2022-2023學年廣東省深圳市龍崗區(qū)德琳學校高二（下）期中數(shù)學試卷一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.  已知集合，，則(    )A.  B.  C.  D. 2.  已知復數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則(    )A.  B.  C.  D. 3.  根據(jù)變量與的對應關系如表，求得關于的線性回歸方程為，則表中的值為(    )  A.  B.  C.  D. 4.  的展開式中，的系數(shù)為(    )A.  B.  C.  D. 5.  已知隨機變量，滿足，的期望，分布列為：則，的值分別為(    )A. ， B.  C.  D. 6.  已知命題：，命題：，則是的(    )A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件7.  某學校為了搞好課后服務工作，教務科組建了一批社團，學生們都能積極選擇自己喜歡的社團目前話劇社團、書法社團、攝影社團、街舞社團分別還可以再接收名學生，恰好含甲、乙的名同學前來教務科申請加入，按學校規(guī)定每人只能加入一個社團，則甲進街舞社團，乙進書法社團或攝影社團的概率為(    )A.  B.  C.  D. 8.  已知，，，則下列選項正確的是(    )A.  B.  C.  D. 二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）9.  下列求導正確的是(    )A. 若，則
B. 若，則
C. 若，則
D. 若，則10.  現(xiàn)有來自兩個社區(qū)的核酸檢驗報告表，分裝袋，第一袋有名男士和名女士的報告表，第二袋有名男士和名女士的報告表．隨機選一袋，然后從中隨機抽取份，則(    )A. 在選第一袋的條件下，兩份報告表都是男士的概率為
B. 兩份報告表都是男士的概率為
C. 在選第二袋的條件下，兩份報告表恰好男士和女士各份的概率為
D. 兩份報告表恰好男士和女士各份的概率為11.  已知，則下列結論正確的是(    )A. 展開式中所有項的二項式系數(shù)的和為 B.
C.  D. 12.  已知，則下列結論正確的有．(    )A. 若，則
B. 若，則
C.
D. 若，則三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.  已知函數(shù)，那么在點處的切線方程為        ．14.  已知服從正態(tài)分布，且，則 ______ ．15.  甲、乙兩人進行乒乓球比賽，采用“局勝制”，即先勝局為勝方，比賽結束．已知甲每局獲勝的概率均為，則甲開局獲勝并且最終以：取勝的概率為______．16.  已知函數(shù)，若在定義域上單調遞增，則實數(shù)的取值范圍是______ ．四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.  本小題分
已知，，全集．
若，求；
若，求實數(shù)的取值范圍．18.  本小題分
已知數(shù)列滿足，．
證明是等比數(shù)列，并求的通項公式；
求數(shù)列的前項和．19.  本小題分
年月，教育部印發(fā)關于全面加強和改進新時代學校衛(wèi)生與健康教育工作的意見中指出：中小學生各項身體素質有所改善，大學生整體下降某高校為提高學生身體素質，號召全校學生參加體育鍛煉運，結合“微信運動”每日統(tǒng)計運動情況，對每日平均運動步或以上的學生授予“運動達人”稱號，低于步稱為“參與者”，統(tǒng)計了名學生在某月的運動數(shù)據(jù)，結果如下：  運動達人參與者合計男生 女生   合計 完善列聯(lián)表并說明：能否在犯錯誤概率不超過的前提下認為獲得“運動達人”稱號與性別有關？
從全校運動“參與者”中按性別分層抽取人，再從人中選取人參加特訓，將男生人數(shù)記為，求的分布列與期望．
參考公式：，．  20.  本小題分
如圖，直三棱柱的側面為正方形，，，分別為，的中點，．
證明：平面；
求平面與平面夾角的余弦值．
21.  本小題分
張先生到一家公司參加面試，面試的規(guī)則是：面試官最多向他提出五個問題，只要正確回答出三個問題即終止提問，通過面試根據(jù)經(jīng)驗，張先生能夠正確回答面試官提出的任何一個問題的概率為，假設回答各個問題正確與否互不干擾．
求張先生通過面試的概率；
記本次面試張先生回答問題的個數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望．22.  本小題分
已知函數(shù)．
若，討論函數(shù)的單調性；
若函數(shù)有兩個極值點，求的取值范圍．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，
，
，
故選：．
化簡集合，再求并集即可．
此題考查了并集及其運算，熟練掌握并集的定義是解本題的關鍵．
 2.【答案】 【解析】解：，
，
，
故選：．
