1.表面積與體積計算公式
2.斜二測畫法
斜二測畫法的主要步驟如下:
(1)建立直角坐標(biāo)系.在已知水平放置的平面圖形中取互相垂直的,建立直角坐標(biāo)系.
(2)畫出斜坐標(biāo)系.在畫直觀圖的紙上(平面上)畫出對應(yīng)圖形.在已知圖形平行于軸的線段,在直觀圖中畫成平行于使(或),它們確定的平面表示水平平面.
(3)畫出對應(yīng)圖形.在已知圖形平行于軸的線段,在直觀圖中畫成平行于軸的線段,且長度保持不變;在已知圖形平行于軸的線段,在直觀圖中畫成平行于軸,且長度變?yōu)樵瓉淼囊话?可簡化為“橫不變,縱減半”.
(4)擦去輔助線.圖畫好后,要擦去軸、軸及為畫圖添加的輔助線(虛線).被擋住的棱畫虛線.
注: 直觀圖和平面圖形的面積比為.
3.外接球與內(nèi)切球
類型1：正方體或長方體外接球的球心在其體對角線的中點(diǎn)。
類型2：正棱柱或直棱柱(圓柱)的球心在上下底面外心連線中點(diǎn)處。
推論：垂面模型（一條直線垂直于一個平面）可補(bǔ)成直三菱柱或長方體。
公式：,（R為外接球半徑，r為底面外接圓半徑，h為棱錐的高，r可根據(jù)正弦定理
類型3：正棱錐（圓錐）模型(側(cè)棱相等，底面為正多邊形）的球心在其頂點(diǎn)與底面外心連線線段(或延長線）上。
半徑公式：（R為外接球半徑，r為底面外接圓半徑，h為棱錐的高，r可根據(jù)正弦定理
類型4：若棱錐的頂點(diǎn)可構(gòu)成共斜邊的直角三角形，則公共斜邊的中點(diǎn)就是其外接球的球心。
類型5：錐體的內(nèi)切球問題
三棱錐是任意三棱錐，求其的內(nèi)切球半徑
方法：等體積法，即內(nèi)切球球心與四個面構(gòu)成的四個三棱錐的體積之和相等
第一步：先畫出四個表面的面積和整個錐體體積；
第二步：設(shè)內(nèi)切球的半徑為，建立等式：
第三步：解出
【典型例題】
例1．（2015·吉林長春·高三階段練習(xí)（文））已知一個四面體的所有棱長都為2,則該四面體的外接球表面積為________.
例2．（2015·吉林長春·高三階段練習(xí)（理））已知三棱錐中, ,,.則該三棱錐的外接球表面積為________.
例3．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））若棱長為的正方體內(nèi)部有一個球，球與正方體的各個面相切（即正方體的內(nèi)切球）則該球的表面積為_____________．
例4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知正方體的棱長為2，則與正方體的各棱都相切的球的表面積是_______．
例5．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））已知，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，下列說法：
①若，，，則直線與可能平行；
②若，，，則直線與可能相交?平行或異面；
③若，，則直線與一定垂直；
④若，，，則直線與一定平行.
以上說法正確的是___________.（填序號）
例6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知是不重合的兩條直線，為不重合的兩個平面，給出下列命題：
①若，，則；
②若，且，則；
③若，，則．
所有正確命題的序號為__．
例7．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）有一塊四邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形，如圖所示，，，，，則這塊菜地的面積為___________.
【技能提升訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2021·全國·高三專題練習(xí)（文））四面體中，，，，且面，則四面體的外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·全國·高三專題練習(xí)）在直三棱柱中，，，若該直三棱柱的外接球表面積為，則此直三棱柱的高為（ ）．
A．4B．3C．D．
3．（2021·江西上饒·高二階段練習(xí)（理））三棱錐中，平面ABC，且，且，三棱錐的外接球表面積為（ ）
A．16πB．20πC．D．24π
4．（2021·全國·高三專題練習(xí)（文））已知長方體的兩個底面是邊長為的正方形，長方體的一條體對角線與底面成角，則此長方體的外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
5．（2021·全國·高三期末（文））如圖，在直三棱柱的側(cè)面展開圖中，，是線段的三等分點(diǎn)，且．若該三棱柱的外接球的表面積為，則（ ）
A．B．C．D．
6．（2021·全國·高三專題練習(xí)）已知三棱錐中，平面平面，且和都是邊長為2的等邊三角形，則該三棱錐的外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
7．（2021·全國·高三專題練習(xí)）四面體中，底面，，，則四面體的外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
8．（2021·全國·高三專題練習(xí)）已知直三棱柱的頂點(diǎn)都在球上，且，，，則此直三棱柱的外接球的表面積是（ ）
A．B．C．D．
9．（2020·內(nèi)蒙古赤峰·高三階段練習(xí)（文））據(jù)《九章算術(shù)》記載，“鱉臑(biēnà)”為四個面都是直角三角形的三棱錐.如圖所示，現(xiàn)有一個“鱉臑”，底面，，且，三棱錐外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，三棱錐的四個頂點(diǎn)恰是長、寬、高分別是m，2，n的長方體的頂點(diǎn)，此三棱錐的體積為2，則該三棱錐外接球體積的最小值為（ ）
A．B．
C．D．
11．（2019·江西省撫州市第一中學(xué)高三期末（文））在三棱錐中，面，，，，，則三棱錐的外接球表面積是
A．B．C．D．
12．（2020·全國·高三專題練習(xí)（理））在長方體中，四邊形是邊長為2的正方形，與所成的角是，則長方體的外接球表面積是
A．B．C．D．
13．（2019·安徽安慶·高三期末（理））正三棱柱中，底面邊長，側(cè)棱長，則該棱柱的外接球表面積等于
A．B．C．D．
14．（2014·全國·一模（文））正方體內(nèi)切球和外接球半徑的比為
A．
B．
C．
D．1:2
15．（2016·河北武邑·高三期末（理））正三角形的邊長為，將它沿高翻折，使點(diǎn)與點(diǎn)間的距離為，此時四面體外接球表面積為
A．B．C．D．
16．（2016·云南玉溪·三模（文））已知三棱錐的外接球為球，球的直徑，且都是等邊三角形，則三棱錐的體積是
A．B．C．D．
17．（2021·山西運(yùn)城·高三開學(xué)考試（文））在三棱錐中，，，，則三棱錐外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
18．（2021·全國全國·模擬預(yù)測）若一個圓柱的內(nèi)切球（與圓柱的兩底面以及每條母線均相切）的表面積為，則這個圓柱的體積為（ ）
A．B．2C．D．
19．（2021·全國·高三專題練習(xí)（文））如圖所示是古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻著一個圓柱，圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等，相傳這個圖形表達(dá)了阿基米德最引以為自豪的發(fā)現(xiàn)，我們來重溫這個偉大發(fā)現(xiàn)，圓柱的表面積與球的表面積之比為（ ）
A．B．2C．D．
