別為平面ABQ，平面CBQ的一個(gè)法向量.
則，.
即，.
不妨取，.
因?yàn)槎娼堑恼抑禐椋瑒t余弦值為，
所以，
解得（舍）或.
因此，的值為.
例2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在等腰直角三角形中，，，，，分別是，上的點(diǎn)，且，，分別為，的中點(diǎn)，現(xiàn)將沿折起，得到四棱錐，連結(jié).
（1）證明：平面；
（2）在翻折的過程中，當(dāng)時(shí)，求平面與平面夾角的余弦值.
【解析】
（1）
在四棱錐中，取的中點(diǎn)，連接，，
因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，，
則，，
因?yàn)槠矫?，平面?br>則平面，
同理可得，平面，
又，，平面，
故平面平面，
因?yàn)槠矫妫?br>故平面；
（2）因?yàn)樵诘妊苯侨切沃?，，?br>所以，則在四棱錐中，，，
因?yàn)?，則，，
又，，平面，
故平面，又平面，故，
因?yàn)?，，，則，
所以，故，
所以以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，
則，0，，，0，，，8，，，5，，
故，
設(shè)平面的法向量為，
則，
令，則，
故；
設(shè)平面的法向量為，
則，
令，則，，
故，
所以，
故平面與平面夾角的余弦值為.
例3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在棱長為1的正方體中，為線段的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn).
（1）求點(diǎn)到直線的距離；
（2）求直線到平面的距離.
【詳解】
以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，
所以，，， .
（1）取，，則.
所以，點(diǎn)到直線的距離為.
（2）因?yàn)?，所以，所以平?
所以點(diǎn)到平面的距離為直線到平面的距離.
設(shè)平面的法向量為，則
所以
所以
取，則.所以，是平面的一個(gè)法向量.
又因?yàn)椋渣c(diǎn)到平面的距離為.
即直線到平面的距離為.
例4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面，底面為梯形，，，且．
（Ⅰ）若點(diǎn)為上一點(diǎn)且，證明：平面；
（Ⅱ）求二面角的大??；
（Ⅲ）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得?若存在，求出的長；若不存在，說明理由．
【詳解】
（Ⅰ）過點(diǎn)作，交于，連接，
因?yàn)?，，所以?br>又，，所以．
所以為平行四邊形, 所以．
又平面，平面，所以平面．
（Ⅱ）因?yàn)樘菪沃校?，所以?br>因?yàn)槠矫?，所?
如圖，以為原點(diǎn)，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,
所以．
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為,
因?yàn)?br>所以，即，取得到，
因?yàn)?，所以，即，令得?br>所以,
因?yàn)槎娼菫殇J角，所以二面角為；
（Ⅲ）假設(shè)存在點(diǎn)，設(shè)，其中，
所以，
所以，解得，
所以存在點(diǎn)，且．
例5.（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在正方體中，為的中點(diǎn).
（1）證明：平面；
（2）求直線到平面的距離；
（3）求平面與平面夾角的余弦值.
【詳解】
如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2
則，，，， ，
（1）設(shè)平面的法向量為，，
令，則，，
，，
面平面.
（2）平面，直線到平面的距離即為點(diǎn)到平面的距離，
，，==，
直線到平面的距離為.
（3）平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面夾角為，
，==，
所以平面與平面夾角的余弦值.
【技能提升訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，，分別是棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的大小為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求異面直線所成的角．
【詳解】
由題意以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
則，．，，，
，，
，
所以，即異面直線與所成角是．
故選：B．
2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面，底面為正方形，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的正弦值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
如圖建立空間直角坐標(biāo)系，求出和的坐標(biāo)，利用空間向量夾角公式計(jì)算夾角的余弦值，再由同角三角函數(shù)基本關(guān)系即可求解.
【詳解】
因?yàn)榈酌?，面，可得，?br>因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，可得?br>所以兩兩垂直，如圖分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，
可得，，，，，
所以，，
所以，
設(shè)異面直線與所成的角為，
則，所以，
故選：A.
3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在圓錐中，，為底面圓的兩條直徑，，且，，，異面直線與所成角的正切值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求異面直線所成的角的余弦值，再得正弦值．
【詳解】
由題意以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
，，，，
又，
．
，
則，
設(shè)異面直線與所成角為，則，為銳角，
，所以．
故選：D．
4．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））在正方體中，是的中點(diǎn)，則直線與平面所成角的正弦值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
以為坐標(biāo)原點(diǎn), 建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，然后利用向量法可求，從而求直線與平面所成角的正弦值.
【詳解】
解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，以為軸，以為軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體的棱長為，則，，，
，，
設(shè)平面的法向量為，
，，
，令，則，
，
設(shè)直線與平面所成角為，則，
故選：B．
5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在正方體中，中點(diǎn)為，則二面角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出正方體的棱長，然后利用向量法求二面角的余弦值.
