1．（5分）若由數(shù)字1，2，3，4，5一共可以組成個(gè)不同的三位數(shù)（各位上的數(shù)字可以相同），則
A．B．C．D．
2．（5分）深圳中學(xué)高二年級(jí)某班班會(huì)開展“學(xué)黨史，感黨恩”演講活動(dòng)，安排甲、乙、丙、丁四名學(xué)生按次序演講，但甲不第一個(gè)演講，所有的安排方法數(shù)為
A．13B．14C．15D．18
3．（5分）已知曲線，曲線與直線，則
A．與，均相切B．與，均不相切
C．與相切，與不相切D．與不相切，與相切
4．（5分）已知函數(shù)滿足，則曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程為
A．B．C．D．
5．（5分）在的展開式中，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是
A．所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為64
B．所有項(xiàng)的系數(shù)和為0
C．常數(shù)項(xiàng)為20
D．二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第4項(xiàng)
6．（5分）“碳中和”是指企業(yè)、團(tuán)體或個(gè)人等測(cè)算在一定時(shí)間內(nèi)直接或間接產(chǎn)生的溫室氣體排放總量，通過植樹造林、節(jié)能減排等形式，以抵消自身產(chǎn)生的二氧化碳排放量，實(shí)現(xiàn)二氧化碳“零排放”．某“碳中和”研究中心計(jì)劃派5名專家分別到，，三地指導(dǎo)“碳中和”工作，每位專家只去一個(gè)地方，且每地至少派駐1名專家，則分派方法的種數(shù)為
A．90B．150C．180D．300
7．（5分）已知，則函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象大致為
A．B．
C．D．
8．（5分）已知，分別是曲線與曲線上的點(diǎn)，則的取值范圍是
A．B．C．D．，
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9．（5分）以下四個(gè)式子分別是求相應(yīng)函數(shù)在其定義域內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，其中正確的是
A．
B．
C．
D．
10．（5分）如圖，要對(duì)，，，四個(gè)區(qū)域進(jìn)行著色，有4種不同的顏色可利用，要求有公共邊的兩個(gè)區(qū)域不能用同一種顏色，則不同的著色方法數(shù)為
A．
B．
C．
D．
11．（5分）以下關(guān)于排列數(shù)與組合數(shù)的命題中，真命題有
A．若，，且，則
B．若，，且，則
C．對(duì)任意，，，且，恒有
D．對(duì)任意，恒有
12．（5分）已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是
A．在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增
B．有極小值，且極小值是的最小值
C．設(shè)，若對(duì)任意，都存在，使成立，則
D．
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13．（5分）已知一物體的運(yùn)動(dòng)方程是的單位為，的單位為，則該物體在時(shí)間段，內(nèi)的平均速度與時(shí)刻的瞬時(shí)速度相等，則 ．
14．（5分）若正，邊形有20條對(duì)角線，則的值為 ．
15．（5分）以下四個(gè)關(guān)于階乘“！”的結(jié)論：
①??；
②對(duì)任意，，，則能整除；
③存在，使得；
④若，，則或．
其中正確的個(gè)數(shù)為 ．
16．（5分）用1，2，3，4，5，6組成六位數(shù)（沒有重復(fù)數(shù)字），要求任何相鄰兩個(gè)數(shù)字的奇偶性不同，且1和2相鄰．這樣的六位數(shù)的個(gè)數(shù)是 （用數(shù)字作答）．
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17．（10分）規(guī)定，其中，，這是組合數(shù)的一種推廣．
（1）求的值；
（2）設(shè)，，求的最小值及的值．
18．（12分）已知展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為512，且．
（1）求的值；
（2）設(shè)，其中，，且，求的值．
19．（12分）已知函數(shù)，，，．
（1）已知，求的值；
（2）是否存在，使得對(duì)任意，恒有成立？說明理由．
20．（12分）設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)，（2）處的切線方程為．
（1）求的解析式；
（2）證明：曲線上任一點(diǎn)的切線與直線和直線三角形的面積為定值，并求出此定值．
21．（12分）已知函數(shù)，其中，．
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若在區(qū)間內(nèi)存在最小值，且最小值不大于，求的取值范圍及的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
22．（12分）已知函數(shù)，其中．
（1）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，記為，．
①求的取值范圍；
②求證：；
（2）求證：對(duì)任意，恒有．
2021-2022學(xué)年廣東省深圳中學(xué)高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1．（5分）若由數(shù)字1，2，3，4，5一共可以組成個(gè)不同的三位數(shù)（各位上的數(shù)字可以相同），則
