1．（5分）已知正項遞增等比數(shù)列中，，，則
A．2B．8C．16D．32
2．（5分）若隨機(jī)變量的分布列如下表：則
A．0.4B．0.5C．0.6D．0.7
3．（5分）在下列各圖中，每個圖的兩個變量具有相關(guān)關(guān)系的圖是
A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（4）D．（2）（3）
4．（5分）某校有1000人參加某次模擬考試，其中數(shù)學(xué)考試成績近似服從正態(tài)分布，，試卷滿分150分，統(tǒng)計結(jié)果顯示數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀（高于120分）的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的，則此次數(shù)學(xué)考試成績在90分到105分之間的人數(shù)約為
A．150B．200C．300D．400
5．（5分）一袋中裝有10個球，其中3個黑球、7個白球，從中先后隨意各取一球（不放回），則第二次取到的是黑球的概率為
A．B．C．D．
6．（5分）已知多項式的展開式中的系數(shù)為160，則的值為
A．B．0C．1D．2
7．（5分）將甲、乙、丙、丁4名醫(yī)生隨機(jī)派往①，②，③三個村莊進(jìn)行義診活動，每個村莊至少派1名醫(yī)生，表示事件“醫(yī)生甲派往①村莊”； 表示事件“醫(yī)生乙派往①村莊”； 表示事件“醫(yī)生乙派往②村莊”，則
A．事件與相互獨立B．事件與相互獨立
C．D．
8．（5分）定義空間直角坐標(biāo)系中的任意點，，的“數(shù)”為：在點的坐標(biāo)中不同數(shù)字的個數(shù)．如：，1，，，3，，，2，，若點的坐標(biāo)，，，1，2，，則所有這些點的“數(shù)”的平均值與最小值之差為
A．B．2C．D．
二．多項選擇題（每題5分，共20分。每題有多個選項，漏選可得2分，多選，錯選，不選均不得分）
9．（5分）甲、乙兩類水果的質(zhì)量（單位：分別服從正態(tài)分布，其正態(tài)分布密度曲線（正態(tài)分布密度曲線是函數(shù)的圖象）如圖所示，則下列說法正確的是
A．甲類水果的平均質(zhì)量為
B．甲類水果的質(zhì)量分布比乙類水果的質(zhì)量分布更集中于平均值左右
C．平均質(zhì)量分布在，時甲類水果比乙類水果占比大
D．
10．（5分）已知數(shù)字0，1，2，3，4，由它們組成四位數(shù)，下列說法正確的有
A．組成可以有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有500個
B．組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有96個
C．組成無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有66個
D．組成無重復(fù)數(shù)字且百位是奇數(shù)的四位偶數(shù)有28個
11．（5分）已知等差數(shù)列的公差為，前項和為，且，，以下命題正確的是
A．的最大值為12
B．?dāng)?shù)列是公差為的等差數(shù)列
C．
D．
12．（5分）已知的展開式中第5項與第7項的二項式系數(shù)相等，且展開式的各項系數(shù)之和為1024，則下列說法正確的是
A．展開式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為512
B．展開式中第7項系數(shù)最大
C．展開式中不存在常數(shù)項
D．展開式中含的項的系數(shù)為45
三、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分）
13．（5分）已知，若，則 ．
14．（5分）對正在橫行全球的“新冠病毒”，某科研團(tuán)隊研發(fā)了一款新藥用于治療，為檢驗藥效，該團(tuán)隊從“新冠”感染者中隨機(jī)抽取100名，檢測發(fā)現(xiàn)其中感染了“普通型毒株”、“德爾塔型毒株”、“其他型毒株”的人數(shù)占比為，對他們進(jìn)行治療后，統(tǒng)計出該藥對“普通型毒株”、“德爾塔型毒株”、“其他型毒株”的有效率分別為、、，那么你預(yù)估這款新藥對“新冠病毒”的總體有效率是 ．
15．（5分）已知等差數(shù)列的前項和為，且，則滿足的正整數(shù)的最大值為 ．
16．（5分）如圖，在數(shù)軸上，一個質(zhì)點在外力的作用下，從原點出發(fā)，每次等可能地向左或向右移動一個單位，共移動6次，則事件“質(zhì)點位于的位置”的概率為 ．
四．解答題（共6小題，滿分70分．每題要寫出必要的證明，演算過程，推論或步驟）
17．（10分）已知二項式．
（1）求展開式的常數(shù)項；
（2）求展開式中二項式系數(shù)最大的項．
18．（12分）已知數(shù)列是等比數(shù)列，，且，，成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）若，求數(shù)列的前項和，并證明．