【詳解】
以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
設(shè)正方體的棱長為2，
則，0，，，2，，，0，，，2，，
，2，，，2，，，2，，
設(shè)平面的法向量為，，，
則，取，得，0，，
設(shè)平面的法向量為，
則，取，得，，，
設(shè)二面角的平面角為，由圖知為鈍角，
二面角的余弦值.
故選：.
6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若正四棱柱的底邊長為2，，E是的中點(diǎn)，則到平面EAC的距離為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
利用線面平行的判定定理證明∥平面EAC，則點(diǎn)到平面EAC的距離即為直線到平面EAC的距離，建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出平面AEC的法向量，由點(diǎn)到直線的距離公式求解即可．
【詳解】
解：由棱柱的幾何性質(zhì)可知，∥AC，
又?平面EAC，AC?平面EAC，
則∥平面EAC，
所以點(diǎn)到平面EAC的距離即為直線到平面EAC的距離，
因?yàn)檎睦庵牡走呴L為2，，
則，
以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，
則A（0，0，0），，，，
所以，，，
設(shè)平面AEC的法向量為，
則，即，
令，則，，
故，
所以點(diǎn)到平面EAC的距離，
故到平面EAC的距離為．
故選：C．
7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在棱長為的正方體中，則平面與平面之間的距離為
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，求得和平面的一個(gè)法向量，
利用向量的距離公式，即可求解．
【詳解】
建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則，，，，
所以，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，
即，解得，故，
顯然平面平面，
所以平面與平面之間的距離．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了空間向量在求解距離中的應(yīng)用，對(duì)于利用空間向量求解點(diǎn)到平面的距離的步驟通常為：①求平面的法向量；②求斜線段對(duì)應(yīng)的向量在法向量上的投影的絕對(duì)值，即為點(diǎn)到平面的距離．空間中其他距離問題一般都可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離求解．著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.
8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知正方體ABCD -A1B1C1D1的棱長為2，點(diǎn)E是A1B1的中點(diǎn)，則點(diǎn)A到直線BE的距離是( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
建立空間直角坐標(biāo)系，先求夾角的余弦，再求點(diǎn)A到直線BE的距離.
【詳解】
建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則＝(0,2,0)，＝(0,1,2)．
∴csθ＝＝.∴sinθ＝.
故點(diǎn)A到直線BE的距離d＝||sinθ＝2×.
故答案為B
【點(diǎn)睛】
本題主要考查點(diǎn)到線距離的向量求法，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的掌握水平和分析推理計(jì)算能力.
9．（2021·浙江·杭州市余杭高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）長方體中，，，為的中點(diǎn)，則異面直線與之間的距離是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，得出各點(diǎn)坐標(biāo)，求出與的公垂線的一個(gè)方向向量，由空間向量的數(shù)量積求得結(jié)論．
【詳解】
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，
，，
設(shè)與的公垂線的一個(gè)方向向量為，
則，取，得，，即，
又，
所以異面直線與之間的距離為．
故選：D．
二、填空題
10．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））如圖，在長方體中，，，若為中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為________.
【答案】
【分析】
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，求平面的法向角，再求向量在法向量上的投影的絕對(duì)值，由此可得點(diǎn)到平面的距離
【詳解】
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，連接，
由題意得，，
∴ ，，，
設(shè)平面的法向角為，則，
即，
令，得，
∴ 點(diǎn)到平面的距離，
故答案為：.
三、解答題
11．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，，．
（1）求異面直線和所成角的大??；
（2）求直線和平面所成角的大?。?br>【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）、根據(jù)題意可證得兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，然后根據(jù)即可求出異面直線和所成角的大??；
（2）、先求出平面的一個(gè)法向量，然后根據(jù)即可求出直線和平面所成角的正弦值，進(jìn)而求出直線和平面所成角的大小.
（1）
為直三棱柱，⊥平面，,
又，兩兩垂直，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸，以所在直線為軸，以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則
設(shè)直線和所成角的大小為，則，
又，，直線和所成角的大小為．
（2）
由（1）可知：
設(shè)平面的一個(gè)法向量，
則，取，得，
設(shè)直線和平面所成角的大小為，則，．
直線和平面所成角的大小為．
12．（2022·天津南開·高三期末）如圖，四棱錐中，底面，，，，，E為上一點(diǎn)，且.
（1）求證：平面；
（2）求證：平面；
（3）求平面與平面的夾角的大小.
【答案】
（1）證明見解析
（2）證明見解析
（3）
【分析】
（1）如圖，以A為原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證明，，即可得證；
（2）利用向量法證明垂直平面的法向量即可；
（3）利用向量法即可得出答案.
（1）
證明：如圖，以A為原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
因?yàn)?，?br>所以，
因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)?，?br>所以，，
所以，，
因?yàn)椋?br>所以平面；
（2）
證明：設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，即，
令，得是平面的一個(gè)法向量，
所以，
所以，
因?yàn)槠矫妫?br>所以平面；
（3）
解：設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，即，
令，得是平面的一個(gè)法向量，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，即，
令，得是平面的一個(gè)法向量，
設(shè)平面與平面夾角為，
則，
所以平面與平面的夾角為.