20．（2022·全國·高三專題練習(xí)）蹴鞠(如圖所示)，又名蹴球?蹴圓?筑球?踢圓等，蹴有用腳蹴?踢的含義，鞠最早系外包皮革?內(nèi)實米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以腳蹴?塌?踢皮球的活動，類似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國務(wù)院批準(zhǔn)列入第一批國家非物質(zhì)文化遺傳名錄.已知某蹴鞠內(nèi)切于三棱錐，面，，，，，則該蹴鞠的體積為（ ）
A．B．C．D．
21．（2021·天津市新華中學(xué)高三階段練習(xí)）已知正方體的內(nèi)切球(球與正方體的六個面都相切)的體積是，則該正方體的表面積為（ ）
A．B．C．D．
22．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在下列四個正方體中，，為正方體的兩個頂點(diǎn)，，，為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個正方體中，直線與平面不平行的是（ ）
A．B．
C．D．
23．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）一個水平放置的平面圖形的直觀圖是一個底角為45°，腰和上底長均為1的等腰梯形，則該平面圖形的面積等于（ ）
A．B．C．D．
24．（2022·上海·高三專題練習(xí)）如圖，是的斜二測直觀圖，其中，斜邊，則的面積是（ ）
A．B．1C．D．
25．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知三條不同的直線和兩個不同的平面，，則下列四個命題正確的是（ ）
A．若，，則B．若，，則
C．若，，則D．若，，則
26．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若a?b?c是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是（ ）
A．若，則a?b?c共面B．若a?b?c過同一點(diǎn)，則a?b?c共面
C．若，則D．若，則
27．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)為不重合的平面，為不重合的直線，則其中正確命題的序號為（ ）
①，則；②，則；③，，則；④，則
A．①③B．②③C．②④D．③④
28．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)是一條直線，，是兩個平面，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，，則B．若，，則
C．若，，則D．若，，則
29．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點(diǎn)，則（ ）
A．BM＝EN，且直線BM，EN是相交直線
B．BM≠EN，且直線BM，EN是相交直線
C．BM＝EN，且直線BM，EN是異面直線
D．BM≠EN，且直線BM，EN是異面直線
30．（2022·全國·高三專題練習(xí)）底面為正三角形的直棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝8，AA1＝6，M，N分別為AB，BC的中點(diǎn)，則異面直線A1M與B1N所成的角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
31．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在正方體中，，，，分別為，，，的中點(diǎn)，則直線與所成角的大小是（ ）．
A．B．C．D．
32．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）設(shè)?為兩條直線，?為兩個平面，則下列命題中假命題是（ ）
A．若，，，則
B．若，，，則
C．若，，，則
D．若，，，則
33．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知為異面直線，平面，平面．直線滿足，，則（ ）
A．且
B．且
C．與相交，且交線垂直于
D．與相交，且交線平行于
34．（2022·全國·高三專題練習(xí)）下列命題中錯誤的是（ ）
A．如果平面平面，那么平面內(nèi)一定存在直線平行于平面
B．如果平面平面，那么平面內(nèi)所有直線都垂直于平面
C．如果平面平面，平面平面，，那么平面
D．如果平面不垂直于平面，那么平面內(nèi)一定不存在直線垂直于平面
35．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知直二面角，直線在平面上，直線在平面上，且直線與直線不垂直，直線與直線不垂直，則以下判斷正確的是（ ）
A．與可能垂直，但不可能平行
B．與可能垂直，也可能平行
C．與不可能垂直，但可能平行
D．與不可能垂直，也不可能平行
36．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在正方體中P，Q分別是和的中點(diǎn)，則下列判斷錯誤的是（ ）
A．B．平面
C．D．平面
37．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，在四邊形中，，將沿折起，使得平面平面，構(gòu)成四面體，則下列說法正確的是（ ）
A．平面平面B．平面平面
C．平面平面D．平面平面
二、填空題
38．（2021·黑龍江·佳木斯一中高三階段練習(xí)（理））在直三棱柱中，.若該直三棱柱的外接球表面積為，則此三棱柱的高為__________.
39．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知在四面體中，，則四面體的外接球表面積為______.
40．（2022·全國·高三專題練習(xí)）正六棱柱的底面邊長為4，高為6，則它的外接球(正六棱柱的頂點(diǎn)都在此球面上)的表面積為____．
41．（2021·廣西柳州·高三開學(xué)考試（文））已知長方體中，，，，則該長方體的外接球（長方體的八個頂點(diǎn)都在球面上）的表面積等于___________.
42．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））若球О是直三棱柱的外接球，三棱柱的高和體積都是4，底面是直角三角形，則球О表面積的最小值是___________.
43．（2021·甘肅白銀·模擬預(yù)測（理））已知四棱錐的底面是矩形，其中，側(cè)棱底面，且直線與所成角的余弦值為，則四棱錐的外接球表面積為___________.
44．（2020·重慶市第二十九中學(xué)校高三階段練習(xí)）已知某圓柱的側(cè)面積為，當(dāng)此圓柱的外接球體積最小時，它的高為________.
45．（2021·全國·高三專題練習(xí)）已知正三棱柱的體積為54，，記三棱柱的外接球為球，則外接球的表面積是__________．
46．（2019·全國·高三專題練習(xí)）已知棱長為的正方體的外接球表面積等于內(nèi)切球體積的6倍，則實數(shù)________．
47．（2019·天津·二模（文））球O是正方體ABCD?A1B1C1D1的外接球，若正方體ABCD?A1B1C1D1的表面積為S1，球O的表面積為S2，則S1S2=__________．
48．（2021·寧夏·六盤山高級中學(xué)一模（文））三棱錐中，面，，，則三棱錐的外接球表面積為________.
表面積
柱體
為直截面周長
椎體
臺體
球
體積
柱體
椎體
臺體
球
第23講 立體幾何小題
【知識點(diǎn)總結(jié)】
1.表面積與體積計算公式
2.斜二測畫法
斜二測畫法的主要步驟如下:
(1)建立直角坐標(biāo)系.在已知水平放置的平面圖形中取互相垂直的,建立直角坐標(biāo)系.
