一．函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的關(guān)系
一般地，函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)正負(fù)有以下關(guān)系：在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，如果，那么函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果，那么函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.
二．求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟
（1）確定函數(shù)的定義域；
（2）求，令，解此方程，求出它在定義域內(nèi)的一切實(shí)數(shù)；
（3）把函數(shù)的間斷點(diǎn)（即的無(wú)定義點(diǎn)）的橫坐標(biāo)和的各實(shí)根按由小到大的順序排列起來(lái)，然后用這些點(diǎn)把函數(shù)的定義域分成若干個(gè)小區(qū)間；
（4）確定在各小區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，根據(jù)的符號(hào)判斷函數(shù)在每個(gè)相應(yīng)小區(qū)間內(nèi)的增減性.
注①使的離散點(diǎn)不影響函數(shù)的單調(diào)性，即當(dāng)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)離散點(diǎn)處為零，在其余點(diǎn)處均為正（或負(fù)）時(shí)，在這個(gè)區(qū)間上仍舊是單調(diào)遞增（或遞減）的.例如，在上，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，而顯然在上是單調(diào)遞增函數(shù).
②若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則（不恒為0），反之不成立.因?yàn)?，即或，?dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，在這個(gè)區(qū)間為常值函數(shù)；同理，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則（不恒為0），反之不成立.這說(shuō)明在一個(gè)區(qū)間上函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大于零，是這個(gè)函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增的充分不必要條件.于是有如下結(jié)論：
單調(diào)遞增；
單調(diào)遞增；
單調(diào)遞減；
單調(diào)遞減.
三．函數(shù)極值的概念
設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)且，若在點(diǎn)附近的左側(cè)，右側(cè)，則為函數(shù)的極大值點(diǎn)；若在附近的左側(cè)，右側(cè)，則為函數(shù)的極小值點(diǎn).
函數(shù)的極值是相對(duì)函數(shù)在某一點(diǎn)附近的小區(qū)間而言，在函數(shù)的整個(gè)定義區(qū)間內(nèi)可能有多個(gè)極大值或極小值，且極大值不一定比極小值大.極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn).
四．求可導(dǎo)函數(shù)極值的一般步驟
（1）先確定函數(shù)的定義域；
（2）求導(dǎo)數(shù)；
（3）求方程的根；
（4）檢驗(yàn)在方程的根的左右兩側(cè)的符號(hào)，如果在根的左側(cè)附近為正，在右側(cè)附近為負(fù)，那么函數(shù)在這個(gè)根處取得極大值；如果在根的左側(cè)附近為負(fù)，在右側(cè)附近為正，那么函數(shù)在這個(gè)根處取得極小值.
注①可導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處取得極值的充要條件是：是導(dǎo)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)，即，且在左側(cè)與右側(cè)，的符號(hào)導(dǎo)號(hào).
②是為極值點(diǎn)的既不充分也不必要條件，如，，但不是極值點(diǎn).
為可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)；但為的極值點(diǎn).
五．函數(shù)的最大值、最小值
若函數(shù)在閉區(qū)間上的圖像是一條連續(xù)不間斷的曲線，則該函數(shù)在上一定能夠取得最大值與最小值，函數(shù)的最值必在極值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)處取得.
六．求函數(shù)的最大值、最小值的一般步驟
設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù)，在可導(dǎo)，求函數(shù)在上的最大值與最小值，可分兩步進(jìn)行：
（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；
（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值.
注①函數(shù)的極值反映函數(shù)在一點(diǎn)附近情況，是局部函數(shù)值的比較，故極值不一定是最值；函數(shù)的最值是對(duì)函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上函數(shù)值比較而言的，故函數(shù)的最值可能是極值，也可能是區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值；
②函數(shù)的極值點(diǎn)必是開區(qū)間的點(diǎn)，不能是區(qū)間的端點(diǎn)；
③函數(shù)的最值必在極值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)處取得.
【典型例題】
例1．（2021·黑龍江·哈爾濱市第三十二中學(xué)校高三期中（文））已知函數(shù)．若圖象上的點(diǎn)處的切線斜率為．
（1）求a，b的值；
（2）的極值．
例2．（2021·陜西禮泉·高三開學(xué)考試（文））設(shè)，函數(shù).
（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）討論函數(shù)的單調(diào)性.
例3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）有三個(gè)條件：①函數(shù)的圖象過點(diǎn)，且；②在時(shí)取得極大值；③函數(shù)在處的切線方程為，這三個(gè)條件中，請(qǐng)選擇一個(gè)合適的條件將下面的題目補(bǔ)充完整（只要填寫序號(hào)），并解答本題．
題目：已知函數(shù)存在極值，并且______．
（1）求的解析式；
（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最值
例4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）若函數(shù)在區(qū)間上取得最小值4，求的值.
例5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．討論的單調(diào)性.