19．（12分）在一次購物抽獎活動中，假設(shè)某10張獎券中有一等獎獎券1張，可獲價值50元的獎品；有二等獎獎券3張，每張可獲價值10元的獎品；其余6張沒有獎．某顧客從這10張中任抽2張．求：
（1）該顧客中獎的概率；
（2）該顧客獲得的獎品總價值（元的分布列．
20．（12分）某生物小組為了研究溫度對某種酶的活性的影響進(jìn)行了一組實驗，得到的實驗數(shù)據(jù)經(jīng)整理得到如圖的折線圖：
參考數(shù)據(jù)：，，，．
參考公式：相關(guān)系數(shù)
回歸直線方程參考公式：，．
（1）由圖可以看出，這種酶的活性與溫度具有較強(qiáng)的線性相關(guān)性，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；
（2）求關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測當(dāng)溫度為時，這種酶的活性指標(biāo)值．（計算結(jié)果精確到
21．（12分）已知數(shù)列、滿足，若數(shù)列是等比數(shù)列且，．
（1）求數(shù)列、的通項公式；
（2）令，求的前項和為．
22．（12分）高爾頓板是英國生物統(tǒng)計學(xué)家高爾頓設(shè)計用來研究隨機(jī)現(xiàn)象的模型，在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯開的圓柱形小木塊，小木塊之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ溃懊鎿跤幸粔K玻璃，讓一個小球從高爾頓板上方的通道口落下，小球在下落的過程中與層層小木塊碰撞，且等可能向左或向右滾下，最后掉入高爾頓板下方的某一球槽內(nèi)．
在如圖所示的小木塊中，上面7層為高爾頓板，最下面一層為改造的高爾頓板，小球從通道口落下，第一次與第2層中間的小木塊磁撞，以的概率向左或向右滾下，依次經(jīng)過7次與小木塊碰撞，最后掉入編號為1，2，，7的球槽內(nèi)．例如小球要掉入3號球槽，則在前6次碰撞中有2次向右4次向左滾到第7層的第3個空隙處，再以的概率向右滾下，或在前6次碰撞中有3次向右3次向左滾到第7層的第4個空隙處，再以的概率向左滾下．
（1）若進(jìn)行一次高爾頓板試驗，求小球落入第7層第6個空隙處的概率；
（2）小明同學(xué)在研究了高爾頓板后，利用該圖中的高爾頓板來到社團(tuán)文化節(jié)上進(jìn)行營利性“抽獎”活動，8元可以玩一次高爾頓板游戲，小球掉入號球槽得到的獎金為元．其中．
①求的分布列；
②高爾頓板游戲火爆進(jìn)行，很多同學(xué)參加了游戲，你覺得小明同學(xué)能營利嗎？
2021-2022學(xué)年廣東省深圳外國語學(xué)校高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、單項選擇題（每題5分，共40分）
1．（5分）已知正項遞增等比數(shù)列中，，，則
A．2B．8C．16D．32
【答案】
【分析】根據(jù)題意，設(shè)正項遞增的等比數(shù)列的公比為，由等比數(shù)列的通項公式可得的值，進(jìn)而計算可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)正項遞增的等比數(shù)列的公比為，則，
若，則，即，
又由，則，變形可得，
解可得或（舍，
則；
故選：．
【點評】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)以及應(yīng)用，涉及等比數(shù)列的通項公式，屬于基礎(chǔ)題．
2．（5分）若隨機(jī)變量的分布列如下表：則
A．0.4B．0.5C．0.6D．0.7
【答案】
【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)求得值，，即可求解．
【解答】解：由分布列的性質(zhì)可得，，解得，
，解得或2，
，．
故選：．
【點評】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．
3．（5分）在下列各圖中，每個圖的兩個變量具有相關(guān)關(guān)系的圖是
A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（4）D．（2）（3）
【答案】
【分析】仔細(xì)觀察圖象，尋找散點圖間的相互關(guān)系，主要觀察這些散點是否圍繞一條曲線附近排列著，由此能夠得到正確答案．
【解答】解：散點圖（1）中，所有的散點都在曲線上，所以（1）具有函數(shù)關(guān)系；
散點圖（2）中，所有的散點都分布在一條直線的附近，所以（2）具有相關(guān)關(guān)系；
散點圖（3）中，所有的散點都分布在一條曲線的附近，所以（3）具有相關(guān)關(guān)系，
散點圖（4）中，所有的散點雜亂無章，沒有分布在一條曲線的附近，所以（4）沒有相關(guān)關(guān)系．
故選：．
