1．（5分）（2023春?龍華區(qū)校級期中）復(fù)數(shù)化簡的結(jié)果是
A．B．C．D．
2．（5分）（2023?張掖模擬）已知向量，滿足，且，則，夾角為
A．B．C．D．
3．（5分）（2023春?龍華區(qū)校級期中）函數(shù)圖象的對稱軸方程是
A．B．
C．D．
4．（5分）（2023春?龍華區(qū)校級期中）將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的解析式為
A．B．
C．D．
5．（5分）（2021秋?揚州期末）若，則的最小值為
A．2B．3C．4D．5
6．（5分）（2023春?龍華區(qū)校級期中）如圖，在正六邊形中，
A．B．C．D．
7．（5分）（2018春?贛州期末）某游輪在處看燈塔在的北偏東，距離為海里，游輪由向正北方向航行到處時再看燈塔在南偏東，則與的距離為
A．20海里B．24海里C．海里D．海里
8．（5分）（2023春?龍華區(qū)校級期中）已知函數(shù)，．若有2個零點，則實數(shù)的最小值是
A．2B．0C．D．1
二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9．（5分）（2023春?遼寧期中）已知復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是
A．
B．的虛部為
C．在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限
D．的共軛復(fù)數(shù)為
10．（5分）（2021春?岳陽期末）在中，若，，，則的值可以是
A．B．C．D．
11．（5分）（2022秋?西湖區(qū)校級期末）函數(shù)，則以下結(jié)論中不正確的是
A．在上單調(diào)遞增
B．為圖象的一條對稱軸
C．的最小正周期為
D．在上的值域是
12．（5分）（2023春?龍華區(qū)校級期中）函數(shù)，且（a）（b）（c），則
A．的值域為，
B．不等式的解集為，
C．
D．，
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13．（5分）（2022秋?西昌市期末）計算； ．
14．（5分）（2023春?龍華區(qū)校級期中）已知圓錐的底面半徑和高均為1，則該圓錐的表面積為 ．
15．（5分）（2023春?龍華區(qū)校級期中）求值 ．
16．（5分）（2023春?龍華區(qū)校級期中）如圖，在平面四邊形中，，，，若點為邊上的動點，則的最小值為 ．
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17．（10分）（2022春?滿洲里市校級期末）已知復(fù)數(shù)，，為虛數(shù)單位．
（1）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第一象限，求實數(shù)的取值范圍；
（2）若，求的共軛復(fù)數(shù)．
18．（12分）（2023春?龍華區(qū)校級期中）已知向量．
（1）已知且，求；
（2）已知，且，求向量與向量的夾角．
19．（12分）（2022秋?天河區(qū)校級期末）在中，，，且，求：
（1）求的值；
（2）求的面積．
20．（12分）（2021秋?南充期末）已知函數(shù)的部分圖象，如圖所示．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，再將得到的圖象上各點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖象，當時，求函數(shù)的值域．
21．（12分）（2023春?龍華區(qū)校級期中）如圖，在平面四邊形中，若，，，，．
（1）求；
（2）求證：．
22．（12分）（2022秋?西湖區(qū)校級期末）已知函數(shù)且．
（1）若函數(shù)為奇函數(shù)，求實數(shù)的值；
（2）對任意的，，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
2022-2023學(xué)年廣東省深圳外國語學(xué)校高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．（5分）（2023春?龍華區(qū)校級期中）復(fù)數(shù)化簡的結(jié)果是
A．B．C．D．
【答案】
【考點】復(fù)數(shù)的運算
【專題】數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運算；轉(zhuǎn)化法；轉(zhuǎn)化思想
【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)的乘除運算化簡復(fù)數(shù)即可．
【解答】解：．
故選：．
【點評】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運算，屬于基礎(chǔ)題．
2．（5分）（2023?張掖模擬）已知向量，滿足，且，則，夾角為
A．B．C．D．
【答案】
【考點】數(shù)量積表示兩個向量的夾角
【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算
【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積及向量的夾角公式即可求解．
【解答】解：，且，
，
，
故選：．
【點評】本題考查向量的數(shù)量積及向量的夾角公式的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題．
3．（5分）（2023春?龍華區(qū)校級期中）函數(shù)圖象的對稱軸方程是
A．B．
C．D．
【答案】
【考點】余弦函數(shù)的對稱性
【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；數(shù)學(xué)運算
【分析】采用整體對應(yīng)法即可構(gòu)造方程求得對稱軸方程．
【解答】解：令，解得：，
的對稱軸方程為．
故選：．
【點評】本題主要考查余弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
4．（5分）（2023春?龍華區(qū)校級期中）將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的解析式為
A．B．
C．D．
【答案】
【考點】函數(shù)的圖象變換
【專題】三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；數(shù)學(xué)運算；綜合法；轉(zhuǎn)化思想
【分析】直接按照平移變換規(guī)律即可得．
【解答】解：函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，
則函數(shù)．
故選：．
【點評】本題考查平移變換規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題．
5．（5分）（2021秋?揚州期末）若，則的最小值為
A．2B．3C．4D．5
【答案】
【考點】基本不等式及其應(yīng)用
【專題】計算題；方程思想；定義法；不等式的解法及應(yīng)用；邏輯推理；數(shù)學(xué)運算
【分析】由可得，從而，進一步即可利用基本不等式進行求解．
【解答】解：由，得，
所以，
當且僅當，即時等號成立，
所以的最小值為4．
故選：．
【點評】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，考查學(xué)生的邏輯推理和運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題．
6．（5分）（2023春?龍華區(qū)校級期中）如圖，在正六邊形中，
A．B．C．D．
【答案】
【考點】向量加減混合運算；向量的加法
【專題】數(shù)學(xué)運算；轉(zhuǎn)化法；平面向量及應(yīng)用；轉(zhuǎn)化思想
【分析】由向量的線性運算求解即可．
【解答】解：由題意可知，．
故選：．
【點評】本題主要考查向量的線性運算，屬于基礎(chǔ)題．
7．（5分）（2018春?贛州期末）某游輪在處看燈塔在的北偏東，距離為海里，游輪由向正北方向航行到處時再看燈塔在南偏東，則與的距離為
A．20海里B．24海里C．海里D．海里
【考點】：三角函數(shù)模型的應(yīng)用
