1.證明空間中直線、平面的平行關系
（1）證明直線與平面平行的常用方法：
①利用定義，證明直線與平面沒有公共點，一般結合反證法證明；
②利用線面平行的判定定理，即線線平行線面平行.輔助線的作法為：平面外直線的端點進平面，同向進面，得平行四邊形的對邊，不同向進面，延長交于一點得平行于第三邊的線段；
③利用面面平行的性質定理，把面面平行轉化成線面平行；
（2）證明面面平行的常用方法：
①利用面面平行的定義，此法一般與反證法結合；
②利用面面平行的判定定理；
③利用兩個平面垂直于同一條直線；
④證明兩個平面同時平行于第三個平面.
（3）證明線線平行的常用方法：①利用直線和平面平行的判定定理；②利用平行公理；
2.證明空間中直線、平面的垂直關系
（1）證明線線垂直的方法
①等腰三角形底邊上的中線是高；
②勾股定理逆定理；
③菱形對角線互相垂直；
④直徑所對的圓周角是直角；
⑤向量的數(shù)量積為零；
⑥線面垂直的性質（）；
⑦平行線垂直直線的傳遞性（∥）.
（2）證明線面垂直的方法
①線面垂直的定義；
②線面垂直的判定（）；
③面面垂直的性質（）；
平行線垂直平面的傳遞性（∥）；
⑤面面垂直的性質（）.
（3）證明面面垂直的方法
①面面垂直的定義；
②面面垂直的判定定理（）.
【典型例題】
例1．（2021·四川省廣安代市中學校高二階段練習（文））如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，E，F(xiàn)分別為PC，BD的中點，側面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD.
（1）求證：平面PAD；
（2）求三棱錐C-PBD的體積.
例2．（2021·海南·海港學校高三階段練習）如圖，在四棱錐中，平面，∥，，，分別是棱的中點．
（1）求證：∥平面.
（2）求證：平面⊥平面.
例3．（2021·廣西河池·高一階段練習）如圖，四邊形ABED為梯形，，，平面ABED，M為AD中點
（1）求證：平面⊥平面PBM
（2）探究在PD上是否存在點G，使得平面PAB，若存在求出G點，若不存在說明理由．
例4．（2021·山東濰坊·高二階段練習）如圖，已知在長方體中，，，分別為，，的中點，為線段上非端點的動點，且，，設而與底面的交線為直線，
（1）證明：；
（2）當時，證明：為平面的一條垂線.
【技能提升訓練】
1．（2021·江蘇·蘇州市相城區(qū)陸慕高級中學高一階段練習）如圖，P為平行四邊形所在平面外一點，，分別是，的中點，平面平面于直線.
（1）判斷與平面的位置關系，并證明你的結論；
（2）判斷與的位置關系，并證明你的結論.
2．（2021·江蘇·南京市中華中學高一期中）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，分別為，，的中點.
（1）求證：平面；
（2）記平面與底面的交線為，試判斷直線與平面的位置關系，并證明.
3．（2020·江西·贛州市第一中學高二階段練習（文））如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，PA = AB，點F是PB的中點，點E在邊BC上運動.
（1）當點E為BC的中點時，試判斷EF與平面PAC的位置關系，并說明理由；
（2）證明：無論點E在邊BC的何處，都有PE⊥AF.
4．（2021·貴州·高二學業(yè)考試）如圖，在正方體中，為的中點.

（1）求證：平面；
（2）判斷與平面的位置關系，并說明理由.
5．（2021·四川自貢·三模（文））如圖1，由正方形ABCD、直角三角形ABE和直角三角形CDF組成的平面圖形，其中AB＝AE＝DF＝2，將圖形沿AB、CD折起使得E、F重合于P，如圖2．
（1）求四棱錐P﹣ABCD的體積；
（2）判斷圖2中平面PAB和平面PCD的交線l與平面ABCD的位置關系，并說明理由．
6．（2021·江蘇·高一專題練習）如圖，已知三棱柱的側棱與底面垂直，，、分別是、的中點．
（1）證明：；
（2）判斷直線和平面的位置關系，并加以證明．
7．（2021·全國·高二專題練習）如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分別是AB，A1D1的中點.判斷直線MN與平面BB1D1D的位置關系，并說明理由.
8．（2021·四川·石室中學高三期末（文））如圖（1），在矩形中，，在邊上，.沿，，將和折起，使平面和平面都與平面垂直，如圖（2）.
（1）試判斷圖（2）中直線與的位置關系，并說明理由；
（2）若平面平面，證明平面.
9．（2020·北京·高一期末）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是菱形，，平面ABCD，，，.
（1）求證：直線平面PNC；
（2）在AB上是否存在一點E，使平面PDE，若存在，確定E的位置，并證明，若不存在，說明理由；
（3）求三棱錐的體積.
10．（2020·福建·高二學業(yè)考試）如圖，四棱錐中，底面是矩形，平面，且，．
（1）求四棱錐的體積；
（2）若分別是棱的中點，則與平面的位置關系是______，在下面三個選項中選取一個正確的序號填寫在橫線上，并說明理由．
①平面；
②平面；
③與平面相交．
11．（2021·廣東·佛山一中高二期中）如圖甲，直角梯形中，，，為中點，在上，且，已知，現(xiàn)沿把四邊形折起（如圖乙），使平面平面.
（1）求證：平面；
（2）求證：平面平面.
12．（2022·上海長寧·高二期末）在矩形中，是的中點，是上，，且，如圖，將沿折起至：
（1）指出二面角的平面角，并說明理由；
（2）若，求證：平面平面；
（3）若是線段的中點，求證：直線平面；
13．（2021·遼寧大連·高三學業(yè)考試）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的菱形，，平面，、分別為、的中點.
（1）求三棱錐的體積；
（2）證明：平面.
14．（2021·四川·樂山市教育科學研究所一模（文））《九章算術》中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為“陽馬”.在如圖所示的“陽馬”中，側棱底面，，點是的中點，作交于點.
（1）求證：平面；
（2）求證：平面.
15．（2022·全國·高三專題練習（文））如圖，在四棱錐P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠BAD=90°，BC=2AD，E為線段BC的中點．
（1）求證：平面PDE⊥平面PAD；
（2）在線段BD上是否存在點F，使得EF//平面PCD？若存在，求出點F的位置；若不存在，請說明理由；
（3）若AB=1，DC=，PA=2，求四棱錐P—ABCD的體積．
16．（2021·全國·高二單元測試）如圖，邊長為2的正方形所在的平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點.
