第14講 等差數(shù)列、等比數(shù)列綜合運用一．選擇題（共14小題） 1．（2020秋?浙江期末）已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，是正項等比數(shù)列，若，，則　　A． B． C． D．【解析】解：等差數(shù)列的通項公式是關(guān)于的一次函數(shù)，，故等差數(shù)列的圖象是一條直線上孤立的點，等比數(shù)列的通項公式是關(guān)于的指數(shù)函數(shù)形式，故等比數(shù)列的圖象是指數(shù)函數(shù)上孤立的點，如圖所示，當(dāng)時，如下圖所示，當(dāng)時，如下圖所示，由圖可知，當(dāng)，時，所以，，，．故選：．2．（2020秋?金鳳區(qū)校級期末）已知是公差不為0的等差數(shù)列，是與的等比中項，則　　A． B．0 C．9 D．無法確定【解析】解：設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，由是與的等比中項，得，即，可得，即，，．故選：．3．（2020秋?鄭州期末）已知數(shù)列是等比數(shù)列，滿足，數(shù)列是等差數(shù)列，且，則等于　　A．24 B．16 C．8 D．4【解析】解：等比數(shù)列中，，，，，等差數(shù)列中，．故選：．4．（2020秋?鄭州期末）在等比數(shù)列中，有，數(shù)列是等差數(shù)列，且，則等于　　A．4 B．8 C．16 D．24【解析】解：因為在等比數(shù)列中，有，所以，解得或（舍，所以，因為數(shù)列是等差數(shù)列，所以．故選：．5．（2020秋?天河區(qū)期末）已知各項不為0的等差數(shù)列滿足，數(shù)列是等比數(shù)列，且，則等于　　A．1 B．2 C．4 D．8【解析】解：各項不為0的等差數(shù)列滿足，由，可得，即有舍去），數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，且，則．故選：．6．（2020秋?南崗區(qū)校級期末）已知等差數(shù)列的前項和為，若，，若，，成等比數(shù)列，則　　A．11 B．13 C．15 D．17【解析】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可得，解得，所以，若，，成等比數(shù)列，所以，則，解得．故選：．7．（2020?達州模擬）在公差不為零的等差數(shù)列中，，是，的等比中項，則　　A．12 B．13 C．14 D．15【解析】解：設(shè)數(shù)列的公差為，，由已知是，的等比中項，得：，可得，可得，所以．故選：．8．（2020?西寧模擬）已知等比數(shù)列的各項都為正數(shù)，則，，成等差數(shù)列，則的值是　　A． B． C． D．【解析】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，且，，，成等差數(shù)列，，則，化簡得，，解得，則，，故選：．9．（2020?全國模擬）公差不為零的等差數(shù)列的前項和為，若是與的等比中項，，則　　A．36 B．42 C．48 D．60【解析】解：公差不為零的等差數(shù)列的前項和為，是與的等比中項，，，解得，，．故選：．10．（2020?黑龍江二模）等比數(shù)列的前項和為，若，，成等差數(shù)列，則的公比等于　　A．1 B．2 C． D．【解析】解：，，成等差數(shù)列，可得，即為，即有，化為，解得舍去），故選：．11．（2020春?郫都區(qū)期末）已知等比數(shù)列中，，數(shù)列是等差數(shù)列，且，則等于　　A．2 B．4 C．8 D．16【解析】解：等比數(shù)列中，，可得，解得，且，，數(shù)列是等差數(shù)列，則．故選：．12．（2020?梅州二模）已知在各項均不為零的等差數(shù)列中，，數(shù)列是等比數(shù)列，且，則等于　　A．2 B．4 C．8 D．16【解析】解：由等差數(shù)列的性質(zhì)：得：，或，，，故選：．13．（2020春?遂寧期末）已知數(shù)列1，，，4成等差數(shù)列，1，，，，4成等比數(shù)列，則的值是　　A． B． C．或 D．【解析】解：，，，4成等差數(shù)列，，即，，又1，，，，4成等比數(shù)列，，解得，又，，則．故選：．14．（2020?廣東學(xué)業(yè)考試）公差不為零的等差數(shù)列中，，且、、成等比數(shù)列，則數(shù)列的公差等于　　A．1 B．2 C．3 D．4【解析】解：設(shè)數(shù)列的公差為則①、、成等比數(shù)列②①②聯(lián)立求得故選：．二．填空題（共4小題）15．（2020春?貴陽期末）在等比數(shù)列中，若，且是，的等差中項，則數(shù)列的前5項和　62　【解析】解：等比數(shù)列的公比設(shè)為，若，且是，的等差中項，可得，即，解得舍去），則數(shù)列的前5項和．故答案為：62．16．（2019秋?西城區(qū)校級月考）設(shè)公差不為0的等差數(shù)列的前項和為，若，且，，成等比數(shù)列，則　10　【解析】解：設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為．依題意有，即，由，解得，所以．故答案為：10．17．（2019秋?