(2)畫出斜坐標(biāo)系.在畫直觀圖的紙上(平面上)畫出對應(yīng)圖形.在已知圖形平行于軸的線段,在直觀圖中畫成平行于使(或),它們確定的平面表示水平平面.
(3)畫出對應(yīng)圖形.在已知圖形平行于軸的線段,在直觀圖中畫成平行于軸的線段,且長度保持不變;在已知圖形平行于軸的線段,在直觀圖中畫成平行于軸,且長度變?yōu)樵瓉淼囊话?可簡化為“橫不變,縱減半”.
(4)擦去輔助線.圖畫好后,要擦去軸、軸及為畫圖添加的輔助線(虛線).被擋住的棱畫虛線.
注: 直觀圖和平面圖形的面積比為.
3.外接球與內(nèi)切球
類型1：正方體或長方體外接球的球心在其體對角線的中點(diǎn)。
類型2：正棱柱或直棱柱(圓柱)的球心在上下底面外心連線中點(diǎn)處。
推論：垂面模型（一條直線垂直于一個平面）可補(bǔ)成直三菱柱或長方體。
公式：,（R為外接球半徑，r為底面外接圓半徑，h為棱錐的高，r可根據(jù)正弦定理
類型3：正棱錐（圓錐）模型(側(cè)棱相等，底面為正多邊形）的球心在其頂點(diǎn)與底面外心連線線段(或延長線）上。
半徑公式：（R為外接球半徑，r為底面外接圓半徑，h為棱錐的高，r可根據(jù)正弦定理
類型4：若棱錐的頂點(diǎn)可構(gòu)成共斜邊的直角三角形，則公共斜邊的中點(diǎn)就是其外接球的球心。
類型5：錐體的內(nèi)切球問題
三棱錐是任意三棱錐，求其的內(nèi)切球半徑
方法：等體積法，即內(nèi)切球球心與四個面構(gòu)成的四個三棱錐的體積之和相等
第一步：先畫出四個表面的面積和整個錐體體積；
第二步：設(shè)內(nèi)切球的半徑為，建立等式：
第三步：解出
【典型例題】
例1．（2015·吉林長春·高三階段練習(xí)（文））已知一個四面體的所有棱長都為2,則該四面體的外接球表面積為________.
【答案】
【解析】
試題分析：已知四面體棱長為2，可知其外接球的半徑為，從而其表面積為.
例2．（2015·吉林長春·高三階段練習(xí)（理））已知三棱錐中, ,,.則該三棱錐的外接球表面積為________.
【答案】
【解析】
試題分析：由條件，可將三棱錐放入如圖所示的長方體中，設(shè)其長寬高分別為，有，得到，所以長方體的體對角線長為，該長方體的外接球也就是三棱錐的外接球半徑為，從而其表面積為.
例3．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））若棱長為的正方體內(nèi)部有一個球，球與正方體的各個面相切（即正方體的內(nèi)切球）則該球的表面積為_____________．
【答案】
【詳解】
由題意，正方體的棱長即為球的直徑的長，
所以，所以，
，
故答案為：.
例4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知正方體的棱長為2，則與正方體的各棱都相切的球的表面積是_______．
【答案】
【詳解】
過正方體的對角面作截面如圖，故球的半徑，
其表面積．
故答案為：.
例5．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））已知，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，下列說法：
①若，，，則直線與可能平行；
②若，，，則直線與可能相交?平行或異面；
③若，，則直線與一定垂直；
④若，，，則直線與一定平行.
以上說法正確的是___________.（填序號）
【答案】①③
【詳解】
對于①，若是兩個平面的交線時，能夠找到且的直線，故①正確；對于②，若，，，直線與不可能平行，故②錯誤；對于③，根據(jù)線面垂直?線面平行的性質(zhì)可知直線與一定垂直，故③正確；對于④，若，，，則直線與可能平行也可能異面，故④錯誤.
故答案為：①③
例6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知是不重合的兩條直線，為不重合的兩個平面，給出下列命題：
①若，，則；
②若，且，則；
③若，，則．
所有正確命題的序號為__．
【答案】①③
【詳解】
由是不重合的兩條直線，為不重合的兩個平面知：
對于①，過作平面，使，則，因為，所以，
又，所以，故①正確；
對于②，若，且，則或，故②錯誤；
對于③，過作平面，使得，因為，則，
因為，，所以，所以，故③正確．
故答案為：①③．
例7．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）有一塊四邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形，如圖所示，，，，，則這塊菜地的面積為___________.
【答案】
【詳解】
解：在直觀圖中，，，
故原平面圖形的上底為 ，下底，高為
所以這塊菜地的面積為
故答案為：
【技能提升訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2021·全國·高三專題練習(xí)（文））四面體中，，，，且面，則四面體的外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
由面，構(gòu)造一個直三棱柱，設(shè)，分別為上下兩個底面的外接圓圓心，易得球心為的中點(diǎn)，然后分別在中求得外接圓的半徑，進(jìn)而中求得球的半徑即可.
【詳解】
根據(jù)題意，構(gòu)造一個直三棱柱，如圖，
，分別為上下兩個底面的外接圓圓心，根據(jù)球的性質(zhì)，球心必為的中點(diǎn)，
所以球的半徑為，設(shè)為，的外接圓半徑設(shè)為，
在中，，，，
由余弦定理得，
由正弦定理可得，
在中，，
所以球的表面積，
故選：D.
2．（2021·全國·高三專題練習(xí)）在直三棱柱中，，，若該直三棱柱的外接球表面積為，則此直三棱柱的高為（ ）．
A．4B．3C．D．
【答案】D
【分析】
由題意將直三棱柱補(bǔ)成長方體，則直三棱柱的外接球就是長方體的外接球，外接球的直徑等于長方體的體對角線，利用直三棱柱的外接球表面積為，可求出外接球的半徑，從而可求得直三棱柱的高
【詳解】
解：因為，所以將直三棱柱補(bǔ)成長方體，則直三棱柱的外接球就是長方體的外接球，外接球的直徑等于長方體的體對角線，
設(shè)球的半徑為，則，解得，
設(shè)直三棱柱的高為，則，即，
解得，所以直三棱柱的高為，
故選：D
3．（2021·江西上饒·高二階段練習(xí)（理））三棱錐中，平面ABC，且，且，三棱錐的外接球表面積為（ ）
A．16πB．20πC．D．24π
【答案】D
【分析】
將三棱錐放入一個長方體中，求出長方體的體對角線，則得到長方體外接球的直徑，利用球的表面積公式求解即可．
【詳解】
解：因為三棱錐P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，
不妨將三棱錐放入一個長方體中，則長方體的外接球即為三棱錐的外接球，
因為長方體的體對角線即為其外接球的直徑，因為PA＝AB＝2，，
則長方體的長寬高分別為4，2，2，所以三棱錐P﹣ABC外接球的半徑，
故三棱錐P﹣ABC外接球的表面積S＝4πR2＝24π．
故選：D．
4．（2021·全國·高三專題練習(xí)（文））已知長方體的兩個底面是邊長為的正方形，長方體的一條體對角線與底面成角，則此長方體的外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
記該長方體為，為該長方體的一條體對角線，根據(jù)題中條件，求出體對角線的長度，再由長方體的外接球直徑等于其體對角線的長，即可求出外接球直徑，得出外接球的表面積.