（1）證明：平面平面；
（2）在線段上是否存在點，使得平面，說明理由.
17．（2021·寧夏·銀川唐徠回民中學高二階段練習）如圖，直三棱柱中，，．
（1）求證：；
（2）在棱上是否存在點K，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
18．（2021·寧夏·銀川市第六中學高二階段練習）如圖，在四棱錐中，平面，，.
（1）求證：平面.
（2）求證：平面平面.
（3）設點為的中點，在棱上是否存在點，使得平面？說明理由.
19．（2021·陜西·西安中學高一階段練習）如圖所示，已知點P是平行四邊形所在平面外一點，M，N，Q分別，，的中點，平面平面．
（1）證明平面平面；
（2）求證：．
20．（2021·黑龍江·哈爾濱三中高三階段練習（理））如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，平面平面，，，分別為，的中點．
（1）求證：平面平面；
（2）求證：平面平面．
21．（2021·山西呂梁·高三階段練習（文））如圖，在四棱錐中，底面直角梯形，，，是等邊三角形，且，.
（1）設平面平面，求證：平面；
（2）若，求證：平面平面.
22．（2021·全國·高一單元測試）如圖所示，已知多面體ABCDFE中，四邊形ABCD為矩形，，，平面平面ABCD，O，M分別為AB，F(xiàn)C的中點．
（1）求證：；
（2）求證：平面DAF；
（3）若過EF的平面交BC于點G，交AD于點H，求證：．
23．（2020·廣東揭東·高一期末）如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，，，，為與的交點，為棱上一點
（1）證明：平面；
（2）若平面，求三棱錐的體積.
24．（2021·全國·高一課時練習）在三棱柱中，
（1）若分別是的中點，求證：平面平面.
（2）若點分別是上的點，且平面平面，試求的值．
25．（2021·上海浦東新·高二期中）已知是矩形所在平面外一點，，分別是，的中點，求證：平面.
26．（2021·全國·高一課前預習）如圖，平面平面，四邊形為矩形，和均為等腰直角三角形，且.
（1）求證：平面平面；
（2）若點為線段上任意一點，求證：平面.
27．（2021·全國·高二課時練習）如圖，在直三棱柱中，，，點D，E，F(xiàn)分別為棱，，的中點．求證：
(1)平面DEF；
(2)平面平面DEF．
28．（2022·全國·高三專題練習）如圖，四棱臺中，底面為直角梯形，，， ，為棱的中點，證明：平面.
29．（2022·全國·高三專題練習）如圖，在多面體中，是矩形，是正方形，點為的中點，求證：平面.
30．（2021·河南·高三階段練習（文））如圖所示，在四棱錐中，，，為等邊三角形，且平面ADE平面BCDE，F(xiàn)為棱AC的中點．
（1）求四棱錐的體積；
（2）證明：．
31．（2021·河南·溫縣第一高級中學高三階段練習（文））如圖，直四棱柱中，上下底面為等腰梯形，．，，為線段的中點．
（1）證明：平面平面；
（2）設為線段上一點，試確定點的位置，使平面平面．
32．（2021·貴州·高三階段練習（文））如圖，在四棱錐中，已知，，，，且平面.
（1）證明：平面平面.
（2）若是上一點，且平面，求三棱錐的體積.
33．（2021·貴州畢節(jié)·模擬預測（文））如圖1，正方形中，，，將四邊形沿折起到四邊形的位置，使得(如圖2)．
（1）證明：平面平面；
（2）若分別為的中點，求三棱錐的體積．
34．（2021·四川·涼山彝族自治州教育科學研究所一模（文））圖1是，，，、分別是邊、上的兩點，且，將沿折起使得，如圖2.
（1）證明：圖2中，；
（2）圖2中，求三棱錐的體積.
35．（2021·廣西玉林·模擬預測（文））如圖所示的四棱錐中，底面為正方形，平面平面，，，分別是，，的中點，，．
（1）求證：平面；
（2）求三棱錐的體積．
36．（2019·廣東·順德一中高二期中）如圖，在四棱錐中，，，，平面平面，，是的中點.求證：
（1）底面；
（2）平面．
37．（2021·黑龍江·大慶中學高三期中（文））如圖，在三棱柱中，平面平面，是的中點．
（1）證明：；
（2）求三棱錐的體積．
38．（2021·四川·高三階段練習（文））如圖，在四棱錐中，平面，底面為直角梯形，，，且，，為的中點．
（1）證明：平面．
（2）過，，作四棱錐的截面，請寫出作法和理由，并求截面的面積．
39．（2021·云南·高三階段練習（文））已知ABCD是邊長為2的正方形，平面平面DEC，直線AE，BE與平面DEC所成的角都為45°.
（1）證明：.
（2）求四棱錐E-ABCD的體積V.
第24講 平行垂直問題
【知識點總結】
1.證明空間中直線、平面的平行關系
（1）證明直線與平面平行的常用方法：
①利用定義，證明直線與平面沒有公共點，一般結合反證法證明；
②利用線面平行的判定定理，即線線平行線面平行.輔助線的作法為：平面外直線的端點進平面，同向進面，得平行四邊形的對邊，不同向進面，延長交于一點得平行于第三邊的線段；
③利用面面平行的性質定理，把面面平行轉化成線面平行；
（2）證明面面平行的常用方法：
①利用面面平行的定義，此法一般與反證法結合；
②利用面面平行的判定定理；
③利用兩個平面垂直于同一條直線；
④證明兩個平面同時平行于第三個平面.
（3）證明線線平行的常用方法：①利用直線和平面平行的判定定理；②利用平行公理；
2.證明空間中直線、平面的垂直關系
（1）證明線線垂直的方法
①等腰三角形底邊上的中線是高；
②勾股定理逆定理；
③菱形對角線互相垂直；
④直徑所對的圓周角是直角；
⑤向量的數(shù)量積為零；
⑥線面垂直的性質（）；
⑦平行線垂直直線的傳遞性（∥）.
（2）證明線面垂直的方法
①線面垂直的定義；
②線面垂直的判定（）；
③面面垂直的性質（）；
平行線垂直平面的傳遞性（∥）；
⑤面面垂直的性質（）.
（3）證明面面垂直的方法
①面面垂直的定義；
②面面垂直的判定定理（）.