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根據(jù)題意，分析可得三位數(shù)中三位數(shù)的每位數(shù)字都有5種選擇，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，三位數(shù)的每位數(shù)字都可以為1，2，3，4，5，有5種選擇，
則，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，注意三位數(shù)中各位上的數(shù)字可以相同，屬于基礎(chǔ)題．
2．（5分）深圳中學(xué)高二年級(jí)某班班會(huì)開展“學(xué)黨史，感黨恩”演講活動(dòng)，安排甲、乙、丙、丁四名學(xué)生按次序演講，但甲不第一個(gè)演講，所有的安排方法數(shù)為
A．13B．14C．15D．18
【答案】
【分析】先排第一個(gè)，再排另外三個(gè)，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得．
【解答】解：先從甲以外的三名學(xué)生選1人第一個(gè)演講，其他三名學(xué)生任意排列，共有種．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了排列、組合知識(shí)的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．
3．（5分）已知曲線，曲線與直線，則
A．與，均相切B．與，均不相切
C．與相切，與不相切D．與不相切，與相切
【答案】
【分析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷即可．
【解答】解：設(shè)曲線在點(diǎn)，處的切線的斜率為0，
則，所以，，切線方程為，
設(shè)曲線在點(diǎn)，處的切線的斜率為0，
則，，所以，或，，
取，可得切線方程為，
所以1與，均相切，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的切線方程，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．
4．（5分）已知函數(shù)滿足，則曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程為
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可知（1），再根據(jù)導(dǎo)數(shù)公式可求出，即可求出切點(diǎn)，從而得出切線方程．
【解答】解：由可知，（1），
而，所以，解得，
即，所以（1），
因此曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程為，
即．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的切線方程，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．
5．（5分）在的展開式中，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是
A．所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為64
B．所有項(xiàng)的系數(shù)和為0
C．常數(shù)項(xiàng)為20
D．二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第4項(xiàng)
【答案】
【分析】選項(xiàng)：根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和公式即可判斷；選項(xiàng)：令，由此即可判斷；選項(xiàng)：求出展開式的常數(shù)項(xiàng)即可判斷，選項(xiàng)：根據(jù)的值以及二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)即可判斷．
【解答】解：選項(xiàng)：所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為，故正確，
選項(xiàng)：令，則所有項(xiàng)的系數(shù)和為，故正確，
選項(xiàng)：展開式的常數(shù)項(xiàng)為，故錯(cuò)誤，
選項(xiàng)：因?yàn)椋哉归_式的二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)為第4項(xiàng)，故正確，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
6．（5分）“碳中和”是指企業(yè)、團(tuán)體或個(gè)人等測(cè)算在一定時(shí)間內(nèi)直接或間接產(chǎn)生的溫室氣體排放總量，通過植樹造林、節(jié)能減排等形式，以抵消自身產(chǎn)生的二氧化碳排放量，實(shí)現(xiàn)二氧化碳“零排放”．某“碳中和”研究中心計(jì)劃派5名專家分別到，，三地指導(dǎo)“碳中和”工作，每位專家只去一個(gè)地方，且每地至少派駐1名專家，則分派方法的種數(shù)為
A．90B．150C．180D．300
【答案】
【分析】5名專家的安排方法分為或者，然后根據(jù)排列組合的計(jì)數(shù)性質(zhì)即可求解．
【解答】解：5名專家的安排方法分為或者，
若按照安排共有，
若按照安排共有，
則共有種，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了排列組合的計(jì)數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
7．（5分）已知，則函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象大致為
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可判斷函數(shù)的圖象．
【解答】解：因?yàn)椋x域?yàn)椋?br>所以，
則，所以為偶函數(shù)，故排除，，