云南月考）在公差為3的等差數(shù)列中，，，成等比數(shù)列，則數(shù)列的前項和　　【解析】解：由題意得，即，解得，所以，所以．故答案為：．18．（2019?南通模擬）已知等差數(shù)列滿足，且，，成等比數(shù)列，則的所有值為　3或4　．【解析】解：因為，，成等比數(shù)列，所以，，即，化簡，得：，所以，或，解得：或，所以，或，所以，的所有值為3，4．故答案為：3或4．三．解答題（共20小題）19．（2020春?太原期末）已知等差數(shù)列中，，．等比數(shù)列滿足，．（1）求數(shù)列通項公式；（2）求數(shù)列的前項和．【解析】解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，可得，，解得，，則，；（2）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，，解得，數(shù)列的前項和．20．（2019秋?臨渭區(qū)期末）已知等差數(shù)列的前項和為，且，．（1）求；（2）若，，成等比數(shù)列，求正整數(shù)的值．【解析】解：（1）設(shè)公差為，則，，解得，，，所以：．（2）因為．又，，成等比數(shù)列，所以，化簡得：解得：或，又，．21．（2020秋?峨山縣校級期中）設(shè)是等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列．（1）求的通項公式（2）求數(shù)列的前項和【解析】解：（1）因為，且，，成等比數(shù)列，所以，解得．所以．（2）因為，，所以．22．（2020春?興慶區(qū)校級期末）已知等差數(shù)列的前項和為，等比數(shù)列的前項和為．若，，．（1）求數(shù)列與的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和．【解析】解：（1）由，，則設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，所以．所以設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題，即，所以．所以；（2），所以的前項和為．23．（2020春?汕頭期末）已知是等比數(shù)列的前項和，、、成等差數(shù)列，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和．【解析】解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，、、成等差數(shù)列，，即，又，，解得，；（2）由（1）得，，設(shè)，①，②①②得，，．24．（2020春?東湖區(qū)校級月考）已知等比數(shù)列中，，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，分別是等差數(shù)列的第3項和第5項，試求數(shù)列的通項公式及其前項和．【解析】解：（1），，，其中為公比，，數(shù)列是以3為首項、2為公比的等比數(shù)列，；（2）由（1）可知，，，即公差，首項，數(shù)列是以為首項、18為公差等差數(shù)列，，數(shù)列的前項和為．25．（2019春?攀枝花期末）已知公差不為零的等差數(shù)列中，，且，，成等比數(shù)列．（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）令，求數(shù)列的前項和．【解析】解：（Ⅰ）由題意：化簡得，因為數(shù)列的公差不為零，，，故數(shù)列的通項公式為．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，故數(shù)列的前項和．26．（2019秋?鄂州期中）已知公差的等差數(shù)列滿足，且，，成等比數(shù)列．（1）求的通項公式；（2）若是的前項和，求數(shù)列的前項和．【解析】解：（1）由條件知，又，則有，又，故，故．（2）由（1）可得，即．27．（2019?海淀區(qū)一模）已知等差數(shù)列的公差，且，的前項和為．（Ⅰ）求的通項公式；（Ⅱ）若，，成等比數(shù)列，求的值．【解析】（共13分）解：因為，所以，所以所以 又，因為，，是等比數(shù)列，所以所以，因為，所以28．（2020秋?鼓樓區(qū)校級期中）已知等差數(shù)列的前項和為，，，數(shù)列滿足，．（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列與數(shù)列通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和．【解析】證明：（1）數(shù)列滿足，，整理得：（常數(shù)），所以數(shù)列是1為首項為公比的等比數(shù)列．所以：，整理得．設(shè)首項為，公差為的等差數(shù)列的前項和為，，，所以，解得，．故．（2）由（1）得：，所以①，②，①②得：，，整理得．29．（2018秋?濟南期末）已知數(shù)列的首項．（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和．（3）是否存在互不相等的正整數(shù)，，使，，成等差數(shù)列，且使，，成等比數(shù)列？如果存在，請給以證明；如果不存在，請說明理由．