【點評】本題考查散點圖和相關(guān)關(guān)系，是基礎(chǔ)題．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．
4．（5分）某校有1000人參加某次模擬考試，其中數(shù)學(xué)考試成績近似服從正態(tài)分布，，試卷滿分150分，統(tǒng)計結(jié)果顯示數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀（高于120分）的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的，則此次數(shù)學(xué)考試成績在90分到105分之間的人數(shù)約為
A．150B．200C．300D．400
【答案】
【分析】由已知求出，進(jìn)一步求出，則答案可求．
【解答】解：，
，
，
此次數(shù)學(xué)考試成績在90分到105分之間的人數(shù)約為．
故選：．
【點評】本題主要考查正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
5．（5分）一袋中裝有10個球，其中3個黑球、7個白球，從中先后隨意各取一球（不放回），則第二次取到的是黑球的概率為
A．B．C．D．
【答案】
【分析】求出基本事件總數(shù)和事件包含的基本事件數(shù)，再利用古典概型的概率計算公式即可．
【解答】解：設(shè)第二次取到的是黑球為事件，
基本事件總數(shù)為，
事件包含的基本事件數(shù)為，
則（A），
故選：．
【點評】本題主要考查古典概型的概率計算公式，屬于基礎(chǔ)題．
6．（5分）已知多項式的展開式中的系數(shù)為160，則的值為
A．B．0C．1D．2
【答案】
【分析】對原式子進(jìn)行變形，利用二項式定理的展開式，即可解出．
【解答】解：，
展開式中的系數(shù)為，
，
，
故選：．
【點評】本題考查了二項式定理的展開式，學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
7．（5分）將甲、乙、丙、丁4名醫(yī)生隨機(jī)派往①，②，③三個村莊進(jìn)行義診活動，每個村莊至少派1名醫(yī)生，表示事件“醫(yī)生甲派往①村莊”； 表示事件“醫(yī)生乙派往①村莊”； 表示事件“醫(yī)生乙派往②村莊”，則
A．事件與相互獨立B．事件與相互獨立
C．D．
【答案】
【分析】由古典概型概率計算公式求出（A），（B），（C），，，再利用相互獨立事件的定義能判斷；利用條件概率公式計算能判斷．
【解答】解：將甲、乙、丙、丁4名醫(yī)生派往①②③三個村莊義診的試驗有個基本事件，它們等可能，
事件含有的基本事件數(shù)為，則（A），
同理（B）（C），
事件含有的基本事件個數(shù)為，則，
事件含有的基本事件數(shù)為，則，
對于，（A）（B），即事件與相互不獨立，故不正確；
對于，（A）（C），即事件與相互不獨立，故不正確；
對于，，故不正確；
對于，，故正確．
故選：．
【點評】本題考查命題真假的判斷，考查相互獨立事件的定義、條件概率公式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
8．（5分）定義空間直角坐標(biāo)系中的任意點，，的“數(shù)”為：在點的坐標(biāo)中不同數(shù)字的個數(shù)．如：，1，，，3，，，2，，若點的坐標(biāo)，，，1，2，，則所有這些點的“數(shù)”的平均值與最小值之差為
A．B．2C．D．
【答案】
【分析】由題意分恰有3個相同數(shù)字的排列，恰有2個相同數(shù)字的排列，恰有3個不同數(shù)字的排列三種情況討論，對所求的結(jié)果與其對應(yīng)的數(shù)乘積，再結(jié)合平均值公式求平均值，再求差．
【解答】解：點的坐標(biāo)，，，1，2，，分三種情況討論，
①恰有3個相同數(shù)字的排列為種，則，，共有4個，
②恰有2個相同數(shù)字的排列為種，則，，共有36個，
③恰有3個不同數(shù)字的排列為種，則，，共有24個，
所以點的“數(shù)”的平均值為，
平均值與最小值之差為．
故選：．
【點評】本題主要考查了排列與組合的簡單計數(shù)問題，以及平均值公式應(yīng)用問題，是中檔題．
二．多項選擇題（每題5分，共20分。每題有多個選項，漏選可得2分，多選，錯選，不選均不得分）
9．（5分）甲、乙兩類水果的質(zhì)量（單位：分別服從正態(tài)分布，其正態(tài)分布密度曲線（正態(tài)分布密度曲線是函數(shù)的圖象）如圖所示，則下列說法正確的是
A．甲類水果的平均質(zhì)量為
B．甲類水果的質(zhì)量分布比乙類水果的質(zhì)量分布更集中于平均值左右
C．平均質(zhì)量分布在，時甲類水果比乙類水果占比大
D．
【答案】
【分析】根據(jù)正態(tài)密度曲線的性質(zhì)結(jié)合圖形逐一分析四個選項得結(jié)論．
【解答】解：由圖可知甲圖象關(guān)于對稱，，故正確；
甲圖象比乙圖象更高瘦，故甲類水果的質(zhì)量分布比乙類水果的質(zhì)量分布更集中于平均值左右，故正確；