【典型例題】
例1．（2021·四川省廣安代市中學校高二階段練習（文））如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，E，F(xiàn)分別為PC，BD的中點，側面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD.
（1）求證：平面PAD；
（2）求三棱錐C-PBD的體積.
【解析】
（1）連接，如下圖所示：
因為為中點，且底面ABCD是邊長為2的正方形，
所以為中點，
又因為為中點，
所以，
因為平面，平面，
所以平面.
（2）取的中點，連接，如下圖所示：
因為PA=PD=AD，所以且，
從而，則，
因為側面PAD⊥底面ABCD，平面平面，平面，
所以平面，
因為的面積，
所以的體積，
故三棱錐C-PBD的體積.
例2．（2021·海南·海港學校高三階段練習）如圖，在四棱錐中，平面，∥，，，分別是棱的中點．
（1）求證：∥平面.
（2）求證：平面⊥平面.
【解析】
（1）設,連接,,
∥，,是棱的中點, ∥，,
四邊形為平行四邊形，是棱的中點,∥,
又平面,平面,∥平面.
（2）(方法一)⊥平面,平面,.
∥，,是棱的中點, ∥，,
四邊形為平行四邊形，∥，.
,四邊形為菱形，,
平面,平面,平面,
又平面，平面⊥平面.
（方法二）連接,
平面,平面,
∥,,
平面,平面,,
是棱的中點, ,
由（1）可知，,,
又是棱的中點, ,
平面,平面,平面.
又平面,平面⊥平面.
例3．（2021·廣西河池·高一階段練習）如圖，四邊形ABED為梯形，，，平面ABED，M為AD中點
（1）求證：平面⊥平面PBM
（2）探究在PD上是否存在點G，使得平面PAB，若存在求出G點，若不存在說明理由．
【解析】
（1）證明：連接，因為，，為的中點，所以四邊形為菱形，所以，因為平面ABED，平面ABED，所以，因為，面，所以平面，又平面，所以平面平面；
（2）解：當為的中點時，平面，
證明：如圖連接，，因為為的中點，為的中點，所以，平面，平面，所以平面，由（1）可知，平面，平面，所以平面，又，平面，所以平面平面，因為平面，所以平面；
例4．（2021·山東濰坊·高二階段練習）如圖，已知在長方體中，，，分別為，，的中點，為線段上非端點的動點，且，，設而與底面的交線為直線，
（1）證明：；
（2）當時，證明：為平面的一條垂線.
【解析】
（1）連結，因為，為，的中點，
所以.
又因為，
所以，
又因為平面，平面,
所以平面，
又因為平面，平面平面，
所以.
（2）連接，，
，同理可得，
因為，所以，
同理，
又因為，所以平面，
所以為平面的一條垂線.
【技能提升訓練】
1．（2021·江蘇·蘇州市相城區(qū)陸慕高級中學高一階段練習）如圖，P為平行四邊形所在平面外一點，，分別是，的中點，平面平面于直線.
（1）判斷與平面的位置關系，并證明你的結論；
（2）判斷與的位置關系，并證明你的結論.
【答案】（1）平面，證明見解析；（2），證明見解析.
【分析】
（1）取PD中點E，連接AE，NE，可得，且，又M為AB中點，可得，且，所以四邊形AMNE為平行四邊形，可得，根據(jù)線面平行的判定定理，可證平面.
（2）根據(jù)線面平行的判定定理，可證平面，又平面PBC，結合題意，根據(jù)線面平行的性質定理，可證.
【詳解】
（1）平面，證明如下：
取PD中點E，連接AE，NE，
因為N，E分別為PC，PD中點，
所以，且，
又M為AB中點，，，
所以，且，
所以四邊形AMNE為平行四邊形，
所以，
又平面，平面，
所以平面.
（2），證明如下：
因為，平面，平面，
所以平面，
又平面PBC，且平面平面，
根據(jù)線面平行的性質定理可得.
2．（2021·江蘇·南京市中華中學高一期中）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，分別為，，的中點.
（1）求證：平面；
（2）記平面與底面的交線為，試判斷直線與平面的位置關系，并證明.
【答案】（1）證明見解析；（2）直線面，證明見解析.
【分析】
（1）證明，利用線面平行的判定定理即可求證；
（2）由三角形中位線性質可得：，可證明面，由線面平行的性質定理可得，由線面平行的判定定理即可證明直線面.
【詳解】
（1）因為分別為，的中點，所以，
因為底面是菱形，所以，所以，
因為平面，平面，
所以平面，
（2）直線與平面平行，證明如下：
因為分別為，的中點，
所以，
因為面，面，所以面，
因為平面與底面的交線為，面，
由線面平行的性質定理可得，
因為，所以，
因為面，面，
所以直線面.
3．（2020·江西·贛州市第一中學高二階段練習（文））如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，PA = AB，點F是PB的中點，點E在邊BC上運動.
（1）當點E為BC的中點時，試判斷EF與平面PAC的位置關系，并說明理由；
（2）證明：無論點E在邊BC的何處，都有PE⊥AF.
【答案】（1）EF//面PAC，理由見解析；（2）證明見解析.
【分析】
（1）當點E為BC的中點時，EF//面PAC，可由線面平行的判定定理給出證明；
（2）轉化為證明AF⊥平面PBC即可.
【詳解】
（1）當點E為BC的中點時，EF//平面PAC. 理由如下：
∵點E，F(xiàn)分別是BC，PB的中點，∴EF//PC，
又平面，平面，∴EF//平面PAC.
（2）證明：∵PA⊥平面ABCD，平面，∴BC⊥PA，
又四邊形ABCD是矩形，∴BC⊥AB，又PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，
又平面，∴ AF⊥BC.
又PA = AB，點F是PB的中點，
∴AF⊥PB，又PB∩BC=B，
∴AF⊥平面PBC ，又平面， ∴AF⊥PE.
所以，無論點E在邊BC的何處，都有PE⊥AF.
4．（2021·貴州·高二學業(yè)考試）如圖，在正方體中，為的中點.

（1）求證：平面；
（2）判斷與平面的位置關系，并說明理由.
【答案】（1）證明見解析；（2）平面，理由見解析.
【分析】
（1）利用正方形的性質可得出，由正方體的幾何性質以及線面垂直的性質可得出，利用線面垂直的判定定理可證得結論成立；
（2）設，連接，利用中位線的性質可得出，再利用線面平行的判定定理可得出結論.