例6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，討論的單調(diào)性；
【技能提升訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且，為的導(dǎo)函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，則不等式f（x﹣1）＞0的解集為（ ）
A．（0，1）∪（2，+∞）B．（﹣∞，1）∪（1，+∞）
C．（﹣∞，1）∪（2，+∞）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）
2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則在下列區(qū)間上為增函數(shù)的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則關(guān)于的結(jié)論正確的是（ ）
A．在區(qū)間上為減函數(shù)
B．在處取得極小值
C．在區(qū)間上為增函數(shù)
D．在處取得極大值
4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知在上是可導(dǎo)函數(shù)，的圖象如圖所示，則不等式解集為（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ）
A．和B．和
C．D．
6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，則函數(shù)的增區(qū)間為（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，那么函數(shù)的圖像最有可能的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）下列關(guān)于函數(shù)的結(jié)論中，正確結(jié)論是（ ）
A．是極大值，是極小值；
B．沒有最大值，也沒有最小值；
C．有最大值，沒有最小值；
D．有最小值，沒有最大值.
9．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））已知函數(shù)有極值，則c的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
10．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)，則（ ）
A．既有極大值，也有極小值B．有極小值，無(wú)極大值
C．有極大值，無(wú)極小值D．既無(wú)極大值，也無(wú)極小值
11．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)可導(dǎo)，則“有實(shí)根”是“有極值”的（ ）．
A．必要不充分條件
B．充分不必要條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
12．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)） 如圖是f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象，則f(x)的極小值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
13．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)在處有極值10，則a，b的值為（ ）
A．，，或，B．，，或，
C．，D．，
14．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，則滿足條件的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
15．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，則的（ ）
A．極小值點(diǎn)為，極大值點(diǎn)為B．極小值點(diǎn)為，極大值點(diǎn)為
C．極小值點(diǎn)為，極大值點(diǎn)為D．極小值點(diǎn)為，極大值點(diǎn)為
16．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））若函數(shù)在區(qū)間上有最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
17．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
18．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））若函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
19．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍可以是（ ）
A．B．
C．D．
20．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．
B．是的極小值點(diǎn)
C．是的極小值點(diǎn)
D．是的極大值點(diǎn)
21．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)的大致圖象如圖所示，則下列敘述不正確的是（ ）
A．
B．函數(shù)在上遞增，在上遞減
C．函數(shù)的極值點(diǎn)為，
D．函數(shù)的極大值為
22．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）己知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列判斷正確的（ ）
A．在時(shí)取極小值B．在時(shí)取極大值
C．是極小值點(diǎn)D．是極小值點(diǎn)
23．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．時(shí)，取得最大值D．時(shí)，取得最小值
三、填空題
24．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若的單調(diào)遞減區(qū)間是，則實(shí)數(shù)的值為________.
25．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間（-1,1）上為單調(diào)減函數(shù)，則的取值范圍是__________．
26．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的最小值為______.
27．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.
28．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在處取得極小值，則的極大值為__________
29．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的極值點(diǎn)是___________.
30．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=x3＋3mx2＋nx＋m2在x=－1時(shí)有極值0，則m＋n=________.
31．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））函數(shù)的最小值為______.
四、解答題
32．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，．若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
33．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)(其中常數(shù))，討論的單調(diào)性；
34．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，討論的單調(diào)性；
35．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)（），討論函數(shù)的單調(diào)性.
36．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，討論的單調(diào)性
37．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）令，討論的單調(diào)性.
38．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．討論函數(shù)的單調(diào)性.
39．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)的極大值.
40．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，其中．
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，在時(shí)取得極值，求；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；
41．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)
（1）求函數(shù)的極值；
（2）若函數(shù)在上的最小值為2，求它在該區(qū)間上的最大值．
42．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值．
43．（2021·天津市第一零二中學(xué)高三期中）設(shè)函數(shù)．
（1）求在處的切線方程；
（2）求的極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)；
（3）求在區(qū)間上的最大值與最小值．
44．（2021·寧夏·銀川一中高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)（）．
（1）討論的單調(diào)區(qū)間；
（2）求在上的最大值．
45．（2021·山東·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間上的最大值．
46．（2021·北京交通大學(xué)附屬中學(xué)高三開學(xué)考試）已知函數(shù).
（1）求不等式的解集；
（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；
（3）函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值；
（4）若在區(qū)間上，函數(shù)總有最小值，求出的取值范圍；
（5）在函數(shù)的圖像上是否一定存在兩條互相垂直的切線？（本問直接寫出結(jié)論，不需寫理由）
第10講 導(dǎo)數(shù)之單調(diào)性、最值、極值
【知識(shí)點(diǎn)總結(jié)】
一．函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的關(guān)系
一般地，函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)正負(fù)有以下關(guān)系：在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，如果，那么函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果，那么函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.
二．求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟
（1）確定函數(shù)的定義域；
（2）求，令，解此方程，求出它在定義域內(nèi)的一切實(shí)數(shù)；
（3）把函數(shù)的間斷點(diǎn)（即的無(wú)定義點(diǎn)）的橫坐標(biāo)和的各實(shí)根按由小到大的順序排列起來(lái)，然后用這些點(diǎn)把函數(shù)的定義域分成若干個(gè)小區(qū)間；
（4）確定在各小區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，根據(jù)的符號(hào)判斷函數(shù)在每個(gè)相應(yīng)小區(qū)間內(nèi)的增減性.