且平均質(zhì)量分布在，時甲類水果比乙類水果占比大，故正確；
乙圖象的最大值為1.99，即，則，故錯誤．
故選：．
【點評】本題考查正態(tài)密度曲線的性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題．
10．（5分）已知數(shù)字0，1，2，3，4，由它們組成四位數(shù)，下列說法正確的有
A．組成可以有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有500個
B．組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有96個
C．組成無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有66個
D．組成無重復(fù)數(shù)字且百位是奇數(shù)的四位偶數(shù)有28個
【答案】
【分析】根據(jù)題意，利用排列組合知識依次分析選項是否正確，即可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項：
對于，四位數(shù)的首位不能為0，有4種情況，其他數(shù)位有5種情況，則組成可以有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有個，正確；
對于，四位數(shù)的首位不能為0，有4種情況，在剩下的4個數(shù)字中，任選3個，排在后面3個數(shù)位，有種情況，則組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有個，正確；
對于，若0在個位，有個四位偶數(shù)，若0不在個位，有個四位偶數(shù)，則有個四位偶數(shù)，錯誤；
對于，當(dāng)個位數(shù)字為0時，有個，
當(dāng)個位數(shù)字不為0時，有個，
所以組成百位是奇數(shù)的四位偶數(shù)共有個，正確；
故選：．
【點評】本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分步、分類計數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
11．（5分）已知等差數(shù)列的公差為，前項和為，且，，以下命題正確的是
A．的最大值為12
B．?dāng)?shù)列是公差為的等差數(shù)列
C．
D．
【答案】
【分析】由已知結(jié)合等差數(shù)列的通項公式及求和公式檢驗各選項即可判斷．
【解答】解：等差數(shù)列中，設(shè)公差為，
因為，，
所以，錯誤；
所以，
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)或3時，取得最大值12，正確；
當(dāng)時，顯然錯誤；
是公差為的等差數(shù)列，正確．
故選：．
【點評】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式及求和公式的應(yīng)用，屬于中檔題．
12．（5分）已知的展開式中第5項與第7項的二項式系數(shù)相等，且展開式的各項系數(shù)之和為1024，則下列說法正確的是
A．展開式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為512
B．展開式中第7項系數(shù)最大
C．展開式中不存在常數(shù)項
D．展開式中含的項的系數(shù)為45
【答案】
【分析】由題意，利用二項式展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質(zhì)，逐一判斷各個選項是否正確，從而得出結(jié)論．
【解答】解：的展開式中第5項與第7項的二項式系數(shù)相等，且展開式的各項系數(shù)之和為1024，
，．
展開式的各項系數(shù)之和為，，二項式即，
故展開式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為，故正確；
第項為，故當(dāng)時，該項的系數(shù)最大，即第6項的系數(shù)最大，故錯誤；
令，求得無整數(shù)解，故展開式中不存在常數(shù)項，故正確；
令，故展開式中不存在含的項，故錯誤．
故選：．
【點評】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項式展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
三、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分）
13．（5分）已知，若，則 0 ．
【答案】0．
【分析】先根據(jù)求出，然后利用賦值法即可．
【解答】解：由題意，解得，
令，則，
所以．
故答案為：0．
【點評】本題考查二項式定理的系數(shù)問題，屬于基礎(chǔ)題．