【詳解】
（1）四邊形是正方形，，
在正方體中，平面，
平面，，
，因此，平面；
（2）平面，理由如下：
證明：設，連接，
、分別為、的中點，，
平面，平面，因此，平面.
5．（2021·四川自貢·三模（文））如圖1，由正方形ABCD、直角三角形ABE和直角三角形CDF組成的平面圖形，其中AB＝AE＝DF＝2，將圖形沿AB、CD折起使得E、F重合于P，如圖2．
（1）求四棱錐P﹣ABCD的體積；
（2）判斷圖2中平面PAB和平面PCD的交線l與平面ABCD的位置關系，并說明理由．
【答案】（1）；（2）l∥平面ABCD；答案見解析．
【分析】
（1）根據(jù)線面垂直的判定定理證出AB⊥平面PAD，進而可得平面PAD⊥平面ABCD，從而求出P到AD的距離即為四棱錐P﹣ABCD的高，再有錐體的體積公式即可求解.
（2）根據(jù)線面平行的判定定理可得AB∥平面PCD，再由線面平行的性質定理可得AB∥l，由線面平行的判定定理即可證明.
【詳解】
解：（1）由圖1可知，AB⊥AE，CD⊥DF，
則圖2中，AB⊥PA，AB⊥PD，
∵PA∩PD＝P，∴AB⊥平面PAD，而AB?平面ABCD，
∴平面PAD⊥平面ABCD，
又是邊長為2的正三角形，
則P到AD的距離即為四棱錐P﹣ABCD的高，
∴；
（2）平面PAB和平面PCD的交線l∥平面ABCD．
理由如下：∵AB∥CD，AB?平面PCD，CD?平面PCD，
∴AB∥平面PCD，
AB?平面PAB，平面PAB∩平面PCD＝l，∴AB∥l，
而AB?平面ABCD，l?平面ABCD，
∴l(xiāng)∥平面ABCD．
6．（2021·江蘇·高一專題練習）如圖，已知三棱柱的側棱與底面垂直，，、分別是、的中點．
（1）證明：；
（2）判斷直線和平面的位置關系，并加以證明．
【答案】（1）證明見解析；（2）平面，證明見解析．
【分析】
（1）由題意及線面垂直的定理和定義先證平面，再證出；
（2）判斷出平面，設的中點為，連接、，證明出四邊形為平行四邊形，可得出，利用線面平行的判定定理可證得結論成立.
【詳解】
（1）由題意知，平面，平面，，
，，平面，
平面，；
（2）平面.
證明如下：設的中點為，連接、．
、分別是、的中點，且，
又且，故四邊形為平行四邊形，所以，且，
為的中點，則且，所以，且，
故四邊形為平行四邊形，則，
平面，平面，故平面.
【點睛】
方法點睛：常見的線面平行的證明方法有：
（1）通過面面平行得到線面平行；
（2）通過線線平行得到線面平行，在證明線線平行中，經(jīng)常用到中位線定理或平行四邊形的性質.
7．（2021·全國·高二專題練習）如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分別是AB，A1D1的中點.判斷直線MN與平面BB1D1D的位置關系，并說明理由.
【答案】平行，理由見解析.
【分析】
根據(jù)題意可取AD中點E，連接ME，NE，根據(jù)題知MEBD，NED1D，可得平面EMN平面BB1D1D，即面面平行，利用面面平行即可證明線面平行.
【詳解】
如圖，MN平面BB1D1D，
取AD中點E，連接ME，NE，
根據(jù)題知MEBD，NED1D，
因為平面EMN， ME?平面EMN，
所以平面EMN，同理平面EMN，
又，所以平面EMN平面BB1D1D，
因為MN?平面EMN，
故MN平面BB1D1D.
8．（2021·四川·石室中學高三期末（文））如圖（1），在矩形中，，在邊上，.沿，，將和折起，使平面和平面都與平面垂直，如圖（2）.
（1）試判斷圖（2）中直線與的位置關系，并說明理由；
（2）若平面平面，證明平面.
【答案】（1），理由見解析；（2）證明見解析.
【分析】
（1）連結，分別取，的中點，，連結，，，則由題意可得，，，而平面和平面都與平面垂直，所以平面，平面，得，進而得四邊形為平行四邊形，再利用平行公理可證得結論；
（2）由線面平行的判定定理可得面，再利用線面平行的性質定理可得，而由（1）可得平面，所以平面
【詳解】
（1）.理由如下：
連結，分別取，的中點，，連結，，，由圖（1）
可得，與都是等腰直角三角形且全等，則，，
∵平面平面，交線為，平面，
∴平面.
同理得，平面，∴.
又∵∴四邊形為平行四邊形，
∴.
∵，分別是，的中點，∴
∴.
（2）∵，平面，平面
∴面
∵平面，面平面
∴
由（1）知平面，
∴平面.
9．（2020·北京·高一期末）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是菱形，，平面ABCD，，，.
（1）求證：直線平面PNC；
（2）在AB上是否存在一點E，使平面PDE，若存在，確定E的位置，并證明，若不存在，說明理由；
（3）求三棱錐的體積.
【答案】（1）證明見解析；（2）E是AB中點，證明見解析；（3）.
【分析】
（1）在PC上取一點F，使，連接MF，NF，證明，，推出，即可得證；
（2）E是AB中點，證明，，利用線面垂直的判定定理即可證明平面PDE；
（3）證明為點到平面的距離，求出底面積，利用等體積法即可求解.
【詳解】
（1）在PC上取一點F，使，連接MF，NF，因為，，所以，，，，
可得且.
所以MFNA為平行四邊形，
即，
又平面，
所以直線平面.
（2）E是AB中點，證明如下：
因為E是AB中點，底面ABCD是菱形，，所以，
因為，所以， 即，
又平面ABCD，所以，
又，
所以直線平面PDE
（3）直線，且由（2）可知，DE為點A到平面PDC的距離，，
，
所以.
【點睛】
本題主要考查了直線與平面平行以及垂直的判斷，考查了等體積法求三棱錐的體積，屬于中檔題.
10．（2020·福建·高二學業(yè)考試）如圖，四棱錐中，底面是矩形，平面，且，．
（1）求四棱錐的體積；
（2）若分別是棱的中點，則與平面的位置關系是______，在下面三個選項中選取一個正確的序號填寫在橫線上，并說明理由．
①平面；
②平面；
③與平面相交．
【答案】（1）4；（2）②，理由見解析．
【分析】
（1）根據(jù)四棱錐體積公式直接計算；
（2）首先判斷平面，要證明線面平行，需證明線線平行，取的中點，連接，．根據(jù)條件證明四邊形是平行四邊形.