【專題】31：數(shù)形結(jié)合；44：數(shù)形結(jié)合法；58：解三角形
【分析】先畫出草圖，根據(jù)條件得到，，解三角形可得．
【解答】解：根據(jù)題意可得：在中：，，海里，如圖所示：
則，
由正弦定理得：海里．
故選：．
【點評】本題主要考查正弦定理在解三角形中的應(yīng)用．解決此類問題的關(guān)鍵在于把文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號以及數(shù)學(xué)語言，用數(shù)學(xué)知識解題
8．（5分）（2023春?龍華區(qū)校級期中）已知函數(shù)，．若有2個零點，則實數(shù)的最小值是
A．2B．0C．D．1
【答案】
【考點】函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系
【專題】數(shù)形結(jié)合法；轉(zhuǎn)化思想；函數(shù)思想；數(shù)學(xué)運算；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
【分析】作出函數(shù)與函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合即可求解．
【解答】解：令可得，
當時，，
當時，的圖象與關(guān)于軸對稱，
所以作出函數(shù)與函數(shù)的圖象如下圖所示：
由上圖可知，當時，函數(shù)與函數(shù)的圖象有2個交點，
此時，函數(shù)有2個零點，
因此，實數(shù)的取值范圍是，，
即實數(shù)的最小值為1．
故選：．
【點評】本題考查了函數(shù)的零點、轉(zhuǎn)化思想及數(shù)形結(jié)合思想，作出圖象是關(guān)鍵，屬于中檔題．
二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9．（5分）（2023春?遼寧期中）已知復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是
A．
B．的虛部為
C．在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限
D．的共軛復(fù)數(shù)為
【答案】
【考點】復(fù)數(shù)的運算；復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義
【專題】數(shù)學(xué)運算；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算法則，結(jié)合復(fù)數(shù)虛部的定義、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)在復(fù)平面對應(yīng)點的特征、復(fù)數(shù)模的運算公式逐一判斷即可．
【解答】解：因為，
所以的虛部為，的共軛復(fù)數(shù)為在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限．
故選：．
【點評】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運算，屬于基礎(chǔ)題．
10．（5分）（2021春?岳陽期末）在中，若，，，則的值可以是
A．B．C．D．
【答案】
【考點】正弦定理
【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；解三角形；邏輯推理；數(shù)學(xué)運算
【分析】直接利用余弦定理和一元二次方程的解法的應(yīng)用求出結(jié)果．
【解答】解：設(shè)，利用余弦定理：，
解得．
故選：．
【點評】本題考查的知識要點：余弦定理和一元二次方程的解法，主要考查學(xué)生的運算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．
11．（5分）（2022秋?西湖區(qū)校級期末）函數(shù)，則以下結(jié)論中不正確的是
A．在上單調(diào)遞增
B．為圖象的一條對稱軸
C．的最小正周期為
D．在上的值域是
【答案】
【考點】正弦函數(shù)的單調(diào)性；三角函數(shù)的周期性；正弦函數(shù)的奇偶性和對稱性
【專題】轉(zhuǎn)化思想；計算題；數(shù)學(xué)運算；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)
【分析】利用誘導(dǎo)公式可得出，利用余弦函數(shù)的基本性質(zhì)逐項判斷可得出合適的選項．
【解答】解：因為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，
函數(shù)的圖象不關(guān)于直線對稱，函數(shù)的最小正周期為，
當時，，則在上的值域是，
所以錯誤，正確．
故選：．
【點評】本題主要考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
12．（5分）（2023春?龍華區(qū)校級期中）函數(shù)，且（a）（b）（c），則
A．的值域為，
B．不等式的解集為，
C．
D．，
【答案】
【考點】函數(shù)的值域；分段函數(shù)的應(yīng)用
【專題】對應(yīng)思想；分析法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算
【分析】根據(jù)題意，作出分段函數(shù)的圖象，觀察圖象，即可判斷，結(jié)合對稱性，即可判斷．
【解答】解：根據(jù)題意，作出分段函數(shù)的圖象：
根據(jù)圖象可知，的值域為，故錯誤；
不等式的解集為，，，故錯誤；
（a）（b）（c），
則，關(guān)于對稱，故，故正確，
，，故，，故正確．
故選：．
【點評】本題考查的知識點是分段函數(shù)的應(yīng)用，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13．（5分）（2022秋?西昌市期末）計算； ．
【答案】．
【考點】對數(shù)的運算性質(zhì)
【專題】數(shù)學(xué)運算；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；整體思想
【分析】利用指數(shù)運算公式，對數(shù)運算公式，即可解出．
【解答】解：原式，
故答案為：．
【點評】本題考查了指數(shù)式和對數(shù)式的運算，學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力，屬于基礎(chǔ)題．
14．（5分）（2023春?龍華區(qū)校級期中）已知圓錐的底面半徑和高均為1，則該圓錐的表面積為 ．
【答案】．
【考點】旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）；棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積
【專題】計算題；空間位置關(guān)系與距離；轉(zhuǎn)化思想；直觀想象；綜合法；數(shù)學(xué)運算
【分析】根據(jù)題意，可求出圓錐的母線長，利用圓錐表面積公式即可求出答案．
【解答】解：因為圓錐的底面半徑和高均為1，
所以圓錐的母線長為：，
所以圓錐的表面積為：，
故答案為：．
【點評】本題考查圓錐的表面積的求法，是基礎(chǔ)題．
15．（5分）（2023春?龍華區(qū)校級期中）求值 ．
【答案】．
【考點】兩角和與差的三角函數(shù)
【專題】綜合法；三角函數(shù)的求值；整體思想；數(shù)學(xué)運算
【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式和兩角差的正弦公式求解即可．
【解答】解：．
故答案為：．
【點評】本題主要考查了誘導(dǎo)公式及和差角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
16．（5分）（2023春?龍華區(qū)校級期中）如圖，在平面四邊形中，，，，若點為邊上的動點，則的最小值為 ．
【答案】．
【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算
【專題】數(shù)學(xué)運算；平面向量及應(yīng)用；轉(zhuǎn)化法；轉(zhuǎn)化思想
