第25講 空間向量與立體幾何 【知識點總結】一、空間向量的數(shù)量積運算1.兩向量夾角已知兩個非零向量，，在空間任取一點，作，，則叫做向量，的夾角，記作，通常規(guī)定，如果，那么向量，互相垂直，記作.2.數(shù)量積定義已知兩個非零向量，，則叫做，的數(shù)量積，記作，即.零向量與任何向量的數(shù)量積為0，特別地，.3.空間向量的數(shù)量積滿足的運算律：，（交換律）；（分配律）.二、空間向量的坐標運算及應用（1）設，，則；；     ；     ；     ；     .（2）設，，則. 這就是說，一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示該向量的有向線段的終點的坐標減起點的坐標.（3）兩個向量的夾角及兩點間的距離公式.①已知，，則；；；；②已知，，則,或者.其中表示與兩點間的距離，這就是空間兩點的距離公式.（4）向量在向量上的射影為.（5）設是平面的一個法向量，，是內的兩條相交直線，則，由此可求出一個法向量（向量及已知）.（6）利用空間向量證明線面平行：設是平面的一個法向量，為直線的方向向量，證明，（如圖8-155所示）.已知直線（），平面的法向量，若，則.（7）利用空間向量證明兩條異面直線垂直：在兩條異面直線中各取一個方向向量，，只要證明，即.（8）利用空間向量證明線面垂直：即證平面的一個法向量與直線的方向向量共線.（9）證明面面平行、面面垂直，最終都要轉化為證明法向量互相平行、法向量互相垂直.（10）空間角公式.①異面直線所成角公式：設，分別為異面直線，上的方向向量，為異面直線所成角的大小，則.②線面角公式：設為平面的斜線，為的方向向量，為平面的法向量，為與所成角的大小，則.③二面角公式：設，分別為平面，的法向量，二面角的大小為，則或（需要根據(jù)具體情況判斷相等或互補），其中.（11）點到平面的距離為，，為平面的法向量，則.【典型例題】例1．（2022·全國·高三專題練習）如圖所示，在三棱錐中，側棱平面BCD，F為線段BD中點，，，.（1）證明：平面ABD；（2）設Q是線段AD上一點，二面角的正弦值為，求的值.   例2．（2022·全國·高三專題練習）如圖，在等腰直角三角形中，，，，，分別是，上的點，且，，分別為，的中點，現(xiàn)將沿折起，得到四棱錐，連結.（1）證明：平面；（2）在翻折的過程中，當時，求平面與平面夾角的余弦值.   例3．（2022·全國·高三專題練習）在棱長為1的正方體中，為線段的中點，為線段的中點.（1）求點到直線的距離；（2）求直線到平面的距離.    例4．（2022·全國·高三專題練習）如圖，在四棱錐中，底面，底面為梯形，，，且．（Ⅰ）若點為上一點且，證明：平面；（Ⅱ）求二面角的大??；（Ⅲ）在線段上是否存在一點，使得?若存在，求出的長；若不存在，說明理由．       例5.（2022·全國·高三專題練習）如圖，在正方體中，為的中點.（1）證明：平面；（2）求直線到平面的距離；（3）求平面與平面夾角的余弦值.        【技能提升訓練】一、單選題1．（2022·全國·高三專題練習）如圖，在直三棱柱中，，分別是棱的中點，則異面直線與所成角的大小為（    ）A． B． C． D．2．（2022·全國·高三專題練習）如圖，在四棱錐中，底面，底面為正方形，，為的中點，為的中點，則異面直線與所成角的正弦值為（    ）A． B． C． D．3．（2022·全國·高三專題練習）如圖，在圓錐中，，為底面圓的兩條直徑，，且，，，異面直線與所成角的正切值為（    ）A． B． C． D．4．（2022·全國·高三專題練習（理））在正方體中，是的中點，則直線與平面所成角的正弦值為（    ）A． B． C． D．5．（2022·全國·高三專題練習）在正方體中，中點為，則二面角的余弦值為（    ）A． B． C． D．6．（2022·全國·高三專題練習）若正四棱柱的底邊長為2，，E是的中點，則到平面EAC的距離為（    ）A． B． C． D．7．（2022·全國·高三專題練習）在棱長為的正方體中，則平面與平面之間的距離為A． B．C． D．8．（2022·全國·高三專題練習）已知正方體ABCD -A1B1C1D1的棱長為2，點E是A1B1的中點，則點A到直線BE的距離是(　　)A． B．C． D．9．（2021·浙江·杭州市余杭高級中學高二階段練習）長方體中，，，為的中點，則異面直線與之間的距離是（    ）A． B． C． D．二、填空題10．（2022·全國·高三專題練習（文））如圖，在長方體中，，，若為中點，則點到平面的距離為________.三、解答題11．（2022·全國·高三專題練習）如圖，在直三棱柱中，，．（1）求異面直線和所成角的大小；（2）求直線和平面所成角的大?。?/span>   12．（2022·天津南開·高三期末）如圖，四棱錐中，底面，，，，，E為上一點，且.（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）求平面與平面的夾角的大小.  13．（2022·上海·高三專題練習）如圖，在四棱錐中，已知平面，且四邊形為直角梯形，，，.且Q為線段的中點（1）求直線與所成角的大??；（2）求直線與平面所成角的大小   14．