【詳解】
（1）因為平面，
所以．
（2）②，理由如下：
取的中點，連接，．
因為分別為，的中點，
所以，．
因為為的中點，所以，
又矩形中，，且，
所以，且，所以四邊形是平行四邊形．
所以．又平面，平面，
所以平面．
【點睛】
本題考查證明線面平行，幾何體的體積，重點考查邏輯推理，空間想象能力，計算能力，屬于基礎題型.
11．（2021·廣東·佛山一中高二期中）如圖甲，直角梯形中，，，為中點，在上，且，已知，現(xiàn)沿把四邊形折起（如圖乙），使平面平面.
（1）求證：平面；
（2）求證：平面平面.
【答案】
（1）證明見解析；
（2）證明見解析.
【分析】
（1）根據(jù)線面平行的判定定理得出平面，同理平面，再根據(jù)面面平行的判定定理得出平面平面，最后由面面平行的性質從而可證出平面；
（2）根據(jù)題意，由面面垂直的性質得出，結合，再根據(jù)面面垂直的判定定理，即可證明平面平面.
（1）
證明：由題意知，平面，平面，
所以平面，同理平面，
∵，∴平面平面，
又平面，
∴平面.
（2）
證明：在圖甲中，，，
∴，則在圖乙中，，
又∵平面平面，平面平面，
∴平面，得，
又∵，，∴平面，
而平面， ∴平面平面.
12．（2022·上海長寧·高二期末）在矩形中，是的中點，是上，，且，如圖，將沿折起至：
（1）指出二面角的平面角，并說明理由；
（2）若，求證：平面平面；
（3）若是線段的中點，求證：直線平面；
【答案】
（1）為二面角的平面角，理由見解析
（2）證明見解析
（3）證明見解析
【分析】
（1）根據(jù)，結合二面角定義得到答案.
（2）證明平面得到，得到平面，得到證明.
（3）延長，交于點，連接，證明即可.
（1）
連接，則，，故為二面角的平面角.
（2）
，，，故平面，平面，
故，又，，故平面，
平面，故平面平面.
（3）
延長，交于點，連接，易知，故
故是的中點，是線段的中點，故，
平面，且平面，故直線平面.
13．（2021·遼寧大連·高三學業(yè)考試）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的菱形，，平面，、分別為、的中點.
（1）求三棱錐的體積；
（2）證明：平面.
【答案】
（1）；
（2）證明見解析.
【分析】
（1）利用條件可得，結合棱錐的體積公式即求；
（2）取的中點，可證四邊形為平行四邊形，再利用線面平行的判定定理即證.
（1）
證明：設與的交點為，
因為底面是邊長為的菱形，所以，且，
因為，所以，
在中，，故，
所以.
因為平面，所以為三棱錐的高，
所以三棱錐的體積.
（2）
取的中點，連接、，
因為為的中點，所以且，
又因為為的中點，四邊形為菱形，所以且.
所以且.
故四邊形為平行四邊形，所以.
因為平面，平面，所以平面.
14．（2021·四川·樂山市教育科學研究所一模（文））《九章算術》中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為“陽馬”.在如圖所示的“陽馬”中，側棱底面，，點是的中點，作交于點.
（1）求證：平面；
（2）求證：平面.
【答案】
（1）證明見解析
（2）證明見解析
【分析】
（1）作出輔助線，利用中位線證明線線平行，進而證明線面平行；（2）由線面垂直得到線線垂直，進而證明線面垂直.
（1）
連接交于，連接，因為為矩形，所以為中點，又為中點，所以又平面，平面，所以平面.
（2）
因為側棱底面，平面，所以，
又為矩形，所以，，所以平面，平面，所以，因為為的中點，且，由三線合一得：，因為，所以平面，因為平面，從而，又，，所以平面.
15．（2022·全國·高三專題練習（文））如圖，在四棱錐P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠BAD=90°，BC=2AD，E為線段BC的中點．
（1）求證：平面PDE⊥平面PAD；
（2）在線段BD上是否存在點F，使得EF//平面PCD？若存在，求出點F的位置；若不存在，請說明理由；
（3）若AB=1，DC=，PA=2，求四棱錐P—ABCD的體積．
【答案】
（1）證明見解析；
（2）存在點F，F(xiàn)為BD的中點，理由見解析；
（3）1.
【分析】
（1）由題意，證明在平面PDE中的直線DE與平面PAD垂直即可；
（2）取BD的中點F，證明EF//CD即可；
（3）先求出底面直角梯形的面積，再利用錐體的體積公式即可求出四棱錐P—ABCD的體積.
（1）
證明：E為BC的中點，BC=2AD，
AD=BE，而AD//BC
四邊形ABED是平行四邊形，又∠BAD=90°，
DE⊥AD，
又PA⊥平面ABCD，
DE⊥PA，PA∩AD=A
DE⊥平面PAD，而DE平面PDE，
平面PDE⊥平面PAD
（2）
解：存在點F，且F為BD的中點，理由如下：
取BD的中點F，如上圖所示
E，F(xiàn)分別為BC，BD的中點，
EF//CD，而CD平面PCD，EF平面PCD，
EF//平面PCD
（3）
解：由條件可知BC=2，
所以梯形ABCD的面積為：
故四棱錐P-ABCD的體積為V=
16．（2021·全國·高二單元測試）如圖，邊長為2的正方形所在的平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點.
（1）證明：平面平面；
（2）在線段上是否存在點，使得平面，說明理由.
【答案】
（1）證明見解析
（2）存在，理由見解析
【分析】
（1）推導出平面，從而，推導出，從而平面，由此能證明平面平面；
（2）當為中點時，連結，，交于點，則是的中點，連結，推導出，從而平面．
（1）
證明：由題設知，平面平面， 平面平面，
，平面，平面，
平面，，
為上異于，的點，且為直徑，，
又，平面，
平面，平面平面；
（2）
解：在線段上存在點，當為中點時，使得平面．
證明如下：
連結，，交于點，
是矩形，是的中點，連結，
是中點，，
平面，平面，平面，
所以當為中點時，平面．
17．（2021·寧夏·銀川唐徠回民中學高二階段練習）如圖，直三棱柱中，，．
（1）求證：；
（2）在棱上是否存在點K，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
【答案】
（1）證明見解析
（2）當為中點時，平面，此時
【分析】
小問1：根據(jù)直三棱柱，得面面，結合，證明面，從而得到；
小問2：分別取，的中點為，，連接，證明，，進而證得面面，從而證得平面，得到的值.
