一、函數(shù)奇偶性
定義
設(shè)為關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間），如果對(duì)于任意的，都有，則稱函數(shù)為偶函數(shù)；如果對(duì)于任意的，都有，則稱函數(shù)為奇函數(shù).
性質(zhì)
函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.
奇偶函數(shù)的圖象特征.
函數(shù)是偶函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱；
函數(shù)是奇函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱.
(3)若奇函數(shù)在處有意義，則有；
偶函數(shù)必滿足.
偶函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相反；奇函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相同.
若函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)能表示成一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)的和的形式.記，，則.
運(yùn)算函數(shù)的奇偶性規(guī)律：運(yùn)算函數(shù)是指兩個(gè)（或多個(gè)）函數(shù)式通過加、減、乘、除四則運(yùn)算所得的函數(shù)，如.
對(duì)于運(yùn)算函數(shù)有如下結(jié)論：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；
奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶.
復(fù)合函數(shù)的奇偶性原來：內(nèi)偶則偶，兩奇為奇.
二、函數(shù)的單調(diào)性
定義
一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，區(qū)間，若對(duì)于任意的，當(dāng)時(shí)，都有（或），則稱函數(shù)在區(qū)間M上是單調(diào)遞增（或單調(diào)遞減）的，區(qū)間M為函數(shù)的一個(gè)增（減）區(qū)間.
熟練掌握增、減函數(shù)的定義，注意定義的如下兩種等價(jià)形式：
設(shè)且，則在上是增函數(shù)過單調(diào)遞增函數(shù)圖象上任意不同兩點(diǎn)的割線的斜率恒大于零.
在上是減函數(shù).
性質(zhì)
對(duì)于運(yùn)算函數(shù)有如下結(jié)論：在公共區(qū)間上，增+增=增；減+減=減；增-減=增；減-增=減.
若為增函數(shù)，且或），則為減函數(shù).
若為減函數(shù)，且或），則為增函數(shù).
復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性
復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵從“同增異減”，即在對(duì)應(yīng)的取值區(qū)間上，外層函數(shù)是增（減）函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)是增（減）函數(shù)，復(fù)合函數(shù)是增函數(shù)；外層函數(shù)是增（減）函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)是減（增）函數(shù)，復(fù)合函數(shù)是減函數(shù).
三、函數(shù)的周期性
定義
設(shè)函數(shù)，如存在非零常數(shù)T，使得對(duì)任何，且，則函數(shù)為周期函數(shù)，T為函數(shù)的一個(gè)周期.若在所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，則這個(gè)最小的正數(shù)叫做最小正周期.
注：函數(shù)的周期性是函數(shù)的“整體”性質(zhì)，即對(duì)于定義域D中的任何一個(gè)，都滿足；若是周期函數(shù)，則其圖像平移若干整數(shù)個(gè)周期后，能夠完全重合.
性質(zhì)
若的周期為T，則也是函數(shù)的周期，并且有.
有關(guān)函數(shù)周期性的重要結(jié)論（如表所示）
函數(shù)的的對(duì)稱性與周期性的關(guān)系
若函數(shù)有兩條對(duì)稱軸，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；
若函數(shù)的圖象有兩個(gè)對(duì)稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；
若函數(shù)有一條對(duì)稱軸和一個(gè)對(duì)稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且.
【典型例題】
例1．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）下列四個(gè)函數(shù)中既是奇函數(shù)，又是增函數(shù)的是（ ）
A．B．
C．D．
例2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．遞增區(qū)間是B．遞減區(qū)間是
C．遞增區(qū)間是D．遞增區(qū)間是
例3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
例4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系為（ ）
A．B．C．D．
例5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)是奇函數(shù)，則a的值為（ ）
A．1B．－1
C．±1D．0
（多選題）例6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（多選）已知為奇函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則（ ）
A．的圖象關(guān)于對(duì)稱
B．的圖象關(guān)于對(duì)稱
C．
D．
例7．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且．
（1）確定函數(shù)的解析式；
（2）用定義法證明在上是增函數(shù)；
（3）解關(guān)于x的不等式．
【技能提升訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)滿足對(duì)任意x1≠x2，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]

相關(guān)試卷

備戰(zhàn)2024高考數(shù)學(xué)藝體生一輪復(fù)習(xí)40天突破90分講義專題07 函數(shù)的性質(zhì)-單調(diào)性、奇偶性、周期性（原卷版+解析版）：

這是一份備戰(zhàn)2024高考數(shù)學(xué)藝體生一輪復(fù)習(xí)40天突破90分講義專題07 函數(shù)的性質(zhì)-單調(diào)性、奇偶性、周期性（原卷版+解析版），共57頁(yè)。

藝術(shù)生高考數(shù)學(xué)專題講義：考點(diǎn)5 函數(shù)的性質(zhì)——單調(diào)性、奇偶性與周期性：

這是一份藝術(shù)生高考數(shù)學(xué)專題講義：考點(diǎn)5 函數(shù)的性質(zhì)——單調(diào)性、奇偶性與周期性，共8頁(yè)。試卷主要包含了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的周期性等內(nèi)容，歡迎下載使用。

藝術(shù)生高考數(shù)學(xué)專題講義：考點(diǎn)5 函數(shù)的性質(zhì)——單調(diào)性、奇偶性與周期性：

這是一份藝術(shù)生高考數(shù)學(xué)專題講義：考點(diǎn)5 函數(shù)的性質(zhì)——單調(diào)性、奇偶性與周期性，共8頁(yè)。試卷主要包含了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的周期性等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

（藝術(shù)生）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講與練：考點(diǎn)5 函數(shù)的性質(zhì) 單調(diào)性、奇偶性與周期性 (含解析)

（藝術(shù)生）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講與練：考點(diǎn)5 函數(shù)的性質(zhì) 單調(diào)性、奇偶性與周期性 (含解析)
高中數(shù)學(xué)高考第05講 函數(shù)的奇偶性與周期性（講）原卷版

高中數(shù)學(xué)高考第05講 函數(shù)的奇偶性與周期性（講）原卷版
第05講 函數(shù)的基本性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性，奇偶性，周期性-2023年新高考藝術(shù)生突破數(shù)學(xué)90分講義

第05講 函數(shù)的基本性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性，奇偶性，周期性-2023年新高考藝術(shù)生突破數(shù)學(xué)90分講義
第5講 函數(shù)的基本性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性，奇偶性，周期性-2022年新高考藝術(shù)生40天突破數(shù)學(xué)90分練習(xí)題

第5講 函數(shù)的基本性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性，奇偶性，周期性-2022年新高考藝術(shù)生40天突破數(shù)學(xué)90分練習(xí)題
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部