注①使的離散點(diǎn)不影響函數(shù)的單調(diào)性，即當(dāng)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)離散點(diǎn)處為零，在其余點(diǎn)處均為正（或負(fù)）時(shí)，在這個(gè)區(qū)間上仍舊是單調(diào)遞增（或遞減）的.例如，在上，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，而顯然在上是單調(diào)遞增函數(shù).
②若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則（不恒為0），反之不成立.因?yàn)?，即或，?dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，在這個(gè)區(qū)間為常值函數(shù)；同理，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則（不恒為0），反之不成立.這說(shuō)明在一個(gè)區(qū)間上函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大于零，是這個(gè)函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增的充分不必要條件.于是有如下結(jié)論：
單調(diào)遞增；
單調(diào)遞增；
單調(diào)遞減；
單調(diào)遞減.
三．函數(shù)極值的概念
設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)且，若在點(diǎn)附近的左側(cè)，右側(cè)，則為函數(shù)的極大值點(diǎn)；若在附近的左側(cè)，右側(cè)，則為函數(shù)的極小值點(diǎn).
函數(shù)的極值是相對(duì)函數(shù)在某一點(diǎn)附近的小區(qū)間而言，在函數(shù)的整個(gè)定義區(qū)間內(nèi)可能有多個(gè)極大值或極小值，且極大值不一定比極小值大.極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn).
四．求可導(dǎo)函數(shù)極值的一般步驟
（1）先確定函數(shù)的定義域；
（2）求導(dǎo)數(shù)；
（3）求方程的根；
（4）檢驗(yàn)在方程的根的左右兩側(cè)的符號(hào)，如果在根的左側(cè)附近為正，在右側(cè)附近為負(fù)，那么函數(shù)在這個(gè)根處取得極大值；如果在根的左側(cè)附近為負(fù)，在右側(cè)附近為正，那么函數(shù)在這個(gè)根處取得極小值.
注①可導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處取得極值的充要條件是：是導(dǎo)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)，即，且在左側(cè)與右側(cè)，的符號(hào)導(dǎo)號(hào).
②是為極值點(diǎn)的既不充分也不必要條件，如，，但不是極值點(diǎn).
為可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)；但為的極值點(diǎn).
五．函數(shù)的最大值、最小值
若函數(shù)在閉區(qū)間上的圖像是一條連續(xù)不間斷的曲線，則該函數(shù)在上一定能夠取得最大值與最小值，函數(shù)的最值必在極值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)處取得.
六．求函數(shù)的最大值、最小值的一般步驟
設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù)，在可導(dǎo)，求函數(shù)在上的最大值與最小值，可分兩步進(jìn)行：
（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；
（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值.
注①函數(shù)的極值反映函數(shù)在一點(diǎn)附近情況，是局部函數(shù)值的比較，故極值不一定是最值；函數(shù)的最值是對(duì)函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上函數(shù)值比較而言的，故函數(shù)的最值可能是極值，也可能是區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值；
②函數(shù)的極值點(diǎn)必是開區(qū)間的點(diǎn)，不能是區(qū)間的端點(diǎn)；
③函數(shù)的最值必在極值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)處取得.
【典型例題】
例1．（2021·黑龍江·哈爾濱市第三十二中學(xué)校高三期中（文））已知函數(shù)．若圖象上的點(diǎn)處的切線斜率為．
（1）求a，b的值；
（2）的極值．
【詳解】
（1）解：，
，
；
（2）解：由（1）得
，令，得
或，，
的極大值為，極小值為.
例2．（2021·陜西禮泉·高三開學(xué)考試（文））設(shè)，函數(shù).
（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）討論函數(shù)的單調(diào)性.
【詳解】
（1）解：當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋?br>，
，
曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即為.
（2）解：因?yàn)?，定義域?yàn)椋裕?br>當(dāng)時(shí)，恒成立，
函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，令，解得，令，解得，
故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
綜上可得：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
例3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）有三個(gè)條件：①函數(shù)的圖象過點(diǎn)，且；②在時(shí)取得極大值；③函數(shù)在處的切線方程為，這三個(gè)條件中，請(qǐng)選擇一個(gè)合適的條件將下面的題目補(bǔ)充完整（只要填寫序號(hào)），并解答本題．
題目：已知函數(shù)存在極值，并且______．
（1）求的解析式；
（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最值
【詳解】
選①：
（1），所以，故；
（2）由，
所以單調(diào)遞增，故，．
選②：
因?yàn)?，所?br>由題意知，解得，
故，
經(jīng)檢驗(yàn)在時(shí)取得極大值，故符合題意，所以，
（2），令，所以或，所以
或時(shí)，，單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減；因此在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，則，，，所以，；
選③：
由題意知，又因?yàn)椋?br>所以，解得，
所以，
（2），所以單調(diào)遞增，故，．
例4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）若函數(shù)在區(qū)間上取得最小值4，求的值.