（1）
因為為直三棱柱，故面面，
又面面，且，故面，
又面，故
（2）
分別取，的中點為，，連接，
因為，故為的中位線，為的中位線，
因此，
又面，故面
又為直三棱柱，故，即，
又面，故面
又，故面面
又面，故平面，
此時
18．（2021·寧夏·銀川市第六中學高二階段練習）如圖，在四棱錐中，平面，，.
（1）求證：平面.
（2）求證：平面平面.
（3）設點為的中點，在棱上是否存在點，使得平面？說明理由.
【答案】
（1）證明見解析
（2）證明見解析
（3）為中點.證明見解析
【分析】
（1）證明，，得到平面.
（2）根據(jù)得到平面，得到證明.
（3）為中點時，平面，，平面，且平面，得到答案.
（1）
平面，平面，故，，，
故平面.
（2）
，平面，故平面，平面，故平面平面.
（3）
當為中點時，平面.
證明如下：為中點，為的中點，故，
平面，且平面，故平面.
19．（2021·陜西·西安中學高一階段練習）如圖所示，已知點P是平行四邊形所在平面外一點，M，N，Q分別，，的中點，平面平面．
（1）證明平面平面；
（2）求證：．
【答案】
（1）證明見解析
（2）證明見解析
【分析】
（1）由線面平行、面面平行的判定即可證明.
（2）利用線面平行的性質定理即可證明.
（1）
證明：因為M，N，Q分別，，的中點，所以，
又平面ABCD,平面ABCD,
所以平面ABCD, 平面ABCD,
因為，平面MNQ,
所以平面平面，
（2）
證明：因為，平面，平面，
所以平面，
又平面平面，平面，
所以.
20．（2021·黑龍江·哈爾濱三中高三階段練習（理））如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，平面平面，，，分別為，的中點．
（1）求證：平面平面；
（2）求證：平面平面．
【答案】
（1）證明見解析
（2）證明見解析
【分析】
（1）由題意易知，平面，平面，根據(jù)面面平行的判定定理即可證出；
（2）根據(jù)平面知識可證，再根據(jù)面面垂直的性質定理可知平面，即可根據(jù)面面垂直的判定定理證出．
（1）
因為，分別為，的中點，所以，又平面，平面，所以平面①；因為且，所以四邊形為平行四邊形，即有，又平面，平面，所以平面②，由①②及，平面，所以平面平面．
（2）
由（1）可知，，所以，即有，而平面平面，
平面平面，所以平面，而平面，所以平面平面．
21．（2021·山西呂梁·高三階段練習（文））如圖，在四棱錐中，底面直角梯形，，，是等邊三角形，且，.
（1）設平面平面，求證：平面；
（2）若，求證：平面平面.
【答案】
（1）證明見解析；
（2）證明見解析.
【分析】
(1)利用線面平行的判定定理和性質即可證明；
(2)證明CD⊥AC，從而得到平面即可.
（1）
∵，平面，平面，
∴∥平面，
又平面平面，平面，
∴，
又平面，平面，∴平面；
（2）
作，垂足為M，
∵，，∴，
又，，∴四邊形為正方形，∴，
又，∴，∴，
又，∴，∴，
又，，，平面，∴平面，
∵平面，∴平面平面.
22．（2021·全國·高一單元測試）如圖所示，已知多面體ABCDFE中，四邊形ABCD為矩形，，，平面平面ABCD，O，M分別為AB，F(xiàn)C的中點．
（1）求證：；
（2）求證：平面DAF；
（3）若過EF的平面交BC于點G，交AD于點H，求證：．
【答案】
（1）證明見詳解
（2）證明見詳解
（3）證明見詳解.
【分析】
（1）利用面面垂直的性質定理證出，再由線面垂直的判定定理證明平面，由線面垂直的性質定理即可證明.
（2）取的中點，連接，利用線面平行的判定定理即可證明.
（3）由面面平行的性質定理即可證明.
（1）
平面平面ABCD，
平面平面ABCD，
在矩形ABCD中，，平面 ABCD，
平面，，
又，，平面，平面，
平面，
（2）
取的中點，連接，
分別為的中點，
，且，
，，
所以，且，
所以四邊形為平行四邊形，
所以，
平面DAF，平面DAF，
平面DAF.
（3）
，
過直線存在一個平面，
使得平面平面ABCD，
又過的平面交于，交于點，
平面ABCD，
，
23．（2020·廣東揭東·高一期末）如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，，，，為與的交點，為棱上一點
（1）證明：平面；
（2）若平面，求三棱錐的體積.
【答案】
（1）證明見解析；
（2）.
【分析】
（1）根據(jù)菱形性質和線面垂直性質可得，，由線面垂直的判定可得結論；
（2）連接，由線面平行性質可得，知為中點，由體積橋可得，根據(jù)長度關系可求得結果.
（1）
四邊形為菱形，；
平面，平面，；
平面，，平面；
（2）
連接，
平面，平面，平面平面，，
又為中點，為中點，
四邊形是菱形，，，，；
由（1）知：平面，
.
24．（2021·全國·高一課時練習）在三棱柱中，
（1）若分別是的中點，求證：平面平面.
（2）若點分別是上的點，且平面平面，試求的值．
【答案】（1）證明見解析；（2）1.
【分析】
（1）先證明平面，在證明平面，即可證明平面平面；
（2）連接交于O，連接，由題意先面面平行的性質證明，再由平行的性質結合題設即可求解
【詳解】
（1）∵分別是的中點，
∴，
∵平面，平面，
∴平面，
∵，，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
又∵平面，平面，
∴平面，
又∵，平面，
∴平面平面；
（2）連接交于O，連接，
由平面平面，且平面平面，
平面平面，
∴，
則，
又由題設，∴，即.
25．（2021·上海浦東新·高二期中）已知是矩形所在平面外一點，，分別是，的中點，求證：平面.
【答案】證明見解析
【分析】
解法1：取中點，連接，，由三角形中位線定理結合已知條件可得四邊形是平行四邊形，從而得，再利用線面平行的判定定理可證得結論，
解法2：取中點，連接，，則由三角形中位線定理和平行四邊形的性質可得，，再由面面平行的判定定理可得平面平面，然后由面面平行的性質可得結論
【詳解】
解法（1）取中點，連接，，
是中點，是中點，，，
是矩形邊中點，，，
，，所以四邊形是平行四邊形，
，且是平面外的一條直線，是平面上的一條直線，
平面.