13．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）如圖，在四棱錐中，已知平面，且四邊形為直角梯形，，，.且Q為線段的中點(diǎn)
（1）求直線與所成角的大?。?br>（2）求直線與平面所成角的大小
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）以為x軸，為y軸，為z軸，建立坐標(biāo)系.，用向量法求異面直線所成的角；
（2）用直線方向向量與平面的法向量的夾角的余弦值求線面角的正弦值．
【詳解】
以為x軸，為y軸，為z軸，建立坐標(biāo)系.
，，，，
則，，，
設(shè)異面直線與所成的角為，則，
即異面直線與所成角的大小為.
（2）設(shè)平面的法向量為，
設(shè)直線與平面所成的角為，則
即直線與平面所成角的大小為．
【點(diǎn)睛】
方法點(diǎn)睛：本題考查空間向量法求異面直線所成的角，求二面角．求空間角的方法：
（1）幾何法（定義法）：根據(jù)定義作出空間的平面角（異面直線所成的角，直線與平面所成的角，二面角的平面角）并證明，然后解三角形得出結(jié)論；
（2）空間向量法：建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)為坐標(biāo)，求出直線方向向量，平面的法向量，利用直線方向向量的夾角得異面直線所成角（相等或互補(bǔ)），直線方向向量與平面的法向量夾角的余弦值的絕對(duì)值得直線與平面所成角的正弦值，兩個(gè)平面法向量的夾角得二面角（它們相等或互補(bǔ)）．
14．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）如圖，空間幾何體由兩部分構(gòu)成，上部是一個(gè)底面半徑為1，高為2的圓錐，下部是一個(gè)底面半徑為1，高為2的圓柱，圓錐和圓柱的軸在同一直線上，圓錐的下底面與圓柱的上底面重合，點(diǎn)P是圓錐的頂點(diǎn)，AB是圓柱下底面的一條直徑，AA1、BB1是圓柱的兩條母線，C是弧AB的中點(diǎn).
（1）求異面直線PA1與BC所成的角的大??；
（2）求點(diǎn)B1到平面PAC的距離.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出異面直線與所成的角的大小即可
（2）求出平面的法向量，利用向量法求出點(diǎn)到平面的距離
【詳解】
（1）根據(jù)題意可得平面, C是弧AB的中點(diǎn),則
則以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖
則，， ，，
， ，
，
異面直線與所成的角的大小為．
（2）， ， ， ， ，
設(shè)平面的法向量，則，取，得，
點(diǎn)到平面的距離為：．
【點(diǎn)睛】
方法點(diǎn)睛：向量法求解空間幾何問題的步驟：建、設(shè)、求、算、取
1、建：建立空間直角坐標(biāo)系，以三條互相垂直的直線的交點(diǎn)為原點(diǎn)，沒有三條垂線時(shí)需做輔助線；建立右手直角坐標(biāo)系，盡可能的使得較多的關(guān)鍵點(diǎn)落在坐標(biāo)軸或坐標(biāo)平面內(nèi).
2、設(shè)：設(shè)出所需的點(diǎn)的坐標(biāo)，得出所需的向量坐標(biāo).
3、求：求出所需平面的法向量
4、算：運(yùn)用向量的數(shù)量積運(yùn)算，驗(yàn)證平行、垂直，利用線面角公式求線面角，或求出兩個(gè)平面的法向量的夾角的余弦值
5、?。焊鶕?jù)題意，或二面角的范圍，得出答案.
15．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）如圖,四棱錐中,底面為矩形,底面,,,分別為棱的中點(diǎn).
（1）求證:、、、四點(diǎn)共面；
（2）求異面直線與所成的角.
【答案】（1）證明見解析（2）
【分析】
（1）因?yàn)樵谥?由、為、中點(diǎn)得:為中位線,可得∥,結(jié)合底面為矩形,即可求得答案;
（2）以為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系,其中、、分別為、、軸,求得和,,即可求得答案.
【詳解】
（1）在中,由、為、中點(diǎn)得:為中位線,
∥
又底面為矩形, ∥,
∥
由平行線確定唯一平面得、、、在同一平面上.
（2）以為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系,其中、、分別為、、軸,
如圖:
可得,,,
,,
故:
異面直線與夾角:.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了求證四點(diǎn)共面和向量法求異面直線夾角,解題關(guān)鍵是掌握向量法求線線角的解法,考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于中檔題.
16．（2022·天津和平·高三期末）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，為正三角形，且側(cè)面底面，為的中點(diǎn).
（1）求證：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值；
（3）求平面與平面夾角的余弦值．
【答案】
（1）證明見解析
（2）
（3）
【分析】
（1）連接交于，進(jìn)而證明，然后根據(jù)線面平行的判定定理證明問題；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，進(jìn)而通過空間向量的夾角公式求得答案；
（3）求出平面的法向量，結(jié)合（2），進(jìn)而通過空間向量的夾角公式求得答案.