【解析】（1）證明：，，即，又由可得，，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列；（2）解：由（1）可得：，，，，又，兩式相減得：，整理得：；（3）解：假設(shè)存在，由題設(shè)可得：，且，由（2）可得：，，，整理得：，又，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，再根據(jù)，，互不相等，，矛盾，假設(shè)不成立，即不存在．30．（2019秋?天河區(qū)校級期中）已知數(shù)列滿足，，．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和為．【解析】（1）證明：，，，即，又由可得：，數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，且，；（2）解：由（1）可得：，．31．（2020?內(nèi)江模擬）已知數(shù)列滿足，．（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項和．【解析】（1）證明：，．可得，可得，又，數(shù)列是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列；（2）解：數(shù)列是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列；，，數(shù)列的前項和：．32．（2017春?友誼縣校級期中）已知數(shù)列滿足，，，．（1）證明數(shù)列為等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項公式．【解析】（1）證明：，且有，所以有，則，即，且，所以是首項為1，公差為的等差數(shù)列．（2）由（1）知，即，所以．33．（2020?榆林一模）已知數(shù)列，滿足，，．（1）證明：數(shù)列，為等比數(shù)列；（2）記為數(shù)列的前項和，證明：．【解析】解：（1）數(shù)列，滿足，，．所以整理得兩式相加，即（常數(shù)），數(shù)列為等比數(shù)列；同理兩式相減，即（常數(shù)）故數(shù)列為等比數(shù)列．證明：（2）由（1）得：，，整理得，所以34．（2017秋?城關(guān)區(qū)校級期中）已知數(shù)列滿足，． 證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）若，求數(shù)列的前項和；（Ⅲ）證明：．【解析】（Ⅰ）證明：，，，又，數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，，．（Ⅱ）解：，，①，②①②，得：．（Ⅲ）證明：，，2，3，，，，，2，3，，，．35．（2014?荊門模擬）已知數(shù)列滿足：且．（1）若數(shù)列滿足：，試證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項和；（3）數(shù)列是否存在最大項，如果存在求出，若不存在說明理由．【解析】解：（1）．數(shù)列是等比數(shù)列，首項為，公比為．（2）由，得．由（1）得，，．（3）由，得，，又由（2）知，，數(shù)列單調(diào)遞增，與均為遞減數(shù)列，數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，當(dāng)時，最大，即數(shù)列中存在最大項且為該數(shù)列中的首項，其值為．36．（2019春?安徽期中）已知數(shù)列滿足：．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求的通項公式；（2）若數(shù)列滿足：，若對一切，都有成立，求實數(shù)的最小值．【解析】解：（1）因為，，所以，所以是首項為3，公差為 3的等差數(shù)列，所以，．（2）由數(shù)列滿足：，可得，設(shè)，由得，即的最小值為．37．（2020秋?重慶期末）已知數(shù)列滿足：，且對任意的，都有1，，成等差數(shù)列．（1）證明數(shù)列等比數(shù)列；（2）已知數(shù)列前和為，條件①：，條件②：，請在條件①②中僅選擇一個條件作為已知條件來求數(shù)列前項和．【解析】解：（1）證明：由條件可知，即，，且，是以為首項，為公比的等比數(shù)列，，則；（2）選擇條件①：，，，兩式相減可得，，，化簡得；選擇條件②：，，，兩式相減可得，，化簡得．38．（2020秋?10月份月考）已知數(shù)列的首項為0，．（1）證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式；（2）已知數(shù)列的前項和為，且數(shù)列滿足，若不等式對一切恒成立，求的取值范圍．【解析】證明：（1）數(shù)列的首項為0，，所以，整理得：（常數(shù)），所以數(shù)列是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以．解：（2）數(shù)列的前項和為，且數(shù)列滿足，所以①，②，①②得：，由于不等式對一切恒成立，所以，當(dāng)為偶數(shù)時，，解得．當(dāng)為奇數(shù)時，，解得．綜上所述：，即．  

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