解法（2）取中點，連接，，
是中點，是中點，所以，
因為是的中點，是的中點，
所以,
因為，，
所以， ,
所以四邊形為平行四邊形
所以，
因為平面，平面，平面，平面，
所以平面，平面，
因為
所以平面平面，
因為平面，所以平面.
26．（2021·全國·高一課前預習）如圖，平面平面，四邊形為矩形，和均為等腰直角三角形，且.
（1）求證：平面平面；
（2）若點為線段上任意一點，求證：平面.
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.
【分析】
（1）證明出平面，可得出，由已知條件得出，利用線面垂直、面面垂直的判定定理可證得結論成立；
（2）證明出平面平面，再利用面面平行的性質可證得平面.
【詳解】
（1）因為為矩形，所以，
又因為平面平面，平面，平面平面，所以平面，
又因為平面，所以，
因為，即，且、平面，，
所以平面.
又因為平面，所以平面平面；
（2）因為，平面，平面，所以平面.
因為和均為等腰直角三角形，且，
所以，所以，
又平面，平面，所以平面，
因為，所以平面平面.
又因為平面，所以平面.
27．（2021·全國·高二課時練習）如圖，在直三棱柱中，，，點D，E，F(xiàn)分別為棱，，的中點．求證：
(1)平面DEF；
(2)平面平面DEF．
【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.
【分析】
(1)首先證明平面平面，然后利用面面平行的性質即可證明線面平行；(2)首先利用正方形性質證明，然后利用線面垂直判定定理和性質證明，進而證明平面，最后利用面面垂直的判定定理即可求解.
【詳解】
(1)連接，如下圖：
因為點D，E，F(xiàn)分別為棱，，的中點，幾何體為直三棱柱，
所以，，
又因為，，，平面；，平面，
所以平面平面，
又因為平面，
所以平面.
(2) 因為，幾何體為直三棱柱，
所以四邊形為正方形，故，
因為，所以，
又因為，，，所以平面，
又因為平面，所以，
又因為，所以平面，
又因為平面，所以平面平面.
28．（2022·全國·高三專題練習）如圖，四棱臺中，底面為直角梯形，，， ，為棱的中點，證明：平面.
【答案】證明見解析
【分析】
延長CC1，BB1交于點V，在BB1上取點Q，使，再連BD交AC于點O，連接OQ，證明，即可推理作答.
【詳解】
在四棱臺中，在BB1上取點Q，使，連BD交AC于點O，連接OQ，如圖，
延長CC1，BB1交于點V，由，則，，
則，即，又平面，平面，于是得平面，
在直角梯形中，，則，于是得，又平面，平面，則平面，
又，平面OQC，因此得平面平面OQC，又平面OQC，
所以平面.
29．（2022·全國·高三專題練習）如圖，在多面體中，是矩形，是正方形，點為的中點，求證：平面.
【答案】證明見解析
【分析】
連AC交BD于點N，連MN，證明MN，BN都平行于平面EFC，再經(jīng)推理論證即可作答.
【詳解】
連接AC交BD于點N，連接MN，如圖，
因四邊形ABCD是正方形，則N為AC的中點，而M為AE的中點，于是得MN//CE，
又平面EFC，平面EFC，因此，MN//平面EFC，
在矩形中，，平面EFC，平面EFC，則BN//平面EFC，
而，平面BMN，從而得平面BMN//平面EFC，又平面BMN，
所以BM//平面EFC.
30．（2021·河南·高三階段練習（文））如圖所示，在四棱錐中，，，為等邊三角形，且平面ADE平面BCDE，F(xiàn)為棱AC的中點．
（1）求四棱錐的體積；
（2）證明：．
【答案】
（1）；
（2）證明見解析.
【分析】
(1)根據(jù)給定條件求出等腰梯形的面積，取DE中點O，連AO，證得平面即可計算作答.
(2)利用(1)中信息，證得平面，連FG，再證平面即可推理作答.
（1）
因，，則四邊形是等腰梯形，取CD中點G，連BG，如圖，
顯然有，，則四邊形是平行四邊形，，
于是得是正三角形，等腰梯形的高等于正的高，
等腰梯形的面積，
取DE中點O，連AO，為等邊三角形，則，而平面ADE平面BCDE，
平面ADE，平面ADE平面，因此，平面，又，
從而有，
所以四棱錐的體積是.
（2）
由(1)知，，，
在中，，
于是得，即，即有，
又平面，平面，則，而，平面，
因此有平面，而平面，則，
連FG，因F為棱AC的中點，G為CD的中點，則，于是得，
又，平面，從而得平面，因平面，
所以.
31．（2021·河南·溫縣第一高級中學高三階段練習（文））如圖，直四棱柱中，上下底面為等腰梯形，．，，為線段的中點．
（1）證明：平面平面；
（2）設為線段上一點，試確定點的位置，使平面平面．
【答案】
（1）證明見解析；
（2）點為中點.
【分析】
(1)根據(jù)給定條件可得，利用勾股定理證明即可證得平面平面.
(2)取的中點，證明和，利用面面平行的判定定理即可推理作答.
（1）
因為為直四棱柱，則平面，而平面，于是得，
在中，，，由余弦定理得，，
因此，，即，又，平面，則平面，又平面，
所以平面平面.
（2）
當點為中點時，平面平面，
連接，如圖，
在等腰梯形中，，
即，而，則四邊形為平行四邊形，即有，
因平面，平面，則有平面，
因為，，則四邊形為平行四邊形，有，而平面，平面，
因此，平面，又，
所以平面平面.
32．（2021·貴州·高三階段練習（文））如圖，在四棱錐中，已知，，，，且平面.
（1）證明：平面平面.
（2）若是上一點，且平面，求三棱錐的體積.
【答案】
（1）證明見解析
（2）
【分析】
（1）利用線面垂直證明面面垂直；
（2）設過點和的平面交平面于，根據(jù)線面平行的性質定理可證為平行四邊形，進而可得及三棱錐體積.
（1）
證明：因為，，所以，
因為平面，所以，
又，所以平面，
因為平面，
所以平面平面；
（2）
解：如圖，設過點和的平面交平面于，點在上，連接因為平面，則，
因為，且平面，所以平面，
又平面平面，所以.