（1）
證明：連接，與交于，則為的中點(diǎn)，又分別為的中點(diǎn)，∴，∵平面，平面，∴平面．
（2）
設(shè)是的中點(diǎn)，連接，∵是正方形，為正三角形，∴．又∵面面，交線為，∴平面．
以為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，,∴，，
設(shè)平面的法向量為，則，令．則，得．設(shè)直線與平面所成角為，
∴，即直線與平面所成角的正弦值．
（3）
由（2）可知，設(shè)平面的法向量為，則
，令．則，，．
設(shè)面與面夾角為，∴，∴面與面夾角的余弦值為．
17．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））如圖，在三棱柱中，四邊形是菱形，，在底面ABC上的射影是BC的中點(diǎn)．
（1）證明：平面；
（2）若，求與平面所成角的正弦值．
【答案】
（1）證明見解析；
（2）
【分析】
（1）設(shè)中點(diǎn)為，連接，推出平面，得到平面平面，然后證明平面，推出，結(jié)合，證明平面．
（2）以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解與平面所成角的正弦值．
（1）
（1）證明：設(shè)中點(diǎn)為，連接，
因?yàn)樵诘酌嫔系纳溆盀橹悬c(diǎn)，所以平面，
又因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫?br>又因?yàn)槠矫嫫矫?，?br>所以平面，
因?yàn)槠矫妫?br>所以，
又因?yàn)樗倪呅螢榱庑危?br>所以，
而，所以平面．
（2）
解：不妨設(shè)，則，
因?yàn)?，，所以?br>又因?yàn)樗倪呅螢榱庑危?，故為等邊三角形?br>所以，故，由（1）知平面，平面，所以，
以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，，，，，，
所以，
設(shè)平面法向量為，，
由，即，令，則，，所以，
設(shè)與平面所成角為，則，
所以與平面所成角的正弦值為．
18．（2022·全國·模擬預(yù)測）如圖所示，直三棱柱的上、下底面的頂點(diǎn)分別在圓柱的上、下底面的圓周上，且AB過圓柱下底面的圓心為與的交點(diǎn).
（1）求證:平面；
（2）若圓柱底面半徑為，母線長為，求直線與平面所成角的正切值.
【答案】
（1）證明見解析
（2）
【分析】
（1）法一：連接可證得，由線面平行的判定定理即可證得結(jié)論；
法二：取中點(diǎn)中點(diǎn)，連接可證得四邊形為平行四邊形，則，由線面平行的判定定理即可證得結(jié)論.
（2）法一：取中點(diǎn)中點(diǎn)，連接可知,易證得平面，從而平面，則連接為直線與平面所成的角，計(jì)算即可求得結(jié)果;
法二:分別以向量，的方向?yàn)榈恼较蚪⒖臻g直角坐標(biāo)系,求得，求出平面的一個(gè)法向量可以記為，利用數(shù)量積公式計(jì)算即可得出結(jié)果.
（1）
法一:連接由題易知為矩形，所以為的中點(diǎn)，
又為中點(diǎn)，所以，
又平面平面，所以平面.
法二:取中點(diǎn)中點(diǎn)，連接由題易知為矩形，
所以為的中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，
所以，所以，
又易知，
所以，
從而四邊形為平行四邊形，所以，
又平面平面，所以平面；
（2）
法一:取中點(diǎn)中點(diǎn)，連接可知
又因?yàn)辄c(diǎn)在圓周上，為圓的直徑，所以
又因?yàn)橹比庵械酌?，所以?br>從而平面，從而平面，所以連接為直線與平面所成的角，圓柱底面半徑為，
所以，
又依題可知，所以，從而，
所以在中，
法二:因?yàn)辄c(diǎn)在圓周上，為圓的直徑，所以，
又因?yàn)橹比庵械酌?，所以兩兩垂直，分別以向量，
的方向?yàn)榈恼较蚪⑷鐖D所示的空間直角坐標(biāo)系
圓柱底面半徑為，母線長為，
所以，所以，
所以，從而，
又由平面，且為底面圓的直徑，所以，
又，可知平面，
所以平面的一個(gè)法向量可以記為，
設(shè)直線與平面所成角為，
則
所以.
19．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，在三棱錐中，，，，，.
（1）求證：平面；
（2）若為的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】
（1）證明見解析；
（2）.
【分析】
(1)由勾股定理證明，再結(jié)合已知條件即可證明；
(2)作交于，又平面，∴以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求線面角即可.
（1）
∵，，，
∴在中，由余弦定理得，
∴，
又，，
∴，
即，
又，
，
∴平面；
（2）
作交于，
又平面，
∴以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，
在△中，由正弦定理得，
故，
∴，即，
∴，
∴，，，
又，0，，，，，，，，
∴，，，，，，，，，
設(shè)平面的法向量為，，，
∴，
令，∴，，
∴，，，
設(shè)直線與平面所成角為，
∴，
即直線與平面所成角的正弦值為.
20．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））如圖1，直角梯形ABCD中，，，．如圖2，將圖1中沿AC折起，使得點(diǎn)D在平面ABC上的正投影G在內(nèi)部．點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)．連接DB，DE，三棱錐D－ABC的體積為．對(duì)于圖2的幾何體．
（1）求證：；
（2）求DE與平面DAC所成角的正弦值．
【答案】
（1）證明見解析；
（2）.