【詳解】
（1）當(dāng)時(shí)，，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以的遞增區(qū)間，遞減區(qū)間，極小值，無(wú)極大值
（2）
①當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，
，解得不滿足，故舍去
②當(dāng)時(shí)，時(shí)，，單調(diào)遞減
時(shí)，，單調(diào)遞增
，
解得，不滿足，故舍去
③當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，
，
解得，滿足
綜上：
【點(diǎn)睛】
本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬綜合基礎(chǔ)題.
例5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．討論的單調(diào)性.
【詳解】
由題意，函數(shù)的定義域?yàn)?，且?br>若時(shí)，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增；
若時(shí)，令，即，解得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
即函數(shù)在上是減函數(shù)，在是增函數(shù).
例6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，討論的單調(diào)性；
【詳解】
，記，
當(dāng)時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，令，所以且，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
綜上可知：時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為；時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為
【技能提升訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且，為的導(dǎo)函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，則不等式f（x﹣1）＞0的解集為（ ）
A．（0，1）∪（2，+∞）B．（﹣∞，1）∪（1，+∞）
C．（﹣∞，1）∪（2，+∞）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）
【答案】A
【分析】
根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)可得函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的奇偶性可得不等式的解集．
【詳解】
因?yàn)闀r(shí)，故在為增函數(shù)，
而為上的奇函數(shù)，故在為增函數(shù)，
因?yàn)?，?
又即為或或，
故或或無(wú)解，
故或，故不等式解集為.
故選：A．
2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則在下列區(qū)間上為增函數(shù)的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
求導(dǎo)函數(shù)，由確定增區(qū)間．
【詳解】
因?yàn)?，由得或?br>增區(qū)間為，
故選：B．
3．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則關(guān)于的結(jié)論正確的是（ ）
A．在區(qū)間上為減函數(shù)
B．在處取得極小值
C．在區(qū)間上為增函數(shù)
D．在處取得極大值
【答案】B
【分析】
函數(shù)的單調(diào)性、極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系判斷．
【詳解】
由圖知，或時(shí)，，時(shí)，，
因此在和上遞減，在上遞增，是極小值，是極大值．只有B正確．
故選：B．
4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知在上是可導(dǎo)函數(shù)，的圖象如圖所示，則不等式解集為（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根據(jù)符號(hào)法則將不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)不等式組，結(jié)合圖象即可解出．
【詳解】
原不等式等價(jià)于或，結(jié)合的圖象可得，
或，解得或或．
故選：D．
5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ）
A．和B．和
C．D．
【答案】D
【分析】
先求出函數(shù)的定義域，再對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后由導(dǎo)數(shù)大于零，可求出函數(shù)的增區(qū)間
【詳解】
函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>由，得，
令，得，
所以函數(shù)的增區(qū)間為，
故選：D
6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，則函數(shù)的增區(qū)間為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
首先將代入得到切點(diǎn)為，求導(dǎo)得到，從而得到，解方程組得到，再利用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)區(qū)間即可.
【詳解】
將代入得到，所以切點(diǎn)為.
因?yàn)椋?br>所以，
所以，
當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù).
所以函數(shù)的增區(qū)間為.
故選：C
7．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，那么函數(shù)的圖像最有可能的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
由導(dǎo)函數(shù)圖象可知原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而得到答案．
【詳解】
由導(dǎo)函數(shù)圖象可知，在（-∞，-2），（0，+∞）上單調(diào)遞減，
在（-2，0）上單調(diào)遞增，
故選：A．
8．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）下列關(guān)于函數(shù)的結(jié)論中，正確結(jié)論是（ ）
A．是極大值，是極小值；
B．沒有最大值，也沒有最小值；
C．有最大值，沒有最小值；
D．有最小值，沒有最大值.
【答案】C
【分析】
先函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，在令解出，再結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)分析出極大值與極小值.
【詳解】
由，得，令，則，解得或，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以是極小值，是極大值，所以A錯(cuò)誤；
因?yàn)槭菢O小值，且當(dāng)時(shí)，恒成立，而是極大值,也是最大值，所以有最大值，沒有最小值，所以C正確，BD錯(cuò)誤.
故選：C
9．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））已知函數(shù)有極值，則c的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
求導(dǎo)得，則，由此可求答案．
【詳解】
解：由題意得，
若函數(shù)有極值，則，
解得，
故選：A．
10．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)，則（ ）
A．既有極大值，也有極小值B．有極小值，無(wú)極大值
C．有極大值，無(wú)極小值D．既無(wú)極大值，也無(wú)極小值
【答案】B
【分析】
利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，再判定極值即可.
【詳解】
依題意，；令，解得，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值，且函數(shù)無(wú)極大值，
故選：B．
11．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)可導(dǎo)，則“有實(shí)根”是“有極值”的（ ）．
A．必要不充分條件
B．充分不必要條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】
結(jié)合極值與充分、必要條件的知識(shí)確定正確選項(xiàng).