14．（5分）對正在橫行全球的“新冠病毒”，某科研團(tuán)隊研發(fā)了一款新藥用于治療，為檢驗藥效，該團(tuán)隊從“新冠”感染者中隨機(jī)抽取100名，檢測發(fā)現(xiàn)其中感染了“普通型毒株”、“德爾塔型毒株”、“其他型毒株”的人數(shù)占比為，對他們進(jìn)行治療后，統(tǒng)計出該藥對“普通型毒株”、“德爾塔型毒株”、“其他型毒株”的有效率分別為、、，那么你預(yù)估這款新藥對“新冠病毒”的總體有效率是 ．
【分析】求出感染各種毒株有效人數(shù)，再求總體有效率．
【解答】解：普通型毒株有效人數(shù)為：人．
德爾塔型毒株有效人數(shù)為：人．
其他型毒株有效人數(shù)為：人．
治療有效人數(shù)為：人，
所以總體有效率為．
故答案為：．
【點評】本題考查了概率統(tǒng)計，求出有效總?cè)藬?shù)是本題的關(guān)鍵．
15．（5分）已知等差數(shù)列的前項和為，且，則滿足的正整數(shù)的最大值為 14 ．
【答案】14．
【分析】由已知可得，，，然后結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，求和公式即可求解．
【解答】解：因為等差數(shù)列中，，
所以，，，
故，，
則滿足的正整數(shù)的最大值為14．
故答案為：14．
【點評】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
16．（5分）如圖，在數(shù)軸上，一個質(zhì)點在外力的作用下，從原點出發(fā)，每次等可能地向左或向右移動一個單位，共移動6次，則事件“質(zhì)點位于的位置”的概率為 ．
【答案】．
【分析】根據(jù)分步計數(shù)原理進(jìn)行計算即可．
【解答】解：質(zhì)點移動6次，可能結(jié)果共有種，
質(zhì)若點位于的位置，則質(zhì)點需要向左移動4次，然后向右移動2次，
則有種，
則對應(yīng)的概率，
故答案為：．
【點評】本題主要考查古典概型的概率的計算，利用分步計數(shù)原理進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．
四．解答題（共6小題，滿分70分．每題要寫出必要的證明，演算過程，推論或步驟）
17．（10分）已知二項式．
（1）求展開式的常數(shù)項；
（2）求展開式中二項式系數(shù)最大的項．
【答案】（1）240；（2）．
【分析】（1）先求出展開式的通項公式，再令的指數(shù)為0，求出即可．
（2）展開式共有7項，得到展開式中二項式系數(shù)最大的項為．
【解答】解：（1）展開式的通項公式為，
令，則，
展開式的常數(shù)項為．
（2）展開式共有7項，
展開式中二項式系數(shù)最大的項為．
【點評】本題考查了二項式定理的應(yīng)用，涉及到常數(shù)項，二項式系數(shù)最大的問題，屬于中檔題．
18．（12分）已知數(shù)列是等比數(shù)列，，且，，成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）若，求數(shù)列的前項和，并證明．
【答案】（1）；
（2）證明見解答．
【分析】（1）由已知結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)及等比數(shù)列的通項公式，即可求解；
（2）利用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)先求，然后利用裂項求和求出，即可證明．
【解答】解：（1）數(shù)列是等比數(shù)列，，且，，成等差數(shù)列；
所以，，即，
解得，，，故；
（2）證明：由（1）得，
所以．
【點評】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，等比數(shù)列的通項公式，裂項求和的應(yīng)用，屬于中檔題．
19．（12分）在一次購物抽獎活動中，假設(shè)某10張獎券中有一等獎獎券1張，可獲價值50元的獎品；有二等獎獎券3張，每張可獲價值10元的獎品；其余6張沒有獎．某顧客從這10張中任抽2張．求：
（1）該顧客中獎的概率；
（2）該顧客獲得的獎品總價值（元的分布列．
【答案】（1）；（2）見解答．
【分析】（1）根據(jù)對立事件的概率公式，古典概型的概率公式，即可求解；
（2）根據(jù)題意可得可能取的為0，10，20，50，60，再分別求出對應(yīng)取值的概率，即可求解．
【解答】解：（1）根據(jù)題意可得該顧客中獎的概率為；
（2）根據(jù)題意可得可能取的為0，10，20，50，60，
又，
，
，
，
，
的分布列為：
【點評】本題考查對立事件的概率公式，古典概型的概率公式，離散型隨機(jī)變量的分布列，屬基礎(chǔ)題．
20．（12分）某生物小組為了研究溫度對某種酶的活性的影響進(jìn)行了一組實驗，得到的實驗數(shù)據(jù)經(jīng)整理得到如圖的折線圖：
參考數(shù)據(jù)：，，，．
參考公式：相關(guān)系數(shù)
回歸直線方程參考公式：，．
（1）由圖可以看出，這種酶的活性與溫度具有較強(qiáng)的線性相關(guān)性，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；