根據(jù)已知條件，結合復數(shù)的運算法則，即可求解．
本題主要考查復數(shù)的運算法則，考查復數(shù)求模問題，屬于基礎題．
 3.【答案】 【解析】解：由表中數(shù)據(jù)，計算，，
因為回歸直線方程過樣本中心，
，
解得．
故選：．
先求得樣本點中心，再根據(jù)回歸直線過樣本點中心即可求解．
本題考查線性回歸方程的運用，解題的關鍵是利用線性回歸方程恒過樣本中心點，這是線性回歸方程中最常考的知識點．屬于基礎題．
 4.【答案】 【解析】解：二項式的展開式中含的項為，
所以的系數(shù)為，
故選：．
利用二項式定理求出展開式中含的項，由此即可求解．
本題考查了二項式定理的應用，屬于基礎題．
 5.【答案】 【解析】解：由分布列的性質可得，，
，
隨機變量，滿足，的期望，
，
聯(lián)立解得，，．
故選：．
根據(jù)已知條件，結合離散型隨機變量分布列的性質，以及期望公式，即可求解．
本題主要考查離散型隨機變量分布列的性質，以及期望公式，屬于基礎題．
 6.【答案】 【解析】解：命題：，即命題：，命題：，即命題：或．
由命題：成立，可得命題：或成立，故充分性成立．
但由命題：或成立，不能推出命題：成立，故必要性不成立，
故是的充分不必要條件，
故選：．
由題意，利用充分條件、必要條件、充要條件的定義，得出結論．
本題主要考查充分條件、必要條件、充要條件的定義，屬于中檔題．
 7.【答案】 【解析】解：名同學分別進入話劇社團、書法社團、攝影社團、街舞社團共有種，
其中甲進街舞社團，乙進書法社團或攝影社團有種，
由古典概型的概率計算公式可得，按學校規(guī)定每人只能加入一個社團，則甲進街舞社團，乙進書法社團或攝影社團的概率為．
故選：．
先利用排列計算出總的種數(shù)，再計算出甲進街舞社團，乙進書法社團或攝影社團的種數(shù)，最后代入古典概型的概率計算公式即可求解．
本題主要考查了古典概型的概率公式，屬于基礎題．
 8.【答案】 【解析】【分析】本題考查了不等式的大小比較，導數(shù)和函數(shù)的單調性，屬于中檔題．
由，，，則，，的大小比較可以轉化為的大小比較．設，則，根據(jù)對數(shù)的運算性質，導數(shù)和函數(shù)的單調性，即可比較．【解答】解：，，，
，
，，的大小比較可以轉化為的大小比較．
設，
則，
當時，，當時，，當時，，
在上，單調遞減，
，
，
，
故選：．  9.【答案】 【解析】解：對于，若，則，故A正確；
對于，若，則，故B錯誤；
對于，若，則，故C正確；
對于，若，則，故D錯誤．
故選：．
根據(jù)基本初等函數(shù)的導數(shù)公式，導數(shù)的四則運算法則，簡單復合函數(shù)的導數(shù)對選項逐一分析即可得到答案．
本題主要考查了函數(shù)求導公式的應用，屬于基礎題．
 10.【答案】 【解析】解：對于，在選第一袋的條件下，兩份報告表都是男士的概率為，A正確；
對于，若選第一袋，兩份報告表都是男士的概率為；若選第二袋，兩份報告表都是男士的概率為；
則兩份報告表都是男士的概率為，B錯誤；
對于，在選第二袋的條件下，兩份報告表恰好男士和女士各份的概率為，C正確；
對于，若選第一袋，兩份報告表恰好男士和女士各份的概率為；
若選第二袋，兩份報告表恰好男士和女士各份的概率為；
則兩份報告表恰好男士和女士各份的概率為，D錯誤．
故選：．
由條件概率和全概率公式依次計算求解即可．
本題考查了古典概型和條件概率相關知識，屬于基礎題．
 11.【答案】 【解析】解：，
令，得，故B正確；
令，得；故A錯誤
令，得，
兩式相加，得，
，故C正確；
兩式相減，計算可得，故D錯誤．
故選：．
根據(jù)已知條件，結合賦值法，即可求解．
本題主要考查二項式定理的應用，屬于基礎題．
 12.【答案】 【解析】【分析】本題主要考查二項分布數(shù)學期望與方差的求解，需要學生熟練掌握公式，屬于基礎題．
根據(jù)已知條件結合選項分別判斷即可．【解答】解：，若，則，，故A選項錯誤，選項正確，
，，故C選項正確，
，，化簡整理可得，解得，故D選項正確．
故選：．  13.【答案】 【解析】解：函數(shù)的導數(shù)為，
可得在點處的切線的斜率為，
切線的方程為，
即為．
故答案為：．
求得的導數(shù)，可得切線的斜率和切點，由直線的點斜式方程可得所求切線方程．
本題考查導數(shù)的運用：求切線的方程，考查方程思想和運算能力，屬于基礎題．
 14.【答案】 【解析】解：由題知：，故，
又，
故．
故答案為：．
由正態(tài)分布的對稱性求解即可．
本題主要考查了正態(tài)分布曲線的對稱性，屬于基礎題．
 15.【答案】 【解析】解：甲開局獲勝并且最終以：取勝的情況共種：勝負勝勝，勝勝負勝，
故所求概率為．
故答案為：．
甲開局獲勝并且最終以：取勝的情況共種：勝負勝勝，勝勝負勝，利用相互獨立與互斥事件的概率計算公式即可得出結論．
本題考查了相互獨立與互斥事件的概率計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．
 16.【答案】 【解析】解：函數(shù)的定義域為，，
因為在定義域上單調遞增，所以在上恒成立，
又，所以在上恒成立，即，