【分析】建立直角坐標系，得出，，利用向量的數(shù)量積運算得出，，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)即可求的最小值．
【解答】解：以點為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖平面直角坐標系，
則，，，
設(shè)點坐標為，則，，，
，
當時，．
故答案為：．
【點評】本題主要考查平面向量的數(shù)量積運算，屬于中檔題．
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17．（10分）（2022春?滿洲里市校級期末）已知復(fù)數(shù)，，為虛數(shù)單位．
（1）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第一象限，求實數(shù)的取值范圍；
（2）若，求的共軛復(fù)數(shù)．
【答案】（1）；
（2）．
【考點】復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義；復(fù)數(shù)的運算；共軛復(fù)數(shù)
【專題】整體思想；綜合法；數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運算
【分析】（1）由復(fù)數(shù)的運算，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義求解即可；
（2）由復(fù)數(shù)的運算，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的運算求解即可．
【解答】解：（1）由題意，復(fù)數(shù)，，
則，
復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第一象限，
，
解得，
實數(shù)的取值范圍；
（2）由，
所以．
【點評】本題考查了復(fù)數(shù)的運算，重點考查了共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬基礎(chǔ)題．
18．（12分）（2023春?龍華區(qū)校級期中）已知向量．
（1）已知且，求；
（2）已知，且，求向量與向量的夾角．
【答案】（1）或；
（2）．
【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算；平面向量共線（平行）的坐標表示
【專題】整體思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算
【分析】（1）設(shè)，得到方程，解出即可；
（2）由題意得，利用向量數(shù)量積運算律及定義得，解出即可．
【解答】解：（1）已知向量，
又，
設(shè)，
又，
則，
解得，
所以或；
（2）由題知，，，，
所以，，
所以，
所以，
所以，
所以，
因為，
所以向量與向量的夾角為．
【點評】本題考查了平面向量數(shù)量積的坐標運算，重點考查了平面向量夾角的運算，屬基礎(chǔ)題．
19．（12分）（2022秋?天河區(qū)校級期末）在中，，，且，求：
（1）求的值；
（2）求的面積．
【答案】（1）；
（2）．
【考點】正弦定理；余弦定理；解三角形
【專題】整體思想；綜合法；解三角形；數(shù)學(xué)運算
【分析】（1）由正弦定理化簡已知等式可得，由已知條件利用余弦定理得，解方程得到的值，進而可求得值．
（2）由已知條件，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得值，進而根據(jù)三角形的面積公示可計算得解．
【解答】解：（1）因為，由正弦定理得，，
所以，
由余弦定理得，因為，，
所以，化簡得，解得或，
當時，，與題意不符合；
當時，，符合題意．
所以．
（2）因為，，
所以，
所以的面積．
【點評】本題主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面積公式在求解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題．
20．（12分）（2021秋?南充期末）已知函數(shù)的部分圖象，如圖所示．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，再將得到的圖象上各點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖象，當時，求函數(shù)的值域．
【答案】（1）．（2）值域．
【考點】函數(shù)的圖象變換；由的部分圖象確定其解析式
【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；數(shù)學(xué)運算
【分析】（1）由函數(shù)的圖象的頂點坐標求出，由周期求出，由五點法作圖求出的值，可得函數(shù)的解析式．
（2）由題意利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)的值域．
【解答】解：（1）根據(jù)函數(shù)的部分圖象，
可得，，所以，
再根據(jù)五點法作圖可得，
所以，故．
（2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位后，
可得 的圖象，
再將得到的圖象上各點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變，
得到函數(shù)的圖象，
由，可得，
由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
，，
所以，
所以，函數(shù)在的值域為．
【點評】本題主要考查由函數(shù)的部分圖象求解析式，由函數(shù)的圖象的頂點坐標求出，由周期求出，由五點法作圖求出的值，函數(shù)的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．
21．（12分）（2023春?龍華區(qū)校級期中）如圖，在平面四邊形中，若，，，，．
（1）求；
（2）求證：．
【答案】（1）；
（2）證明過程見解析．
【考點】正弦定理；余弦定理；解三角形
【專題】數(shù)學(xué)運算；綜合法；方程思想；邏輯推理；解三角形
【分析】（1）把已知等式利用正弦定理化邊為角，即可求得；
（2）在中，由已知利用余弦定理求解，再利用余弦定理求解與，即可證明結(jié)論．
【解答】解：（1）由，
結(jié)合正弦定理可得，
即，，
，；
證明：（2）在中，，，，
由余弦定理可得：，
由余弦定理可得：，
在中，由余弦定理可得，
又，均在上，
．
【點評】本題考查三角形的解法，考查正弦定理及余弦定理的應(yīng)用，考查運算求解能力，是中檔題．
22．（12分）（2022秋?西湖區(qū)校級期末）已知函數(shù)且．
（1）若函數(shù)為奇函數(shù)，求實數(shù)的值；
（2）對任意的，，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）；
（2）．
【考點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與判斷；函數(shù)恒成立問題
【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算
【分析】（1）利用奇函數(shù)的定義可求參數(shù)的值；
（2）不等式等價于，參變分離后可求實數(shù)的取值范圍．
【解答】解：（1）函數(shù)為奇函數(shù)，則，
即，
則，即，．
（2），，
，
，
在，恒成立，即在，恒成立，
在，為增函數(shù)，故，，
即實數(shù)的取值范圍是．
【點評】本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，考查恒成立求參數(shù)范圍問題，考查轉(zhuǎn)化思想與運算求解能力，屬于中檔題．
考點卡片
1．基本不等式及其應(yīng)用
【知識點的認識】
基本不等式主要應(yīng)用于求某些函數(shù)的最值及證明不等式．其可表述為：兩個正實數(shù)的幾何平均數(shù)小于或等于它們的算術(shù)平均數(shù)．公式為：≥（a≥0，b≥0），變形為ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．
實例解析
例1：下列結(jié)論中，錯用基本不等式做依據(jù)的是．
A：a，b均為負數(shù)，則．B：．C：．D：．