（2022·上海·高三專題練習）如圖，空間幾何體由兩部分構成，上部是一個底面半徑為1，高為2的圓錐，下部是一個底面半徑為1，高為2的圓柱，圓錐和圓柱的軸在同一直線上，圓錐的下底面與圓柱的上底面重合，點P是圓錐的頂點，AB是圓柱下底面的一條直徑，AA1、BB1是圓柱的兩條母線，C是弧AB的中點.（1）求異面直線PA1與BC所成的角的大??；（2）求點B1到平面PAC的距離.     15．（2022·上海·高三專題練習）如圖,四棱錐中,底面為矩形,底面,,,分別為棱的中點.（1）求證:、、、四點共面；（2）求異面直線與所成的角.   16．（2022·天津和平·高三期末）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，為正三角形，且側面底面，為的中點.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求平面與平面夾角的余弦值． 17．（2022·全國·高三專題練習（理））如圖，在三棱柱中，四邊形是菱形，，在底面ABC上的射影是BC的中點．（1）證明：平面；（2）若，求與平面所成角的正弦值．   18．（2022·全國·模擬預測）如圖所示，直三棱柱的上、下底面的頂點分別在圓柱的上、下底面的圓周上，且AB過圓柱下底面的圓心為與的交點.（1）求證:平面；（2）若圓柱底面半徑為，母線長為，求直線與平面所成角的正切值. 19．（2022·全國·高三專題練習）如圖所示，在三棱錐中，，，，，.（1）求證：平面；（2）若為的中點，求直線與平面所成角的正弦值.20．（2022·全國·高三專題練習（理））如圖1，直角梯形ABCD中，，，．如圖2，將圖1中沿AC折起，使得點D在平面ABC上的正投影G在內部．點E為AB的中點．連接DB，DE，三棱錐D－ABC的體積為．對于圖2的幾何體．（1）求證：；（2）求DE與平面DAC所成角的正弦值．   21．（2022·河北張家口·高三期末）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，、、、分別為、、、的中點.（1）證明：平面；（2）若平面平面，為等邊三角形，求二面角的正弦值.    22．（2022·全國·模擬預測）如圖①，直角梯形中，，，點，分別在，上，，，將四邊形沿折起，使得點，分別到達點，的位置，如圖②，平面平面，.（1）求證：平面平面；（2）求二面角的余弦值.   23．（2022·全國·高三專題練習）如圖，在四棱錐中，面，，且，，，，，為的中點.（1）求證：∥平面；（2）求平面與平面所成二面角的余弦值；（3）在線段上是否存在一點，使得直線與平面所成角的正弦值是，若存在，求出的值，若不存在，說明理由.     24．（2022·全國·高三專題練習）如圖，在四棱柱中，側棱底面，，且是的中點.（1）求點到平面的距離；（2）設為棱上的點，若直線和平面所成角的正弦值為，求線段的長. 25．（2022·全國·高三專題練習）如圖，四棱錐底面是矩形，面，，、是棱、上的點，，．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）棱上是否存在點，使面？若存在，求出的值；不存在，請說明理由．  26．（2022·全國·高三專題練習）如圖，在四棱錐中，四邊形為直角梯形，，，，，，為的中點，且.（1）證明：平面；（2）線段上是否存在一點，使得二面角的余弦值為？若存在，試確定點的位置；若不存在，請說明理由.   27．（2022·全國·高三專題練習）如圖，在直四棱柱中，底面是平行四邊形，，.（1）求證：；（2）求二面角的大??；（3）在線段上是否存在點，使得平面?若存在，求的值；若不存在，說明理由.  28．（2022·河北·高三專題練習）如圖，在四棱錐中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，E為棱上的點，且.（1）若F為棱的中點，求證：平面；（2）（i）求證平面；（ii）設Q為棱上的點(不與C，P重合)，且直線與平面所成角的正弦值為，求的值.  29．（2022·全國·高三專題練習）如圖，三棱柱中，側面底面，是邊長為2的正三角形，已知點滿足.（1）求二面角的大??；（2）求異面直線與的距離；（3）直線上是否存在點，使平面？若存在，請確定點的位置；若不存在，請說明理由.     30．（2022·全國·高三專題練習）如圖，在四棱錐中，底面，底面是矩形，，與底面所成角的正切值為，是的中點，線段上的動點.（1）證明：平面；（2）若二面角的余弦值為，求的長.    31．（2022·全國·高三專題練習）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB＝4，CC1＝2，∠ACB＝90°，點M在線段A1B1上．（1）若A1M＝3MB1，求異面直線AM和A1C所成角的余弦值；（2）若直線AM與平面ABC1所成角為30°，試確定點M的位置．    32．（2022·上海·高三專題練習）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，平面，，．（1）求點到平面的距離；（2）求二面角的平面角的余弦值．  
 

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