（2）求關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測當(dāng)溫度為時，這種酶的活性指標(biāo)值．（計算結(jié)果精確到
【答案】（1），這種酶的活性與溫度具有較強(qiáng)的線性相關(guān)性；
（2），預(yù)測當(dāng)溫度為時，這種酶的活性指標(biāo)值為13.17．
【分析】（1）由相關(guān)系數(shù)公式求得相關(guān)系數(shù)的值得結(jié)論；
（2）由已知數(shù)據(jù)求得與的值，可得線性回歸方程，取求得值即可．
【解答】解：（1），
，
，
這種酶的活性與溫度具有較強(qiáng)的線性相關(guān)性；
（2），
，
關(guān)于的線性回歸方程為，
取，可得．
故預(yù)測當(dāng)溫度為時，這種酶的活性指標(biāo)值為13.17．
【點評】本題考查線性回歸方程的求法，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
21．（12分）已知數(shù)列、滿足，若數(shù)列是等比數(shù)列且，．
（1）求數(shù)列、的通項公式；
（2）令，求的前項和為．
【答案】（1），；
（2）．
【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，，，時，，求出，當(dāng)時，，相比可得，結(jié)合，可得，．進(jìn)而得出，再利用，即可得出答案．
（2）由（1）可得，再利用錯位相減法求和即可．
【解答】解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，
，，
當(dāng)時，，解得，
當(dāng)時，，
，
，
，解得．
，，
，，
；
（2）由（1）得，，則，
的前項和為，
，
，
．
【點評】本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與求和公式、錯位相減法，考查邏輯推理能力與運(yùn)算能力，屬于中檔題．
22．（12分）高爾頓板是英國生物統(tǒng)計學(xué)家高爾頓設(shè)計用來研究隨機(jī)現(xiàn)象的模型，在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯開的圓柱形小木塊，小木塊之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ溃懊鎿跤幸粔K玻璃，讓一個小球從高爾頓板上方的通道口落下，小球在下落的過程中與層層小木塊碰撞，且等可能向左或向右滾下，最后掉入高爾頓板下方的某一球槽內(nèi)．
在如圖所示的小木塊中，上面7層為高爾頓板，最下面一層為改造的高爾頓板，小球從通道口落下，第一次與第2層中間的小木塊磁撞，以的概率向左或向右滾下，依次經(jīng)過7次與小木塊碰撞，最后掉入編號為1，2，，7的球槽內(nèi)．例如小球要掉入3號球槽，則在前6次碰撞中有2次向右4次向左滾到第7層的第3個空隙處，再以的概率向右滾下，或在前6次碰撞中有3次向右3次向左滾到第7層的第4個空隙處，再以的概率向左滾下．
（1）若進(jìn)行一次高爾頓板試驗，求小球落入第7層第6個空隙處的概率；
（2）小明同學(xué)在研究了高爾頓板后，利用該圖中的高爾頓板來到社團(tuán)文化節(jié)上進(jìn)行營利性“抽獎”活動，8元可以玩一次高爾頓板游戲，小球掉入號球槽得到的獎金為元．其中．
①求的分布列；
②高爾頓板游戲火爆進(jìn)行，很多同學(xué)參加了游戲，你覺得小明同學(xué)能營利嗎？
【答案】（1）．
（2）①的分布列為：
②小明同學(xué)能盈利．
【分析】（1）記小球落入第7層第6個空隙處的事件為，小球落入第7層第6個空隙處，需要6次碰撞中有1次向左5次向右，由此能求出這個小球 落入第7層第6個空隙處的概率．
（2）①的可能取值為1，2，3，4，5，6，7，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出的分布列．
②由的分布列，求出獎金的分布列和數(shù)學(xué)期望，由此能判斷小明同學(xué)能否盈利．
【解答】解：（1）記小球落入記小球落入第7層第6個空隙處的事件為，
小球落入第7層第6個空隙處，需要6次碰撞中有1次向左5次向右，
這個小球 落入第7層第6個空隙處的概率．
（2）①由已知得的可能取值為1，2，3，4，5，6，7，
，
，
，
，
的分布列為：
②，
的可能取值為0，5，10，15，
，
，
，
．
，
小明同學(xué)能盈利．
【點評】本題考查概率、離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法，考查排列組合、次獨立重復(fù)試驗中事件恰好發(fā)生的概率計算公式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．
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