解：根據(jù)均值不等式解題必須滿足三個基本條件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均滿足條件．
對于C選項中sinx≠±2，
不滿足“相等”的條件，
再者sinx可以取到負值．
故選：C．
A選項告訴我們正數(shù)的要求是整個式子為正數(shù)，而不是式子當中的某一個組成元素；B分子其實可以寫成x2+1+1，然后除以分母就可換成基本不等式．這個例題告訴我們對于一個式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．
例2：利用基本不等式求的最值？當0＜x＜1時，如何求的最大值．
解：當x＝0時，y＝0，
當x≠0時，＝，
用基本不等式
若x＞0時，0＜y≤，
若x＜0時，﹣≤y＜0，
綜上得，可以得出﹣≤y≤，
∴的最值是﹣與．
這是基本不等式在函數(shù)中的應(yīng)用，他的解題思路是首先判斷元素是否大于0，沒有明確表示的話就需要討論；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成兩個元素（函數(shù)）相加，而他們的特點是相乘后為常數(shù)；最后套用基本不等式定理直接求的結(jié)果．
【解題方法點撥】
基本不等式的應(yīng)用
1、求最值
例1：求下列函數(shù)的值域．
2、利用基本不等式證明不等式
3、基本不等式與恒成立問題
4、均值定理在比較大小中的應(yīng)用
【命題方向】
技巧一：湊項
點評：本題需要調(diào)整項的符號，又要配湊項的系數(shù)，使其積為定值．
技巧二：湊系數(shù)
例2：當0＜x＜4時，求y＝x（8﹣2x）的最大值．
解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個式子積的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8為定值，故只需將y＝x（8﹣2x）湊上一個系數(shù)即可．
y＝x（8﹣2x）＝[2x?（8﹣2x）]≤（）2＝8
當2x＝8﹣2x，即x＝2時取等號，當x＝2時，y＝x（8﹣x2）的最大值為8．
評注：本題無法直接運用基本不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用基本不等式求最大值．
技巧三：分離
例3：求y＝的值域．
解：本題看似無法運用基本不等式，不妨將分子配方湊出含有（x+1）的項，再將其分離．
y＝＝＝（x+1）++5，
當x＞﹣1，即x+1＞0時，y≥2+5＝9（當且僅當x＝1時取“＝”號）
技巧四：換元
對于上面例3，可先換元，令t＝x+1，化簡原式在分離求最值．
技巧五：結(jié)合函數(shù)f（x）＝x+的單調(diào)性．
技巧六：整體代換
點評：多次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯．
技巧七：取平方
點評：本題將解析式兩邊平方構(gòu)造出“和為定值”，為利用基本不等式創(chuàng)造了條件．
總之，我們利用基本不等式求最值時，一定要注意“一正二定三相等”，同時還要注意一些變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用基本不等式．
2．函數(shù)的值域
【知識點的認識】函數(shù)值的集合{f（x）|x∈A}叫做函數(shù)的值域．A是函數(shù)的定義域．
【解題方法點撥】（1）求函數(shù)的值域
此類問題主要利用求函數(shù)值域的常用方法：配方法、分離變量法、單調(diào)性法、圖象法、換元法、不等式法等．
無論用什么方法求函數(shù)的值域，都必須考慮函數(shù)的定義域．
（2）函數(shù)的綜合性題目
此類問題主要考查函數(shù)值域、單調(diào)性、奇偶性、反函數(shù)等一些基本知識相結(jié)合的題目．
此類問題要求考生具備較高的數(shù)學(xué)思維能力和綜合分析能力以及較強的運算能力．
在今后的命題趨勢中綜合性題型仍會成為熱點和重點，并可以逐漸加強．
（3）運用函數(shù)的值域解決實際問題
此類問題關(guān)鍵是把實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，從而利用所學(xué)知識去解決．此類題要求考生具有較強的分析能力和數(shù)學(xué)建模能力．
【命題方向】函數(shù)的值域及其求法是近幾年高考考查的重點內(nèi)容之一，有時在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的壓軸題中出現(xiàn)，是?？碱}型．
3．函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與判斷
【知識點的認識】
①如果函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點對稱，且定義域內(nèi)任意一個x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做奇函數(shù)，其圖象特點是關(guān)于（0，0）對稱．②如果函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點對稱，且定義域內(nèi)任意一個x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做偶函數(shù)，其圖象特點是關(guān)于y軸對稱．
【解題方法點撥】
①奇函數(shù)：如果函數(shù)定義域包括原點，那么運用f（0）＝0解相關(guān)的未知量；
②奇函數(shù)：若定義域不包括原點，那么運用f（x）＝﹣f（﹣x）解相關(guān)參數(shù)；
③偶函數(shù)：在定義域內(nèi)一般是用f（x）＝f（﹣x）這個去求解；
④對于奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點對稱的部分其單調(diào)性一致，而偶函數(shù)的單調(diào)性相反．
例題：函數(shù)y＝x|x|+px，x∈R是（ ）
A．偶函數(shù) B．奇函數(shù) C．非奇非偶 D．與p有關(guān)
解：由題設(shè)知f（x）的定義域為R，關(guān)于原點對稱．
因為f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），
所以f（x）是奇函數(shù)．
故選B．
【命題方向】
函數(shù)奇偶性的應(yīng)用．
本知識點是高考的高頻率考點，大家要熟悉就函數(shù)的性質(zhì)，最好是結(jié)合其圖象一起分析，確保答題的正確率．
4．函數(shù)恒成立問題
【知識點的認識】
恒成立指函數(shù)在其定義域內(nèi)滿足某一條件（如恒大于0等），此時，函數(shù)中的參數(shù)成為限制了這一可能性（就是說某個參數(shù)的存在使得在有些情況下無法滿足要求的條件），因此，適當?shù)姆蛛x參數(shù)能簡化解題過程．例：要使函數(shù)f（x）＝ax^2+1恒大于0，就必須對a進行限制﹣﹣令a≥0，這是比較簡單的情況，而對于比較復(fù)雜的情況時，先分離參數(shù)的話做題較簡單
【解題方法點撥】
一般恒成立問題最后都轉(zhuǎn)化為求最值得問題，常用的方法是分離參變量和求導(dǎo)．
例：f（x）＝x2+2x+3≥ax，（x＞0）求a的取值范圍．
解：由題意可知：a≤恒成立
即a≤x++2
?a≤2+2
【命題方向】
恒成立求參數(shù)的取值范圍問題是近幾年高考中出現(xiàn)頻率相當高的一類型題，它比較全面的考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，突出了導(dǎo)數(shù)的工具性作用．
5．對數(shù)的運算性質(zhì)
【知識點的認識】
對數(shù)的性質(zhì)：①＝N；②lgaaN＝N（a＞0且a≠1）．
lga（MN）＝lgaM+lgaN； lga＝lgaM﹣lgaN；
lgaMn＝nlgaM； lga＝lgaM．
6．三角函數(shù)的周期性
【知識點的認識】
周期性
①一般地，對于函數(shù)f（x），如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內(nèi)的每一個值時，都有f（x+T）＝f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期．