【詳解】
，但在零點(diǎn)左側(cè)和右側(cè)都同時(shí)大于零或者小于零時(shí)在零點(diǎn)處無(wú)極值，
但有極值則在極值處一定等于.
所以“有實(shí)根”是“有極值”的必要不充分條件.
故選：A
12．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)） 如圖是f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象，則f(x)的極小值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】
根據(jù)極值點(diǎn)的定義，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的圖象判斷即可.
【詳解】
由導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象知
在x＝－2處f′(－2)＝0，且其兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號(hào)為左正右負(fù)，x＝－2是極大值；
在x＝－1處f′(－1)＝0，且其兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號(hào)為左負(fù)右正，x＝－1是極小值；
在x＝－3處f′(2)＝0，且其兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號(hào)為左正右負(fù)，x＝2是極大值；
所以f(x)的極小值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1，
故選：A
【點(diǎn)睛】
本題主要考查極值點(diǎn)的定義以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.
13．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)在處有極值10，則a，b的值為（ ）
A．，，或，B．，，或，
C．，D．，
【答案】C
【分析】
對(duì)求導(dǎo)，根據(jù)在處有極值10，建立方程組，解出a、b，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可得到答案.
【詳解】
因?yàn)?，所以?br>由題意可得：，解得：或.
當(dāng)時(shí)，，
在x=1的左右兩側(cè)正負(fù)相反，所以在處有極值，符合題意；
當(dāng)時(shí)，恒成立，
所以在處無(wú)極值，應(yīng)舍去；
故選：C
14．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，則滿足條件的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
求出導(dǎo)函數(shù)，由有兩個(gè)不等的正實(shí)根（轉(zhuǎn)化為一元二次方程有兩個(gè)不等正實(shí)根）可得參數(shù)范圍．
【詳解】
解：函數(shù)，定義域?yàn)椋?br>則
因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)
所以有兩個(gè)不同的正實(shí)數(shù)根，
則有，解得
所以滿足條件的取值范圍為
故選：D.
15．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，則的（ ）
A．極小值點(diǎn)為，極大值點(diǎn)為B．極小值點(diǎn)為，極大值點(diǎn)為
C．極小值點(diǎn)為，極大值點(diǎn)為D．極小值點(diǎn)為，極大值點(diǎn)為
【答案】A
【分析】
利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，由此可得出結(jié)論.
【詳解】
，則，
函數(shù)的定義域?yàn)?，由可得，由可得?
所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為.
因此，函數(shù)的極小值點(diǎn)為，極大值點(diǎn)為.
故選：A
16．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））若函數(shù)在區(qū)間上有最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
求導(dǎo)，求得其最大值點(diǎn)，再根據(jù)在區(qū)間上有最大值，由最大值點(diǎn)的橫坐標(biāo)是
中的元素求解.
【詳解】
因?yàn)楹瘮?shù)，
所以，
當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，
又，且在區(qū)間上有最大值，
所以，
解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是
故選：D
17．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
在區(qū)間內(nèi)有最小值，可轉(zhuǎn)化為的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間有變號(hào)零點(diǎn)，再根據(jù)二次函數(shù)的零點(diǎn)分布，即可求解.
【詳解】
由，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有最小值.此時(shí)函數(shù)必定存在極值點(diǎn)，由，設(shè)，為一元二次方程的兩根，有不妨設(shè)，故只需要即可，令，有，解得.
故選：C.
18．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））若函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
求導(dǎo)，可得的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)，根據(jù)題意，可得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，即可得答案.
【詳解】
函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，
令，得或，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則為極小值點(diǎn)，為極大值點(diǎn).
由在區(qū)間上存在最小值，
可得，解得，
此時(shí)，
因此實(shí)數(shù)m的取值范圍是，
故選：D.
二、多選題
19．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】
先求函數(shù)的定義域及導(dǎo)數(shù)，求出單調(diào)區(qū)間，結(jié)合所給區(qū)間列出關(guān)于的不等關(guān)系，結(jié)合選項(xiàng)可求正確答案.
【詳解】
定義域?yàn)?，?br>由得函數(shù)的增區(qū)間為；
由得函數(shù)的減區(qū)間為；
因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)，
所以或
解得或；
結(jié)合選項(xiàng)可得A,C正確.
故選：AC.
20．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．
B．是的極小值點(diǎn)
C．是的極小值點(diǎn)
D．是的極大值點(diǎn)
【答案】CD
【分析】
根據(jù)的圖象，得到函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性和函數(shù)極值點(diǎn)的概念，逐項(xiàng)判定，即可求解.
【詳解】
由題意，根據(jù)的圖象，可得當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以，所以A不正確；
不是函數(shù)的極值點(diǎn)，所以B不正確；
是函數(shù)的極小值點(diǎn)，所以C正確；
是函數(shù)的極大值點(diǎn)，所以D正確.
故選：CD.
21．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)的大致圖象如圖所示，則下列敘述不正確的是（ ）
A．
B．函數(shù)在上遞增，在上遞減
C．函數(shù)的極值點(diǎn)為，
D．函數(shù)的極大值為
【答案】ABD
【分析】
對(duì)A，B由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，即可判斷，， 的大小以及的單調(diào)性，對(duì)C，D由極值的定義即可判斷.