【詳解】
記該長方體為，為該長方體的一條體對角線，其與底面所成角為，
因為在長方體中，側(cè)棱底面，
則為與底面所成角，即，
因為長方體的兩個底面是邊長為的正方形，所以，
則，所以，
又長方體的外接球直徑等于其體對角線的長，
即該長方體外接球的直徑為，
所以此長方體的外接球表面積為.
故選：A.
5．（2021·全國·高三期末（文））如圖，在直三棱柱的側(cè)面展開圖中，，是線段的三等分點(diǎn)，且．若該三棱柱的外接球的表面積為，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根據(jù)展開圖，得到直觀圖為直三棱柱，求得底面的外接圓半徑，由外接球體積求得外接球的半徑，進(jìn)而利用勾股定理求得球心到三棱柱底面的距離，乘以2即得三棱柱的高，即為的長.
【詳解】
由展開圖可知，直三棱柱的底面是邊長為的等邊三角形，
其外接圓的半徑滿足，所以．
由得．
由球的性質(zhì)可知，球心到底面的距離為，
結(jié)合球和直三棱柱的對稱性可知，，
故選D．
【點(diǎn)睛】
本題考查直正三棱柱的判定與性質(zhì)，球面的性質(zhì)，球的表面積，屬基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是由側(cè)面展開圖得到幾何體的形狀，并注意球心到球的截面圓心距離與球的半徑，截面圓半徑之間的關(guān)系.
6．（2021·全國·高三專題練習(xí)）已知三棱錐中，平面平面，且和都是邊長為2的等邊三角形，則該三棱錐的外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
由題意畫出圖形分別取與的外心，過分別作兩面的垂線，相交于，結(jié)合已知由，求出三棱錐外接球的半徑，則外接球的表面積可求.
【詳解】
如圖，
由已知可得，與均為等邊三角形，
取中點(diǎn)，連接，，則，
∵平面平面，則平面，
分別取與的外心，過分別作兩面的垂線，相交于，
則為三棱錐的外接球的球心，
由與均為邊長為的等邊三角形，
可得，
，
，
∴三棱錐A?BCD的外接球的表面積為.
故選：D.
7．（2021·全國·高三專題練習(xí)）四面體中，底面，，，則四面體的外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
由題意畫出圖形，補(bǔ)形為長方體，求其對角線長，可得四面體外接球的半徑，則表面積可求．
【詳解】
如圖，在四面體中，底面，，，
可得，補(bǔ)形為長方體，則過一個頂點(diǎn)的三條棱長分別為1，1，，
則長方體的對角線長為，
則三棱錐的外接球的半徑為1．
其表面積為．
故選：B．
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：
求解本題的關(guān)鍵在于，將該四面體補(bǔ)形得到長方體，由長方體的結(jié)構(gòu)特征，即可得出外接球半徑，求出結(jié)果.
8．（2021·全國·高三專題練習(xí)）已知直三棱柱的頂點(diǎn)都在球上，且，，，則此直三棱柱的外接球的表面積是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
設(shè)點(diǎn)為外接圓的圓心，根據(jù)，得到是等邊三角形，求得外接圓的半徑r，再根據(jù)直三棱柱的頂點(diǎn)都在球上，由求得，直三棱柱的外接球的半徑即可.
【詳解】
如圖所示：
設(shè)點(diǎn)為外接圓的圓心，
因為，
所以，又，
所以是等邊三角形，
所以，
又直三棱柱的頂點(diǎn)都在球上，
所以外接球的半徑為，
所以直三棱柱的外接球的表面積是，
故選：C
9．（2020·內(nèi)蒙古赤峰·高三階段練習(xí)（文））據(jù)《九章算術(shù)》記載，“鱉臑(biēnà)”為四個面都是直角三角形的三棱錐.如圖所示，現(xiàn)有一個“鱉臑”，底面，，且，三棱錐外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根據(jù)已知條件可將三棱錐補(bǔ)全圖形為正方體，可知其外接球為正方體的外接球，即可求外接球表面積.
【詳解】
∵底面，，，將三棱錐補(bǔ)全圖形為正方體如圖所示，
∴三棱錐的外接球即正方體的外接球.
設(shè)外接球的半徑為，則，解得.
所以外接球的表面積為.
故選：C
【點(diǎn)睛】
本題考查幾何體外接球表面積的求法，注意補(bǔ)全三棱錐轉(zhuǎn)化為正方體，應(yīng)用正方體外接球的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.
10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，三棱錐的四個頂點(diǎn)恰是長、寬、高分別是m，2，n的長方體的頂點(diǎn)，此三棱錐的體積為2，則該三棱錐外接球體積的最小值為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
根據(jù)三棱錐的體積關(guān)系可得,根據(jù)三棱錐與長方體共外接球,長方體的對角線就是外接球的直徑可得,根據(jù)基本不等式可得半徑的最小值,進(jìn)一步可得體積的最小值.
【詳解】
根據(jù)長方體的結(jié)構(gòu)特征可知三棱錐的高為,所以,所以,
又該三棱錐的外接球就是長方體的外接球,該外接球的直徑是長方體的對角線,
設(shè)外接球的半徑為,所以,
所以,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立,
所以,
所以該三棱錐外接球體積為.
故選:C
【點(diǎn)睛】
本題考查了三棱錐的體積公式,球的體積公式,長方體的對角線長定理,基本不等式,屬于中檔題.
11．（2019·江西省撫州市第一中學(xué)高三期末（文））在三棱錐中，面，，，，，則三棱錐的外接球表面積是
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
由面，，得到，由，，得到，由此可得三棱錐是長方體中的一個三棱錐，求長方體的外接球半徑即可解決問題．
【詳解】
因為面，所以，又，，
解得：，又，，滿足，所以.