【分析】
(1)取AC的中點(diǎn)F，連接DF，CE，EF，證明AC⊥平面DEF即可.
(2)以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的方法求解線面角.
（1）
取AC的中點(diǎn)F，連接DF，CE，EF，則△DAC，△EAC均為等腰直角三角形．
∴AC⊥DF，AC⊥EF，∵DF∩EF＝F，∴AC⊥平面DEF，又DE?平面DEF，∴DE⊥AC．
（2）
連接GA，GC，
∵DG⊥平面ABC，而GA?平面ABC，GC?平面ABC，∴DG⊥GA，DG⊥GC，
又DA＝DC，∴GA＝GC，∴G在AC的垂直平分線上，又EA＝EC，∴E在AC的垂直平分線上，∴EG垂直平分AC，又F為AC的中點(diǎn)，∴E，F(xiàn)，G共線．
∴S△ABC＝×|AC|×|BC|＝×6×6＝18，
∴VDABC＝×S△ABC×|DG|＝×18×|DG|＝12，∴DG＝2．
在Rt△DGF中，|GF|＝．
以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，GM為x軸，GE為y軸，GD為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(3，－1，0)，E(0，2，0)，C(－3，－1，0)，D(0，0，2)，
∴＝(0，2，－2)，＝(3，－1，－2)，＝(－3，－1，－2)，
設(shè)平面DAC的法向量為＝(x，y，z)，
則，得，令z＝1，得：，
于是，.
21．（2022·河北張家口·高三期末）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，、、、分別為、、、的中點(diǎn).
（1）證明：平面；
（2）若平面平面，為等邊三角形，求二面角的正弦值.
【答案】
（1）證明見解析；
（2）.
【分析】
（1）連接、、，證明出平面平面，利用面面平行的性質(zhì)可證得結(jié)論成立；
（2）取的中點(diǎn)，連接、，證明平面，，設(shè)，然后以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得二面角的正弦值.
（1）
證明：連接、、.
因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，且，
因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，則且，
為的中點(diǎn)，則且，所以，且，
故四邊形為平行四邊形，故，
平面，平面，故平面，
因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，則，
平面，平面，所以，平面，
，所以，平面平面.
又平面，所以平面.
（2）
解：取的中點(diǎn)，連接、.
因?yàn)闉榈冗吶切?，為的中點(diǎn)，所以.
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面.
因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，則，且，
、分別為、的中點(diǎn)，則且，
所以，四邊形為平行四邊形，故，則，
如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)，則、、、，
，，，
設(shè)為平面的法向量，
則，即，取，則，
設(shè)為平面的法向量，
則，即，取，則，
所以，故.
所以二面角的正弦值為.
22．（2022·全國·模擬預(yù)測）如圖①，直角梯形中，，，點(diǎn)，分別在，上，，，將四邊形沿折起，使得點(diǎn)，分別到達(dá)點(diǎn)，的位置，如圖②，平面平面，.
（1）求證：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】
（1）證明見解析
（2）
【分析】
（1）根據(jù)，，，，易證，再根據(jù)平面平面，，得到平面，進(jìn)而得到，再利用線面垂直的判定定理證明平面即可；
（2）根據(jù)（1）知，，兩兩垂直，以，，的方向分別為，，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面的一個(gè)法向量和平面的一個(gè)法向量，設(shè)二面角的大小為，由求解.
（1）
解：因?yàn)?，，?br>所以，，
又，所以是等腰直角三角形，即，
所以.
由平面幾何知識(shí)易知，
所以，即.
又平面平面，平面平面，，
所以平面，又平面，
所以.
又，
所以平面，
又平面，
所以平面平面.
（2）
由（1）知，，兩兩垂直，以，，的方向分別為，，軸的正方向，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則，，，，F(xiàn)（1，0，0），
則，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
由，得，
取，則.
由，，，
得平面，
所以平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)二面角的大小為，
則，
由圖可知二面角為鈍二面角，
所以二面角的余弦值為.
23．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，面，，且，，，，，為的中點(diǎn).
（1）求證：∥平面；
（2）求平面與平面所成二面角的余弦值；
（3）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值是，若存在，求出的值，若不存在，說明理由.
【答案】
（1）證明見解析；
（2）；
（3）存在，.