【詳解】
解：由題圖知可，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上遞增，
在上遞減，在上遞增，
對(duì)A，，故A錯(cuò)誤；
對(duì)B，函數(shù))在上遞增，在上遞增，在上遞減，故B錯(cuò)誤；
對(duì)C，函數(shù)的極值點(diǎn)為，，故C正確；
對(duì)D，函數(shù)的極大值為，故D錯(cuò)誤.
故選：ABD.
22．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）己知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列判斷正確的（ ）
A．在時(shí)取極小值B．在時(shí)取極大值
C．是極小值點(diǎn)D．是極小值點(diǎn)
【答案】AC
【分析】
由導(dǎo)函數(shù)的圖像判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，再通過導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)左右兩側(cè)的導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)來(lái)確定函數(shù)的極值和極值點(diǎn)
【詳解】
解：由導(dǎo)函數(shù)的圖像可得，
當(dāng)時(shí)，其左邊的導(dǎo)數(shù)小于零，右邊的導(dǎo)數(shù)大于零，所以在時(shí)取極小值，所以A正確，
當(dāng)時(shí)，其左邊的導(dǎo)數(shù)小于零，右邊的導(dǎo)數(shù)大于零，所以是極小值點(diǎn)，所以C正確，
而和，左右兩邊的導(dǎo)數(shù)值同號(hào)，所以和不是函數(shù)的極值點(diǎn)，所以BD錯(cuò)誤，
故選：AC
23．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．時(shí)，取得最大值D．時(shí)，取得最小值
【答案】AB
【分析】
由圖象可確定的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可得到結(jié)果.
【詳解】
由圖象可知：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
對(duì)于A，，，A正確；
對(duì)于B，，，B正確；
對(duì)于C，由單調(diào)性知為極大值，當(dāng)時(shí)，可能存在，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，由單調(diào)性知，D錯(cuò)誤.
故選：AB.
三、填空題
24．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若的單調(diào)遞減區(qū)間是，則實(shí)數(shù)的值為________.
【答案】
【分析】
求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到關(guān)于的方程，解出即可
【詳解】
解：由，得，
因?yàn)榈膯握{(diào)遞減區(qū)間是，所以的解集為，
所以是方程的一個(gè)根，
所以，解得，
故答案為：
25．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間（-1,1）上為單調(diào)減函數(shù)，則的取值范圍是__________．
【答案】
【詳解】
在上恒成立，根據(jù)二次函數(shù)圖像可知，應(yīng)滿足，解得.
26．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的最小值為______.
【答案】
【分析】
求出，考慮且不恒為零時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍即可.
【詳解】
的定義域?yàn)?，?br>因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，故在上恒成立，且不恒為零.
在上恒成立等價(jià)于在上恒成立，
故即，
而當(dāng)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)有，故不恒為零.
的最小值為. 填.
【點(diǎn)睛】
一般地，若在區(qū)間上可導(dǎo)，且，則在上為單調(diào)增（減）函數(shù)；反之，若在區(qū)間上可導(dǎo)且為單調(diào)增（減）函數(shù)，則且不恒為零．
27．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.
【答案】
【分析】
首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意在恒成立，參變分離，即在恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明其單調(diào)性，即可求出其最大值，即可得解；
【詳解】
解：因?yàn)?，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在恒成立，
即在恒成立，
令，，則，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以
所以，即
故答案為：
28．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在處取得極小值，則的極大值為__________
【答案】
【分析】
求導(dǎo)函數(shù)，求出極大值點(diǎn)，最后代入原函數(shù)可求得極大值.
【詳解】
由題意得，，
，解得，
， ，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
的極大值為.
故答案為：
29．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的極值點(diǎn)是___________.
【答案】1
【分析】
利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，即可求出極值點(diǎn).
【詳解】
的定義域?yàn)?，?br>所以令，解得，令，解得，
所以為的極值點(diǎn).
故答案為：1.
【點(diǎn)睛】
求極值（極值點(diǎn)）需研究函數(shù)的單調(diào)性：①；②在左右兩側(cè)單調(diào)性相反.
30．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=x3＋3mx2＋nx＋m2在x=－1時(shí)有極值0，則m＋n=________.
【答案】11
【分析】
對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)在有極值，可以得到，代入求解可得或，經(jīng)檢驗(yàn)，即可求出結(jié)果.
【詳解】

依題意可得，聯(lián)立可得或；
當(dāng)時(shí)函數(shù)，
，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故函數(shù)無(wú)極值，所以舍去；所以，所以.
故答案為：11.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的性質(zhì)：若函數(shù)在取得極值，則．反之結(jié)論不成立，即函數(shù)有，函數(shù)在該點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，（還得加上在兩側(cè)有單調(diào)性的改變），本題屬于基礎(chǔ)題．
31．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））函數(shù)的最小值為______.