設，原問題等價于求在上的最小值，
因為，
所以當時，，即在上單調遞減；當時，，即在上單調遞增，
所以，
所以，即實數(shù)的取值范圍是．
故答案為：．
采用參變分離法，可將原問題轉化為在上恒成立，設，再利用導數(shù)求出在上的最小值，即可．
本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性與最值，理解函數(shù)的單調性與導數(shù)的正負性之間的關系，熟練掌握參變分離法是解題的關鍵，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．
 17.【答案】解：時，，，全集，
所以或，
；
，，
若，
當時，，即，
當時，，解得，
綜上，的取值范圍為或． 【解析】先分別求出集合，，然后結合集合的交集及補集運算即可求解；
由已知結合集合的包含關系對是否為空集進行分類討論可求．
本題主要考查了集合的基本運算及集合包含關系的應用，體現(xiàn)了分類討論思想的應用，屬于基礎題．
 18.【答案】證明：由題意可得：，
，
所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，
則，即，
因此的通項公式為；
解：由知，
令，則，
所以，
綜上． 【解析】根據(jù)題意結合等比數(shù)列定義可證，可得是首項為，公比為的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列通項公式代入運算；
因為，利用分組求和結合等差、等比數(shù)列求和公式整理運算．
本題考查了等比數(shù)列的證明以及分組求和計算問題，屬于基礎題．
 19.【答案】解：由題意完善列聯(lián)表：  運動達人參與者合計男生女生合計，
故在犯錯誤概率不超過的前提下不能認為獲得“運動達人”稱號與性別有關；
由題意知：選取的人運動參與者中男生人，女生人，
則服從超幾何分布，的所有可能情況為：、、、，
且，，，，
故的分布列為：． 【解析】完善列聯(lián)表，計算與比較大小，從而判斷在犯錯誤概率不超過的前提下認為獲得“運動達人”稱號與性別的相關性即可；
根據(jù)題意可知，服從超幾何分布，的所有可能情況為：、、、，計算對應概率，得到的分布列與期望即可．
本題考查離散型隨機變量的應用，屬于中檔題．
 20.【答案】證明：因為三棱柱為直三棱柱，
所以，又因為，，所以，
因為，，平面，
所以平面，
因為，平面，所以，，
因為為正方形，所以，
故以為坐標原點，，，分別為，，軸，建立空間直角坐標系，

則，
因為，
所以，
因為，平面，，
所以平面；
解：由可知：平面的一個法向量為，
設平面的法向量為，
則，
解得：，令，則，所以，
設平面與平面夾角為，
故，
故平面與平面夾角的余弦值為． 【解析】證明出，，兩兩垂直，建立空間直角坐標系，利用空間向量的數(shù)量積為得到，從而證明出線面垂直；
求出兩平面的法向量，求出平面夾角的余弦值．
本題考查了線面垂直的證明和二面角的計算，屬于中檔題．
 21.【答案】解：記張先生第次答對面試官提出的問題為事件，則，張先生前三個問題均回答正確為事件，前三個問題回答正確兩個且第四個又回答正確為事件前四個問題回答正確兩個且第五個又回答正確為事件，張先生通過面試為事件，則．
根據(jù)題意，得，，．
因為事件，，互斥，所以，
即張先生能夠通過面試的概率為．
根據(jù)題意，，，表明前面三個問題均回答錯誤淘汰或均回答正確通過，所以；表明前面三個問題中有兩個回答錯誤且第四個問題又回答錯誤淘汰或者前面三個問題中有兩個回答正確且第四個問題回答正確通過，
所以；表明前面四個問題中有兩個回答錯誤，兩個回答正確，所以．
所以的分布列為：故． 【解析】記張先生第次答對面試官提出的問題為事件，則，張先生前三個問題均回答正確為事件，前三個問題回答正確兩個且第四個又回答正確為事件前四個問題回答正確兩個且第五個又回答正確為事件，張先生通過面試為事件，則，利用古典概型概率以及互斥事件的概率求解即可．
根據(jù)題意，，，求解概率，得到所的分布列，然后求解期望即可．
本題考查離散型隨機變量的分布列以及期望的求法，考查分析問題解決問題的能力，是中檔題．
 22.【答案】解：，，
，
當時，，當時，，
在上單調遞減，在上單調遞增．
，
設，，
當時，，當時，，
函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，
，且當時，，當時，，
則當時，方程有個不等的實根，
使得函數(shù)在上單調遞增，在單調遞減，在上單調遞增，
即若函數(shù)有兩個極值點，則．
故的取值范圍是． 【解析】代入的值，求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調區(qū)間即可；
求出函數(shù)的導數(shù)，問題轉化為方程有個不等的實根，設，根據(jù)函數(shù)的單調性求出的范圍即可．
本題考查了函數(shù)的單調性，極值問題，考查導數(shù)的應用以及轉化思想，是中檔題．
 

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