②對于一個周期函數(shù)f（x），如果在它所有的周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f（x）的最小正周期．
③函數(shù)y＝Asin（ωx+φ），x∈R及函數(shù)y＝Acs（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ為常數(shù)，且A≠0，ω＞0）的周期T＝．
【解題方法點撥】
1．一點提醒
求函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的單調(diào)區(qū)間時，應(yīng)注意ω的符號，只有當ω＞0時，才能把ωx+φ看作一個整體，代入y＝sin t的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間求解，否則將出現(xiàn)錯誤．
2．兩類點
y＝sin x，x∈[0，2π]，y＝cs x，x∈[0，2π]的五點是：零點和極值點（最值點）．
3．求周期的三種方法
①利用周期函數(shù)的定義．f（x+T）＝f（x）
②利用公式：y＝Asin（ωx+φ）和y＝Acs（ωx+φ）的最小正周期為，y＝tan（ωx+φ）的最小正周期為．
③利用圖象．圖象重復(fù)的x的長度．
7．正弦函數(shù)的單調(diào)性
【知識點的認識】
三角函數(shù)的單調(diào)性的規(guī)律方法
1．求含有絕對值的三角函數(shù)的單調(diào)性及周期時，通常要畫出圖象，結(jié)合圖象判定．
2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acs（ωx+φ）（其中，ω＞0）的單調(diào)區(qū)間時，要視“ωx+φ”為一個整體，通過解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助誘導(dǎo)公式將ω化為正數(shù)，防止把單調(diào)性弄錯．
8．正弦函數(shù)的奇偶性和對稱性
【知識點的認識】
正弦函數(shù)的對稱性
正弦函數(shù)是定義域為R的奇函數(shù)，既然是奇函數(shù)，那么其圖象關(guān)于原點對稱，即有sin（﹣x）＝﹣sinx．另外，正弦函數(shù)具有周期性，其對稱軸為x＝kπ+，k∈z．
【解題方法點撥】
例：函數(shù)y＝sin2x+2sin2x的對稱軸方程為x＝ ．
解：由于函數(shù)y＝sin2x+2sin2x＝sin2x+1﹣cs2x＝，
而函數(shù)y＝sint的對稱軸為
則，解得（k∈Z）
則函數(shù)y＝sin2x+2sin2x的對稱軸方程為
故答案為．
這個題很有代表性，一般三角函數(shù)都是先化簡，化成一個單獨的正弦或者余弦函數(shù)，然后把2x﹣看成一個整體，最后根據(jù)公式把單調(diào)性求出來即可．
【命題方向】
這個考點非常重要，也很簡單，大家熟記這個公式，并能夠理解運用就可以了．
9．余弦函數(shù)的對稱性
【知識點的認識】
余弦函數(shù)的對稱性
余弦函數(shù)y＝csx是定義域為R的偶函數(shù)，也是周期函數(shù)，其對稱軸為x＝kπ，k∈z．可以看出余弦函數(shù)在對稱軸上的值為最值，也可以看做是y軸平移kπ個單位后依然還是對稱軸．
【解題方法點撥】
例：（中，三角函數(shù)的對稱性）若函數(shù)（ω＞0）的圖象相鄰兩條對稱軸間距離為，則ω等于
解：因為y＝csx的圖象相鄰兩條對稱軸距離為π，要使的圖象相鄰兩條對稱軸的距離為，則其周期縮小為原來的一半，所以ω＝2．
這里面應(yīng)用了余弦函數(shù)的對稱軸之間的間隔為半個周期的性質(zhì)，從而轉(zhuǎn)化為求周期的問題．
【命題方向】
這是個很基本的考點，也比較容易，但也非常重要，希望大家能夠掌握．
10．函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換
【知識點的認識】
函數(shù)y＝sin x的圖象變換得到y(tǒng)＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的圖象的步驟
兩種變換的差異
先相位變換再周期變換（伸縮變換），平移的量是|φ|個單位；而先周期變換（伸縮變換）再相位變換，平移的量是（ω＞0）個單位．原因是相位變換和周期變換都是針對x而言的．
【解題方法點撥】
1．一個技巧
列表技巧：表中“五點”中相鄰兩點的橫向距離均為，利用這一結(jié)論可以較快地寫出“五點”的坐標．
2．兩個區(qū)別
（1）振幅A與函數(shù)y＝Asin （ωx+φ）+b的最大值，最小值的區(qū)別：最大值M＝A+b，最小值m＝﹣A+b，故A＝．
（2）由y＝sin x變換到y(tǒng)＝Asin （ωx+φ）先變周期與先變相位的（左、右）平移的區(qū)別：由y＝sin x的圖象變換到y(tǒng)＝Asin （ωx+φ）的圖象，兩種變換的區(qū)別：先相位變換再周期變換（伸縮變換），平移的量是|φ|個單位；而先周期變換（伸縮變換）再相位變換，平移的量是（ω＞0）個單位．原因在于相位變換和周期變換都是針對x而言，即x本身加減多少值，而不是依賴于ωx加減多少值．
3．三點提醒
（1）要弄清楚是平移哪個函數(shù)的圖象，得到哪個函數(shù)的圖象；
（2）要注意平移前后兩個函數(shù)的名稱是否一致，若不一致，應(yīng)先利用誘導(dǎo)公式化為同名函數(shù)；
（3）由y＝Asin ωx的圖象得到y(tǒng)＝Asin（ωx+φ）的圖象時，需平移的單位數(shù)應(yīng)為，而不是|φ|．
11．由y＝Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式
【知識點的認識】
根據(jù)圖象確定解析式的方法：
在由圖象求三角函數(shù)解析式時，若最大值為M，最小值為m，則A＝，k＝，ω由周期T確定，即由＝T求出，φ由特殊點確定．
12．兩角和與差的三角函數(shù)
【知識點的認識】
（1）C（α﹣β）：cs （α﹣β）＝csαcsβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcsβ﹣csαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．
13．三角函數(shù)應(yīng)用
【知識點的認識】
1．三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用：1）在生活中的應(yīng)用；2）；在建筑學(xué)中的應(yīng)用；3）在航海中的應(yīng)用；4）在物理學(xué)中的應(yīng)用．
2．解三角函數(shù)應(yīng)用題的一般步驟：
（1）閱讀理解材料：將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言；
（2）建立變量關(guān)系：抽象成數(shù)學(xué)問題，建立變量關(guān)系；
（3）討論變量性質(zhì)：根據(jù)函數(shù)性質(zhì)討論變量性質(zhì)；
（4）作出結(jié)論．
【解題方法點撥】
1、方法與技巧：
（1）在生產(chǎn)生活中，常常有一些與角有關(guān)的最值問題，需要確定以角作為變量的三角函數(shù)來解決．
（2）理清題意，分清題目中已知和所求，準確解讀題目中的術(shù)語和有關(guān)名詞．
（3）要能根據(jù)題意，畫出符合題意的圖形．
（4）對計算結(jié)果，可根據(jù)實際情況進行處理．
2、注意：
（1）建立三角函數(shù)關(guān)系式關(guān)鍵是選擇適當?shù)慕亲鳛樽兞浚?br>（2）解決應(yīng)用問題要注重檢驗．
（3）選擇變量后，要根據(jù)題中的條件，確定角的范圍．
14．函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系
【知識點的認識】
函數(shù)的零點表示的是函數(shù)與x軸的交點，方程的根表示的是方程的解，他們的含義是不一樣的．但是，他們的解法其實質(zhì)是一樣的．
【解題方法點撥】
求方程的根就是解方程，把所有的解求出來，一般要求的是二次函數(shù)或者方程組，這里不多講了．我們重點來探討一下函數(shù)零點的求法（配方法）．
例題：求函數(shù)f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零點．
解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70
＝（x﹣5）?（x+7）?（x+2）?（x+1）