所以四邊形為平行四邊形，則.
過點作，垂足為，則平面.
又，，可得，
所以.
33．（2021·貴州畢節(jié)·模擬預測（文））如圖1，正方形中，，，將四邊形沿折起到四邊形的位置，使得(如圖2)．
（1）證明：平面平面；
（2）若分別為的中點，求三棱錐的體積．
【答案】
（1）見解析；
（2）﹒
【分析】
（1）證明QM⊥AQ和QM⊥QP結合線面垂直、面面垂直的判定即可得證；
（2）根據(jù)幾何關系，利用，由錐體體積公式即可得解.
（1）
∵在正方形中，，，
∴QM⊥QP，，
又∵∠AMQ＝60°，∴在△AMQ中，由余弦定理得，
，
，
，
又∵?平面ABPQ，∴平面ABPQ，
又∵QM?平面MNPQ，∴平面平面；
（2）
由（1）知AQ⊥QM，QM⊥QP，
∵在正方形中，，，
∴四邊形CDMN為矩形
∴MN⊥AM，MN⊥DM，
∴MN⊥MQ，MN⊥MA，
∵MQ∩MA＝M，MQ、MA?平面AMQ，∴MN⊥平面AMQ，
∵MN?平面ABNM，∴平面ABNM⊥平面AMQ，
過Q作QH⊥AM于H，則QH⊥平面ABNM，即QH⊥平面BEF，
QH＝QMsin60°＝，
∴﹒
34．（2021·四川·涼山彝族自治州教育科學研究所一模（文））圖1是，，，、分別是邊、上的兩點，且，將沿折起使得，如圖2.
（1）證明：圖2中，；
（2）圖2中，求三棱錐的體積.
【答案】
（1）證明見解析；
（2）.
【分析】
（1）證明得出平面，利用線面垂直的性質可證得結論成立；
（2）證明出平面，計算出的面積，利用錐體的體積公式可求得結果.
（1）
證明：在圖1中，因為，則，，則，
在圖（2）中，則有，，，則平面，
平面，因此，.
（2）
解：在圖1中，因為，則，，
在圖2中，平面，，則平面，
因為，則，
故.
35．（2021·廣西玉林·模擬預測（文））如圖所示的四棱錐中，底面為正方形，平面平面，，，分別是，，的中點，，．
（1）求證：平面；
（2）求三棱錐的體積．
【答案】
（1）證明見解析；
（2）.
【分析】
(1)根據(jù)給定條件證得及即可推理作答.
(2)由給定條件可得點到平面的距離是點到平面的距離的，再借助三棱錐等體積法轉化求解即得.
（1）
在中，，為的中點，則，又平面平面，
平而平面，平而，于是得平面，
而平面，則，又底面是正方形，，分別是，的中點，即，
因，平面，
所以平而.
（2）
因為的中點，則點到平面的距離是點到平面的距離的，如圖，
因此，，
所以三棱錐的體積為.
36．（2019·廣東·順德一中高二期中）如圖，在四棱錐中，，，，平面平面，，是的中點.求證：
（1）底面；
（2）平面．
【答案】
（1）證明見解析.
（2）證明見解析.
【分析】
（1）根據(jù)面面垂直的性質定理，即可得證；
（2）根據(jù)已知條件可證，再由線面平行的判定定理，即可證明結論.
（1）
證明：因為平面PAD⊥底面ABCD，且，平面 底面ABCD，
所以PA⊥底面ABCD.
（2）
證明：因為AB∥CD，CD＝2AB，E為CD的中點，所以AB∥DE，且AB＝DE，
所以四邊形ABED為平行四邊形，所以BE∥AD.
又因為BE?平面PAD，AD?平面PAD，
所以BE∥平面PAD.
37．（2021·黑龍江·大慶中學高三期中（文））如圖，在三棱柱中，平面平面，是的中點．
（1）證明：；
（2）求三棱錐的體積．
【答案】
（1）證明見解析.
（2）.
【分析】
（1）連接，由平面幾何知識證得，根據(jù)面面垂直的性質可證得，再由線面垂直的判定和性質可得證；
（2）運用等體積法可求得三棱錐的體積．
（1）
證明：在三棱柱中，連接，
，，，
是等邊的邊的中點，，
平面平面，平面平面，所以平面，，
又平面，.
（2）
（2）由（1）知平面，
.
38．（2021·四川·高三階段練習（文））如圖，在四棱錐中，平面，底面為直角梯形，，，且，，為的中點．
（1）證明：平面．
（2）過，，作四棱錐的截面，請寫出作法和理由，并求截面的面積．
【答案】
（1）證明見解析
（2）作法和理由見解析；面積
【分析】
（1）由平面，得到,再由，證得，利用線面垂直的判定定理，證得平面，得到，結合，進而證得平面．
（2）過作，交于，連接，證得，得到過，，的截面為四邊形，由（1）知證得，結合直角梯形的面積公式，即可求解.
（1）
證明：因為平面，平面，所以,
又因為，，所以，
由且平面，所以平面，
又由平面，所以，
因為，為的中點，所以，
又因為且平面，所以平面．
（2）
解：如圖所示，過作，交于，連接，則截面為四邊形．
理由如下：
因為，，所以，所以，，，四點共面，
所以過，，的截面為四邊形，
由（1）知平面，因為平面，所以，
又由，
所以四邊形為直角梯形，其面積．
39．（2021·云南·高三階段練習（文））已知ABCD是邊長為2的正方形，平面平面DEC，直線AE，BE與平面DEC所成的角都為45°.
（1）證明：.
（2）求四棱錐E-ABCD的體積V.
【答案】
（1）證明見解析
（2）
【分析】
（1）已知平面平面DEC，，由面面垂直的性質定理即可證得線面垂直，進而證得結果；
（2）根據(jù)已知可求得.取CD的中點O，連接OE，可證得平面ABCD，根據(jù)四棱錐E-ABCD的體積.即可求得結果.
（1）
（1）證明：因為ABCD是正方形，所以.
因為平面平面DEC，平面平面，
所以平面DEC，
又平面DEC，所以.
（2）
解：因為，所以平面DEC，則和分別是直線AE，BE與平面DEC所成的角，即，
所以.
取CD的中點O，連接OE，所以.
因為平面平面DEC，平面平面，所以平面ABCD，即OE為四棱錐E-ABCD的高，且.
所以四棱錐E-ABCD的體積.

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