【分析】
(1)只要證明所在平面與平面平行即可；
(2)用向量數(shù)量積計(jì)算二面角的余弦值；
(3)用向量數(shù)量積計(jì)算直線與平面成角的正弦值，列方程求解．
（1）
取中點(diǎn)，連接、，
∵∥，，，，，，為的中點(diǎn)，
∴四邊形是矩形，，，
由平面ANE，平面PBC，PC平面PBC知NE∥平面PBC，
由平面ANE，平面PBC，BC平面PBC知AE∥平面PBC，
又∵NEAE＝E，∴平面∥平面，
∵平面，∴∥平面．
（2）
因?yàn)槊?，∴，?br>由(1)知、、兩兩垂直，建系如圖，
，0，，，，，，1，，，1，，，0，，
，0，，，，，，0，，，，，
設(shè)平面的法向量為，
則，取，，，
設(shè)平面的法向量，
則，取，1，，
∴平面與平面所成銳二面角的余弦值為．
（3）
假設(shè)在線段上存在一點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值是，
設(shè)，，，，，，，，，，1，，
∴，，，，，，
由(2)知，1，是平面的法向量，
∴直線與平面所成角的正弦值是，
解得．
24．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱柱中，側(cè)棱底面，，且是的中點(diǎn).
（1）求點(diǎn)到平面的距離；
（2）設(shè)為棱上的點(diǎn)，若直線和平面所成角的正弦值為，求線段的長.
【答案】
（1）;
（2）.
【解析】
（1）
解：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，
，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則
因?yàn)?br>設(shè)平面的法向量為，
則，
令，則，
故，
所以，
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，
則，
所以點(diǎn)到平面的距離為；
（2）
解：由題意，設(shè)，其中，
則，
所以，
又是平面的一個(gè)法向量，
因?yàn)橹本€和平面所成角的正弦值為，
則，
整理可得，
又，解得
故線段的長為.
25．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，四棱錐底面是矩形，面，，、是棱、上的點(diǎn)，，．
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）棱上是否存在點(diǎn)，使面？若存在，求出的值；不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）不存在滿足條件的點(diǎn)，理由見解析.
【分析】
（Ⅰ）、、三條線兩兩垂直建立空間直角坐標(biāo)系，表示出所需點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求出平面平面的法向量，驗(yàn)證，即可得出結(jié)論；
（Ⅱ）假設(shè)存在，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后通過列方程，通過方程是否有解，可確認(rèn)點(diǎn)是否存在.
【詳解】
（Ⅰ）∵平面，、平面．
∴，
在矩形中，
∴、、三條線兩兩垂直
如圖，分別以、、所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系
則，，，
∵ ∴；∵ ∴
∴
設(shè)為平面的一個(gè)法向量
由 得： 取
∵
∴
又∵平面
∴平面
（Ⅱ）假設(shè)存在滿足，使平面
若平面，則
∴
即： ∴
故不存在滿足條件的點(diǎn)
【點(diǎn)睛】
向量法求解空間幾何問題的步驟：建、設(shè)、求、算、取
1、建：建立空間直角坐標(biāo)系，以三條互相垂直的直線的交點(diǎn)為原點(diǎn)，沒有三條垂線時(shí)需要做輔助線；建立右手直角坐標(biāo)系（盡可能使得較多的關(guān)鍵點(diǎn)落在坐標(biāo)軸或者坐標(biāo)平面內(nèi)）
2、設(shè)：設(shè)出所需的點(diǎn)的坐標(biāo)，得出所需要的向量坐標(biāo)
3、求：求出所需平面的法向量
4、算：運(yùn)用向量的數(shù)量積，驗(yàn)證平行垂直，利用線面角公式求線面角、或求出兩個(gè)平面的法向量的夾角的余弦值
5、?。焊鶕?jù)題意或者二面角線面角的范圍，得出答案.
26．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，四邊形為直角梯形，，，，，，為的中點(diǎn)，且.
（1）證明：平面；
（2）線段上是否存在一點(diǎn)，使得二面角的余弦值為？若存在，試確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.
【答案】（1）證明見解析；（2）存在，點(diǎn)為靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn).
【分析】
（1）連接，與的交點(diǎn)記為點(diǎn)，證明出平面，可得出，利用勾股定理證明出，利用線面垂直的判定定理可證得平面；
（2）以為原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用空間向量法可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的方程，結(jié)合可求得實(shí)數(shù)的值，即可得出結(jié)論.
【詳解】
（1）證明：如圖，連接，與的交點(diǎn)記為點(diǎn)，
，，，
所以，，所以，
因?yàn)?，所以，所以，即?br>又因?yàn)椋?，所以平面?br>因?yàn)槠矫妫裕?br>因?yàn)樵谥?，，所以?br>又因?yàn)?，所以平面?br>（2）存在，點(diǎn)為靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，理由如下：
如圖，以為原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則、、、、、，
，設(shè)，即點(diǎn)，
則，，
設(shè)平面的法向量，由，
取，則，
易知，平面的一個(gè)法向量為，
因?yàn)槎娼堑挠嘞抑禐椋?br>即，
整理可得，解得（舍）或.
故線段上存在一點(diǎn)，使得二面角的余弦值為，此時(shí)點(diǎn)為靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn).
【點(diǎn)睛】
方法點(diǎn)睛：立體幾何開放性問題求解方法有以下兩種：
（1）根據(jù)題目的已知條件進(jìn)行綜合分析和觀察猜想，找出點(diǎn)或線的位置，然后再加以證明，得出結(jié)論；
（2）假設(shè)所求的點(diǎn)或線存在，并設(shè)定參數(shù)表達(dá)已知條件，根據(jù)題目進(jìn)行求解，若能求出參數(shù)的值且符合已知限定的范圍，則存在這樣的點(diǎn)或線，否則不存在.