∴函數(shù)f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零點是：5、﹣7、﹣2、﹣1．
通過這個題，我們發(fā)現(xiàn)求函數(shù)的零點常用的方法就是配方法，把他配成若干個一次函數(shù)的乘積或者是二次函數(shù)的乘積，最后把它轉(zhuǎn)化為求基本函數(shù)的零點或者說求基本函數(shù)等于0時的解即可．
【命題方向】
直接考的比較少，了解相關(guān)的概念和基本的求法即可．
15．分段函數(shù)的應(yīng)用
【知識點的認識】
分段函數(shù)顧名思義指的是一個函數(shù)在不同的定義域內(nèi)的函數(shù)表達式不一樣，有些甚至不是連續(xù)的．這個在現(xiàn)實當中是很常見的，比如說水的階梯價，購物的時候買的商品的量不同，商品的單價也不同等等，這里面都涉及到分段函數(shù)．
【解題方法點撥】
正如前面多言，分段函數(shù)與我們的實際聯(lián)系比較緊密，那么在高考題中也時常會以應(yīng)用題的形式出現(xiàn)．下面我們通過例題來分析一下分段函數(shù)的解法．
例：市政府為招商引資，決定對外資企業(yè)第一年產(chǎn)品免稅．某外資廠該年A型產(chǎn)品出廠價為每件60元，年銷售量為11.8萬件．第二年，當?shù)卣_始對該商品征收稅率為p%（0＜p＜100，即銷售100元要征收p元）的稅收，于是該產(chǎn)品的出廠價上升為每件元，預(yù)計年銷售量將減少p萬件．
（Ⅰ）將第二年政府對該商品征收的稅收y（萬元）表示成p的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域；
（Ⅱ）要使第二年該廠的稅收不少于16萬元，則稅率p%的范圍是多少？
（Ⅲ）在第二年該廠的稅收不少于16萬元的前提下，要讓廠家獲得最大銷售金額，則p應(yīng)為多少？
解：（Ⅰ）依題意，第二年該商品年銷售量為（11.8﹣p）萬件，
年銷售收入為（11.8﹣p）萬元，
政府對該商品征收的稅收y＝（11.8﹣p）p%（萬元）
故所求函數(shù)為y＝（11.8﹣p）p
由11.8﹣p＞0及p＞0得定義域為0＜p＜11.8…（4分）
（II）由y≥16得（11.8﹣p）p≥16
化簡得p2﹣12p+20≤0，即（p﹣2）（p﹣10）≤0，解得2≤p≤10．
故當稅率在[0.02，0.1]內(nèi)時，稅收不少于16萬元．…（9分）
（III）第二年，當稅收不少于16萬元時，
廠家的銷售收入為g（p）＝（11.8﹣p）（2≤p≤10）
∵在[2，10]是減函數(shù)
∴g（p）max＝g（2）＝800（萬元）
故當稅率為2%時，廠家銷售金額最大．
這個典型的例題當中，我們發(fā)現(xiàn)分段函數(shù)首先還是要有函數(shù)的功底，要有一定的建模能力，這個與分不分段其實無關(guān)．我們重點看看分段函數(shù)要注意的地方．第一，要明確函數(shù)的定義域和其相對的函數(shù)表達式；第二注意求的是整個一大段的定義域內(nèi)的值域還是分段函數(shù)某段內(nèi)部的值；第三，注意累加的情況和僅僅某段函數(shù)的討論．
【命題方向】
修煉自己的內(nèi)功，其實分不分段影響不大，審清題就可以了，另外，最好畫個圖來解答．
16．向量的加法
【知識點的認識】
向量的加法運算
求幾個向量和的運算叫向量的加法運算，其運算法則有二：
（1）三角形法則：設(shè)與不共線，在平面上任取一點A（如圖1），依次作＝a，＝b，則向量 叫做與的和，記作，即+＝+＝
特征：首尾相接的幾個有向線段相加，其和向量等于從首向量的起點指向末向量的終點．
（2）平行四邊形法則：如圖2所示，ABCD為平行四邊形，由于＝，根據(jù)三角形法則得+＝+＝，這說明，在平行四邊形ABCD中，所表示的向量就是與的和．
特征：有共同起點的兩個向量相加，其和向量等于以這兩個向量為鄰邊的平行四邊形的對角線．（首尾相接，結(jié)果為首尾）
（3）向量的加法性質(zhì)
①+＝+＝；+（﹣）＝；
②+＝+；
③（+）+＝+（+）．
17．向量加減混合運算
【知識點的認識】
1、向量的加法運算
求幾個向量和的運算叫向量的加法運算，其運算法則有二：
（1）三角形法則：設(shè)與不共線，在平面上任取一點A（如圖1），依次作＝a，＝b，則向量 叫做與的和，記作，即+＝+＝
特征：首尾相接的幾個有向線段相加，其和向量等于從首向量的起點指向末向量的終點．
（2）平行四邊形法則：如圖2所示，ABCD為平行四邊形，由于＝，根據(jù)三角形法則得+＝+＝，這說明，在平行四邊形ABCD中，所表示的向量就是與的和．
特征：有共同起點的兩個向量相加，其和向量等于以這兩個向量為鄰邊的平行四邊形的對角線．（首尾相接，結(jié)果為首尾）
（3）向量的加法性質(zhì)
①+＝+＝；+（﹣）＝；
②+＝+；
③（+）+＝+（+）．
2、向量的減法運算．
求兩個向量差的運算叫向量的減法運算．
法則：以將向量a與向量b的負向量的和定義為與的差，即﹣＝+（﹣）．
設(shè)＝，＝，則．即＝＝．即
特征；有共同起點的兩個向量、，其差仍然是一個向量，叫做與的差向量，其起點是減向量的終點，終點是被減向量的終點．（減終指向被減終）
18．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算
【知識點的認識】
1、平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)：
設(shè)，都是非零向量，是與方向相同的單位向量，與和夾角為θ，則：
（1）＝＝||csθ；
（2）?＝0；（判定兩向量垂直的充要條件）
（3）當，方向相同時，＝||||；當，方向相反時，＝﹣||||；
特別地：＝||2或||＝（用于計算向量的模）
（4）csθ＝（用于計算向量的夾角，以及判斷三角形的形狀）
（5）||≤||||
2、平面向量數(shù)量積的運算律
（1）交換律：；
（2）數(shù)乘向量的結(jié)合律：（λ）?＝λ（）＝?（）；
（3）分配律：（）?≠?（）
平面向量數(shù)量積的運算
平面向量數(shù)量積運算的一般定理為①（±）2＝2±2?+2．②（﹣）（+）＝2﹣2．③?（?）≠（?）?，從這里可以看出它的運算法則和數(shù)的運算法則有些是相同的，有些不一樣．
【解題方法點撥】
例：由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運算法則：
①“mn＝nm”類比得到“”
②“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（）?＝”；
③“t≠0，mt＝nt?m＝n”類比得到“?”；
④“|m?n|＝|m|?|n|”類比得到“||＝||?||”；
⑤“（m?n）t＝m（n?t）”類比得到“（）?＝”；
⑥“”類比得到．以上的式子中，類比得到的結(jié)論正確的是 ①② ．
解：∵向量的數(shù)量積滿足交換律，
∴“mn＝nm”類比得到“”，
即①正確；
∵向量的數(shù)量積滿足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（）?＝”，
即②正確；
∵向量的數(shù)量積不滿足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt?m＝n”不能類比得到“?”，
即③錯誤；
∵||≠|(zhì)|?||，
∴“|m?n|＝|m|?|n|”不能類比得到“||＝||?||”；
即④錯誤；
∵向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，
∴“（m?n）t＝m（n?t）”不能類比得到“（）?＝”，
即⑤錯誤；
∵向量的數(shù)量積不滿足消元律，
∴”不能類比得到，
即⑥錯誤．
故答案為：①②．
向量的數(shù)量積滿足交換律，由“mn＝nm”類比得到“”；向量的數(shù)量積滿足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（）?＝”；向量的數(shù)量積不滿足消元律，故“t≠0，mt＝nt?m＝n”不能類比得到“?”；||≠|(zhì)|?||，故“|m?n|＝|m|?|n|”不能類比得到“||＝||?||”；向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，故“（m?n）t＝m（n?t）”不能類比得到“（）?＝”；向量的數(shù)量積不滿足消元律，故”不能類比得到．
【命題方向】
本知識點應(yīng)該所有考生都要掌握，這個知識點和三角函數(shù)聯(lián)系比較多，也是一個常考點，題目相對來說也不難，所以是拿分的考點，希望大家都掌握．