又，，故排除．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)圖象的識(shí)別和判斷，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．
8．（5分）已知，分別是曲線與曲線上的點(diǎn)，則的取值范圍是
A．B．C．D．，
【答案】
【分析】因?yàn)榍€與曲線互為反函數(shù)，則圖象關(guān)于對(duì)稱，所以只需求出點(diǎn)到上的最小距離即可，設(shè)曲線上斜率為1的切線為，然后利用導(dǎo)數(shù)求出的值，再根據(jù)平行線間的距離求出，進(jìn)而可以求解．
【解答】解：因?yàn)榍€與曲線互為反函數(shù)，則圖象關(guān)于對(duì)稱，
所以只需求出點(diǎn)到上的最小距離即可，
設(shè)曲線上斜率為1的切線為，
因?yàn)?，由，可得?br>所以切點(diǎn)為，即，則切線方程為，
所以，
所以的最小值為，無最大值，即，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反函數(shù)的性質(zhì)，涉及到導(dǎo)數(shù)以及切線的性質(zhì)，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9．（5分）以下四個(gè)式子分別是求相應(yīng)函數(shù)在其定義域內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，其中正確的是
A．
B．
C．
D．
【答案】
【分析】對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)分析，即可解出．
【解答】解：，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
，故選項(xiàng)正確；
：當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)正確；
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)函數(shù)的運(yùn)算，學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
10．（5分）如圖，要對(duì)，，，四個(gè)區(qū)域進(jìn)行著色，有4種不同的顏色可利用，要求有公共邊的兩個(gè)區(qū)域不能用同一種顏色，則不同的著色方法數(shù)為
A．
B．
C．
D．
【答案】
【分析】根據(jù)題意，分2步討論4個(gè)區(qū)域的涂色方法數(shù)目，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．
【解答】解：方法一：根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：
①對(duì)于區(qū)域，兩兩互相相鄰，有種涂色方法，
②區(qū)域，與區(qū)域、相鄰，有2種涂色方法，則有種涂色方法；
方法二：先對(duì)涂色，有種，然后、區(qū)域各有種，故有．
方法三：分兩種情況，若、同色，種涂色方法；若、不同色，先將、涂色有種，然后、區(qū)域有種，
總共有．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合的應(yīng)用，學(xué)生的邏輯推理能力，涉及分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
11．（5分）以下關(guān)于排列數(shù)與組合數(shù)的命題中，真命題有
A．若，，且，則
B．若，，且，則
C．對(duì)任意，，，且，恒有
D．對(duì)任意，恒有
【答案】
【分析】根據(jù)排列數(shù)和組合數(shù)公式判斷各選項(xiàng)的對(duì)錯(cuò)．
【解答】解：取，，
則，，，錯(cuò)；
若，，且，則，
所以，對(duì)；
對(duì)任意，，，且，
，
，
所以有，對(duì)；
對(duì)任意，，
所以，對(duì)，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了排列、組合公式的計(jì)算及利用放縮法比較兩個(gè)數(shù)的大小，屬于基礎(chǔ)題．
12．（5分）已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是
A．在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增
B．有極小值，且極小值是的最小值
C．設(shè)，若對(duì)任意，都存在，使成立，則
D．
【答案】
【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得，分析其單調(diào)性與極值，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一分析可得答案．
【解答】解：由題意，函數(shù)，，
對(duì)于，當(dāng)，，時(shí)，，在，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故正確；
對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值（e），故極小值（e）不是的最小值，故錯(cuò)誤；
對(duì)于，因?yàn)?，所以其值域?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，由上面的分析可知，的值域，；
因?yàn)閷?duì)任意，都存在，使成立，即，
所以，故正確；
對(duì)于，在上單調(diào)遞增，
，即，即，又，，
，故正確；
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查邏輯推理能力與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13．（5分）已知一物體的運(yùn)動(dòng)方程是的單位為，的單位為，則該物體在時(shí)間段，內(nèi)的平均速度與時(shí)刻的瞬時(shí)速度相等，則 3 ．