【答案】1
【分析】
由解析式知定義域?yàn)?，討論、、，并結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，即可求最小值.
【詳解】
由題設(shè)知：定義域?yàn)椋?br>∴當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，有，此時(shí)單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，有，此時(shí)單調(diào)遞增；
又在各分段的界點(diǎn)處連續(xù)，
∴綜上有：時(shí)，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增；
∴
故答案為：1.
四、解答題
32．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，．若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
【答案】答案見解析
【分析】
求出函數(shù)f(x)定義域并求出其導(dǎo)數(shù)，分，兩類確定不等式、的解集即可.
【詳解】
解：，
，
當(dāng)時(shí)，令，得：；令，得；
當(dāng)時(shí)，令，得：或，
令，得；
因此，當(dāng)時(shí)，在遞增，在遞減；
當(dāng)時(shí)，在，遞減；在遞增．
33．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)(其中常數(shù))，討論的單調(diào)性；
【答案】當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
【分析】
對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)一元二次方程的判別式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.
【詳解】
，
記，，
①當(dāng)，即時(shí)，，故，所以在單調(diào)遞增．
②當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)實(shí)根，，
注意到， 且對(duì)稱軸，故，
所以當(dāng)或時(shí)，，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減．
綜上所述，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
34．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，討論的單調(diào)性；
【答案】當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增， 當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
【分析】
對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合一元二次方程根之間的大小關(guān)系、函數(shù)的定義域分類討論進(jìn)行求解即可.
【詳解】
，，
①當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增，
②當(dāng)時(shí)，令，則，令，則，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增， 當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
35．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)（），討論函數(shù)的單調(diào)性.
【答案】答案見解析.
【分析】
求導(dǎo)，分，討論求函數(shù)的單調(diào)性
【詳解】
的定義域?yàn)?，且?br>當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增．
當(dāng)時(shí)，若，則，在上單調(diào)遞增；
若，則，在上單調(diào)遞減．
綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
36．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，討論的單調(diào)性
【答案】答案見解析
【分析】
根據(jù)的正負(fù)性，結(jié)合導(dǎo)數(shù)分類討論進(jìn)行求解即可.
【詳解】
函數(shù)的定義域?yàn)?0，+∞)，，
當(dāng)時(shí)，，則在上遞增，
當(dāng)時(shí)﹐由得，
由，得，由，得，
于是有在上遞增，在上遞減,
綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上遞增，當(dāng)時(shí)﹐在上遞增，在上遞減.
37．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）令，討論的單調(diào)性.
【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）答案見解析.
【分析】
（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后，由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)來(lái)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）由題意得（），對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后分和兩種情況討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
【詳解】
（1）
當(dāng)時(shí)
令得或（舍）
當(dāng)時(shí)，；時(shí)，
于是的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
（2）由題意得
于是
①當(dāng)時(shí)
在恒成立
②當(dāng)時(shí)
在恒成立；在恒成立
綜上所述當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增
當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.
38．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．討論函數(shù)的單調(diào)性.
【答案】答案見解析
【分析】
由題設(shè)知定義域?yàn)?0,＋∞)、，討論參數(shù)判斷的符號(hào)，即可確定的單調(diào)性.
【詳解】
解：的定義域是，
，
對(duì)于，
①△即時(shí)，
在恒成立，故在遞減，
②△時(shí)，時(shí)，令，
解得：（舍，，
故時(shí)，，時(shí)，，
故在遞增，在遞減，
時(shí)，令，
解得：，，
故時(shí)，，時(shí)，，
時(shí)，，
故在遞減，在遞增，在遞減；
綜上：時(shí)，在遞減，
時(shí)，在遞增，在遞減，
時(shí)，在遞減，在遞增，在遞減．
39．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)的極大值.
【答案】（1）增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）.
【分析】
（1）求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求和的解，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）由函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)的極大值點(diǎn)，代入求出極大值.
【詳解】
解：（1）因?yàn)椋裕?br>令，則或，令，則
所以的單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為；
（2）由（1）可知：時(shí)，有極大值為.
40．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，其中．
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，在時(shí)取得極值，求；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)利用求解；
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得在上恒成立，利用二次函數(shù)的最值求解.
【詳解】
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，
依題意有，故，
此時(shí)，
取得極大值，所以；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，
若在上單調(diào)遞增，
則在上恒成立，
設(shè)，
只需，即.
41．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)
（1）求函數(shù)的極值；
（2）若函數(shù)在上的最小值為2，求它在該區(qū)間上的最大值．
【答案】（1）極大值為，極小值為；（2）.
【分析】
（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得到，用導(dǎo)數(shù)的方法判斷函數(shù)單調(diào)性，即可確定極值；
（2）由（1）先確定函數(shù)在上的單調(diào)性，再由題中條件，得出，進(jìn)而可求出最大值.
【詳解】
（1）
，或
當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：
則極大值為，極小值為；
（2）由（1）知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減
又，，
所以最小值為，即，
最大值在或處取，，，
所以在上的最大值為．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查導(dǎo)數(shù)的方法求函數(shù)極值，以及最值，屬于常考題型.