由此可得三棱錐是長方體中的一個幾何體,如下圖：
長方體的外接球就是三棱錐的外接球，
長方體的體對角線長就是外接球的直徑，即，
所以三棱錐的外接球表面積是：
故選A
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了球的表面積計算、轉(zhuǎn)化思想，考查觀察能力及計算能力、空間思維能力，屬于基礎(chǔ)題．
12．（2020·全國·高三專題練習(xí)（理））在長方體中，四邊形是邊長為2的正方形，與所成的角是，則長方體的外接球表面積是
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
先根據(jù)與所成的角求長方體的高，再由長方體的外接球直徑等于長方體的體對角線長，即可求出外接球半徑，進(jìn)而可求出表面積.
【詳解】
如圖，在長方體中，，
相交直線與所成的角是異面直線與所成的角.
連接，由平面，得.
在Rt△ABD1中，就是與所成的角，即，
又，．
在中， ，設(shè)長方體外接球半徑為，
則由長方體的對角線就是長方體外接球直徑得，
長方體外接球表面積是．答案：
【點(diǎn)睛】
本題主要考查長方體的外接球問題，根據(jù)長方體的外接球直徑等于長方體體對角線的長即可求解，屬于基礎(chǔ)題型.
13．（2019·安徽安慶·高三期末（理））正三棱柱中，底面邊長，側(cè)棱長，則該棱柱的外接球表面積等于
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
本題首先可以根據(jù)題目所給的正三棱柱的各邊長求出該棱柱的外接球的半徑，然后再使用球的表面積公式，即可求出結(jié)果．
【詳解】
根據(jù)條件可以求得外接球的半徑，從而，即選C．
【點(diǎn)睛】
本題主要考察三棱柱的相關(guān)性質(zhì)，能否根據(jù)三棱柱的各邊長求出三棱柱的外接球半徑是解決本題的關(guān)鍵，考察空間想象能力，是簡單題．
14．（2014·全國·一模（文））正方體內(nèi)切球和外接球半徑的比為
A．
B．
C．
D．1:2
【答案】B
【詳解】
作正方體與其內(nèi)切球的截面如圖甲，設(shè)正方體棱長為a，則有2r＝a(r為內(nèi)切球半徑)．
作正方體與其外接球的截面如圖乙，則有2R＝(R為外接球半徑)，得r∶R＝，選B
15．（2016·河北武邑·高三期末（理））正三角形的邊長為，將它沿高翻折，使點(diǎn)與點(diǎn)間的距離為，此時四面體外接球表面積為
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】
試題分析：根據(jù)題意可知三棱錐的三條側(cè)棱，底面是等腰三角形，它的外接球就是它擴(kuò)展為三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心連線的中點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離，就是球的半徑，而且，三棱柱中，底面邊長為，外接圓的半徑為∴球的半徑為四面體外接球表面積為：．
考點(diǎn)：1．球內(nèi)接多面體；2．球的體積和表面積．
【思路點(diǎn)睛】三棱錐的三條側(cè)棱，底面是正三角形，它的外接球就是它擴(kuò)展為三棱柱的外接球，求出正三棱柱的底面中心連線的中點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離，就是球的半徑，然后求球的表面積即可．
16．（2016·云南玉溪·三模（文））已知三棱錐的外接球為球，球的直徑，且都是等邊三角形，則三棱錐的體積是
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】
試題分析：取外接圓圓心，連接的中點(diǎn)即球心與，由球的性質(zhì)可知與平面垂直，．在中，，故．又，故到平面的距離，因此，故選A．
考點(diǎn)：球的性質(zhì)；三棱錐的體積的計算．
【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了球的性質(zhì)、三棱錐的體積的計算、勾股定理等知識的應(yīng)用，解答中熟記球的相關(guān)性質(zhì)，利用勾股定理得到到平面的距離，再利用三棱錐的體積公式，即可求解三棱錐的體積，著重考查了學(xué)生分析問題和解答問題的能力，以及推理與運(yùn)算能力，試題有一定的難度，屬于中檔試題．
17．（2021·山西運(yùn)城·高三開學(xué)考試（文））在三棱錐中，，，，則三棱錐外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
將三棱錐補(bǔ)全為長方體，各條棱分別為長方體的面對角線，根據(jù)長方體外接球為其體對角線的一半可求得所求的外接球半徑，由球的表面積公式可得結(jié)果.
【詳解】
可將三棱錐補(bǔ)為如下圖所示的長方體，三棱錐的棱分別為長方體的面對角線，則長方體的外接球即為三棱錐的外接球.
設(shè)長方體的長、寬、高分別為，則，，
所求外接球的半徑，
三棱錐的外接球的表面積.
故選：B.
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查多面體外接球的求解問題，解題關(guān)鍵是能夠通過將三棱錐補(bǔ)全為長方體，將問題轉(zhuǎn)化為長方體外接球的求解.
18．（2021·全國全國·模擬預(yù)測）若一個圓柱的內(nèi)切球（與圓柱的兩底面以及每條母線均相切）的表面積為，則這個圓柱的體積為（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【分析】
根據(jù)給定條件求出球半徑，再由圓柱的內(nèi)切球與圓柱的關(guān)系可得圓柱的底面圓半徑和高，然后代入體積公式計算即得.
【詳解】
設(shè)球的半徑為r，則，解得，
因半徑為r的球是圓柱的內(nèi)切球，則圓柱的高h(yuǎn)等于其內(nèi)切球直徑2r，圓柱底面圓直徑等于球的直徑2r，
于是得圓柱的底面圓半徑為1，高h(yuǎn)=2，則，
所以這個圓柱的體積為.
故選：C
19．（2021·全國·高三專題練習(xí)（文））如圖所示是古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻著一個圓柱，圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等，相傳這個圖形表達(dá)了阿基米德最引以為自豪的發(fā)現(xiàn)，我們來重溫這個偉大發(fā)現(xiàn)，圓柱的表面積與球的表面積之比為（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【分析】
設(shè)球的半徑為，則圓柱的底面半徑為，高為，分別求得圓柱和球的表面積，即可得答案.
【詳解】
設(shè)球的半徑為，則圓柱的底面半徑為，高為．
圓柱的表面積，
球的表面積，
所以圓柱的表面積與球的表面積之比為.
故選：C
20．（2022·全國·高三專題練習(xí)）蹴鞠(如圖所示)，又名蹴球?蹴圓?筑球?踢圓等，蹴有用腳蹴?踢的含義，鞠最早系外包皮革?內(nèi)實米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以腳蹴?塌?踢皮球的活動，類似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國務(wù)院批準(zhǔn)列入第一批國家非物質(zhì)文化遺傳名錄.已知某蹴鞠內(nèi)切于三棱錐，面，，，，，則該蹴鞠的體積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
由題意畫出圖形，利用等體積法求出三棱錐內(nèi)切球的半徑，再由球的體積公式求解．
【詳解】
解：如圖，
∵面，平面，∴，
又，且，
∴平面，可得，
∵，，，
∴三棱錐的體積；
表面積.