【答案】3．
【分析】利用平均變化率，導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式求解即可．
【解答】解：，，
物體在時(shí)間段，內(nèi)的平均速度為，
，
故答案為：3．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平均變化率，導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題．
14．（5分）若正，邊形有20條對(duì)角線，則的值為 8 ．
【答案】8．
【分析】因?yàn)檫呅蔚膶?duì)角線的條數(shù)為，然后由已知建立方程即可求解．
【解答】解：因?yàn)檫呅蔚膶?duì)角線的條數(shù)為，
所以，解得或（舍去），
所以，
故答案為：8．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了歸納推理的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
15．（5分）以下四個(gè)關(guān)于階乘“！”的結(jié)論：
①??；
②對(duì)任意，，，則能整除；
③存在，使得；
④若，，則或．
其中正確的個(gè)數(shù)為 3 ．
【答案】3．
【分析】結(jié)合階乘的定義和性質(zhì)判斷各命題的對(duì)錯(cuò)，由此確定正確命題的個(gè)數(shù)．
【解答】解：因?yàn)椋?！，所以！，①錯(cuò)；
因?yàn)?，，，又，所以能整除；②?duì)；
因?yàn)?，所以存在，使得；③?duì)；
因?yàn)?，，所以，故或，所以④?duì)．
故答案為：3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了階乘的定義和計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．
16．（5分）用1，2，3，4，5，6組成六位數(shù)（沒有重復(fù)數(shù)字），要求任何相鄰兩個(gè)數(shù)字的奇偶性不同，且1和2相鄰．這樣的六位數(shù)的個(gè)數(shù)是 40 （用數(shù)字作答）．
【分析】欲求可組成符合條件的六位數(shù)的個(gè)數(shù)，只須利用分步計(jì)數(shù)原理分三步計(jì)算：第一步：先將3、5排列，第二步：再將4、6插空排列，第三步：將1、2放到3、5、4、6形成的空中即可．
【解答】解析：可分三步來做這件事：
第一步：先將3、5排列，共有種排法；
第二步：再將4、6插空排列，插空時(shí)要滿足奇偶性不同的要求，共有種排法；
第三步：將1、2放到3、5、4、6形成的空中，共有種排法．
由分步乘法計(jì)數(shù)原理得共有（種．
答案：40
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是分步計(jì)數(shù)原理，分步計(jì)數(shù)原理（也稱乘法原理）完成一件事，需要分成個(gè)步驟，做第1步有種不同的方法，做第2步有種不同的方法做第步有種不同的方法．那么完成這件事共有種不同的方法．
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17．（10分）規(guī)定，其中，，這是組合數(shù)的一種推廣．
（1）求的值；
（2）設(shè)，，求的最小值及的值．
【答案】（1）210；（2），．
【分析】（1）根據(jù)定義即可求出；
（2）根據(jù)定義求，再求最值．
【解答】解：（1）由題意得，
；
（2），
，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
故的最小值．
【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了組合數(shù)、函數(shù)及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．
18．（12分）已知展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為512，且．
（1）求的值；
（2）設(shè)，其中，，且，求的值．
【答案】（1）2；（2）5．
【分析】（1）根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和公式求出的值，然后再分別令，，建立方程建立求解；（2）由題意可得為被6整除的余數(shù)，又，根據(jù)二項(xiàng)式定理展開化簡(jiǎn)即可求解．
【解答】解：（1）由已知可得，解得，
令，則，
令，則，
所以，
（2）由題意可得為被6整除的余數(shù)，
又
，
因?yàn)榍懊娴母黜?xiàng)都可以被6整除，而被6整除的余數(shù)為5，所以，
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，涉及到整除問題，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．
19．（12分）已知函數(shù)，，，．
（1）已知，求的值；
（2）是否存在，使得對(duì)任意，恒有成立？說明理由．
【答案】（1）；（2）存在，使得對(duì)任意，恒有成立．理由見解答．
【分析】（1）對(duì)和求導(dǎo)，進(jìn)而根據(jù)題意可得，由此求得的值；
（2）化簡(jiǎn)，可得到，進(jìn)而得出結(jié)論．
【解答】解：（1），，
，
又，故，解得；
（2）對(duì)任意，恒有成立，即，
化簡(jiǎn)可得，
當(dāng)時(shí)，可使得對(duì)任意，恒有成立．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
20．（12分）設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)，（2）處的切線方程為．
（1）求的解析式；
（2）證明：曲線上任一點(diǎn)的切線與直線和直線三角形的面積為定值，并求出此定值．