19．平面向量共線（平行）的坐標表示
【知識點的認識】
平面向量共線（平行）的坐標表示：
設(shè)＝（x1，y1），＝（x2，y2），則∥（≠）?x1y2﹣x2y1＝0．
20．數(shù)量積表示兩個向量的夾角
【知識點的認識】
我們知道向量是有方向的，也知道向量是可以平行的或者共線的，那么，當兩條向量與不平行時，那么它們就會有一個夾角θ，并且還有這樣的公式：csθ＝．通過這公式，我們就可以求出兩向量之間的夾角了．
【解題方法點撥】
例：復(fù)數(shù)z＝+i與它的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的兩個向量的夾角為 60° ．
解：＝＝＝＝＝cs60°+isin60°．
∴復(fù)數(shù)z＝+i與它的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的兩個向量的夾角為60°．
故答案為：60°．
點評：這是個向量與復(fù)數(shù)相結(jié)合的題，本題其實可以換成是用向量（，1）與向量（，﹣1）的夾角．
【命題方向】
這是向量里面非常重要的一個公式，也是一個?？键c，出題方式一般喜歡與其他的考點結(jié)合起來，比方說復(fù)數(shù)、三角函數(shù)等，希望大家認真掌握．
21．正弦定理
【知識點的認識】
1．正弦定理和余弦定理
在△ABC中，已知a，b和角A時，解的情況
由上表可知，當A為銳角時，a＜bsinA，無解．當A為鈍角或直角時，a≤b，無解．
2、三角形常用面積公式
1．S＝a?ha（ha表示邊a上的高）；
2．S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．
3．S＝r（a+b+c）（r為內(nèi)切圓半徑）．
【解題方法點撥】
正余弦定理的應(yīng)用
1、解直角三角形的基本元素．
2、判斷三角形的形狀．
3、解決與面積有關(guān)的問題．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在實際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用，如測量、航海、幾何等方面都要用到解三角形的知識
（1）測距離問題：測量一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離問題，用正弦定理就可解決．
解題關(guān)鍵在于明確：
①測量從一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離問題，一般可轉(zhuǎn)化為已知三角形兩個角和一邊解三角形的問題，再運用正弦定理解決；
②測量兩個不可到達的點之間的距離問題，首先把求不可到達的兩點之間的距離轉(zhuǎn)化為應(yīng)用正弦定理求三角形的邊長問題，然后再把未知的邊長問題轉(zhuǎn)化為測量可到達的一點與不可到達的一點之間的距離問題．
（2）測量高度問題：
解題思路：
①測量底部不可到達的建筑物的高度問題，由于底部不可到達，因此不能直接用解直角三角形的方法解決，但常用正弦定理計算出建筑物頂部或底部到一個可到達的點之間的距離，然后轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題．
②對于頂部不可到達的建筑物高度的測量問題，我們可選擇另一建筑物作為研究的橋梁，然后找到可測建筑物的相關(guān)長度和仰、俯角等構(gòu)成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
點撥：在測量高度時，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一鉛錘面內(nèi)，視線與水平線的夾角．當視線在水平線之上時，成為仰角；當視線在水平線之下時，稱為俯角．
22．余弦定理
【知識點的認識】
1．正弦定理和余弦定理
【解題方法點撥】
正余弦定理的應(yīng)用
1、解直角三角形的基本元素．
2、判斷三角形的形狀．
3、解決與面積有關(guān)的問題．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在實際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用，如測量、航海、幾何等方面都要用到解三角形的知識
（1）測距離問題：測量一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離問題，用正弦定理就可解決．
解題關(guān)鍵在于明確：
①測量從一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離問題，一般可轉(zhuǎn)化為已知三角形兩個角和一邊解三角形的問題，再運用正弦定理解決；
②測量兩個不可到達的點之間的距離問題，首先把求不可到達的兩點之間的距離轉(zhuǎn)化為應(yīng)用正弦定理求三角形的邊長問題，然后再把未知的邊長問題轉(zhuǎn)化為測量可到達的一點與不可到達的一點之間的距離問題．
（2）測量高度問題：
解題思路：
①測量底部不可到達的建筑物的高度問題，由于底部不可到達，因此不能直接用解直角三角形的方法解決，但常用正弦定理計算出建筑物頂部或底部到一個可到達的點之間的距離，然后轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題．
②對于頂部不可到達的建筑物高度的測量問題，我們可選擇另一建筑物作為研究的橋梁，然后找到可測建筑物的相關(guān)長度和仰、俯角等構(gòu)成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
點撥：在測量高度時，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一鉛錘面內(nèi)，視線與水平線的夾角．當視線在水平線之上時，成為仰角；當視線在水平線之下時，稱為俯角．
23．解三角形
【知識點的認識】
1．已知兩角和一邊（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．
2．已知兩邊和夾角（如a、b、c），應(yīng)用余弦定理求c邊；再應(yīng)用正弦定理先求較短邊所對的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．
3．已知兩邊和其中一邊的對角（如a、b、A），應(yīng)用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c邊，要注意解可能有多種情況．
4．已知三邊a、b、c，應(yīng)用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．
5．方向角一般是指以觀測者的位置為中心，將正北或正南方向作為起始方向旋轉(zhuǎn)到目標的方向線所成的角（一般指銳角），通常表達成．正北或正南，北偏東××度，北偏西××度，南偏東××度，南偏西××度．
6．俯角和仰角的概念：
在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，視線在水平線下方的角叫俯角．如圖中OD、OE是視線，是仰角，是俯角．
7．關(guān)于三角形面積問題
①S△ABC＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分別表示a、b、c上的高）；
②S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB；
③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R為外接圓半徑）
④S△ABC＝；
⑤S△ABC＝，（s＝（a+b+c））；
⑥S△ABC＝r?s，（ r為△ABC內(nèi)切圓的半徑）
在解三角形時，常用定理及公式如下表：
24．復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義
【知識點的認識】
1、復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法
建立了直角坐標系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面．在復(fù)平面內(nèi)，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸，x軸的單位是1，y軸的單位是i，實軸與虛軸的交點叫做原點，且原點（0，0），對應(yīng)復(fù)數(shù)0．即復(fù)數(shù)z＝a+bi→復(fù)平面內(nèi)的點z（a，b）→平面向量．