設(shè)三棱錐內(nèi)切球的半徑為，由等體積法可得：，
得.
∴內(nèi)切球的體積為.
故選：B.
【點(diǎn)睛】
與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑，涉及內(nèi)切球一般用等體積法求出內(nèi)切球的半徑.
21．（2021·天津市新華中學(xué)高三階段練習(xí)）已知正方體的內(nèi)切球(球與正方體的六個面都相切)的體積是，則該正方體的表面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根據(jù)正方體內(nèi)切球直徑與棱長相等，結(jié)合已知條件及球體體積公式求正方體的棱長，進(jìn)而求正方體的表面積.
【詳解】
正方體性質(zhì)知：內(nèi)切球的直徑等于棱長，
∴由題意，，得，
∴正方體表面積.
故選：C.
22．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在下列四個正方體中，，為正方體的兩個頂點(diǎn)，，，為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個正方體中，直線與平面不平行的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
利用線面平行判定定理逐項判斷可得答案．
【詳解】
對于選項A，OQ∥AB，OQ與平面MNQ是相交的位置關(guān)系，故AB和平面MNQ不平行：
對于選項B，由于AB∥CD∥MQ，結(jié)合線面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：
對于選項C，由于AB∥CD∥MQ，結(jié)合線面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：
對于選項D，由于AB∥CD∥NQ，結(jié)合線面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：
故選：A．
23．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）一個水平放置的平面圖形的直觀圖是一個底角為45°，腰和上底長均為1的等腰梯形，則該平面圖形的面積等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
先求得，結(jié)合直觀圖與原圖的關(guān)系求得原圖的面積.
【詳解】
在直觀圖中，，
所以原圖是一個直角梯形，且上底為，下底為，高為，
所以原圖的面積為
故選：D
24．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）如圖，是的斜二測直觀圖，其中，斜邊，則的面積是（ ）
A．B．1C．D．
【答案】D
【分析】
由直觀圖得到原圖可得答案.
【詳解】
因為，所以，，且，
所以的面積是.
故選：D.
25．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知三條不同的直線和兩個不同的平面，，則下列四個命題正確的是（ ）
A．若，，則B．若，，則
C．若，，則D．若，，則
【答案】D
【分析】
根據(jù)線面關(guān)系和面面關(guān)系的性質(zhì)可依次判斷.
【詳解】
對A，若，，則和可能平行、相交或異面，故A錯誤；
對B，若，，則或，故B錯誤；
對C，若，，則和可能平行，也可能相交，故C錯誤；
對D，若，則存在，滿足，若，則，所以，故D正確.
故選：D.
26．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若a?b?c是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是（ ）
A．若，則a?b?c共面B．若a?b?c過同一點(diǎn)，則a?b?c共面
C．若，則D．若，則
【答案】D
【分析】
ABC三項舉出反例即可說明，D選項結(jié)合線線關(guān)系即可判定.
【詳解】
A設(shè)確定的平面為，當(dāng)時，a?b?c不共面，故A錯誤；
B不妨設(shè)a?b?c為三棱錐的三條側(cè)棱所在直線，顯然a?b?c共點(diǎn)，但是a?b?c不共面，故B錯誤；
C若為平面內(nèi)的兩條直線，且，顯然滿足，但是不一定平行，故C錯誤；
D若，則，故D正確；
故選：D.
27．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)為不重合的平面，為不重合的直線，則其中正確命題的序號為（ ）
①，則；②，則；③，，則；④，則
A．①③B．②③C．②④D．③④
【答案】D
【分析】
對于①，與相交或平行；對于②，與相交、平行或；對于③，由線面垂直的性質(zhì)和面面垂直的判定定理得；對于④，由面面垂直的性質(zhì)和線面垂直的判定定理得．
【詳解】
對于①，，，則與相交或平行，故①錯誤；
對于②，，，，則與相交、平行或，故②錯誤；
對于③，，，，則由線面垂直的性質(zhì)和面面垂直的判定定理得，故③正確；
對于④，，，，則由面面垂直的性質(zhì)和線面垂直的判定定理得，故④正確．
故選：D
28．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)是一條直線，，是兩個平面，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，，則B．若，，則
C．若，，則D．若，，則
【答案】C
【分析】
由線面平行的性質(zhì)和面面的位置關(guān)系，可判斷；由線面的位置關(guān)系可判斷；由線面平行與垂直的性質(zhì)定理和面面垂直的判定定理，可判斷；由面面垂直的性質(zhì)定理和線面的位置關(guān)系可判斷．
【詳解】
解：是一條直線，，是兩個不同的平面，
若，，可得或、相交，故錯誤；
若，，可得或、與相交，故錯誤；
若，可得過的平面與的交線，由，可得，又，則，故正確；
若，，可得或，故錯誤．
故選：．
29．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點(diǎn)，則（ ）
A．BM＝EN，且直線BM，EN是相交直線
B．BM≠EN，且直線BM，EN是相交直線
C．BM＝EN，且直線BM，EN是異面直線
D．BM≠EN，且直線BM，EN是異面直線
【答案】B
【分析】
取CD的中點(diǎn)O，連接EO，ON.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，計算后可得EN≠BM，BM，EN必相交.
【詳解】
取CD的中點(diǎn)O，連接EO，ON.由△ECD是正三角形，可得.
因為平面ECD⊥平面ABCD，平面平面，平面，
故EO⊥平面ABCD，而平面，∴EO⊥CD，EO⊥ON.
又N為正方形ABCD的中心，∴ON⊥CD.
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
不妨設(shè)AD＝2，
則，N(0,1,0)，，B(－1,2,0)，
∴，∴EN≠BM.
連接BD，BE，
∵點(diǎn)N是正方形ABCD的中心，∴點(diǎn)N在BD上，且BN＝DN，
∴BM，EN是△DBE的中線，∴BM，EN必相交．
故選：B.