27．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在直四棱柱中，底面是平行四邊形，，.
（1）求證：；
（2）求二面角的大??；
（3）在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面?若存在，求的值；若不存在，說明理由.
【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)存在，.
【分析】
(1)線線垂直需要借助于線面垂直，結(jié)合圖形分析出需要先證明平面；而證明線面垂直需要證明與面里面的兩條相交線垂直即和；
(2)由兩兩垂直可建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面與平面的法向量之后，直接利用空間向量的夾角公式即可求得；
(3)通過向量表示出所求線段的比例關(guān)系，然后依次表示出所需向量的坐標(biāo)，利用線面垂直時(shí)線與面的法向量平行即可得出等量關(guān)系，解方程即可求得結(jié)果.
【詳解】
解：(1)證明：在直四棱柱中，
底面，
因?yàn)榈酌妫?br>所以.
因?yàn)?，?br>所以平面.
因?yàn)槠矫妫?br>所以.
(2)因?yàn)槠矫?，且，所以兩兩垂?
如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，
，，，
設(shè)平面的法向量為
，，
由 可得
令，解得，
所以
因?yàn)槠矫妫?br>所以平面的一個(gè)法向量為
所以
由題可知二面角為銳角，
所以二面角的大小為.
(3)設(shè).
因?yàn)椋?br>由(2)知平面的一個(gè)法向量為，
因?yàn)槠矫妫傻?
所以，解得.
所以，在線段上存在點(diǎn)使得平面，的值是.
【點(diǎn)睛】
向量法求解空間幾何問題的步驟：建、設(shè)、求、算、取
1、建：建立空間直角坐標(biāo)系，以三條互相垂直的直線的交點(diǎn)為原點(diǎn)，沒有三條垂線時(shí)需要做輔助線；建立右手直角坐標(biāo)系（盡可能使得較多的關(guān)鍵點(diǎn)落在坐標(biāo)軸或者坐標(biāo)平面內(nèi)）；
2、設(shè)：設(shè)出所需的點(diǎn)的坐標(biāo)，得出所需要的向量坐標(biāo)；
3、求：求出所需平面的法向量；
4、算：運(yùn)用向量的數(shù)量積，驗(yàn)證平行垂直，求出兩個(gè)平面的法向量的夾角的余弦值；
5、?。焊鶕?jù)題意或者二面角線面角的范圍，得出答案.
28．（2022·河北·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，E為棱上的點(diǎn)，且.
（1）若F為棱的中點(diǎn)，求證：平面；
（2）（i）求證平面；
（ii）設(shè)Q為棱上的點(diǎn)(不與C，P重合)，且直線與平面所成角的正弦值為，求的值.
【答案】（1）見解析；（2）（i）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量方法證明；（ii）.
【分析】
（1）取PA中點(diǎn)G,連接GF,由中位線定理，結(jié)合平行四邊形判定與性質(zhì)，利用線面平行的判定定理證明；
（2）（i）由已知證得，，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示和線面垂直的判定定理可得證；
（ii）設(shè)，表示點(diǎn)Q，再利用線面角的空間向量求解方法，建立方程解得，可得答案.
【詳解】
（1）取PA中點(diǎn)G,連接GF,BG,FG=1，BG=1,FG∥AD,AD∥BC,∴FG∥BE,∴四邊形BEFG為平行四邊形，∴EF∥BG,又∵EF?平面PAB,BG?平面PAB,∴EF∥平面PAB；
（2）（i）因?yàn)槠矫?，平面，平面?br>所以，，又因?yàn)椋?br>則以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
由已知可得，，，，，，
所以，，，
因?yàn)椋?，所以，?br>又，平面，平面，
所以平面.
（ii）由（i）可知平面，
可作為平面的法向量，設(shè)，即，，
所以，即，
因?yàn)橹本€與平面所成角的正弦值為，
所以，
即，解得，即.
【點(diǎn)睛】
本題考查線面平行的證明，線面垂直的證明，線面角問題，利用空間坐標(biāo)系中的向量運(yùn)算證明或求解問題中，關(guān)鍵要注意認(rèn)真仔細(xì)準(zhǔn)確計(jì)算.
29．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，三棱柱中，側(cè)面底面，是邊長為2的正三角形，已知點(diǎn)滿足.
（1）求二面角的大??；
（2）求異面直線與的距離；
（3）直線上是否存在點(diǎn)，使平面？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.
【答案】（1）（2）（3）存在點(diǎn)，其坐標(biāo)為，即恰好為點(diǎn)
【分析】
（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面的法向量和平面的法向量，計(jì)算出二面角的余弦值，由此求得其大小.
（2）求得異面直線與的公垂線的方向向量，并由此計(jì)算出異面直線與的距離.
（3）根據(jù)求得點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)、與平面的法向量垂直列方程組，解方程組求得點(diǎn)的坐標(biāo)，由此判斷出存在點(diǎn)符合題意.