42．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值．
【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和；（2）最大值為；最小值為．
【分析】
（1）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，即可求解；
（2）根據(jù)在區(qū)間上的單調(diào)性即可求解.
【詳解】
解：（1），
令，得，
與的變化情況如下：
的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和；
（2）由（1）知，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
在區(qū)間上的最大值為；
在區(qū)間上的最小值為，
，且，
在區(qū)間上的最小值為．
43．（2021·天津市第一零二中學(xué)高三期中）設(shè)函數(shù)．
（1）求在處的切線方程；
（2）求的極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)；
（3）求在區(qū)間上的最大值與最小值．
【答案】
（1）；
（2）極小值點(diǎn)為，極大值點(diǎn)為；
（3），.
【分析】
（1）求導(dǎo)后，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義可求得切線斜率，由此可得切線方程；
（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可確定單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性可確定所求極值點(diǎn)；
（3）由（2）可得在上的單調(diào)性，由單調(diào)性可求得最值.
（1）
由題意得：，則，
又，
在處的切線方程為，即；
（2）
令，解得：或，
則變化情況如下表：
的極小值點(diǎn)為，極大值點(diǎn)為；
（3）
由（2）知：在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
又，，，
，.
44．（2021·寧夏·銀川一中高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)（）．
（1）討論的單調(diào)區(qū)間；
（2）求在上的最大值．
【答案】
（1）答案見解析
（2）
【分析】
（1）直接求導(dǎo)，根據(jù)的取值范圍分情況討論；
（2）分情況討論函數(shù)在的單調(diào)性及最值情況.
（1）
解：定義域，
①，在上單減；
②，在上單增，單減；
（2）
解：由（1）知：①時(shí)，在單減，；
②時(shí)，在單增，；
③時(shí)，在單增，單減，；
綜合.
45．（2021·山東·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間上的最大值．
【答案】（1）答案見解析；（2）．
【分析】
（1）求導(dǎo)后，分別在和的情況下，根據(jù)的正負(fù)得到函數(shù)單調(diào)性；
（2）分別在、和三種情況下，得到在上的單調(diào)性，由單調(diào)性可確定最大值點(diǎn)，代入可得最大值.
【詳解】
（1）由題意得：定義域?yàn)?，?br>①當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；
②當(dāng)時(shí)，令得：，
列表如下：
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（2）當(dāng)時(shí)，由（1）知：
①當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，則；
②當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
；
③當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，則；
綜上所述：.
46．（2021·北京交通大學(xué)附屬中學(xué)高三開學(xué)考試）已知函數(shù).
（1）求不等式的解集；
（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；
（3）函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值；
（4）若在區(qū)間上，函數(shù)總有最小值，求出的取值范圍；
（5）在函數(shù)的圖像上是否一定存在兩條互相垂直的切線？（本問直接寫出結(jié)論，不需寫理由）
【答案】（1）或；（2）在單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；取得極小值，極小值為，無(wú)極大值；（3）取得最小值，取得最大值；（4）；（5）存在.
【分析】
（1）根據(jù)題意，解一元二次不等式，即可求得不等式的解集；
（2）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，即可求得的單調(diào)區(qū)間和極值；
（3）由（2）列表即可求得的最值；
（4）根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，繪出大致圖象，根據(jù)題意即可求得的取值范圍；
（5）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可判斷.
【詳解】
解：（1）因?yàn)椋?，得，解得或?br>所以不等式的解集為或；
（2）由，，.
所以和在區(qū)間上隨變化的情況如下：
所以在單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，取得極小值，極小值為，無(wú)極大值；
（3）由（2）可知，當(dāng)時(shí)，取得最小值，當(dāng)時(shí)，取得最大值；
（4），
所以和隨變化的情況如下：
由于在區(qū)間上，總有最小值，
所以由圖可知，
所以的取值范圍為；
（5）存在.
－1
（－1，3）
3
＋
0
－
0
＋
0
2
0
0
極小值
極大值
↗
↘
↗
極小值
極大值
＋
－
遞增
極大值
遞減
0
1
2
﹣
0
+
0
↓
↑
1
+
0
﹣
0
+
↑
↓
↑

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這是一份藝術(shù)生高考數(shù)學(xué)專題講義：考點(diǎn)14 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值，共9頁(yè)。試卷主要包含了函數(shù)的極值的定義，判斷f是極大、極小值的方法，求可導(dǎo)函數(shù)f的極值的步驟，函數(shù)的最值，函數(shù)的極值與最值的區(qū)別與聯(lián)系等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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（藝術(shù)生）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講與練：考點(diǎn)14 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值 (含解析)：

這是一份（藝術(shù)生）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講與練：考點(diǎn)14 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值 (含解析)，共9頁(yè)。試卷主要包含了函數(shù)的極值的定義，判斷f是極大、極小值的方法，求可導(dǎo)函數(shù)f的極值的步驟，函數(shù)的最值，函數(shù)的極值與最值的區(qū)別與聯(lián)系等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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