30．（2022·全國·高三專題練習(xí)）底面為正三角形的直棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝8，AA1＝6，M，N分別為AB，BC的中點(diǎn)，則異面直線A1M與B1N所成的角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
延長到，使得，證明，得異面直線A1M與B1N所成的角是（或其補(bǔ)角），然后求得線段長，用余弦定理可得余弦值．
【詳解】
如圖，延長到，使得，因為是中點(diǎn)，則，又，所以是平行四邊形，，
所以異面直線A1M與B1N所成的角是（或其補(bǔ)角），
又是中點(diǎn)，所以，
，
三棱柱是正三棱柱，平面，平面，所以，
所以，
所以，
所以異面直線A1M與B1N所成的角的余弦值為．
故選：C．
31．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在正方體中，，，，分別為，，，的中點(diǎn)，則直線與所成角的大小是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
首先把兩條直線平移了有交點(diǎn)，再求其直線所成的角.
【詳解】
如圖連接，，則是的中點(diǎn)，
又為的中點(diǎn)，所以，連接，則是的中點(diǎn)，
又為的中點(diǎn)，所以，
于是是直線與所成的角或其補(bǔ)角．
易知是正三角形，所以．
故選：C
32．（2022·上海·高三專題練習(xí)）設(shè)?為兩條直線，?為兩個平面，則下列命題中假命題是（ ）
A．若，，，則
B．若，，，則
C．若，，，則
D．若，，，則
【答案】C
【分析】
本題要進(jìn)行兩平面平行與垂直的判斷，只要利用兩平面平行與垂直的性質(zhì)定理以及平面的法向量之間的關(guān)系判斷兩平面平行與垂直即可得出答案.
【詳解】
A.若，，，相當(dāng)于兩平面的法向量垂直，兩個平面垂直，A正確；
B.若，，則，又，則平面內(nèi)存在直線，所以，所以，B正確；
C.若，，，則可能相交，可能平行，C錯誤；
D.若，，，則的法向量平行，所以，D正確.
故選：C.
33．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知為異面直線，平面，平面．直線滿足，，則（ ）
A．且
B．且
C．與相交，且交線垂直于
D．與相交，且交線平行于
【答案】D
【分析】
由已知條件，結(jié)合線面平行、線面垂直的判定與性質(zhì)，即可得出正確結(jié)論.
【詳解】
由平面， ，且，所以，又平面，，所以，故B錯誤，由直線為異面直線，且平面平面，則與相交，否則，若則推出，與異面矛盾，所以相交，且交線平行于，故AC錯誤，D正確.
故選：D．
34．（2022·全國·高三專題練習(xí)）下列命題中錯誤的是（ ）
A．如果平面平面，那么平面內(nèi)一定存在直線平行于平面
B．如果平面平面，那么平面內(nèi)所有直線都垂直于平面
C．如果平面平面，平面平面，，那么平面
D．如果平面不垂直于平面，那么平面內(nèi)一定不存在直線垂直于平面
【答案】B
【分析】
對選項A，B，C可通過作圖證明，對D，可以運(yùn)用反證法的思維方式證明正確性.
【詳解】
對A，如圖，平面平面，，，若，由線面平行的判定定理可得，故A正確；由A可知，B錯誤；
對C，如圖，設(shè)，，在內(nèi)直線外任取一點(diǎn)，作，因為平面平面，所以，所以，作，因為平面平面，所以，所以，又因為，所以平面，故C正確；
對D，若平面內(nèi)存在直線垂直于平面，根據(jù)面面垂直的判定，則有平面垂直于平面，與平面不垂直于平面矛盾，所以根據(jù)逆否命題可知，如果平面不垂直于平面，那么平面內(nèi)一定不存在直線垂直于平面，故D正確.
故選：B
35．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知直二面角，直線在平面上，直線在平面上，且直線與直線不垂直，直線與直線不垂直，則以下判斷正確的是（ ）
A．與可能垂直，但不可能平行
B．與可能垂直，也可能平行
C．與不可能垂直，但可能平行
D．與不可能垂直，也不可能平行
【答案】C
【分析】
利用空間中兩直線的位置關(guān)系求解．
【詳解】
解：是直二面角，直線在平面內(nèi)，直線在平面內(nèi)，且、與均不垂直，
當(dāng)，且時，由平行公理得，即，可能平行，故與錯誤；
當(dāng)，垂直時，則與在內(nèi)的射影垂直，由于二面角是直二面角，在內(nèi)的射影即為，則可證得，與已知矛盾，
與不可能垂直，有可能平行．
故選：C．
36．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在正方體中P，Q分別是和的中點(diǎn)，則下列判斷錯誤的是（ ）
A．B．平面
C．D．平面
【答案】D
【分析】
取中點(diǎn)，連接，通過證明平面可判斷A；分別取中點(diǎn)，連接，可證明，即可證明，可判斷C；進(jìn)一步即可證明平面判斷B；根據(jù)平面可判斷D.
【詳解】
取中點(diǎn)，連接，因為P，Q分別是和的中點(diǎn)，易得，又，平面，平面，，故A正確；
分別取中點(diǎn)，連接，易得且，
所以四邊形為平行四邊形，，又，，故C正確；
，，又，，平面，故B正確；
平面即為平面，顯然平面，故D錯誤.
故選：D.
37．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，在四邊形中，，將沿折起，使得平面平面，構(gòu)成四面體，則下列說法正確的是（ ）
A．平面平面B．平面平面
C．平面平面D．平面平面
【答案】D
【分析】
在四邊形中，由已知條件可得，而在四面體中，由平面平面，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理可得平面，從而有，再由線面垂直的判定定理可得平面，再利用面面垂直的判定定理可得結(jié)論
【詳解】
∵在四邊形中，，
∴，∵，
∴，
∴，∴．
又在四面體中，平面平面，且平面平面，故平面，∴，又，∴平面，
又平面，∴平面平面．
故選：D
二、填空題
38．（2021·黑龍江·佳木斯一中高三階段練習(xí)（理））在直三棱柱中，.若該直三棱柱的外接球表面積為，則此三棱柱的高為__________.
【答案】
【分析】
由題意畫出圖形，把直三棱柱補(bǔ)形為正四棱柱，設(shè)其高為，把正四棱柱外接球的半徑用含有的代數(shù)式表示，代入球的表面積公式求解．
【詳解】
在直三棱錐中，
，，又，
直三棱柱的底面為等腰直角三角形，
把直三棱柱補(bǔ)成正四棱柱，則正四棱柱的體對角線是其外接球的直徑，
設(shè)，分別為，的中點(diǎn)，則的中點(diǎn)為球心，
設(shè)直三棱柱的高為，則球的半徑，
故表面積為，解得．
故答案為：
39．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知在四面體中，，則四面體的外接球表面積為______.
【答案】
【分析】
把四面體補(bǔ)成為一個長方體，利用長方體求出外接球的半徑，即可求出外接球表面積.