2、除了復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點和向量的一一對應(yīng)關(guān)系外，還要注意：
（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點到原點的距離為a；
（2）|z﹣z0|表示復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點與復(fù)數(shù)z0對應(yīng)的點之間的距離．
3、復(fù)數(shù)中的解題策略：
（1）證明復(fù)數(shù)是實數(shù)的策略：
①z＝a+bi∈R?b＝0（a，b∈R）；②z∈R?＝z．
（2）證明復(fù)數(shù)是純虛數(shù)的策略：
①z＝a+bi為純虛數(shù)?a＝0，b≠0（a，b∈R）；
②b≠0時，z﹣＝2bi為純虛數(shù)；③z是純虛數(shù)?z+＝0且z≠0．
25．復(fù)數(shù)的運算
【知識點的認識】
復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運算法則
26．共軛復(fù)數(shù)
【知識點的認識】
實部相等而虛部互為相反數(shù)的兩個復(fù)數(shù)，叫做互為共軛復(fù)數(shù)．如2+3i與2﹣3i互為共軛復(fù)數(shù)，用數(shù)學(xué)語言來表示即：復(fù)數(shù)Z＝a+bi的共軛復(fù)數(shù)＝a﹣bi．
【解題方法點撥】
共軛復(fù)數(shù)的常見公式有：
；；；
【命題方向】
共軛復(fù)數(shù)在考察題型上主要以選擇、填空題的形式出現(xiàn)．試題難度不大，多為低檔題，要求能夠掌握共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)，并能將復(fù)數(shù)的共軛加法運算和乘法運算進行推廣．運用共軛復(fù)數(shù)運算解決一些簡單的復(fù)數(shù)問題，提高數(shù)學(xué)符號變換的能力，培優(yōu)學(xué)生類比推廣思想，從特殊到一般的方法和探究方法．
27．旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）
【知識點的認識】
旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征：一條平面曲線繞著它所在的平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面叫作旋轉(zhuǎn)面；該定直線
叫做旋轉(zhuǎn)體的軸；封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體叫作旋轉(zhuǎn)體．
1．圓柱
①定義：以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將矩形旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓柱．
圓柱用軸字母表示，如下圖圓柱可表示為圓柱OO′．
②認識圓柱
③圓柱的特征及性質(zhì)
圓柱與底面平行的截面是圓，與軸平行的截面是矩形．
④圓柱的體積和表面積公式
設(shè)圓柱底面的半徑為r，高為h：
2．圓錐
①定義：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐．
圓錐用軸字母表示，如下圖圓錐可表示為圓錐SO．
②認識圓錐
③圓錐的特征及性質(zhì)
與圓錐底面平行的截面是圓，過圓錐的頂點的截面是等腰三角形，兩個腰都是母線．
母線長l與底面半徑r和高h的關(guān)系：l2＝h2+r2
④圓錐的體積和表面積公式
設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，母線長為l：
3．圓臺
①定義：以直角梯形中垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面所圍成的幾何體叫做圓臺．
圓臺用軸字母表示，如下圖圓臺可表示為圓臺OO′．
②認識圓臺
③圓臺的特征及性質(zhì)
平行于底面的截面是圓，軸截面是等腰梯形．
④圓臺的體積和表面積公式
設(shè)圓臺的上底面半徑為r，下底面半徑為R，高為h，母線長為l：
．
28．棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積
【知識點的認識】
側(cè)面積和全面積的定義：
（1）側(cè)面積的定義：把柱、錐、臺的側(cè)面沿著它們的一條側(cè)棱或母線剪開，所得到的展開圖的面積，就是空間幾何體的側(cè)面積．
（2）全面積的定義：空間幾何體的側(cè)面積與底面積的和叫做空間幾何體的全面積．
柱體、錐體、臺體的表面積公式（c為底面周長，h為高，h′為斜高，l為母線）
S圓柱表＝2πr（r+l），S圓錐表＝πr（r+l），S圓臺表＝π（r2+rl+Rl+R2）
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2024/3/9 0:29:43；用戶：初中數(shù)學(xué)；郵箱：szjmjy@xyh.cm；學(xué)號：29841565定理
正弦定理
余弦定理
內(nèi)容
＝2R
（ R是△ABC外接圓半徑）
a2＝b2+c2﹣2bccsA，
b2＝a2+c2﹣2accsB，
c2＝a2+b2﹣2abcsC
變形
形式
①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；
②sinA＝，sinB＝，sinC＝；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA
csA＝，
csB＝，
csC＝
解決
三角
形的
問題
①已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩條邊；
②已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊和其他兩角
①已知三邊，求各角；
②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩角
A為銳角
A為鈍角或直角
圖形




關(guān)系式
a＝bsinA
bsinA＜a＜b
a≥b
a＞b
解的個數(shù)
一解
兩解
一解
一解
定理
正弦定理
余弦定理
內(nèi)容
＝2R
（ R是△ABC外接圓半徑）
a2＝b2+c2﹣2bccs A，
b2＝a2+c2﹣2accs_B，
c2＝a2+b2﹣2abcs_C
變形
形式
①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
②sin A＝，sin B＝，sin C＝；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
cs A＝，
cs B＝，
cs C＝
解決
三角
形的
問題
①已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩條邊；
②②已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊和其他兩角
①已知三邊，求各角；
②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩角
名稱
公式
變形
內(nèi)角和定理
A+B+C＝π
+＝﹣，2A+2B＝2π﹣2C
余弦定理
a2＝b2+c2﹣2bccsA
b2＝a2+c2﹣2accsB
c2＝a2+b2﹣2abcsC
csA＝
csB＝
csC＝
正弦定理
＝2R
R為△ABC的外接圓半徑
a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC
sinA＝，sinB＝，sinC＝
射影定理
acsB+bcsA＝c
acsC+ccsA＝b
bcsC+ccsB＝a
面積公式
①S△＝aha＝bhb＝chc
②S△＝absinC＝acsinB＝bcsinA
③S△＝
④S△＝，（s＝（a+b+c））；
⑤S△＝（a+b+c）r
（r為△ABC內(nèi)切圓半徑）
sinA＝
sinB＝
sinC＝

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