【詳解】
（1）側(cè)面底面，又均為正三角形，取得中點(diǎn)，連接，，
則底面，
故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸、軸、軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則
設(shè)平面的法向量為
取，可得
又平面的一個(gè)法向量為
由圖知二面角為銳角，故二面角的大小為.
（2）異面直線與的公垂線的方向向量，則
易得，異面直線與的距離
（3），而
又，點(diǎn)的坐標(biāo)為
假設(shè)存在點(diǎn)符合題意，則點(diǎn)的坐標(biāo)可設(shè)為
平面為平面的一個(gè)法向量，
由，得.
又平面，
故存在點(diǎn)，使平面，其坐標(biāo)為，即恰好為點(diǎn).
【點(diǎn)睛】
本小題主要考查利用空間向量法計(jì)算二面角、異面直線公垂線段的長，考查利用空間向量法研究線面平行的條件，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，考查空間想象能力，屬于中檔題.
30．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面，底面是矩形，，與底面所成角的正切值為，是的中點(diǎn)，線段上的動(dòng)點(diǎn).
（1）證明：平面；
（2）若二面角的余弦值為，求的長.
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【分析】
（1）先通過題目條件證明平面，得到，由，是的中點(diǎn)，得到,再根據(jù)線面垂直的判定定理證明出平面；
（2）以，，分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，計(jì)算平面的法向量及平面的法向量，
使平面和平面的法向量夾角余弦值的絕對(duì)值為，求解出的值.
【詳解】
（1）證明：平面平面，
.
又，，，平面，
平面，
又平面，∴.
又，是的中點(diǎn)，
，
又，，平面，
平面.
（2）以，，分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.
∵與底面所成角的正切值為，，∴，
則，，.
設(shè)，則，
設(shè)平面的法向量為，由，得：，
而平面的一個(gè)法向量為，依題意得：，
即，得或(舍).
故.
【點(diǎn)睛】
本題的難點(diǎn)在于（2）中已知二面角大小求解設(shè)的長，解答時(shí)設(shè)，可采用空間向量的方法求解，先利用空間向量求解已知面的法向量，使法向量滿足條件，然后求解出的值.
31．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB＝4，CC1＝2，∠ACB＝90°，點(diǎn)M在線段A1B1上．
（1）若A1M＝3MB1，求異面直線AM和A1C所成角的余弦值；
（2）若直線AM與平面ABC1所成角為30°，試確定點(diǎn)M的位置．
【答案】（1）；（2）M為A1B1的中點(diǎn)．
【分析】
先證明CC1⊥CA，CC1⊥CB，CA⊥CB，以{、、}這組正交基底建立空間直角坐標(biāo)系.
（1）用向量法求異面直線AM和A1C所成角的余弦值；
（2）設(shè)＝λ，λ∈[0，1]，用向量法表示出直線AM與平面ABC1所成角，解出λ，即可確定M的位置.
【詳解】
解：（1）因?yàn)锳BC-A1B1C1為直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，又CA、CB?平面ABC，所以CC1⊥CA，CC1⊥CB；因?yàn)椤螦CB＝90°，所以CA⊥CB；
以{、、}這組正交基底建立空間直角坐標(biāo)系，所以A(4，0，0)，B(0，4，0)，A1(4，0，2)，B1(0，4，2)，C1(0，0，2)；因?yàn)锳1M＝3MB1，所以M(1，3，2)；因?yàn)椋?－3，3，2)，＝(－4，0，－2)，所以cs＝＝＝，所以異面直線AM和A1C所成角的余弦值為；
（2）設(shè)＝λ，λ∈[0，1]，所以M(4－4λ，4λ，2)，＝(－4λ，4λ，2)；設(shè)平面ABC1的一個(gè)法向量＝(x，y，z)，由·＝0，·＝0得，，其一組解為，所以＝(1，1，)；因?yàn)橹本€AM與平面ABC1所成角為30°，所以│cs│＝││＝＝sin30°，得λ＝(負(fù)舍)，即M為A1B1的中點(diǎn)．
32．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，平面，，．
（1）求點(diǎn)到平面的距離；
（2）求二面角的平面角的余弦值．
【答案】（1） （2）
【分析】
（1）建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算平面PBC的法向量，由點(diǎn)面距離的向量公式即得解；
（2）計(jì)算平面PCD的法向量，結(jié)合（1）中平面PBC的法向量，利用二面角的向量公式即得解
【詳解】
（1）由題意，平面，，，
以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系
則P（0，0，1），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，3，0），
設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為=（x，y，z），
=(1，0，﹣1)， =(0，2，0)， =(﹣1，1，0)，
則，取x=1，得=(1，0，1)，
∴點(diǎn)D到平面PBC的距離．
（2）由（1）可得平面PBC的一個(gè)法向量為=(1，0，1)，
設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為，
， =(﹣1，1，0)，
則，取，得，
設(shè)二面角的平面角為，由圖得二面角為鈍角
故

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