【詳解】
對于四面體中，因為，
所以可以把四面體還原為一個長方體，如圖：
設(shè)從同一個頂點(diǎn)出發(fā)的三條邊長分別為x、y、z，則有：
，解得：
點(diǎn)A、B、C、D均為長、寬、高分別為，，的長方體的頂點(diǎn)，
且四面體的外接球即為該長方體的外接球，
于是長方體的體對角線即為外接球的直徑，
不妨設(shè)外接球的半徑為，∴，
∴外接球的表面積為.
故答案為：.
40．（2022·全國·高三專題練習(xí)）正六棱柱的底面邊長為4，高為6，則它的外接球(正六棱柱的頂點(diǎn)都在此球面上)的表面積為____．
【答案】100π
【分析】
根據(jù)正六棱柱與外接球的關(guān)系求得球半徑后可得球表面積．
【詳解】
依題意，該正六棱柱的外接球的球心應(yīng)是上、下底面中心連線的中點(diǎn)，∴其半徑等于＝5，其表面積等于4π×25＝100π.
故答案為：．
41．（2021·廣西柳州·高三開學(xué)考試（文））已知長方體中，，，，則該長方體的外接球（長方體的八個頂點(diǎn)都在球面上）的表面積等于___________.
【答案】
【分析】
根據(jù)長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線，求得外接球的半徑即可.
【詳解】
因為長方體中，，，，
且長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線，
所以，
解得，
所以外接球的表面積為 ，
故答案為：
42．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））若球О是直三棱柱的外接球，三棱柱的高和體積都是4，底面是直角三角形，則球О表面積的最小值是___________.
【答案】
【分析】
由題意作圖，可得外接球半徑R滿足，根據(jù)題意可得，
由球的表面積公式可得，結(jié)合基本不等式即可得出結(jié)果.
【詳解】
由題意得，在底面直角三角形中，設(shè)，，如圖，
設(shè)三棱柱的外接球的半徑為R，則，
又三棱柱的高和體積都為4，所以，得，
所以三棱柱外接球的表面積為：
(當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立)，
所以外接球的表面積的最小值為.
故答案為：
43．（2021·甘肅白銀·模擬預(yù)測（理））已知四棱錐的底面是矩形，其中，側(cè)棱底面，且直線與所成角的余弦值為，則四棱錐的外接球表面積為___________.
【答案】
【分析】
利用異面直線所成的角可求的長度，將四棱錐補(bǔ)成長方體后可求外接球的直徑，從而可求外接球的表面積.
【詳解】
如圖，因為，故或其補(bǔ)角為異面直線與所成的角，
因為平面，平面，故，
故為銳角，故，故，故.
將該四棱錐補(bǔ)成如圖所示的長方體：
則該長方體的外接球即為四棱錐的外接球，其直徑為，
故表面積為.
故答案為：.
44．（2020·重慶市第二十九中學(xué)校高三階段練習(xí)）已知某圓柱的側(cè)面積為，當(dāng)此圓柱的外接球體積最小時，它的高為________.
【答案】
【分析】
設(shè)圓柱的底面半徑為，高為，圓柱的外接球半徑為，
由圓柱的側(cè)面積公式可得，外接球的體積最小即外接球的半徑最小，再由勾股定理結(jié)合基本不等式求最值.
【詳解】
設(shè)圓柱的底面半徑為，高為，圓柱的外接球半徑為，
則，即，
外接球的體積最小即最小，，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故此時.
故答案為：.
45．（2021·全國·高三專題練習(xí)）已知正三棱柱的體積為54，，記三棱柱的外接球為球，則外接球的表面積是__________．
【答案】
【分析】
先求出底面三角形的面積，以及底面外接圓半徑，根據(jù)體積，得出正三棱柱的高，進(jìn)而可求出外接球的半徑，從而可得出外接球的表面積.
【詳解】
因為正三棱柱的底面積，
底面外接圓半徑，
所以正三棱柱的高，
所以外接球的半徑，則，
故答案為：．
46．（2019·全國·高三專題練習(xí)）已知棱長為的正方體的外接球表面積等于內(nèi)切球體積的6倍，則實數(shù)________．
【答案】3
【分析】
由正方體外接球的直徑為正方體的體對角線的長，內(nèi)切球的直徑為正方體的棱長，求正方體外接球與內(nèi)接球的半徑，利用已知列出關(guān)于a的方程進(jìn)行求解.
【詳解】
設(shè)正方體的外接球半徑為R，內(nèi)接球半徑為r，則，，，，因為正方體的外接球表面積等于內(nèi)切球體積的6倍，所以，，解得，故答案為3.
【點(diǎn)睛】
本題考查空間想象能力，空間幾何體的面積與體積計算，常見組合體的關(guān)系，屬于中檔題.
47．（2019·天津·二模（文））球O是正方體ABCD?A1B1C1D1的外接球，若正方體ABCD?A1B1C1D1的表面積為S1，球O的表面積為S2，則S1S2=__________．
【答案】2π
【解析】
【分析】
分別計算正方體與外接球的表面積計算比值即可.
【詳解】
設(shè)正方體的棱長為a,其外接球的直徑為正方體的體對角線3a，即半徑r=3a2，則外接球的表面積S2=4πr2=4π3a24=3πa2，正方體的表面積S1=6a2，則S1S2=6a23πa2=2π.
故答案為：2π.
【點(diǎn)睛】
本題考查正方體的與球的組合體，其中正方體的外接球的直徑為正方體的體對角線，內(nèi)切球的直徑為正方體的棱長，與正方體各側(cè)棱相切的球的直徑為正方體的面對角線.
48．（2021·寧夏·六盤山高級中學(xué)一模（文））三棱錐中，面，，，則三棱錐的外接球表面積為________.
【答案】
【分析】
根據(jù)題中條件，得到，可將該三棱錐放在一個底面邊長為，高為的長方體中，該三棱錐的外接球，即是該長方體的外接球，設(shè)外接球半徑為，根據(jù)題中條件求出半徑，即可得出球的表面積.
【詳解】
因為面，，，
所以，則，
所以可將該三棱錐放在一個底面邊長為，高為的長方體中，如圖；
則該三棱錐的外接球，即是該長方體的外接球，設(shè)外接球半徑為，
又長方體的外接球直徑等于體對角線的長，
則，
所以三棱錐的外接球表面積為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查求幾何體外接球的表面積，熟記球的表面積公式，以及幾何體的結(jié)構(gòu)特征即可，屬于?？碱}型.
表面積
柱體
為直截面周長
椎體
臺體
球
體積
柱體
椎體
臺體
球

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