【分析】（1）欲求在點(diǎn)，（2）處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．
（2）先在曲線上任取一點(diǎn)，．利用導(dǎo)數(shù)求出過此點(diǎn)的切線方程為，令得切線與直線交點(diǎn)．令得切線與直線交點(diǎn)．從而利用面積公式求得所圍三角形的面積為定值．
【解答】解：（1），
于是，
解得或因，，故．
（2）證明：在曲線上任取一點(diǎn)，．
由知，過此點(diǎn)的切線方程為．
令得，切線與直線交點(diǎn)為．
令得，切線與直線交點(diǎn)為，．
直線與直線的交點(diǎn)為．
從而所圍三角形的面積為．
所以，所圍三角形的面積為定值2．
【點(diǎn)評(píng)】本小題主要考查直線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、函數(shù)解析式的求解及待定系數(shù)法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力．屬于中檔題．
21．（12分）已知函數(shù)，其中，．
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若在區(qū)間內(nèi)存在最小值，且最小值不大于，求的取值范圍及的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
【答案】（1）當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為，，減區(qū)間為，，
（2）的取值范圍，，有3個(gè)零點(diǎn)．
【分析】（1）求出，分和分別得出函數(shù)的單調(diào)性即可；
（2）由（1）得出的函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)條件則，從而得出的取值范圍，然后由單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)存在定理可判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
【解答】解：（1）由，得，
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，所以由，解得或，
由，解得，
所以函數(shù)的增區(qū)間為，，減區(qū)間為，，
綜上所述：當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為，，減區(qū)間為，，
（2）由（1）可知當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，則在區(qū)間內(nèi)不存在最小值，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為，，減區(qū)間為，，
在區(qū)間內(nèi)存在最小值，且最小值不大于，
則，解得，
所以的取值范圍，，
，，
（a），，，
由函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，
所以在上有一個(gè)零點(diǎn)，
在，上單調(diào)遞增且（a），所以在，上有一個(gè)零點(diǎn)，
在上單調(diào)遞增且（a），所以在上有一個(gè)零點(diǎn)，
所以有3個(gè)零點(diǎn)．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．
22．（12分）已知函數(shù)，其中．
（1）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，記為，．
①求的取值范圍；
②求證：；
（2）求證：對(duì)任意，恒有．
【分析】（1）①對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，設(shè)，依題意，直線與曲線的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，作出函數(shù)的大致圖象，觀察圖象即可得解；
②由①可知，，要證，即證，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為證明，設(shè)，，判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得到其最值情況，由此即可得證；
（2）由（1）可知，，則對(duì)任意，，而，于是，再累加即可得證．
【解答】解：（1）①，設(shè)，
要使函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，即有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，亦即直線與曲線的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
由得，，
當(dāng)時(shí)，，遞增，當(dāng)時(shí)，，遞減，
又（1），
，
作出函數(shù)的大致圖象如下圖所示，
由圖象可知，實(shí)數(shù)可得取值范圍為；
②證明：由①可知，，要證，即證，
注意，，且函數(shù)在單調(diào)遞減，
只需證，
設(shè)，，則，
在上單調(diào)遞增，則（1），
，即，得證；
（2）證明：由（1）知，，
對(duì)任意，，
，
，
，即得證．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值及最值，考查不等式的證明，涉及了極值點(diǎn)偏移，裂項(xiàng)相消等問題，考查邏輯推理能力及運(yùn)算求解能力，屬于較難題目．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2024/3/20 0:09:24；用戶：初中數(shù)學(xué)；郵箱：szjmjy@xyh.cm；學(xué)號(hào)：29841565

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